幂函数
幂函数的性质
幂函数的性质幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。
幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数，且n为正整数。
幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。
一、定义域幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性：当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集；当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结果为负数。
二、值域幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数；当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯一的实数C使得f(x) ≤ C。
三、奇偶性幂函数的奇偶性由幂指数n来决定：当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。
四、单调性幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减；当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。
五、图像特点幂函数的图像具有一些特点：当n为正整数时：- 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜；- 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。
综上所述，幂函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点。
幂函数
因为0 x1 x 2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x 2 ) 即幂函数f ( x ) x 在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论
1 =1，2，3， 2
，
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0, ) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
幂函数的概念与性质
幂函数的概念与性质在数学中，幂函数是一种常见而重要的函数类型。
它是一种形如f(x) = x^n的函数，其中n是常数，x是自变量，而f(x)则是因变量。
幂函数的性质取决于n的值，下面将详细介绍幂函数的概念与性质。
一、幂函数的定义幂函数是一类特殊的单变量函数，其定义为f(x) = x^n，其中n是常数，x是自变量。
在这个函数中，自变量x的值经过幂指数n的运算而得到新的函数值f(x)。
当幂函数的指数n为正数时，函数图像会呈现出不同的特点。
例如当n为2时，幂函数为f(x) = x^2，它代表了二次函数的图像，是一个开口向上的抛物线。
当n为3时，幂函数为f(x) = x^3，它代表了一个呈现出S形曲线的三次函数。
同理，幂函数的指数n为负数时，函数图像也会呈现出不同的形状。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，除非指数n为分数时会有例外。
对于n为整数的幂函数，其值域为非负实数集R+；当n 为奇数时，幂函数的值域为整个实数集R。
2. 对称性：当幂函数的指数n为偶数时，函数图像关于y轴具有对称性。
当幂函数的指数n为奇数时，函数图像关于原点具有对称性。
3. 单调性：幂函数的单调性与指数n的正负性有关。
当n为正数时，幂函数是递增的；当n为负数时，幂函数是递减的。
4. 极限性质：幂函数具有一些特殊的极限性质。
当n大于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于正无穷；当n小于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于零。
5. 奇偶性：幂函数的奇偶性与指数n的奇偶性一致。
当n为偶数时，幂函数为偶函数；当n为奇数时，幂函数为奇函数。
6. 渐近线：幂函数的图像可以存在水平渐近线、斜渐近线和铅直渐近线。
具体的渐近线取决于指数n的正负和奇偶性。
7. 凸凹性：当指数n大于1时，幂函数的图像为凸函数；当指数n小于1时，幂函数的图像为凹函数。
综上所述，幂函数是一种常用且重要的函数类型，其性质与指数n的值密切相关。
幂函数的图象及性质
幂函数一、定义幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，注意：幂函数的解析式是幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数。
二、研究一类函数的一般路径注意：我们先从实际案例中，写出一系列函数的解析式，从中找到某一类函数的概念，再通过函数的解析式，求出函数的定义域，接着画出函数的图像，可以使用描点法画图，同时利用函数的性质来简化画图的过程，最后利用函数的解析式和图像，来研究函数的值域、单调性、奇偶性和其他性质。
三、六个幂函数的图像及性质1、六个幂函数2、幂函数的图像-2-10123-21123定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制-2-1012341149定义域：R 值域：单调性：在上单调递减，减函数，在上单调递增，增函数奇偶性：偶函数-2-10123-8-11827定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制124 012定义域：值域：单调性：在上单调递增，增函数奇偶性：非奇非偶函数严禁复制-2122定义域：值域：单调性：在上单调递减，减函数奇偶性：奇函数-2124定义域：值域：单调性：在上单调递减严禁复制奇偶性：偶函数从以上函数分析中，我们得到了6个幂函数的图像总结：6个幂函数具有的共同性质和不同性质1、函数的图像都经过。
2、函数在区间上单调递增，是增函数。
函数和严禁复制在区间上单调递减，是减函数。
在区间上单调递增，是增函数。
和在是单调递减，是减函数。
3、函数、和是奇函数，函数和是偶函数，函数是非奇非偶函数。
4、函数的图像经过原点，函数和的图像不经过原点。
5、已知幂函数，当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减。
四、题型1、幂函数的概念例题1已知幂函数f(x)过点，则f(9)的值为（）（解析）设幂函数，因为过点，所以，解得a=，所以f(9)=。
例题2已知函数f(x)=为幂函数，则f()+f()=（）（解析）因为函数f(x)=为幂函数，所以m-1=1，解得m=2，所以f(x)=，又因为函数f(x)为奇函数，有f()+f()=0。
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。
在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。
2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。
- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。
- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。
- 幂函数在定义域上是连续的。
- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。
- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。
- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。
- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。
- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。
4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。
- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。
- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。
5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。
其中b-1为幂指数减一。
在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。
幂函数的定义及性质
幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。
其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。
在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。
系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。
指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。
当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。
幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。
当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。
2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。
3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。
4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。
5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。
6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。
以上是幂函数的定义及性质的介绍。
幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。
通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。
幂函数知识点
幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。
其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。
需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。
例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。
二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。
例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。
（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。
2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。
例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。
（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。
3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。
三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。
（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。
2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。
（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。
2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。
幂函数的计算方法
幂函数的计算方法一、幂函数的基本概念。
1.1 幂函数长啥样呢？它的形式很简单，就是y = x^α（α是常数）。
这个α可不得了，它能决定幂函数的很多特性呢。
就像不同的性格能决定一个人的行事风格一样。
比如说，当α = 2的时候，函数y = x²，这就是一个很常见的幂函数啦。
1.2 幂函数的定义域也很有讲究。
这个定义域啊，得根据α的值来确定。
有时候是全体实数，有时候就得把某些数排除在外。
这就好比一个俱乐部的准入规则，不同的情况有不同的要求。
二、幂函数的计算要点。
2.1 幂的乘方。
这就像是给幂函数做“升级”。
比如说(x^m)^n，那结果就是x^(m n)。
这就好比是搭积木，一层一层往上加，规则很明确，按照这个来计算准没错。
这在幂函数的计算里可是相当重要的一个环节，就像盖房子打地基一样关键。
2.2 同底数幂相乘。
这个规则就是底数不变，指数相加。
像x^m x^n = x^(m + n)。
这多简单啊，就像把相同颜色的珠子串在一起，数量就相加了呗。
这也是幂函数计算里经常用到的规则，要是这个都不会，那计算幂函数就像没头的苍蝇——乱撞啦。
2.3 同底数幂相除。
这个规则是底数不变，指数相减。
例如x^m÷x^n = x^(m n)（x≠0）。
这也好理解，就像从一堆东西里拿走一部分，剩下的数量就是相减的结果嘛。
在幂函数的计算中，这个规则也不能忽视，不然就会算出错误的结果，那可就是竹篮打水——一场空了。
三、幂函数计算的实际例子。
3.2 再复杂一点的例子。
计算(x²)^3 x^4÷x^5。
根据幂的乘方规则，(x²)^3 = x^(2 3)= x^6。
然后，同底数幂相乘，x^6 x^4 = x^(6 + 4)= x^10。
同底数幂相除，x^10÷x^5 = x^(10 5)= x^5。
这整个过程就像走迷宫一样，每一步都得按照规则来，要是走错了，就找不到出口（正确结果）了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
底数相同，指数不同，考察指数函数.
探究二 在第一象限， 1、0 1、 0时，
函数的图象的变化趋势有何不同？
函数在第一象限的形状
如图所示，图中的曲线是幂函数y x
在第一象限的图象，已知取-
1 2
，1 2
，2三个值，则
B 对应于曲线C1,C2 ,C3的指数的值依次为（ ）
A. 1 , 1 , 2
其他函数_________________________________ 第三类函数有什么共同特征？
（1）指__数____是常数 （2）_底__数___是变量（3）都是 y___x_
的形式
温故知新，概念形成
幂函数定义
一般地，形如 y x R 的函数称为幂函数，其中
为常数．
y 2
y x-2
必 做
阅 读
必做：课后达标检测幂函数部分 选做：必修一课本79页2、3题
1.下列命题中正确的是( D ) A.幂函数在第一象限都是增函数
B.幂函数的图像都经过（0,0）和（1,1）点
C.若幂函数y x 是奇函数，则y x是定义域上的增函数
D.幂函数的图像不可能出现在第四象限
2.比较各题中两个幂的值的大小
1
1
(1)2.32 < 2.42
(2)( 2)-3 >
( 3)-3
y
22
B.2, 1 , 1 , 22
C. 1 , 2, 1 22
D. 1 , 2, 1
22
0
x
探究性质，学以致用
2
例2 讨论函数y x 5 的定义域、奇偶性，作出它的图象，
并根据图象说明函数的增减性.
2
y x3
y
（1,1）
0
函数在 0，+ 上单调递增，
x
在 -，0 上单调递减.
探究性质，学以致用
4
6
x
-2
探究性质，学以致用
（二）学生自主合作探究幂函数性质
探究一
0和 0时，幂函数
在第一象限的单调性有何不同?
探究性质，学以致用
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1).
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并 在(0,+∞)上为增函数.
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数，以坐标轴为渐近线。
a
2
)
2 3
2
23
y
0
x
探究性质，学以致用
（3）设a 20.3,b 30.3, c 30.5，则（ B ）
A、a b c B、a b c C、a c b D、b a c
考察指数函数y 3x 函数在R上递增 又 0.3 0.5b c
a b c
小结： 底数不同，指数相同，考察幂函数.
2
解：函数y x 5 5 x 2 ，定义域是实数集 R
2
函数y x 5 是偶函数.
先作出幂函数在 0, 上的图象，
再根据函数的图象关于y轴对称，作出它在 ,0上的图象. 2 y x3 函数在 0，+ 上单调递增，
在 -，0 上单调递减.
（1,1）
0
探究性质，学以致用
总结：作幂函数图象的步骤 1、求定义域； 2、判断奇偶性； 3、作第一象限的图象； 4、利用奇偶函性，补全整个函数的图象.
探究性质，学以致用
例1 比较下列各题中两个值的大小：
11
（1）52 , 62；
（2）(a 1)1.5 , a1.5.
1
解：（1）考察幂函数 y x2 在区间0， 上是单调递增函数
1
1
52 62
（2）考察幂函数y x1.5 在区间0，+上是单调递增函数
y
a 1 a, (a 1)1.5 a1.5
1
1
; (3) y -x2; (4) y x2 ;
x2
(5) y 2x2;(6) y x3+2；
2. 幂函数 y (m 2)xm，则m=__-_1__
(-2,4)
y
4
y x3
y x2 (2,4)
3
yx
2
1
y x2
(-1,1)
1
(1,1)
-4
-2
2
o
（-1,-1）
-1
y x1
注意：将分数指数幂化成根式
探究性质，学以致用
练习 2 将图像相应解析式的序号写在括号内：
①
y
2
x3
②
y
3
x2
③
y
1
x 3;
④
y
1
x3
y
1
o
1
x
y 1 o1 x
( ③)
(① )
y 1 o1 x
( ④)
y 1 o1 x
(②)
总结反思，升华提高
幂函数的概念、图象和性质. 比较幂的大小；作图研究性质.
数形结合，转化思想.
0
x
探究性质，学以致用
练习1 比较下列各题中两个值的大小：
（1） 31.3, 21.3；
（2）
(2
a2
)
2 3
,
2
2 3
；
解：（1）考察幂函数y x1.3 ，在区间0， 上是单调递增函数 3 2,31.3 21.3
2
（2）考察幂函数 y x 3, 在区间0， 上是单调递减函数
2 a2
2,
(2
（1）y 2x （2）y log2 x（3）y x2 （4）y 3x （5）y x2 （6）y lg x
1
（7）y ln x （8）y 10x （9）y x3
指数函数_________________________________
对数函数_________________________________
1
y x2
2 -
y x 3
幂函数同指数函数、对数函数一样都是形式定义的函数. 前面的系数为1, 后面没有常数项
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= xα
名称
a
x
y
底数 指数位置 幂值
指数 底数位置 幂值
温故知新，概念形成
1.判断下列函数哪些是幂函数（：1）（2）（4）
（1）y x4; (2) y