全国高考理科数学试题分类汇编立体几何.doc

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2014 年全国高考理科数学试题分类汇编( 纯 word 解析版 )

九、立体几何（逐题详解）

第I 部分

1. 【 2014 年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）

A. 32

B.4

C.2 D .

4 3 3

2.【 2014 年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）

A.54

B.60

C.66

D.72

5

2

4 3

正视图左视图

俯视图

C'

A'

C B'

3.【 2014 年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多

A B

面体的表面积为

（A）213 （ B）183

1 1 1 1

（C）21 （D）18

1 1

1 1

第（ 7）题图

正（主）视图侧（左）视图

1

4.【 2014 年福建卷（理 02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

1

1 1

俯视图

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A ．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

5. 【 2014 年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示 .将该石材切割、

打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于

A.1

B.2

C.3

D.4

6. 【 2014 年辽宁卷（理04）】已知 m， n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的

是（）

A．若m / /,n / / , 则m / /n B．若m，n，则m n

C．若m，m n ，则 n / /D．若m / /，m n ，则 n

7. 【 2014 年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为（）

A．81

B ．16 C．9D．

27 4 4

8. 【 2014 年四川卷（理08）】如图，在正方体ABCD A1B1C1 D1中，点 O 为线段BD的中

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点。设点 P 在线段 CC 1 上，直线 OP 与平面 A 1 BD 所成的角为 ，则 sin 的取

值范围是

A ． [ 3 ,1]

B ． [

6 ,1] C ． [ 6 , 2 2 ]

D ．

[

2 2 ,1]

3

3 3

3

3

9. 【 2014 年辽宁卷（理 07）】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A ．8 2

B ．8

C ．8

D ． 8

2 4

10. 【 2014 年全国大纲卷（ 11）】已知二面角l 为 600， AB

， AB l ，A 为垂

足， CD

， C l ，

ACD 1350 ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（

）

A ．

1

B ．

2 C ．

3 D ．1 4

4 4 2

11. 【 2014 年全国新课标Ⅰ（理 12）】如图，网格纸上小正方形

的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度

为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

13.【 2014 年全国新课标Ⅱ （理 11）】直三棱柱 ABC-AB C 中，∠BCA=90°，M ，N 分别是 A B ，

1 1

1

1 1

A 1C 1 的中点， BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（

）

A.

1

B.

2 C.

30 D.

2 10

5

10

2

14. 【 2014

年北京卷（理 07

Oxyz 中，已知 A 2,0,0 ， B 2,2,0 ，

）】在空间直角坐标系 C 0,2,0 ，D 1,1, 2 ，若 S 1 ， S 2 ， S 3 分别表示三棱锥 D ABC 在 xOy ， yOz ， zOx

坐标平面上的正投影图形的面积，则（

）

（A ） S 1 S 2 S 3

（B ） S

S 且 S S

1

2

3

1

（C ） S 1

S 3且 S 3 S 2 （D ） S 2 S 3且 S 1 S 3

【答案】 D

15. 【 2014 年 广 东 卷 （ 理 07 ）】 若 空 间 中 四 条 两 两 不 同 的 直 线 l 1 ,l 2 ,l 3, l 4 ， 满 足

l 1 l 2 ,l 2 l 3 , l 3 l 4 ，则下列结论一定正确的是

A.

l 1 l 4

B.

l 1 / /l 4

C.

l 1 ,l 4 既不垂直也不平行

D.

l 1 ,l 4 的位置关系不确定

D'

C'

A'

B'

D

C

A

B

16. 【 2014 年湖北卷（理 05）】在如图所示的空间直角坐标系

O

xyz

中，一个四面体的顶

点坐标分别是（ 0,0,2 ），（2,2,0 ），（ 1,2 ，1），（ 2,2,2 ），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

A. ①和②

B. ③和①

C. ④和③

D. ④和②

17. 【 2014 年湖北卷（理 08）】. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出 土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相

乘也。 又以高乘之， 三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体

积 V 的近似公式 v

1

L 2 h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率

近似取为 3. 那么近

36

似公式 v 2

L 2 h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（

）

A.

22

75 B .

25

157

355

C .

D . 7

8

50

113

18. 【 2014 年江西卷（理 05）】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的

是

如右图，在长方体

ABCD

A 1

B 1

C 1

D 1 中， AB =11， AD =7， AA 1 =12，一质点从顶点A 射

向点 E 4，312， ，遇长方体的面反射 （反射服从光的反射原理） ，将 i 1次到第 i 次反射点之 间的线段记为 L i i 2,3,4 ， L 1 AE ，将线段 L 1 , L 2 , L 3, L 4 竖直放置在同一水平线上，则

大致的图形是

20. 【 2014 年上海卷（理 16）】 如图，四个棱长为

1

AB

是一

的正方体排成一个正四棱柱，

条侧棱， P (i 1, 2 ,

, 8) 是上底面上其余的八个点， 则

AB AP i (i 1, 2, , 8) 的

i

不同值的个数为

（

）

(A)

1.

(B)

2.(C) 4 .

(D) 8 .

21. 【 2014 年浙江卷（理 03）】某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的表面积是

A.90 cm 2

B.129

cm 2

C.132

cm 2

D.138

cm 2

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第II部分

22. 【 2014 年山东卷（理13）】三棱锥P ABC中，D , E分别为PB, PC的中点，记三棱

锥 D ABE 的体积为V1 ， P ABC 的体积为 V2 ，则V

1 。V2

【

23. 【 2014 年天津卷（理10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 _________ m3 .

24.【 2014 年江苏卷（理 08）】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1, S2，体积分别为 V1, V2，

若它们的侧面积相等，S1 9 V1

．

，则

V2

S2 4

25. 【 2014 年上海卷（理06）】若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示） .

第 III 部分

26.【 2014 年陕西卷（理 17）】（本小题满分 12 分）

四面体 ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E作平行于 AD ，BC的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点 F ，G ，H .

（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；

（II ）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.

27.【 2014 年重庆卷（理 19）】如下图，四棱锥P ABCD ，底面是以O为中心的菱形，PO

底面 ABCD ，

AB 2, BAD，M为BC上一点，且BM 1 ,MP AP .

3 2

（ 1）求PO的长；

（ 2）求二面角 A PM C 的正弦值。

P

C

D

O

M

A B

28.【 2014 年安徽卷（理 20）】（本小题满分13 分）

如图，四棱柱 ABCD A1 B1 C1 D1中，A1 A 底面 ABCD ．A

1 D1 四边形 ABCD 为梯形， AD // BC ，且 AD 2BC ．过A1,C, D B1 C1

Q

D

A

三点的平面记为， BB1与的交点为Q．

（Ⅰ）证明：Q 为 BB1的中点；

（Ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；

（Ⅲ）若A1 A 4, CD 2 ，梯形ABCD 的面积为 6 ，

求平面与底面ABCD 所成二面角大小．第（ 20）题图

29. 【 2014 年福建卷（理07）】在平面四边形ABCD中， AB=BD=CD=1，AB⊥ BD，CD⊥ BD，将△ABD沿 BD折起，使得平面ABD⊥平面 BCD，如图．

（1）求证： AB⊥ CD；

（2）若 M为 AD中点，求直线 AD与平面 MBC所成角的正弦值．

（

30.【 2014 年湖南卷（理 19）】 ( 本小题满分 12 分 )

如图 6，四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1的所有棱长都相等，AC BD O ，A1C1 B1D1 O1，四边形 ACC 1 A1和四边形 BDD 1 B1均为矩形.

（ 1）证明：O1O 底面 ABCD ;

（ 2）若CBA 60 ，求二面角 C1 OB1 D 的余弦值.

A1

D 1

O1

B1 C

1

A

O D

B C

图6

31.【 2014 年辽宁卷（理 19）】（本小题满分 12 分）

如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB BC BD 2 ，

ABCDBC 1200 ，E、 F 分别为 AC、 DC的中点 . （1）求证：EF BC ；

（2）求二面角E BF C 的正弦值.

32.【 2014 年全国大纲卷（ 19）】（本小题满分 12 分）

如图，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，

ACB 900，

BC 1, AC CC1 2 .

（1）证明：AC1 A1B ；

（2）设直线AA1与平面 BCC1B1的距离为 3 ，求二面角A1AB C的大小.

33.【 2014 年山东卷（理 17）】（本小题满分 12 分）

如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，

DAB 60 , AB2CD 2，M是线段AB的中点.

D1C1

A1B1

D C

A B

（I ）求证：C1M / /平面A1ADD1；M

（I I ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值 .

34. 【 2014 年四川卷（理18）】三棱锥 A BCD 及其侧视图、俯视图如图所示。设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC上的点，且MN NP 。

（1）证明：P为线段BC的中点；

（2）求二面角A NP M的余弦值。

A

M

N

D

C

P

B

35.【 2014 年天津卷（理 17）】（本小题满分 13 分）

如图，在四棱锥P 2 ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AD AB， AB/ /DC ，

AD DC AP

，AB 1 E 为棱PC 的中点 .

，点

⑴证明： BE DC ；

⑵求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；

⑶若 F 为棱 PC 上一点，满足BF AC ，求二面角 F AB P 的余弦值.

36. 【 2014 年全国新课标Ⅰ（理19）】 ( 本小题满分12 分) 如图三棱柱ABC A1 B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C .

( Ⅰ) 证明：AC AB1；

（Ⅱ）若 AC AB1，CBB 60o，AB=BC

1

求二面角 A A1B1C1的余弦值.

37. 【 2014 年全国新课标Ⅱ（理18）】（本小题满分12 分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， E 为 PD的中点 .

（Ⅰ）证明： PB∥平面 AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为 60°， AP=1， AD=3 ，求三棱锥E-ACD的体积 .

38. 【 2014 年江苏卷（理16）】如图，在三棱锥P ABC中， D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中

点。已知PA⊥ AC， PA=6,BC=8， DF=5. 求证：（ 1）直线 PA∥平面 DEF; （2）平面 BDE⊥平面 ABC.

P

D

A

E C

F

B

39.【 2014 年北京卷（理 17）】（本小题 14 分）

如图，正方形 AMDE 的边长为2，B,C分别为AM , MD的中点，在五棱锥 P ABCDE 中， F 为棱PE的中点，平面ABF与棱 PD , PC 分别交于点 G, H .

（1）求证：AB // FG；

（ 2）若PA底面ABCDE，且AF PE ，求直线BC与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长.

40.【 2014 年广东卷（理 18）】（本小题满分 13 分）如图 4，四边形ABCD为正方形，PD

平面 ABCD ，DPC 300，AF PC于点 F ，FE//CD，交 PD于点 E.

（ 1）证明：CF 平面 ADF

（ 2）求二面角D AF E 的余弦值。

A B

D C

E

F

P

41.【 2014 年湖北卷（理 19）】如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F , M , N

分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点 P,Q 分别在棱 DD1, BB1上移动，且

DP BQ02.

（1）当1时，证明：直线BC1∥平面 EFPQ ;

（2）是否存在，使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 .

42.【 2014年江西卷（理 19）】( 本小题满分 12分 )

如图，四棱锥P ABCD 中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.

（1）求证：AB PD;

（2）若BPC 90,PB2,PC 2,问AB为何值时，四棱锥

P ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

43.【 2014 年上海卷（理 19）】 ( 本题满分 12 分)

底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC ，其表面展开图是P 3 三角形 1 2 3，如图. 求△ 1 2 3 的各边长及此三棱锥的

PP P PP P

体积V. A C

P1B P2

44.【 2014 年浙江卷（理 20）】（本小题满分 15 分）

如图，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC 平面BCDE ，CDE BED 90 ，

AB CD 2， DE

⑴证明： DE平面

⑵求二面角 B AD

BE 1，

ACD ；

E的大小.

AC 2 .