排列组合常用四种方法-周丽红
解决排列组合问题的常用方法
故所求自然数共120+48+6+1=175个．
∴正因数之和为31×40×6=7440
【变式】1、72的正约数（包括1和72）共有__________个
解析：72=23×32
∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数
m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个。答案：12
用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题
题型讲解
【例1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种（以数字作答）
解：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A ×5=120
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决： 。另法：用捆绑与剔除相结合：
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
2016年山西省考行测技巧：排列组合的常用方法
最全汇总>>>山西公务员历年真题2016年山西省考行测技巧：排列组合的常用方法通过最新山西公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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在省考数量关系中，排列组合是大部分学员比较头痛的一类问题。
很多学员对于排列组合问题经常分不清什么时候用排列，什么时候用组合。
对于排列组合的题目也经常束手无策。
下面中公教育的专家就为大家指点迷津。
在排列组合的题目中通常用到四种常用方法：优限法，捆绑法，插空法和间接法。
一.优限法。
优限法适用于题目中的元素具有限制条件，需要优先考虑。
我们可以优先考虑这些具有限制条件的元素，再考虑其他的元素。
例1.大学生剧团从8名学生中选出4人分别担任甲，乙，丙，丁四个不同的表演角色，若其中有两名学生不能担任甲角色，则不同的挑选方案共有( )。
A.1200种B.1240种C.1260种D.2100种二.捆绑法。
捆绑法适用于题目中的若干个元素要求相邻时，我们可以将要求相邻的元素捆绑在一起，看成一个整体，先考虑整体的排列组合，在考虑这些相邻元素的排列组合。
最全汇总>>>山西公务员历年真题例2.某展览馆计划4月上旬接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。
问：参观的时间安排共多少种?A.30B.120C.2520D.30240四.间接法。
间接法适用于题目直接进行解决时不太容易或者直接解决时需要考虑的情况比较多时，我们可以间接解决，用总的结果减去反面的结果就是题目求的结果。
例4. 某单位今年新进了3个工作人员，可以分配到3个部门，但每个部门至多只能接收2个人，问共有几种不同的分配方案?A.12B.16C.24D.27通过以上的讲解，相信大家对于排列组合问题有了一个新的认识，接下来大家需要进行大量的题目训练，熟练掌握排列组合的四种常用方法，这样就一定能够在2016年省考中一举成“公”。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
高中数学排列组合问题的几种基本方法总结1. 分组（堆）问题分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1. 分组（堆）问题例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“堆”，有种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.211421226C C C A2.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.3.捆绑法相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀甲 乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：55A 有=120种排法26A 有=30种插入法120303600∴⨯共有＝种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4.消序法(留空法)几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为22A 有＝2种捆法2120240∴⨯共有＝种排法55A 有＝120种排法55A 22A 535522543A A A =⨯⨯=35A 33551A A ⨯=4.消序法(留空法)变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?解: 如图所示将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,种排法.其中必有四个↑和七个→组成!BA BA所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 共有 条不同的路径.5.剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .5.剪截法：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 514(51)(81)11C C --+-=315455C =3984C =因此，不同的分配方案共有84种 .6.错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.7.剔除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有 条，其中不过原点的直线有 条，∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条. 2615C =37210A =1266180A A ⨯=小结:①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).巩固练习1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）A.43B.34 C.34A D.34C 2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A.24种B.18种C.12种D.6种3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种 C.3348412A C C 种 D.334448412A C C C 种。
2020国考用方法化繁为简：行测排列组合问题四种常用方法
2020国考用方法化繁为简：行测排列组合问题四种常用方法大家都知道，排列组合问题是行测考试考查的高频考点，并因为其难度系数较高且经常和概率问题结合起来而令同学们望之生畏，想要突破在数量关系学习上的瓶颈，同学们就必须拿下排列组合问题。
而在实际考查当中，中公教育通过不断地研究与规律总结，发现掌握解决排列组合的常见方法可以解决大部分题目，那么今天中公教育专家就跟大家一起来看一看解决排列组合问题常用的四种方法。
方法一：优限法例1：甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，甲必须在排头或者排尾，有多少种不同的排法。
总结：当题目中某些元素对位置有绝对要求时，采用优限法。
即优先考虑这些对位置有绝对要求的元素，再去解决其他元素。
方法二：捆绑法例2：甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，甲和乙必须相邻，有多少种不同的排法。
总结：当题目中某些元素要求必须相邻时，采用捆绑法。
即把要求相邻的元素首先捆绑在一起当做一个新的大元素再与剩下的元素一起排列。
(这里需要注意的是若干要求相邻的元素捆绑在一起，我们也需要考虑捆绑内部的顺序)方法三：插空法例3：甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，甲和乙必须不相邻，有多少种不同的排法。
总结：当题目中某些元素要求必须不相邻时，采用插空法。
即先其将他元素排好，再将要求必须不相邻的插入其他元素所形成的有效空隙中。
方法四：间接法例4：甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，甲和乙必须有一个排在前2的位置，有多少种不同的排法。
总结：当题目中要求的正面考虑情况又多又复杂，而对立面情况较少时，采用间接法。
即把对立面(不符合要求的数量)求出来，总数求出来，然后用总数减去对立面的数量，得到符合要求的数量。
以上就是我们解排列组合问题的四种常用的方法，能够直接套用解决相当量的题目，但是在碰到具体的题目时，同学们还是一定要看清楚题干的要求，抓住问题的本质特征，才能运用恰当的方法得出正确答案。
同时中公教育希望同学们在学习、做题的过程中多多思考多多总结，自己也能找到更加简便快速的做题方法。
排列组合常见15种解题方法
排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。
排列组合常用四种方法-周丽红
排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家 周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
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排列组合常用四种方法
中公教育研究与辅导专家 周丽红
排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？
解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？
解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 2
2A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？
解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 2
4A =6×12=72
四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？
解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
但满足4的倍数后两位只有12,24,32,52这四类种情况，所
以我们只需要在确定前三位数的情况为33A ，所以五位数满足4的倍数情况数为4×3
3A =24，而最终求不满足的情况，我们就需要将总的情况55A -24=96。