平方根知识点总结讲义汇编
初三数学平方根知识点汇总
初三数学平方根知识点汇总一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
如果一个数的平方等于给定数，那么这个数就叫做给定数的平方根。
平方根表示为√。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根是非负数。
2. 正数的平方根有两个解：一个正数和一个负数。
3. 0的平方根是0。
4. 负数没有实数平方根，但可以用虚数表达。
三、平方根的运算法则1. 平方根与平方的运算互相抵消，即√(a^2) = a。
2. 平方根与乘法可以交换次序，即√(a*b) = √a * √b。
3. 平方根与除法可以交换次序，即√(a/b) = √a / √b。
4. 平方根的和与差可以分别用相应数的平方根表示，即√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
四、求平方根的方法1. 分解质因数法：将被开方数分解成质因数的形式，相同因数的指数减半。
2. 逼近法：通过不断逼近，找到一个足够接近被开方数的近似值。
3. 牛顿迭代法：通过求切线与x轴的交点，逐步逼近被开方数的平方根。
五、常见的平方根1. 平方根的近似值：- √2 ≈ 1.41- √3 ≈ 1.73- √5 ≈ 2.24- √7 ≈ 2.65- √10 ≈ 3.162. 完全平方数的平方根：- 1的平方根是1。
- 4的平方根是2。
- 9的平方根是3。
- 16的平方根是4。
- ...六、注意事项1. 在计算平方根时，要注意是否涉及虚数。
2. 求平方根时，如果不要求精确值，可以使用近似值进行计算。
3. 在运算中，要注意平方根的运算法则，以避免出现错误的结果。
以上是初三数学平方根的知识点汇总，希望对您有所帮助！。
(完整版)平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥，是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义．(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠1x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+49257535==⨯=； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，26|20a b ++=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b +-=260a +≥，|20b -≥，∴260a +=，20b -=．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值． 【答案】2110x y -+=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结
平方根知识点总结平方根是代数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题中出现。
简单来说，平方根就是一个数与自己相乘等于指定数的操作的逆运算。
本文将为您总结平方根的知识点，并讨论相关概念、性质和应用。
一、基本概念1. 平方根的定义：对于一个非负数a，它的平方根是指满足x * x = a的非负数x。
符号√a表示a的平方根，√a ≥ 0。
2. 平方根的记法：平方根记作√a。
例如√25 = 5，√144 = 12。
二、性质与运算1. 非负数的平方根：对于任意非负实数a，都存在唯一一个非负实数x，使得x * x = a。
2. 平方根的唯一性：每个正实数只有一个正平方根，即√a是唯一的。
但负实数没有实数平方根。
3. 非零实数的平方根：对于任意非零实数a，其平方根√a的正负号取决于a的符号。
当a > 0时，√a > 0；当a < 0时，√a不存在实数解。
4. 平方根的运算性质：a) 两个非负数的积的平方根等于它们的平方根的乘积：√(ab) = √a * √b。
b) 两个非负数的商的平方根等于它们的平方根的商：√(a/b) = √a / √b（b ≠ 0）。
c) 平方根的乘方等于它的被开方数：(√a)² = a。
三、平方根的求解方法1. 估算法：通过估算被开方数的大小，可以快速确定一个近似的平方根。
2. 迭代法：通过迭代运算，逐步逼近平方根的精确值。
3. 牛顿法：利用泰勒级数近似平方根，通过迭代逼近平方根的解。
四、平方根的应用1. 几何应用：平方根在几何图形的计算中有广泛应用，如计算圆的半径或直径、计算三角形的斜边、计算四边形的对角线等。
2. 物理应用：平方根在物理学中的运动学、力学、电磁学等领域广泛应用，如计算速度、加速度、力的大小等。
3. 工程应用：平方根在工程学中的建筑、机械等领域有重要应用，如计算力的大小、材料的强度等。
4. 统计学应用：平方根在统计学中用于计算方差和标准差等。
总结：平方根是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域均有广泛的应用。
算术平方根、平方根知识点汇编
学科教师辅导讲义知识点2：估算估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小.规律小结确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分.例2.如果17-=m ，那么m 的取值范围是（ ）A.10<<mB.21<<mC.32<<mD.43<<m知识点3：平方根、开平方的概念及符号表示延伸拓展1.平方根的理解（1）被开方数a 一定是非负数（即正数或0）；（2）平方与开平方是互逆运算；2.平方根与算术平方根的区别与联系例2.求下列各数的平方根和算术平方根：（1）0.0009 （2）8125（3）25-）（知识点4：平方根的性质平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ±，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a也叫做a 的算术平方根.注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ）A.2B.-1C.1D.0随堂巩固一、选择题.1. 4的算术平方根是（ ）A.2B.-2C.±2D.162.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.16是4的算术平方根C.-6是()26-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ）A.4B.5C.6D.74.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3 之间B.3与4 之间C.4与5之间D.5与6之间5.81的平方根是（ ）A.3±B.3C.9±D.96.下列语句正确的是（ ）A.-2是-4的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.4的平方根是2或-27.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ）A.-8B.8±C.2±D.8±或2±二、填空题1.化简：（1）412= ； （2） = .2.大于2且小于5的整数是 .3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。
平方根与立方根知识点小结汇编
求下列各式的值例3、求下列各数的立方根:一、知识要点 1、平方根：“平方根”与“立方根”知识点小结 ⑴、定义：如果 x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“ ” （a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ,.a ”。
2、立方根： ⑴、定义：如果 x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“ 3 a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根； 0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方） 。
二、规律总结： 1、 平方根是其本身的数是 0;算术平方根是其本身的数是 0和1 ;立方根是其本身的数是 0和土 1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根， 这个立方根的符号与原数相同。
3、-、a 本身为非负数，即.a >0； . a 有意义的条件是a >0。
4、 公式：⑴（ja ）2=a （a > 0）；⑵ 英石=一劭孑（a 取任何数）。
5、 非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 求下列各数的平方根和算术平方根 (1) 2 64 ； ( 2) (-3) ； (3) 15 149 ；0，则每一个非负数都为 0 （此性质应用很广，务必掌握）。
(1) -< 81 ； ( 2) - 16 ； (3) 9__• (4)(-4)2 .(5) ■ 1.44 , (6) - .36 , (7)(-25)2⑴ 343； ⑵畔； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a> 0时，a的平方根是土..a，即a是非负数.___ ____ __ X例4、若.2—X 一_x 一2 —y =6,求y的立方根.练习：已知y二吋1 —2x •、、2x-1 • 2,求x y的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值我们知道，当a>0时，a的平方根是土, a，而(• a) •(-•一a) = 0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根练习：若2a 3和a -12是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例6、解方程(1) (x+1) 2=36 ( 2) 27(X+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道、a -0,即a=0时其值最小，换句话说、• a的最小值是零例4、已知：y= • a - 2 • .、3(b • 1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时，求b a的非算术平方根练习①已知Jx _3 + y _3 +(z +2)2 =0，求xyz的值。
平方根和立方根讲义
专题1: 平方根和立方根【基础知识梳理】 一、算术平方根1、算术平方根定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a ，x 就是a 的算术平方根。
例1：下列说法中正确的是（ ）A.25是5的算术平方根B.5是25的算术平方根C.5是25的算术平方根D.25是5的算术平方根 例2：81的算术平方根是 。
例3：若a+2有算术平方根，则a= 。
例4：若一个圆的面积为236cm π，则这个圆的直径为 cm 。
小结：（1）只有非负数才有算术平方根（2）一个非负数的算术平方根只有一个且仍旧为非负数。
2、你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
例如7525和=，25是完全平方数，7不是完全平方数。
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525== 二、平方根1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即a x ±=。
例如：9的平方根是±3，±3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算． 例5：求下列各数的平方根。
（1） 100 （2）169 （3） 0.25 （4）412 （5）49.0例6：求下列各式中的x 的值。
81)2(16)4(845.021)3(0100)2(225)1(2222=+==-=x x x x2、平方根的性质：讨论：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；符号：非负数a 的算术平方根可用a 表示；负的平方根可用-a 表示；平方根则表示为a ±，这里的0≥a例7下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． （1）－64 （2）0 （3）(－4)2（4）10－2例8：（1）下列运算正确的是（ ） （2） ：下列计算正确的是（ ）18324.148686.12144.3)3(.222±=±=+=+=--=-D C B A例9：若13++-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
(完整)平方根和立方根知识点总结及练习,推荐文档
C． 0.7
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1
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D、︱－2︱和 2
知识点二：计算类题型 1、25 的算术平方根是_______；平方根是_____. -27 立方根是_______.
___________，
___________，
___________.
2、 (4)2
； 3 (6)3
； ( 196Βιβλιοθήκη 2 =也就是，在等式 x 2 a (x≥0)中，规定 x a 。
（2） a 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， a 是一个有限数；
当 a 不是一个完全平方数时， a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） a 倍，例如
B、正数
C、非负数
D、非零数
2、要使 2x 6 有意义，x 应满足的条件是
x 1 3、当 x ________ 时，式子 x 2 有意义。 知识点五：有关平方根的解答题 1、一个正数 a 的平方根是 3x―4 与 2―x，则 a 是多少？
2、若 5a＋1 和 a－19 是数 m 的平方根，求 m 的值。
1、（1）（2x-1）2-169=0；
（3） (x 2)3 125
（2） 4x 2 121
知识点四：关于有意义的题
a 本身为非负数，有非负性，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a≥0。 要使 1 有意义，必须满足 a 0.
a
1、若 a 的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是（ ）
A、一切数
3、已知 x、y 都是实数，且 y x 3 3 x 4 ，求 y x 的平方根。
《平方根》实数
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目录
• 平方根的定义 • 平方根的性质 • 平方根的运算 • 平方根的应用 • 平方根的扩展知识
01
平方根的定义
定义及公式
定义
如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。
公式
设a是一个正数，则称sqrt(a)是a的平方根。
平方根与算术平方根的关系
组元素个数乘以每个元素所占用的空间大小。
02 03
计算数据传输速度
平方根可以用于计算数据传输速度，因为数据传输速度等于数据传输量 除以传输时间，而传输时间相同时，数据传输量与数据传输速度的平方 成正比。
求解算法复杂度
平方根可以用于求解算法复杂度，因为算法复杂度等于问题规模乘以每 个问题的处理时间，而问题规模相同时，每个问题的处理时间与算法复 杂度的平方成正比。
平方根的乘法运算
总结词
平方根乘法运算是指两个平方根相乘。
详细描述
设a, b为两个非负实数，且a≥0, b≥0，那么 平方根乘法运算可以表示为√a×√b，例如 ，√4×√9=2×3=6。
04
平方根的应用
在数学中的应用
求解方程
平方根常用于求解一元二次方程 ，因为负数没有平方根，所以平 方根可以用来判断一个数是否为
对于任何一个实数，都只有一个正平方根和一个负平方根。
平方根的零点性
任何正数的平方根都是正数。 任何负数的平方根都是负数。
0的平方根是0。
平方根的有界性
正实数的平方根在实 数范围内是有界的。
0的平方根在实数范 围内是唯一的。
负实数的平方根在实 数范围内也是有界的 。
03
平方根的运算
平方根的加法运算
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平方根知识点总结
【学习目标】
1・了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2・了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根.
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即X2 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定
o的算术平方根还是0）: a的算术平方根记作・.a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数・
要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即・a >o, a >o. 2.平方根的定义
如果X2 =a，那么X叫做a的平方根•求一个数a的平方根的运算，叫做开平方•平方与开平方互为逆运算・a（ a〉o）的平方根的符号表达为_,a（八0），其中日是a的算术平方根・
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
i.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和・、a
2 •联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2 ）被开方数都是非负数；
（3） 0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方
根；负数没有平方根.
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根・因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根・要点三、平方根的性质
a （a 0）
\ a2 =| a | = 0 （a = 0）
-a （a :: 0）
.a = a a - 0
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
向左移动1 位•例如：.62500 =250 , 、625 =25 , 625 =2.5 , 0.0625 =0.25.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
CI、若2m — 4与3m — 1是同一个正数的两个平方根，求m的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m — 4二一（3m —
1）,解方程即可求解.
【答案与解析】
解：依题意得2 m - 4= -（ 3 m - 1）,
解得m二1；
• • • m的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
举一反三：
【变式】已知2 a - 1与一a+ 2是m的平方根，求m的值.
【答案】2 a- 1与一a + 2是m的平方根，所以2 a- i与一a + 2相等或互为相反数
22
解：①当2a - 1 = - a + 2 时，a 二1，所以m =(2a — 1) =(2 汇1 — 1) =1
②当2a 一i+(— a+ 2)= 0 时，a=— 1,
2 2 2
所以rn = (2a—1) =[2 x(—1)—1 ]2 =(—3) =9
x为何值时，下列各式有意义？
■ X2；（2）X—4 ；（3） X 1
【答案与解析】解：（1）因为X2- 0 ,所以当X取任何值时'・x2都有意义.
（2）由题意可知：x-4_0，所以x_4时，・,八4有意义.
I： x 1 _ 0
（3）由题意可知：解得：_ X_1 .所以_X_ 1时・・X • 1 ■ 1・X有意
11 -XHO - -
义.
x-n A o
（4）由题意可知：，解得/・1且X 3 .
x 3 = 0
所以当X且x = 3时，止」有意义.
x-3
【总结升华】（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当
被开方数是非负数时，式子才有意义. （2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.
举一反三：
1 1
【变式】已知b=4.・ 3a_2 2 2・3a2,求的算术平方根.
a b
【答案】
r3a-2 启0, 2 113 1
解：根据题意，得则Q —，所以b二2,.・.一-=2 ,
2-3A0. 3 ab22
丄説的算术平方根为
a b
类型二、平方根的运算
C A3、求下列各式的值.
(1)J252 -242 T 32 +42 :(2)20—Jo.36 -T 900 .
4 3 5
【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义・(2)注意运算顺序
【答案与解析】
解:⑴、252 -242 LI ?3A7 m, : ; 49 L 25 =7 5 = 35 :
(2)」201 J0.36・1J900 = J81 — 1 乂0.6—丄沢30 = 9 0.2-6 = —1.7 . V43 5 V4 3
5 2 -
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先
后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根
据a2 - a(a - 0)来解.
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的X.
22
(1)X2 -361 =0; (2)X 1V-289；
2
(3)9(3x+2 ) —64 = 0
【答案与解析】
解：(1 )T X2 -361 =0
.x=361
•••X 二..361 = 19
(2)v (x+1 f =289
• x 1 =：Y289
X + 1 = ± 17
X= 16 或 X 二一 18. (3)v 9 3x2
2
-64=0 c c 2
64
・(3x+2)盲
8
•••3x 2 =
3
2十
14
•••X 或 X —
9
9
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，
(3)小题中运用了整体思想分散了难度 举一反三:
【变式】求下列等式中的X : ⑴若 x
2
=1.21 > 贝 U x 二
⑶若X 2 =竽X =
【答案】(1) 士 1.1 ; (2)± 13; ( 3) 类型四・平方根的综合应用
5 ♦已知是实数，且• . 2a
6 |b- > ,2|=： 0,解矢于x 的方程(a 2)x b 2
【答案与解析】 解：• • • a ・ b 是实数 ‘ .2a 6 |b — . 2 |=0, ,2a 6 _0 Jb- — 2|_0 ,
.2a 6 = 0, b — : : 2 = 0 ・
把 a = - 3, b 「、2 代入(a 2)x b
2
zi a -1 ，得一x + 2 二一 4, . x 二 6.
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 a 、b 的值，再
解方程•此类题主要是考查完全平方式、 算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分
别等于零即可. 举一反三：
【变式】若\ x
2
-V . y 八0 ,求x2E ・y
2012
的值.
开平方法是解一元二次方程的最基本方法
(2) X 2=169> jziyx =
卄
2 2
⑷彳；x = -2，则x 二
± 2.
.(2)
【答案】
解：由X2—1 - ,.,A1 =0,得X2—1 = 0, y A0，即卩x = , y 二1 ・
①当x 二1, y 二-1 时，x2011•y2012二严1 (-1 严=2 ・
②当x=- 1, y =・i时，
2011 2012 ° 2011 / A 2012
x y =(-1) (-1) =0・
6、小丽想用一块面积为4oocm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3oocm2
的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求
的长方形纸片・
【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X（ x >o）cm，则宽为2X cm，依题意得
3x ・ 2x = 300.
2
6x=300.
2
x 50・
x>o,
x = , 50 .
・••长方形纸片的长为3. 50 cm .
•/ 50 > 49,
•507.
・3、、丽21，即长方形纸片的长大于20cm.
由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为20cm ,
・长方形的纸片长大于正方形纸片的边长・
答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，的正方形纸片裁出长方
形纸片
再判断能否用边长为20cm。