2013年考研数三真题及答案解析(完整版)

2013 年考研数三真题及

答案解析

—8 小题．每小题4 分，共32 分．、一、选择题1

x0 o(x) x １．当高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（时，用表示比）

2233)(xx o（A）)o( x) o(x) o( x )o(x （B）22222)o(x) o( xo( x)) o( x )o( x o( x )D）（C）（

A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例【详解】

由高阶无穷小的定义可知（

2323 x 0 f (x)o(x ) xxx

o( x) f (x)g(x)o( x), g( x)，但如当而不是时

2o( x ) D故应该选（）．

x x1f ( x)2．函数）的可去间断点的个数为（

x( x1) ln x

（A）0（（D）3 B）1（C）2

x e1 ~ x ln x x x ln x0 1，【详解】当时，xln x

x x1x ln x x0 f ( x)1 limlimf ( x)lim的可去间断点．，所以是函数x 0x 0x ln x x( x 1) ln x x 0x1x ln xx1 x1 f

( x)limlimlimf ( x)，所以的可去间断点．是函数x 0x

1 2 x ln x x( x 1) ln x2x 1x x1xln x

x1 f (x)limlimlimf ( x)的，所以所以不是函数1 x(x 1) ln x(x 1) ln x x x11x

可去间断点．

故应该选（C）．

22kIx)dxdy ( y D D 1 y

( x, y) | x记的第是圆域象限的部分，３．设，则kk

D k（）

I II000 D B ）A（C4123 I0）（（（））【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知

1k k2212I dr(sincos )r( yx)dxdyd(sinsin ) d k k 1( k1)032 D 2k k12cossin|k 132

II 0,I, I 22所以，应该选（B）．1432

a４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）n

n 1a）若（A a ( 1) a 收敛；，则n nn 1n 1

n 1 a aa ( 1)；收敛，则）若B（n 1nn

n 1

p aP 1 lim n a存在；，使收敛．则存在常数）若C（nn n n 1

p alim nP 1a 收敛．（D）若存在常数存在，则，使nn n n 1D）正确，故应选（Ｄ）．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（

此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一

lim a0 条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，n

选项（B）也不正确，反例自己去构造．

n ５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则

（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．

A 的列向量组等价．）矩阵 C 的列向量组与矩阵（B

的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．（C）矩阵 C

B 的列向量组等价．（D）矩阵

C 的列向量组与矩阵,, , , ,, , CA，由于ＡＢ＝Ｃ，，C 列分块如下：【详解】把矩阵A1 2n21 n

则可知 b bb (i, n) 1,2,，得到矩阵C的列向

量组可用矩阵 A 的i 2 2ii1 1in n

1 A CB 列向量组线性表示．同时由于，同理可知矩阵B 可逆，即A 的列向量组可用矩阵

C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（）．B

1a1200

a0b0ba6．矩阵相似的充分必要条件是与矩阵

1a1000

a0,b2）（（），为任意常数

a0b BA

a 2

b a 2,b0为任意常数，（D）C）（

2001a1200

a 00bab00b与矩阵【详解】注意矩阵A= 相是对角矩阵，所以矩阵

001a01000

似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．

1a1

22 )2b 2a (

(b 2)bE Aaa

1a1

2a0 b 2b 2a 2b 从而可知为任意常数，故选择（，即，B）．

22) ~ N(5,3,X,XXX), X~ N (0,1), X ~ N(0,2，是随机变量，且7 ．设131232PP 2 X 2 ，则ii PPPPPP）（B（A）213312PPPPPP）（D （C）132312X2 )，则~ N(0,1)X ~ N(,【详解】若

X 2 P2 (2) 1X P2 (1) 11P22P，，1221

X 52 557723P2XPP21)( 1)33

33333

，71PP3 (1) 03(1)2．233故选择（A）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为

3P20X1

1/81/8P1/41/2

10-1Y

1/31/31/3P PXY2则（）

111

1 A（）（CB （）））D（21286

【详解】11111PX2,Y0PXPXY2PX1,Y3,Y1 2424612

，故选择（C）．

6 小题，每小题4分，满分24分 .把二、填空题（本题共

答案填在题中横线上）

x yyf (x) 1,0lim nfn在点和9．设曲线．处有切线，则n2n

f 110, f ' (1)．所以【详解】由条件可知

21f f (1)

nn22 f '(1)lim2lim nf2n 2n2nn

n22n

z x |y

xy z x, y zz确定，则10．设函数是由方程．(1,2 )

【详解】

zyxy F x, y, z x设)(，则

xx 1y, F (x,ny, z) x(z y)

(F x, y, z( z y) l z y)，zx z |2 ln 2 20 z．2 x 1, y(1, 2 )，所以时，当

ln x d x．11．2x)(11

【详解】

ln x || ln 2 dxx1ln x1ln xddxln112111 11(1 x)1 xxx(1 x)x

1 y y0 y的通解为．12．微分方程

411r0，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为，所以方程通21

,C x) e C y (C C ，其中解为为任意

常数．2211

a A aA A为元素为其行列式，．设13的代数余子式，且满足是三阶非零矩阵，ij ijij

Aa A 1,2,3) 0(i , j=，则．ijij

Aa T A *A*

0 A1,2,3) 0(i, j的伴随矩阵，从为，其中A可知【详解】由条件ij ij

而可知

A* AA A 1 A0．，所以或可能为

T 3 1*

nn,r (A)

*T ) r ( AA *

r ( A)r ( A*) A0n11, r ( A)但由结论伴随矩阵的秩只,可知，可知

1n0, r ( A)

A1.3，所以能为

2X E Xe X ~ N ( 0,1) ，则服从标准正分布X 14．设随机变量．

【详解】

2 X E Xe

dxe 2)e xe( x

222(x 2)x(x 2) 222x22

2dxdxex1e2222

e E( X ) 2eete e dt dt 22e．22t t 222222

22e．所以为

三、解答题

15．（本题满分10 分）

n cosx cos2x cos3x a, n x01ax是等价无穷小，求

常数与．当时，

x0 【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．122x 0)时，【】，详解当c x o 1 s xo( x

212222 (2x)

o(x )2 x )o(x 11cos2 x，

212229 (3x)x o( x ) )o( x 1cos3x1，2

以所

22222222 ) ))7xo( xx ))(1o( xo( x2x

o(x ))(1x911cosx cos2xcos3x1 (1

，

n cosx cos2 x cos3x 1aax7, n 2是等价无

穷小，所以与由于．

分）．（本题满分1610

3x x a (aV ,V x x y0) 绕分别是D，直线轴所转成的平面图形，设 D 是由曲线及yx

10VV y a 轴旋转一周所形成的立体的体积，若轴和的值．，求yx

【详解】由微元法可知

523a a23 dx dxVxy a；3 x

005

746aa3 dxx xf ( x) dx 22V a； 3

y007

10V V a7 7，知由条件．yx

分）10 17．（本题满分

2 dxdy x y 8 x3x, x

3 y, y．所围成，求设平面区域 D 是由曲线

416 dx dx dyx D【详解】22222

dxdyx dxdydyx x dxdyx．xx

83 x2x6023 D D33D2118．（本题满分10 分）Q,（P P6020 元/ 件，价格函数为元，可变成本为6000 设生产某产品的固定成本为

1000

是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．

（2）当P=50 时的边际利润，并解释其经济意义．

（3）使得利润最大的定价P．

【详解】

Q2）设利润为1（6000 y y PQ (6000 20Q ) 40Q，，则1000

Q .y'40边际利润为

500

（2）当P=50 时，Q=10000，边际利润为20．

经济意义为：当P=50 时，销量每增加一个，利润增加．20 20000Qy'040.20000 , P，得（3）令60

10000

19．（本题满分10 分）

lim2 f (x)0 0 ) [0, f xf，证明，且上可导，在设函数

x a0 f a1;，使得（1）存在

1f ' (a(0, a) )，使得）中的）对（（2 1 ．，存在

【详解】lim()2X0，3X x时，有，当）由于证明（1，所以存在f x5 f (x)x22

0 a0 f a 1; f 0) f [0,x，由介值定理，存在，使得上连续，且又由于在

x [0,a] f上可导，由拉格朗日中值定理，在（2）函数

f (a)f (0)1 f ' ()(0, a) ，使得．存在aa

20．（本题满分11 分）

1a01AC CAB , B a, b ，并求出C，使得为何值时，存在矩阵，问当A设

11b0

所有矩阵C．

【详解】

xx21ACB CA存在，则必须是可知，如果C显然由，C阶的方阵．设2

xx43xaxaxxax0 142231B ACCA变形为则，xaxxxx1 b43213 xax032

axxax1412，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方即得到线性方程组xxx1413

axxb32

程组的增广矩阵进行初等行变换如下

0011a00111

0aaa100110 A |b，

01100a11001

00b010a00b

AC CAB 0 a1, b．C ，使得时，线性方程组有解，即

存在矩阵所以，当

11101

00110 A | b此时，，

00000

x1111

x0012所以方程组的通解为

CxC ACCA B 001x的矩阵，也就是满足231 x1004