积化和差和差化积公式口诀
积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
积化和差记忆口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
和差化积■，一"卫+ 0sinit-i- sinp = 2 si n C <JS. t 』f ・抚一0sm a —sin p = 2 cos —-— sin —亍一tan 十0二竺屮……⑸<os orcas p “ sinrffl - SI* cos a 十 cos p 二 2 cos <05 (3)cos IT -cos^ = -2si 口 •⑷j [sin (a + ^)+siii(a-/J)] cos asin 0 二 y [si 0 - ^[cos(a+^) + Gas(a —^)] sin £isin = -^[cos(n+/?J-«a8(a-p)]sin acos^1 = cosnros sin (tr+ siti(a 一0)]八tan a - tan S 二 (6)1下列等式错误的是( )A. sin( A+ B) + sin( A — B) = 2sin AcosBB. sin( A+ B) — sin( A — B) = 2cosAsin BC. cos( A+ B) + cos( A — B) = 2cosAcosBD. cos( A+ B) — cos( A — B) = 2sin AcosB2. sin 15 ° sin75 °=( )11 A.1 B.4 C3. sin105 ° + sin 15。
等于( )A .字 B. ¥ C. 4. sin37.5 ° cos7.5 ° = 5.sin70 ° cos20 ° -sin10 sin50。
的值为（) 3 3 1A. B.4 2 c. 2D6. cos72 ° — cos36。
的值为（ ）A. 3— 2 3B. 1 C . —1 D . 3 + 2 3亠 2C_ 6~27. 在厶ABC中，若 sin Asin B= cos?,则厶 ABC是（）A等边三角形B .等腰三角形C .不等边三角形D .直角三角形n8. 函数y= sin x —百cosx的最大值为（1A.2 B1a —B ) = 3,贝U cos2a — sin 3 4B 等于(33解析：选C.sin105 °+ sin15 ° = 2sin 105 +15 cos"5 — 152sin60 ° cos45 °2+ 2 . = 2(sin45 °+ sin30 ° )D.9.若COS(a + B)COS(n n10.函数 y = sin x+3 — sin x(x € [0 ,㊁])的值域是( A. [ — 2,2] B. — 1,子 C. 2，1 D.答案1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确.sin72 ° cos72° sin144 sin36 ° =— 2sin361 17 解析：选 B.由已知等式得 2【cos( A — B ) — cos( A + B )] = 2(1 + cos C ),又 A + B =n — c 所以 cos( A- B ) — cos( n — C ) = 1 + cosC ，A.C. D.—1(cos90 ° — cos60° ) 2' 2答案：斗-1 '4 解析：sin37.5 ° cos7.5 2【sin(37.5 + 7.5 ° ) + sin(37.5 ° - 7.5 ° )]5解析：选A.sin70 ° cos20 ° — sin10sin50 =2(sin90 + sin50 ° ) + 2(c°s60 ° — cos40 ° ) 11 113 二尹丹50 °十4—产s4° °= <6解析：选C.原式=—2sin72° + 36 2 sin 72°— 362 —2sin54 -sin18 ° =— 2cos36 ° cos72sin36 ° cos36 ° cos72sin36 ° 1，故选C.所以cos( A- B ) = 1，又一n <A — B <n,所以A — B= 0,所以A= B ,故厶ABC 为等腰三角形. 选B.8解析: 选 B.y = sin n 1 x —百 cos x = 2 sin n n + x + sin x — — x 6 6 =2 sin n 2x — 2X 6 1 1 2 = 2sin n 2x —石 1 4. 1 1 1 …ymax =2 ―4= 4. 9解析: 选 C.cos( 1 2(COS 2 1 [(2cos2• 2小 cos a — sin B ，13. —1) + (1 — 2sin 2 B )] . 2 . 2 --cos a — sin B 10 解析：选 B.y = sin n n n x + 百 —sin x = 2cos x + 6 sin 百=cos( x +n：X € 0,， n n 2 n1 -.3 2，~212解析：选B.sin15°sin75 ° =—^[cos(15 °+ 75° )—cos(15 ° —75° )]。
和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是一组非常重要且实用的公式。
它们在解决各种与三角函数相关的问题时，发挥着至关重要的作用。
首先，咱们来聊聊和差化积公式。
和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些公式的作用在于将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
这在处理一些复杂的三角函数表达式时，能够大大简化计算过程。
比如说，当我们遇到形如 sin5x ＋ sin3x 的式子，如果直接计算可能会比较困难。
但通过和差化积公式，将其转化为 2sin4xcosx，计算就会变得相对简单许多。
接下来，再看看积化和差公式。
它们是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式则是把两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式。
比如说，计算∫sin2xcos3xdx 这样的积分问题，如果先使用积化和差公式将sin2xcos3x 转化为和差形式，再进行积分运算，就会轻松不少。
最后，咱们来认识一下万能公式。
万能公式包括：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的厉害之处在于，它可以将任何一个三角函数用tan(α/2)来表示。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
三角函数(和差化积、积化和差)公式
记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦生动的口诀：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设 α+β=θ，α-β=φ那么2φθα+= ，2φθβ-= 把α，β的值代入，即得Sin θ+ sin φ=2sin ⋅+2φθcos 2φθ- 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ∙-∙-=∙ ()()[]2sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β故最后需要除以2。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式是高中数学中常见的公式，以下是它们的定义和应用方法。
1. 积化和差公式
积化和差公式指的是将两个数的积表示为它们的和或差的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a *
b = (a + b) * (a - b) / 2 + (a + b) * (b - a) / 2
这个公式的意义是把两个数的积拆分成两个平方差的和，即(a + b) * (a - b)和(b + a) * (b - a)。
因为(a + b)和(b + a)是相等的，所以它们的积也是相等的，即2 * (a + b) * (a - b)。
把这个式子展开后，就可以得到积化和差的公式。
2. 和差化积公式
和差化积公式指的是将两个数的和或差表示为它们的积的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a +
b = (a^2 - b^2) / (a - b) + (a^2 - b^2) / (a + b)
a -
b = (a^2 - b^2) / (a + b) - (a^2 - b^2) / (a - b)
这个公式的意义是将两个数的和或差分别表示为它们的平方差的比值。
具体地，设两个数为a和b，则它们的平方差为(a^2 - b^2)。
将这个式子乘以一个适当的比值，即可将和或差表示为两个数的积的形式。
以上就是积化和差公式和和差化积公式的定义和应用方法。
这些公式在解决数学问题时非常有用，能够帮助我们快速计算出两个数的积、和或差。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2
cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-⋅+=+
2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2sin 2sin 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法) (1)
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
设α+β=θ，α-β=φ
那么 ，
把α，β的值代入，即得
sinθ+sinφ=2sin cos
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
= =右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】
证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，
积化和差,和差化积
积化和差,和差化积
积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]，
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]，cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]，和差化积公式：sinθ+sinφ=2sincos，
sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos，cosθ-cosφ=-2sinsin。
1.积化和差公式口诀：正弦·余弦（＝）正加正，余弦·正弦（＝）正减正，余弦·余弦（＝）余加余，系数二分之一要牢记，角角关系变和差，公式符号记忆法一减余弦想正弦，一加余弦想余弦，异名减，同名加，幂高一次角减半。
和差化积公式口诀：正弦＋正弦，正弦在前，正弦－正弦，正弦在后，余弦＋余弦，余弦并肩，余弦－余弦，余弦靠边。
2.在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的，已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。
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积化和差和差化积公式口诀
积化和差和差化积公式是数学中的两个重要公式，它们可以在求解各种数学问题中发挥重要作用。
为了更好地掌握这两个公式，我们需要深入了解它们的原理和应用。
本文将从以下几个方面进行讲解。
一、积化和差公式
积化和差公式是指将两个数的积转化为它们的和与差的形式。
具体来说，假设有两个数a和b，那么它们的积可以表示为：
a×b = (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
这个公式的证明非常简单，我们可以通过展开右侧的式子来得到左侧的积：
(a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
= a^2 - b^2 + b^2 - a^2
= a×b
积化和差公式的应用非常广泛，它可以用来简化各种复杂的数学运算。
例如，我们可以通过这个公式来求解下列问题：
1. 求解a^2+b^2的值
根据积化和差公式，我们有：
a^2+b^2 = (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
= (a+b)×(a-b) + (b-a)×(b+a)
= (a+b)×(a-b) - (a+b)×(b-a)
= (a+b)×(a-b-b+a)
= (a+b)×(-2b)
2. 求解(a+b)^2的值
根据积化和差公式，我们有：
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
= a^2+b^2+2ab
= (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2 + 2ab
= (a+b)×(a+b) - (a-b)×(a-b)
二、和差化积公式
和差化积公式是指将两个数的和或差转化为它们的积的形式。
具体来说，假设有两个数a和b，那么它们的和或差可以表示为：
a+b = (a+b)^2 - (a-b)^2 / 4
a-b = (a-b)^2 - (a+b)^2 / 4
这个公式的证明较为复杂，我们可以通过分别展开右侧的式子来得到左侧的和或差。
例如，对于a+b，我们有：
(a+b)^2 - (a-b)^2 / 4
= (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) / 4
= 2ab
和差化积公式的应用也非常广泛，它可以用来简化各种复杂的数学运算。
例如，我们可以通过这个公式来求解下列问题：
1. 求解sin(a+b)的值
根据和差化积公式，我们有：
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
= (sinacosb + cosasinb)^2 - (cosacosb - sinasinb)^2 / 4
= 2sinacosbcosasinb
= 2sin(a)cos(b) + 2sin(b)cos(a)
2. 求解cos(a-b)的值
根据和差化积公式，我们有：
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
= (cosacosb + sinasinb)^2 - (sinacosb - cosasinb)^2 / 4 = 2cosacosb - 2sinasinb
= 2cos(a)cos(b) + 2sin(a)sin(b)
总结：
积化和差和差化积公式是数学中的两个重要公式，它们可以用来简化各种复杂的数学运算。
通过对这两个公式的深入了解和应用，我们可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。