小学奥数因数与倍数
因数倍数-小学奥数
因数倍数一、要点提示整数a除以整数b（b≠0），所除得的商正好是整数，而没有余数，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a，而a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小的公倍数。
公因数和公倍数，特别是最大公因数和最小公倍数，不同于一般题目的解法，学习并掌握其规律和解法，有助于我们开阔眼界，在思考问题是更机智、灵活。
需要用公因数、公倍数来解答的应用题叫做公因数。
公倍数问题。
解题思路和方法：先确定题目中要用最大公因数或者最小公倍数，再求出答案。
最大公因数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
二、题型点击1、一个四位数的每个数位上的数字都不相同，它既能被9整除又能被7整除，这样的四位数最大是多少？2、在1的内一次填上哪些数，可以使这个数成为能被2,3,5整除的最小四位数？3、有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？4、在568后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3,4,5整除，且使这个数值尽可能小。
求这个六位数？5、现在有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的最大公因数尽可能大，那么这四个数的最大公因数最大可能是多少？6、在1,2,3，…，1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有（）个。
7、一个六位数，首位数是1，把首位数移到末位，使新的六位数是原数的3倍，则原数是（）。
8、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数是11的倍数，这样的六位数中的最小数是（）。
9、把1,2,3，…，10个自然数围成一个圆（如图），使得任意相邻的两个数的和都是小于15的素数。
这个10个数依次是1,2，__，__，__，__，__，__，__，10。
10、倩倩到商店买了6块橡皮，5支铅笔，3本练习本和7支圆珠笔，已知每支铅笔1角8分，每支圆珠笔4角5分，倩倩给售货员10元，售货员找给倩倩5.1元。
小学奥数数论专题--因数与倍数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--因数与倍数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24，1170【解析】360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a ，b ，c 均是整数，且a 为0～3，b 为0～2，c 为0～1) ． 因为a 、b 、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24． 我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880．【题文】一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?【答案】96【解析】设这个数为A ，有A ＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361，400，441，484，529，576，625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．【题文】今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?【答案】14【解析】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．所以，最多可以分成14堆．【题文】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?【答案】10【解析】为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30．所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．【题文】有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?【答案】30【解析】设在x分钟后3人再次相聚，有甲走了120x米，乙走了100x米，丙走了70x米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x－100x，120x－70x，100x－70x均是300的倍数，那么300就是20x，50x，30x的公约数．有(20x，50x，30x)＝300，而(20x，50x，30x)＝x(20，50，30)＝10x，所以x＝30．即在30分钟后，3人又可以相聚．【题文】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米．甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?【答案】6【解析】甲跑完一圈需÷＝小时，乙跑一圈需÷4＝小时，丙跑一圈需÷5＝．则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即它们的公倍数．而＝＝＝6．所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．【题文】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少?【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．【题文】 A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?【答案】2550【解析】由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5．即A＝31+x×52+y，B＝31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以，或．对应A为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；由B有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以．对应B为31+0×52+2＝1875．只有(675，1875)＝75，所以A＝675，B＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．解法二：易知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N次3，则约数有：(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N＝3，这个数是A，即A＝33×52＝675．那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)＝10，M＝4．B ＝3×54＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．【题文】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?【答案】33【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2；第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2．所以，这个两个自然数的差为33．【题文】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?【答案】10【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=60．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1.………②联立①、②有(q1+q2)= (q1q2+1)，即q1+q2-q1q2=1，(q1-1)(1-q2)=0，所以q1＝1或q2＝1．即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a＝kb(k为非零整数)，有，即(k+1)b＝60，b确定，则k确定，则kb即a确定．60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b＝60，则(k+1)＝1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．【题文】3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?【答案】81【解析】当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，当a，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．所以，这三个数的和为26+27+28＝81．评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a×b．记这3个连续的自然数为a，a+1，a+2．有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝(a+1)×[a,a+2] ．因为a，a+2同奇同偶，当a，a+2均是偶数时，a，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为；当a，a+2均是奇数时，a，a+2互质，则它们的最小公倍数为a×(a+2) ．所以(a+1)×[a,a+2]＝．即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或．当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．【题文】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【答案】18【解析】对90分解质因数：90＝2×3×3×5．因为5126，所以5甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5．因为2105，所以2乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2．因为9105，所以9乙，即乙最多含有一个因数3．第一种情况：当乙只含一个因数3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18；第二种情况：当乙不含因数3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18．综上所需，甲为18．评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a＝2×33×52×7，b＝23×32×5×7×11，则A、B的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．【题文】 a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?【答案】105【解析】由(a，b)＝75＝3×52，[a，b]＝450＝32×2×52＝75×3×2，又a>b，所以或．[b，c]＝1050＝2×3×52×7．当时有，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75，c)×[75，c]＝75×c＝15×1050，得c＝210，但是c＞b，不满足；当时有，则c＝105，c＜b，满足，即为满足条件的唯一解．那么c是105．【题文】有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?【答案】101【解析】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D＝1111．将1111分解质因数：1111＝11×101，显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101，记此时A＝101a，B ＝101b，C＝101c，D＝101d，有a+b+c+d＝11，当a+b+c+d＝1+2+3+5时满足，即这4个数的公约数可以取到101．综上所述，这4个不同的自然数，它们的最大公约数最大能是101．【题文】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【答案】63【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 (张)．【题文】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【答案】165【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．，，共需 (块).【题文】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【答案】苹果8 个，桔子6个，梨5个．【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．【题文】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【答案】9【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【题文】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【答案】8,6,5【解析】因为，，，，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.【题文】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【答案】101【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【题文】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【答案】9【解析】，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【题文】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．【答案】108【解析】，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B 的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．【题文】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【答案】40或20【解析】设这两个自然数为：，其中与互质，，，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【题文】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【答案】98【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。
因数与倍数,奥数
因数和倍数因数一整数被另一整数整除，后两者即是前者的因数。
例：6÷2＝3 2和3就是6的因数。
倍数①一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
②一个数除以另一数所得的商。
如a÷b＝c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。
一个因数能让它的积整除，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。
③一个数的倍数(0除外)有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集.因数和倍数的关系当除数可以整除被除数（意即被除数=除数×商），则除数叫做被除数的因数，被除数叫做除数的倍数。
成倍数关系的是：36和9 36和4 9、4分别是36的因数，36是9和4的倍数（而且是最小公倍数）因数和倍数是相对的倍数一般比自己大，因数一般比自己小比如12÷4=3 12是4的倍数，12也是3的倍数4是12的因数，3也是12的因数不能说12是倍数，3是因数练习找因数：1、18的因数有哪几个？用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）（重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。
3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如18的因数小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
小学奥数因数与倍数复习课程
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
六年级奥数试题-因数与倍数(学生版)
第十八讲因数与倍数因数与倍数1.公因数与最大公因数2.公倍数与最小公倍数3.互质的概念4.辗转相除法求最大公因数5.最大公因数与最小公倍数性质1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。
2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。
例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？例6：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？例7：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
例8：求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？例9：两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例10：求21672和11352的最小公倍数。
A1.两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
2.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
3.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
4.已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
5.已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
五年级奥数因数与倍数(B级)
五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。
倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。
我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。
你应该拜我。
”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。
离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。
因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。
最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。
求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。
分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。
最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。
没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。
因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。
性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。
求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。
例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。
这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。
求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。
小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义
因数和倍数奥数辅导讲义教学内容因数和倍数1．知识回顾（1）因数和倍数的概念2x6=122和6是12的因数。
12是2的倍数，也是6的倍数。
3x4=123和4也是12的因数。
12是3和4的倍数。
整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。
（2）奇数和偶数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
2．规律、性质。
（1）因数和倍数：列举法；根据问题的要求，寻找因数的个数。
（2）奇数和偶数常用的性质：1.奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的；2.偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的和是偶数；3.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数；4.奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数3. 典型例题一、因数和倍数例1.一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？拓展一：甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。
拓展二：把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。
拓展三：和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。
每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。
请问：和子买了几条竹荚鱼？例2.一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同拿法？拓展一:小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买,每本便宜2元，恰好多买4本,问:零售价每本多少元?例3．三个连续奇数的和是15元，它们的积是多少?拓展一：五个连续奇数的和是35元，这5个奇数中最大的一个是多少?拓展二：有三个不同自然数组成的一个等式：□+ △+ ○= □×△—○这三个数中最多有多少个奇数？二、奇数和偶数例题4：1+2+3+4+……+2011+2012的和是奇数还是偶数？拓展一：1+2+3+4+5+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？拓展二：101+102+103+……+2007+2008的和是奇数还是偶数？例5.有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。
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小学奥数因数与倍数Revised on November 25, 2020
第一讲：因数与倍数
知识点拨
1、因数和倍数：
如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些
方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）
方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）
所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没
有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身
倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数
4、2、
5、3的倍数的特征：
①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和是偶数
性质4：奇数个奇数的和是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
例题精讲
一、倍数与因数的认识
【例1】请问：图中有哪些数
（1）根据图中数据：
①买5千克梨需要多少钱
可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
4是20的因数；5是20的因数。
你通过自己的理解，给老师说说什么是倍数，什么是因数
注意，这
②买3千克苹果需要多少钱你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗
③买2千克葡萄需要多少钱
【例2】根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：
18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48
【例3】口算下面个题：
15÷3＝ 7÷1＝ 10÷4＝ 36÷＝ 6÷6＝
问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系为什么
【例5】变式训练：10÷4＝ 36÷＝60
你认为哪些算式具有倍数和因数的关系为什么
【例4】找出下列能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10
【例5】找出18的因数和倍数。
（用乘法和除法两种方法找）
【例6】五一班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人，可以分成几个小组呢
【巩固】用36个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法【例7】12是6的倍数，24是6的倍数，12和24的和是6的倍数吗差、积呢【巩固】21是7的倍数，49也是7的倍数，49和21的差是7的倍数吗
【巩固】63是9的倍数，18也是9的倍数，63与18的和是9的倍数吗
总结：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
巩固练习：
（1）写出100以内8的倍数。
（2）写出48的因数。
（3）计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数
24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25=
25×3＝ 14×6＝ 20×9＝
（4）下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些
16和2 140和20 45和15
33和6 4和24 和8
二、2和5的倍数的特征
【例8】我们已经掌握了因数、倍数的意义，下面这几个数，谁是2的倍数谁是5的倍数
8267 694872 3410
18634 56205 5558
【例9】观察5的倍数有什么特征在右表中找出5的倍数，并做上记号：
你能总结出5的倍数的特征吗
【例10】（1）写出20以内（包括20）2的倍数
（2）你发现了什么
（3）结论：
注意：检验一下是不是个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
【例11】判断：下面哪些数是2的倍数哪些是5的倍数
60、75、106、130、521、 89、 98
①、哪些数既是2的倍数又是 5的倍数呢说说是怎样判断的
②、既是2的倍数又是 5的倍数的数有什么特征。
【例12】写出30后面的3个连续偶数；写出33前面的3个连续奇数。
【例13】5个连续奇数的和是135，这5个连续奇数分别是多少
【例14】5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数分别是多少
【例15】计算下面算式，你有什么发现
26+12 73+21 25+22 11×13 12×10 26-12 73-21 25-22 11×12
总结：两个偶数相加减， ；两个奇数相加减， ；奇数与偶数的和（差）是 ；两个奇数相乘， ；两个偶数相乘， ；奇数和偶数相乘， ；。
【例16】①能被2整除的最小的三位数是（ ）最大的三位数是（ ）。
②能被5整除的最小两位数是（ ）最大的两位数是（ ）。
【例17】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下
【巩固】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否
经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下
【例18】不计算，判断48×625×32×435的积末尾有几个连续的0
【巩固】不计算，判断72×56×125×15末尾有几个连续的0
三、3的倍数的特征【例19】三个数字卡片 。
（1）由123，是3的倍数吗（ ）；
（2）由 （2） 这些数都是3的倍数吗
【例20
（1）由
235，是3的倍数吗（）。
（2）由
（3）这些数都是3的倍数吗
（4）这6个数都不是3的倍数，说明什么
【例21】从0~9中任取2个或3个数字，组成两位数或三位数，试一试这些数是不是3的倍数。
讨论：把是3的倍数的数挑出来，看看它们有哪些特征
巩固练习：
（1）下面那些数是3的倍数
18、35、315、291、192、1200、6030、8400、7065、1234、70002、57、1336、215803。
（2）在3的倍数。
(3)从0、3、5、6中选出两个数字组成一个两位数，满足下面的条件：
a：是3的倍数； b：同时是2和3的倍数；
c：同时是3和5的倍数； d：同时是2、3和5的倍数。
四、常见数字的整除判定方法：
（1）2：个位是偶数的自然数
（2）5：个位是0或5的自然数
注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0
（3）4、25：末两位能被4、25整除
（4）8、125：末三位能被8、125整除
（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除
（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整
除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13
整除
②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段
之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、
11、13的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小
的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、
11、13的倍数
（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除
（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除
【例22】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.
【例23】既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是 .
【例24】一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个【例25】在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.
【例26】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．。