离散数学第七章群与环
离散数学第七章群与环
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
群与环的基本概念与性质
群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。
一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。
2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。
3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。
4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。
元素b称为元素a的逆元。
群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。
2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。
类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。
3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。
4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。
二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。
2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。
3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。
4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。
元素-b称为元素a的加法逆元。
5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。
离散数学 群
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学第七章__环
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
ibn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
规定：
n n a aa a
a0 和
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
(a)b a(b) ab
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
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子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
离散数学第七讲群、环、域
7
一、群的定义和性质
定理4：群〈G ,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中 证： iii)最后, 因为〈G, *〉中含有么元, 所以没有两行
综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的
一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合 于列。证毕。 定理5：群中没有零元。
(3)对任意 a、b∈S, ∵ b-1 ∈S , ∴ a *(b-1 )-1 ∈S, ∵ a *(b-1 )-1 = a *b , ∴ a *b∈S 。
得证。
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四、群同态
定义8:设〈G , *〉和〈H , *′〉是两个群, 映射h:G →H
称为从〈G , *〉到〈H, *′〉的群同态, 如果对任
④ 代数〈Nk, +k, -1, 0〉是群, 这里x-1 =k-x 代数〈Nk, ×k 不是群, 因为0元素没有逆元
3
一、群的定义和性质
群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性 质在群中也成立, 群的性质还有：
定理1: 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b
任意群〈G ,*〉均有两个平凡子群：〈{e},*〉和〈G ,*〉。
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三、子群
定理12：设〈G , *〉是个群, S⊆G, 如果(1)若a、b∈S, 则a * b∈S, (2)若a∈S, 则a-1 ∈S。那么〈S , *〉 是〈G, *〉
证： 对任意元素a∈S, 由(2)得a-1 ∈S, 再由(1)得a * a-1 =e∈S。 所以, 〈S , *〉是〈G , *〉的子群。
推论： (a1
群与环知识点总结
群与环知识点总结一、群的定义与性质1. 群的定义群是一个集合G以及一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四条性质：封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。
结合律：对于任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。
存在单位元：集合G中存在一个元素e，对于任意的a∈G，都有a*e＝e*a＝a。
存在逆元：对于每个a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b＝b*a＝e。
2. 群的性质群的性质有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一单位元：群的单位元是唯一的。
唯一逆元：对于每个元素a∈G，其逆元素是唯一的。
左消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果a*b＝a*c，那么b＝c。
右消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果b*a＝c*a，那么b＝c。
以上是群的基本定义和性质，群还有许多重要的定理和结论，如拉格朗日定理、柯西定理等。
这些定理和结论对于群的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。
二、环的定义与性质1. 环的定义环是一个集合R以及两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下四条性质：R对于+构成一个交换群。
乘法满足结合律：对于任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。
分配律成立：对于任意的a、b、c∈R，有a*(b+c)＝a*b+a*c和(b+c)*a＝b*a+c*a。
2. 环的性质环的性质也有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一加法单位元：环的加法单位元是唯一的。
乘法分配性：环的乘法对加法满足分配律。
交换律：对于环中的任意元素a和b，都有a*b＝b*a。
环还有许多重要的定理和结论，如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。
这些定理和结论对于环的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。
三、群与环的应用群与环在数学的许多领域中有着广泛的应用，如数论、代数学、几何学等。
具体而言，群与环的应用包括：1. 数论中的应用在数论中，群与环的应用非常广泛，如在模运算、同余方程、数论函数等方面，群与环都有重要的应用。
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7.2 群
定义 7.9 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数 称为群G的阶。含有单位元的群称为平凡群。
7.2 群
例7.17 <Z，+>是无穷群，<S，⊙>，其中S={a，b，c}，⊙的运算表如表7.3 可以验证，<S，⊙>是群，a为幺元，b和c互为逆元；又因为|G|=3，故<S， ⊙>是3阶群。 ⊙ a b c a a b c b b c a c c a b
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.3.1 子群的概念
子群就是群的子代数。 定义 7.13 给定群G，H是G的子集，使得 （1）G的单位元eH ， （2）如果a和bH ，那么abH ， （3）如果aH ，那么 H。
则称H为G的一个子群，（1）和（3）说明H是G的子幺半群。如果
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半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.4 循环群与置换群
定义7.15 设<G，>是群，若a∈G，对x∈G，k∈Z，有x= ，则称<G， >是循环群，记作G=<a>，称a是群<G，>的生成元。
例 7.11 给定<Z，+>和<Q，*>，其中Z和Q分别为整数集和有理数集，+和*
分别是一般意义下的加法和乘法。可知<Z，+>是群，0是幺元，每个元素
i∈Z的逆元为-1；<Q，*>不是群，1是幺元，0无逆元。但<Q-{0}，*>是群。
在半群、独异点、群这些概念中，由于只含有一个二元运算，所以在不发 生混淆的情况下，可以将算符省去。例如将x*y写成xy。在下面的讨论中， 我们将常使用这种简略表示方法。
定义7.4 给定半群<S，⊙>及G⊆S，则G为<S，⊙>的生成集：
(∀a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生
成的元素。类似地定义独异点<M，⊙，e>的生成集。
7.1 半群
例7.6： 给定<N，+>，其中N是自然数集合，+为一般意义下的加法，则<N， +>是无穷循环独异点，0是幺元，1是生成元。
是a和b的积。如果⊙是一个可交换的二元运算，则称半群<S，⊙>是一个
可交换半群。
7.1 半群
例 7.1 <Z,+>是一个可交换半群。因为加法满足结合率，同时加法是可交 换的，所以<Z,+>是一个可交换半群。
例 7.2 集合Z以及一般意义下的除法运算就不构成一个半群，因为除法运 算不是可结合的。
e e e a a b b c c
a
b c
a
b c
e
c b
c
e a
b
a e
7.2 群
定义7.8 给定群G，若⊙是可交换的，则称G是可交换群或G是Abel群。
例7.14 具有一般意义下的加法运算的所有整数的集合Z是一个Abel群，如 果a∈Z，那么a的逆是他的负数-a。
例7.15 在一般意义下的乘法运算 不是一个群，因为 中的元素2没有你元素。
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
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半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
G是一个群，H是G的一个子群，那么H也是关于G中运算的一个群， 因为G中的结合性定义7.14 给定群<G，⊙>及非空集合HG，则<H, ⊙>是<G，⊙>的子群 （a）（b）（a，b∈Ha⊙b∈H）（a）（a∈H ∈H）。
本定理表明<H，⊙>是<G，⊙>的子群的充要条件是H对于⊙封闭及H中每 个元素存在逆元。 定理7.6 设G为群，H是G的非空子集。则H是G的子群当且仅当a，b属于H 有a ∈H。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
定义7.6 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，则有<{a，a2，a3，…}，⊙> 是<S，⊙>的循环子半群。
例7.8 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，证明<{a， ，},⊙>是循环子
半群。
7.1 半群
例7.9 给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，⊗>为<S，⊙>和<T，*> 的积半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算⊗定义如下：<s1， t1>⊗<s2，t2> =<s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。由于⊗是 由⊙和*定义的，易知积半群是个半群。
7.2 群
例7.18 <Z，+>和<R，+>是无限群，<Zn，>是有限群也是n阶群。klein四 元群是四阶群。<{0}，+>是平凡群。上述的所有群都是交换群，但是n阶 （n≥2）实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵 乘法不满足交换律。
定理 7.5 给定群<G，>，则
7.2 群
定义 7.11 集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变换的集合，具 有下列性质： – – –
–
<TX，º >构成群，在代数中称为变换群。置换群是变换群的特例。
7.2 群
定义7.12 设p是集合X={ p（ ）= ，，p（ 为X上的n阶轮换，记为（ ， ）= ，， }上的n阶置换，若p（ ）= ）若n=2，称p为X上的对换。 ，
例 7.3 集合P（S），其中S是一个集合，加上并运算，它就构成一个交换
半群。因为并运算满足结合律和交换律。
7.1 半群
定义7.2 ：给定<M，⊙>，若<M，⊙>是半群且⊙有幺元或⊙满足结合律 且拥有幺元，则称<M，⊙>为独异点或含幺半群或拟群。
例7.4 给定<N，+>和<N，*>，其中N是自然数集合，+和*为一般意义下的 加法和乘法。易知<N，+>和<N，*>都是半群，而且还是独异点。因为0是
例7.7 令半群<S，*>，其中S={a，b，c，d}，*定义如表7.1，试证明生成集 G={a，b}。 * a b c d A D B C A b c b c b c b b c c d a b c d
7.1 半群
定义7.5 ：给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封闭，则称<T，⊙> 为<S，⊙>的子半群。
7.1 半群
定理7.1 ：若半群<S，⊙>和半群<T，>是可交换的，则<S×T，>也是可 交换的。
定理7.2 ：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且e1 和 e2分别是他们的幺元， 则积半群<S×T>含有幺元 <e1 ,e2> 。
7.1 半群
定理7.3：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且 的零元，则积半群<S×T>含有零元 和 分别是他们
，并且X中其余元素保持不变，则称p
由轮换的定义可知，轮换中任何元素均可排在首位，他们表示是同一 个轮换，如（ ）=（ ）。
例7.20 令S={1，2，3，4，5}，S上的5阶置换p= 换（1 2 4）。
是S上的3阶轮
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7.2 群
定义 7.10： 集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数，称为 集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。 集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统是一个群， 称为对称群。 由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合 ◇构成群< 若 ，◇>，它便是n次n!阶对称群。 ，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换群。 与复合置换运算