七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题

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七年级数学下册《整式乘法与因式分解》练习题及答案

七年级数学下册《整式乘法与因式分解》练习题及答案

七年级数学下册《整式乘法与因式分解》练习题及答案一、单选题1.计算a2(﹣a)3的结果是()A.a6B.﹣a5C.﹣a6D.a﹣62.下列各式,计算结果为a3的是()A.a2+a B.a4﹣a C.a•a2D.a6÷a23.﹣x3y﹣1•(﹣2x﹣1y)2=()A.﹣2xy B.2xy C.﹣2x2y D.2xy24.若x2﹣kx﹣12=(x+a)(x+b),则a+b的值不可能是()A.﹣11B.4C.8D.115.若(x+2)与(x﹣m)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()A.﹣2B.0C.2D.46.下列运算正确的是()A.a3+a3=a6B.(a3)2=a6C.(ab)2=ab2D.2a5•3a5=5a57.若x2+ax+16是完全平方式,则|a﹣2|的值是()A.6B.6或10C.2D.2或68.如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分剪后拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是()A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)9.下列各式中,从左到右变形是因式分解的是()A.(x+3y)(x﹣3y)=x2﹣9y2B.9﹣x2=(3+x)(3﹣x)C.x2+6x+4=(x+2)2+2x D.x2﹣8=(x+4)(x﹣4)10.小明是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:a﹣1,x﹣y,2,a2+1,x,a+1分别对应下列六个字:西,爱,我,数,学,定.现将2x(a2﹣1)﹣2y(a2﹣1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱定西B.爱定西C.我爱学D.定西数学二、填空题11.分解因式:﹣m2n+6mn﹣9n=.12.全球新冠病毒仍在蔓延,新型冠状病毒直径约为80﹣120纳米,某种β属的新型冠状病毒直径为0.000000102米,将数据0.000000102用科学记数法表示为.13.计算:(18a3﹣9a2﹣3a)÷3a=.14.已知x2﹣6x+k是一个完全平方式,则k的值是.15.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.例如:(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;…根据以上规律,(a+b)n展开式的系数和为.三、解答题16.已知3m=a,3n=b,分别求:(1)3m+n.(2)32m+3n.(3)32m+33n的值.17.计算:(1)﹣32+(4﹣π)0++|2﹣5|;(2)(3a+b)(a﹣b)+2ab.18.先化简,再求值:[(﹣x3y4)3+(﹣xy2)2•3xy2]÷(﹣xy2)3,其中x=﹣2,y=.19.分解因式:(1)2x2y+4xy2+2y3;(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x).20.如图1,有A型、B型、C型三种不同形状的纸板,A型是边长为a的正方形,B型是边长为b的正方形,C型是长为b,宽为a的长方形.现用A型纸板一张,B型纸板一张,C型纸板两张拼成如图2的大正方形.(1)观察图2,请你用两种方法表示出图2的总面积.方法1:;方法2:;请利用图2的面积表示方法,写出一个关于a,b的等式:.(2)已知图2的总面积为49,一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25,求ab的值.(3)用一张A型纸板和一张B型纸板,拼成图3所示的图形,若a+b=8,ab=15,求图3中阴影部分的面积.21.阅读与思考在因式分解中,有些多项式看似不能分解,如果添加某项,可以达到因式分解的效果,此类因式分解的方法称之为“添项法”.例如:a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=(a4+4a2+4)﹣4a2=(a2+2)2﹣(2a)2=(a2+2a+2)(a2﹣2a+2).参照上述方法,我们可以对a3+b3因式分解,下面是因式分解的部分解答过程.a3+b3=a3+a2b﹣a2b+b3=(a3+a2b)﹣(a2b﹣b3)=(a+b)•a2﹣(a+b)•b(a﹣b)=…任务:(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程.(2)已知a+b=2,ab=﹣4,求a3+b3的值.参考答案与解析一、单选题1.解:原式=a2•(﹣a)3=﹣a5,故选B.2.解:A、a2与a不是同类项,不能合并,故本选项错误;B、a4与a不是同类项,不能合并,故本选项错误;C、a•a2=a3,故本选项正确;D、a6÷a2=a4≠a3,故本选项错误.故选:C.3.解:﹣x3y﹣1•(﹣2x﹣1y)2=﹣x3y﹣1•4x﹣2y2=﹣2xy.故选:A.4.解:根据题意知a+b=﹣k、ab=﹣12若a=1、b=﹣12,则a+b=﹣11;若a=﹣1、b=12,则a+b=11;若a=﹣3、b=4,则a+b=1;若a=3、b=﹣4,则a+b=﹣1;若a=2、b=﹣6,则a+b=﹣4;若a=﹣2、b=6,则a+b=4.故选:C.5.解:(x+2)(x﹣m)=x2﹣mx+2x﹣2m=x2+(﹣m+2)x﹣2m∵不含x的一次项∴﹣m+2=0解得:m=2故选:C.6.解:A、a3+a3=2a3,故A不符合题意;B、(a3)2=a6,故B符合题意;C、(ab)2=a2b2,故C不符合题意;D、2a5•3a5=6a10,故D不符合题意;故选:B.7.解:∵(x±4)2=x2±8x+16∴a=±8当a=8时|a﹣2|=|6|=6当a=﹣8时|a﹣2|=|﹣10|=10故选:B.8.解:大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2矩形的面积=(a+b)(a﹣b)故(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2故选:A.9.解:A.从左到右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;B.从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意;C.等式的右边不是几个整式的积的形式,不属于因式分解,故本选项不符合题意;D.,故本选项不符合题意;故选:B.10.解:2x(a2﹣1)﹣2y(a2﹣1)=2(a2﹣1)(x﹣y)=2(a﹣1)(a+1)(x﹣y)=2(x﹣y)(a+1)(a﹣1)结果呈现的密码信息可能是:我爱定西故选:A.二、填空题11.解:原式=﹣n(m2﹣6m+9)=﹣n(m﹣3)2.故答案为:﹣n(m﹣3)2.12.解:0.000000102=1.02×10﹣7.故答案为:1.02×10﹣713.解:(18a3﹣9a2﹣3a)÷3a=18a3÷3a﹣9a2÷3a﹣3a÷3a=6a2﹣3a﹣1.故答案为:6a2﹣3a﹣1.14.解:x2﹣6x+k=x2﹣2×3x+k∴k=32=9.故答案为:9.15.解:(a+b)0=1,系数为1,20=1(a+b)1=a+b,系数和为2,21=2(a+b)2=a2+2ab+b2,系数和为4,22=4(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,系数和为8,23=8...(a+b)n展开式的系数和为:2n故答案为:2n.三、解答题16.解:(1)由题可得,3m+n=3m•3n=ab;(2)由题可得,32m+3n=32m•33n=(3m)2•(3n)3=a2b3;(3)由题可得,32m+33n=(3m)2+(3n)3=a2+b3.17.解:(1)原式=﹣9+1+8+3=3;(2)原式=3a2﹣3ab+ab﹣b2+2ab=3a2﹣b2.18.解:原式=(﹣x9y12+x3y6)÷(﹣x3y6)=x6y6﹣当x=﹣2,y=时,原式=1﹣=.19.解:(1)2x2y+4xy2+2y3=2y(x2+2xy+y2)=2y(x+y)2;(2)9a2(x﹣y)+4b2(y﹣x)=9a2(x﹣y)﹣4b2(x﹣y)=(x﹣y)(9a2﹣4b2)=(x﹣y)(3a+2b)(3a﹣2b).20.解:(1)用两种方法表示出图2的总面积为(a+b)2和a2+2ab+b2关于a,b的等式(a+b)2=a2+2ab+b2故答案为:(a+b)2,a2+2ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)由题意得,(a+b)2=a2+2ab+b2=49,a2+b2=25∴ab====12;(3)由题意得图3中阴影部分的面积为:+a2﹣==∴当a+b=8,ab=15时图3中阴影部分的面积为:==.21.解:(1)a3+b3=a3+a2b﹣a2b+b3=(a3+a2b)﹣(a2b﹣b3)=a2(a+b)﹣b(a2﹣b2)=a2(a+b)﹣b(a+b)(a﹣b)=(a+b)(a2﹣ab+b2);(2)∵a+b=2,ab=﹣4∴(a+b)2=4∴a2+b2+2ab=4∴a2+b2=12∴a3+b3=(a+b)(a2﹣ab+b2)=2×[12﹣(﹣4)]=2×16=32.。

(完整版)整式的乘法与因式分解考点练习(含答案)

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整式的乘法与因式分解复习考点1 幂的运算1.下列计算正确的是( )A .(a 2)3=a 5B .2a -a =2C .(2a)2=4aD .a·a 3=a 42.(铜仁中考)下列计算正确的是( )A .a 2+a 2=2a 4B .2a 2·a 3=2a 6C .3a -2a =1D .(a 2)3=a 63.计算:x 5·x 7+x 6·(-x 3)2+2(x 3)4.A. 124xB. 122xC. 12xD. 64x考点2 整式的乘法 4.下列运算正确的是( )A .3a 2·a 3=3a 6B .5x 4-x 2=4x 2C .(2a 2)3·(-ab)=-8a 7bD .2x 2÷2x 2=05.计算:(3x -1)(2x +1)=________.A. 162-+x xB. 162--x xC. 1562-+x xD. 1562-+x x6.计算:(1)(-3x 2y)3·(-2xy 3); (2)(34x 2y -12xy 2)(-4xy 2). A. 636y x , 422323y x y x +- B. -636y x , 423323y x y x +-C. 6754y x ,423323y x y x +-D. -6754y x , 422323y x y x +-考点3 整式的除法7.计算8a 3÷(-2a)的结果是( )A .4aB .-4aC .4a 2D .-4a 28.若5a 3b m ÷25a n b 2=252b 2,则m =____________,n =__________. 9.化简:(a 2b -2ab 2-b 3)÷b -(a -b)2.考点4 乘法公式10.下列关系式中,正确的是( )A .(a +b)2=a 2-2ab +b 2B .(a -b)2=a 2-b 2C .(a +b)(-a +b)=b 2-a 2D .(a +b)(-a -b)=a 2-b 211.已知(x +m)2=x 2+nx +36,则n 的值为( )A .±6B .±12C .±18D .±7212.计算:(1)(-2m +5)2; (2)(a +3)(a -3)(a 2+9); (3)(a -1)(a +1)-(a -1)2.考点5 因式分解13.(北海中考)下列因式分解正确的是( )A .x 2-4=(x +4)(x -4)B .x 2+2x +1=x(x +2)+1C .3mx -6my =3m(x -6y)D .2x +4=2(x +2)14.多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x +1的公因式是( )A .x -1B .x +1C .x 2-1D .(x -1)215.(黔西南中考)分解因式:4x 2+8x +4=________.16.若x -2y =-5,xy =-2,则2x 2y -4xy 2=________.综合训练17.(威海中考)下列运算正确的是( )A .(-3mn)2=-6m 2n 2B .4x 4+2x 4+x 4=6x 4C .(xy)2÷(-xy)=-xyD .(a -b)(-a -b)=a 2-b 218.(毕节中考)下列因式分解正确的是( )A .a 4b -6a 3b +9a 2b =a 2b(a 2-6a +9)B .x 2-x +14=(x -12)2 C .x 2-2x +4=(x -2)2D .4x 2-y 2=(4x +y)(4x -y)19.(大连中考)若a =49,b =109,则ab -9a 的值为________.20.(宁波中考)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放,则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________(用a 、b 的代数式表示)[图1 图221.(绵阳中考)在实数范围内因式分解:x 2y -3y =________________.22.(崇左中考)4个数a ,b ,c ,d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd =ad -bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +3 x -3x -3 x +3=12,则x =________. 23.计算:(1)5a 3b ·(-3b)2+(-ab)(-6ab)2;(2)x(x 2+3)+x 2(x -3)-3x(x 2-x -1).24.把下列各式因式分解:(1)2m(a-b)-3n(b-a);(2)16x2-64;(3)-4a2+24a-36.25先化简(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b),然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值.26.我们约定:a b=10a÷10b,如43=104÷103=10.(1)试求123和104的值;(2)试求(215)×102的值.参考答案1.D2.D3.原式=x 12+x 6·x 6+2x 12=x 12+x 12+2x 12=4x 12.4.C5.6x 2+x -16.(1)原式=-27x 6y 3×(-2xy 3)=54x 7y 6.(2)原式=34x 2y ·(-4xy 2)-12xy 2·(-4xy 2)=-3x 3y 3+2x 2y 4. 7.D8.4 39. 原式=a 2-2ab -b 2-a 2+2ab -b 2=-2b 2.10. C11. B12. (1)原式=4m 2-20m +25. (2)原式=(a 2-9)(a 2+9)=a 4-81. (3)原式=a 2-1-a 2+2a -1=2a -2.13. D14. A15.4(x +1)216.2017. C18. B19.4 90020.ab21.y(x -3)(x +3)22.123. (1)原式=5a 3b ·9b 2+(-ab)·36a 2b 2=45a 3b 3-36a 3b 3=9a 3b 3. (2)原式=x 3+3x +x 3-3x 2-3x 3+3x 2+3x =-x 3+6x.24.(1)原式=(a -b)(2m +3n). (2)原式=16(x +2)(x -2). (3)原式=-4(a -3)2.25.原式=a 2-2ab -b 2-(a 2-b 2)=a 2-2ab -b 2-a 2+b 2=-2ab.如选择一个喜欢的数为a =1,b =-1,则原式=2.26.(1)123=1012÷103=109,104=1010÷104=106. (2)(215)×102=(1021÷105)×102=1018.。

专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(解析版) -七年级数学下册考点培优训练(苏科版)

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专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练(1)(满分120分时间:60分钟)班级姓名得分一、解答题1.阅读材料小明遇到这样一个问题:求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数.小明想通过计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多项式解决上面的问题,但感觉有些繁琐,他想探寻一下,是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始,先找(x+2)(2x+3)所得多项式中的一次项系数.通过观察发现:也就是说,只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3,再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2,两个积相加1×3+2×2=7,即可得到一次项系数.延续上面的方法,求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的一次项系数.可以先用x+2的一次项系数1,2x+3的常数项3,3x+4的常数项4,相乘得到12;再用2x+3的一次项系数2,x+2的常数项2,3x+4的常数项4,相乘得到16;然后用3x+4的一次项系数3,x+2的常数项2,2x+3的常数项3,相乘得到18.最后将12,16,18相加,得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法,解决下列问题:(1)计算(2x+1)(3x+2)所得多项式的一次项系数为.(2)计算(x+1)(3x+2)(4x﹣3)所得多项式的一次项系数为.(3)若计算(x2+x+1)(x2﹣3x+a)(2x﹣1)所得多项式的一次项系数为0,则a=.(4)若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式,则2a+b的值为.【答案】(1)7(2)-7(3)-3(4)-15【解析】试题分析:(1)用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4,用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3,4+3=7即为积中一次项的系数;(2)用x+1中的一次项系数1,3x+2中的常数项2,4x-3中的常数项-3相乘得-6,用x+1中的常数项1,3x+2中的一次项系数3,4x-3中的常数项-3相乘得-9,用x+1中的常数项1,3x+2中的常数项2,4x-3中的一次项系数4相乘得8,-6-9+8=-7即为积中一次项系数;(3)用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘,再把所得的积相加,列方程、解方程即可得;(4)设422x ax bx +++可以分成(231x x -+ )(x 2+kx+2),根据小明的算法则有k -3=0,a=-3k+2+1,b=-3×2+k ,解方程即可得.试题解析:(1)2×2+1×3=7,故答案为7;(2)1×2×(-3)+3×1×(-3)+4×1×2=-7,故答案为-7;(3)由题意得:1×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a=0,解得:a=-3,故答案为-3;(4)设422x ax bx +++可以分成(231x x -+ )(x 2+kx+2),则有k -3=0,a=-3k+2+1,b=-3×2+k ,解得:k=3,a=-6,b=-3,所以2a+b=-15,故答案为-15.b=3-6=-32.阅读材料:若x 2-2xy +2y 2-8y +16=0,求x 、y 的值.解:∵x 2-2xy +2y 2-8y +16=0,∵(x 2-2xy +y 2)+(y 2-8y +16)=0,∵(x -y )2+(y -4)2=0,∵(x -y )2=0,(y -4)2=0,∵y =4,x =4.根据你的观察,探究下面的问题:已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足a 2+b 2-4a -6b +13=0.求∵ABC 的边c 的值.【答案】2或3或4【分析】先通过配方法,利用完全平方公式进行配方求出a ,b 的值,再根据三角形的三边关系即可确定c 的值.【详解】∵2246130a b a b +--+=∵22(44)(69)0a a b b -++-+=即22(2)(3)0a b -+-=∵20a -=,30b -=∵23a b ==,根据三角形的三边关系得a b c a b -<<+,即15c <<∵c 是正整数∵c 的值为2或3或4.【点睛】本题主要考查了配方法及三角形边长的确定,熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解决本题的关键.3.阅读下列材料:某同学在计算3(4+1)(42+1)时,发现把3写成4-1后,可以连续运用平方差公式计算,3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=44-1=256-1=255.请借鉴该同学的经验,计算下列各式的值:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)(2)2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++. 【答案】(1)24096-1;(2)2.【分析】(1)在前面乘一个(2-1),然后再连续利用平方差公式计算;(2)在前面乘一个2×(1-12),然后再连续利用平方差公式计算. 【详解】解:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=24096-1;(2)2481521111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1615112122⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭ 151511222=-+ =2. 【点睛】本题考查了平方差公式的运用,熟练掌握平方差公式是解题的关键.4.阅读下列分解因式的过程:x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)(x+3a)(x -a).像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法,请你用配方法将下面的多项式因式分解:(1)m 2-4mn+3n 2;(2)x 2-4x -12.【答案】(1)(m -n )(m -3n );(2)(x+2)(x -6).【分析】(1)、(2)分别利用阅读材料中的配方法分解即可.【详解】解:(1)m 2-4mn+3n 2=m 2-4mn+4n 2-4n 2+3n 2=m 2-4mn+4n 2-n 2=(m -2n )2-n 2=(m -2n+n )(m -2n -n )=(m -n )(m -3n );(2)x 2-4x -12=x 2-4x+4-4-12=(x -2)2-42=(x -2+4)(x -2-4)=(x+2)(x -6).【点睛】本题考查了因式分解的应用.要运用配方法,只要二次项系数为1,只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式.5.如图,长为m ,宽为x()m x >的大长方形被分割成7小块,除阴影,A B 外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短一边长为y ,记阴影A 与B 的面积差为S .(1)分别用含,,m x y 的代数式表示阴影,A B 的面积,并计算S ;(2)当6,1m y ==时,求S 的值;(3)当x 取任何实数时,面积差S 的值都保持不变,问m 与y 应满足什么条件?【答案】(1)阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --,阴影B 的面积为3(3)y x y m +-,236S y my xy mx =-+-+;(2)S 的值为3;(3)6m y =.【分析】(1)先分别求出阴影A 与B 的长、宽,再根据长方形的面积公式,即可得;(2)将6,1m y ==代入,计算含乘方的有理数混合运算即可得;(3)将S 的值进行变形,再根据其值与x 无关,列出等式求解即可得.【详解】(1)由图可知,阴影A 的长为3m y -,宽为2x y -;阴影B 的长为3y ,宽为(3)3x m y x y m --=+- 则阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --,阴影B 的面积为3(3)y x y m +-S A B =-(3)(2)3(3)m y x y y x y m =---+-22236393mx my xy y xy y my =--+--+236y my xy mx =-+-+;(2)由(1)可知,236S y my xy mx =-+-+将6,1m y ==代入得:2316166363S x x =-⨯+⨯-+=-+=即S 的值为3;(3)由(1)可知,22363(6)S y my xy mx y my m y x =-+-+=-++-要使当x 取任何实数时,面积差S 的值都保持不变则60m y -=整理得6m y =.【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算、含乘方的有理数混合运算等知识点,理解题意,根据图形正确求出阴影A 与B 的长、宽是解题关键.6.如图∵所示是一个长为2m ,宽为2n 的长方形,沿虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图∵的方式拼成一个正方形.(1)你认为图∵中的阴影部分的正方形的边长等于__________;(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积:方法∵____________;方法∵________________;(3)观察图∵,直按写出22(),(),m n m n mn +-这三个代数式之间的等量关系;(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若8,5a b ab +==,求2()a b -的值【答案】(1)m -n ;(2)2()m n -;2()4m n mn +-;(3)2()m n -=2()4m n mn +-;(4)44.【分析】(1)根据图∵可知,剪开后的小长方形长为m ,宽为n ,可以看出图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ;(2)图∵中阴影部分的面积:方法∵利用阴影小正方形的边长直接计算面积;方法∵利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算;(3)根据图∵里图形的面积关系,可以得出这三个代数式之间的等量关系;(4)根据(3)中的等量关系式,代入数值求解即可.【详解】(1)剪开后的小长方形长为m ,宽为n ,所以图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ,故答案为:m -n ;(2)方法∵阴影的面积为边长的平方,即2()m n -;方法∵阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积,则2()4m n mn +-,故答案为:2()m n -;2()4m n mn +-;(3)根据图∵里图形的面积关系,可得2()m n -=2()4m n mn +-,故答案为:2()m n -=2()4m n mn +-;(4)由(3)中的等量关系可知,2()a b -=2()4a b ab +-=64-20=44, 故答案为:44.【点睛】本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系,掌握图形面积的代数式表示是解题的关键.7.因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则(x+3)(x -2)=0,x=-3或x=2,反过来,x =2能使多项式26x x +-的值为0.利用上述阅读材料求解:(1)若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;(2)若(x ﹣1)和(x+2)是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;(3)在(2)的条件下,把多项式325x ax x b +-+因式分解的结果为 .【答案】(1)m=-6;(2)26a b =-⎧⎨=⎩;(3)(x -1)(x+2)(x -3) 【分析】(1)由已知条件可知,当x=4时,x 2+mx+8=0,将x 的值代入即可求得;(2)由题意可知,x=1和x=-2时,x 3+ax 2-5x+b=0,由此得二元一次方程组,从而可求得a 和b 的值; (3)将(2)中a 和b 的值代入x 3+ax 2-5x+b ,则由题意知(x -1)和(x+2)也是所给多项式的因式,从而问题得解.【详解】解:(1)∵x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,则x=4使x 2+mx+8=0,∵16+4m+8=0,解得m=-6;(2)∵(x ﹣1)和(x+2)是多项式325x ax x b +-+的两个因式,则x=1和x=-2都使325x ax x b +-+=0,得方程组为:15084100a b a b +-+=⎧⎨-+++=⎩,解得26a b =-⎧⎨=⎩; (3)由(2)得,x 3-2x 2-5x+6有两个因式(x ﹣1)和(x+2),又36(1)2(3)x x x x =⋅⋅=-⨯⨯-,, 则第三个因式为(x -3),∵x 3-2x 2-5x+6=(x -1)(x+2)(x -3).故答案为:(x -1)(x+2)(x -3).【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法,根据阅读材料仿做,是解答本题的关键.8.观察下列各式:∵60×60=602-02=3600;∵59×61=(60-1)×(60+1)=602-12=3599;∵58×62=(60-2)×(60+2)=602-22=3596;∵57×63=(60-3)×(60+3)=602-32=3591……(探究)(1)上面的式子表示的规律是:(60+m)(60-m)=;观察各等式的左边发现两个因数之和都是120,而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化,当两个因数时,乘积最大.(应用)(2)根据上面的规律,思考若a+b=400,则ab的最大值是;(拓展)(3)将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形,设它的一边长为x厘米,面积为S,写出S与x 之间的等量关系?当x为何值时,S取得最大值?【答案】(1)602-m2;相等;(2)40000;(3)S=-x2+20x;当x=10时,S取得最大值.【分析】(1)按照已知等式的规律或平方差公式写出结果即可;对比题干中给出的等式可知,当两个因数相等即m=0时,乘积最大;(2)根据(1)中得出的规律可知,当a=b时,ab取得最大值,从而得出结果;(3)设长方形的一边长为x厘米,则根据题意得长方形的另一边长为(20-x)厘米,根据长方形的面积公式可得出S与x之间的等量关系;再根据(1)中的结论可得出当长方形的长与宽相等时,S取得最大值,从而得出结果.【详解】解:(1)根据题中的等式可得,(60+m)(60-m)=602-m2;对比题干中给出的等式可知,当两个因数相等时,即m=0时乘积最大,故答案为:602-m2;相等;(2)根据(1)中得出的规律可知,当a=b时,ab取得最大值,∵a+b=400,∵当a=b=200时,ab取得最大值,最大值为40000,故答案为:40000;(3)设长方形的一边长为x厘米,则根据题意得长方形的另一边长为(20-x)厘米,∵S=x(20-x)=-x2+20x,故S与x之间的等量关系式为:S=-x2+20x;∵长方形的两边长分别为x厘米,(20-x)厘米,有x+(20-x)=20,现要求S=x(20-x)的最大值,由(1)知,当x=20-x时,S取得最大值,故当x=10时,S取得最大值.【点睛】本题考查了通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力,一般先根据题意,找到规律,并进行推导得出答案.9.图1是一个长为2m,宽为2n的长方形,将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按照图2所示拼成一个正方形.(1)使用不同方法计算图2中小正方形的面积,可推出(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系为:;(2)利用(1)中的结论,解决下列问题:∵已知a-b=4,ab=5,求a+b的值;∵已知a>0,a-3a=2,求a+3a的值.【答案】(1)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(2)∵6或-6;∵4.【分析】(1)由题意知,阴影部分小正方形的边长为m-n.根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积,也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积,利用两种求法确定出所求关系式即可;(2)∵利用(1)的结论,可知(a-b)2=(a+b)2-4ab,把已知数值整体代入即可;∵先利用完全平方公式进行变形,即将a-3a=2两边同时平方,然后求出(a+3a)2的值,从而得出结果.【详解】解:(1)阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积,也可以看作边长m+n的正方形的面积减去4个小长方形的面积,∵(m-n)2=(m+n)2-4mn,故答案为:(m-n)2=(m+n)2-4mn;(2)∵∵a-b=4,ab=5,且由(1)知(a-b)2=(a+b)2-4ab,∵(a+b)2=16+20=36,∵a+b=6或-6;∵∵a-3a=2,∵(a -3a )2= a 2-6+29a=4, ∵a 2+6+29a =16, ∵(a +3a)2=16, 又a >0,∵a +3a =4. 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,整式的混合运算以及分式的求值等知识,熟练掌握运算法则是解本题的关键.10.数学课堂上,老师提出问题:如图,如何在该图形中数出黑色正方形的个数,以下是两位同学的做法:(1)甲同学的做法为:当1n =时,黑色正方形的个数共有14610⨯+=当2n =时,黑色正方形的个数共有24614⨯+=当3n =时,黑色正方形的个数共有34618⨯+=……则在第n 个图形中,黑色正方形的个数共有 (无需化简)(2)乙同学的做法为:当1n =时,黑色正方形的个数共有341210⨯-⨯=当2n =时,黑色正方形的个数共有452314⨯-⨯=当3n =时,黑色正方形的个数共有563418⨯-⨯=……则在第n 个图形中,黑色正方形的个数共有 (无需化简)(3)数学老师及时肯定了两位同学的做法,从而可以得到等式(4)请利用学习过的知识验证(3)问中的等式.【答案】(1)46n +;(2)(2)(3)(1)n n n n ++-+;(3)46(2)(3)(1)n n n n n +=++-+;(4)见解析.【分析】(1)根据所给算式总结规律即可;(2)根据所给算式总结规律即可;(3)根据两种算法都正确可得等式;(4)利用整式混合运算法则对(2)(3)(1)++-+进行化简,即可验证.n n n n【详解】n+,解:(1)由题中算式可知,在第n个图形中,黑色正方形的个数为:46n+;故答案为:46(2)由题中算式可知,在第n个图形中,黑色正方形的个数为:(2)(3)(1)n n n n++-+,故答案为:(2)(3)(1)++-+;n n n n(3)数学老师及时肯定了两位同学的做法,从而可以得到等式:46(2)(3)(1)+=++-+,n n n n n故答案为:46(2)(3)(1)+=++-+;n n n n n(4)∵22(2)(3)(1)32646++-+=+++--=+,n n n n n n n n n n∵该等式成立.【点睛】本题考查了图形类规律探索以及整式混合运算的实际应用,熟练掌握运算法则是验证等式成立的关键.。

整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编

整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编

学习必备精品知识点整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编同底数幂的乘法【知识盘点】若m、n均为正整数,则a m·a n=_______,即同底数幂相乘,底数______,指数_____.【应用拓展】1.计算:(1)64×(-6)5(2)-a4(-a)4(3)-x5·x3·(-x)4(4)(x-y)5·(x-y)6·(x-y)72.计算:(1)(-b)2·(-b)3+b·(-b)4(2)a·a6+a2·a5+a3·a4(3)x3m-n·x2m-3n·x n-m(4)(-2)·(-2)2·(-2)3·…·(-2)1007.已知a x=2,a y=3,求a x+y的值.8.已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求a b的值.积的乘方【知识盘点】积的乘方法则用字母表示就是:当n为正整数时,(ab)n=_______.【应用拓展】1.计算:(1)(-2×103)3(2)(x2)n·x m-n(3)a2·(-a)2·(-2a2)3(4)(-2a4)3+a6·a6(5)(2xy2)2-(-3xy2)22.先完成以下填空:(1)26×56=()6=10( )(2)410×2510=()10=10( )你能借鉴以上方法计算下列各题吗?(3)(-8)10×0.12510(4)0.252007×42006(5)(-9)5·(-23)5·(13)53.已知x n=2,y n=3,求(x2y)2n的值.4.一个立方体棱长为2×103厘米,求它的表面积(结果用科学记数法表示).【综合提高】10.观察下列等式:13=12;13+23=32;13+23+33=62;13+23+33+43=102;(1)请你写出第5个式子:______________(2)请你写出第10个式子:_____________(3)你能用字母表示所发现的规律吗?试一试!幂的乘方【知识盘点】若m、n均为正整数,则(a m)n=_____,即幂的乘方,底数_____,指数_______.【应用拓展】1.计算:(1)(y2a+1)2(2)[(-5)3] 4-(54)3(3)(a-b)[(a-b)2] 52.计算:(1)(-a2)5·a-a11(2)(x6)2+x10·x2+2[(-x)3] 48.用幂的形式表示结果:(1)(23)2=______;(22)3=________;(2)(35)7=______;(37)5=________;(3)(53)4=______;(54)3=________.你发现了什么规律?用式子表示出来.同底数幂的除法知识点:1.同底数幂相除,底数不变,指数相减:底数a可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式。

《因式分解》整式的乘除与因式分解

《因式分解》整式的乘除与因式分解

《因式分解》整式的乘除与因式分解汇报人:日期:CATALOGUE目录•整式的乘除•因式分解的方法•因式分解的应用•因式分解的实践练习•因式分解的注意事项和易错点•因式分解的复习与巩固01整式的乘除单项式乘单项式系数乘法:将两个单项式的系数相乘作为积的系数。

相同字母的幂相乘:把一个单项式的字母因数与另一个单项式的相同字母的幂相乘作为积的一个因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

对于只在第二个单项式里含有的字母,则连同它的指数也作为积的一个因式:同样地处理其他的单项式。

系数相除将除式的系数与被除式的系数相除作为商的系数。

相同字母的幂相除把被除式的相同字母的幂与除式的相同字母的幂相除作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

单项式除以单项式•按整式乘法法则进行计算:用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

多项式乘多项式•顺序:先乘方,再乘除,然后加减;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序进行。

整式的混合运算02因式分解的方法总结词提公因式法是因式分解中最基本的方法之一,其核心是将多项式中的公因式提取出来,形成新的多项式。

详细描述提公因式法适用于有公因式的多项式。

通过将多项式中的公因式提取出来,放在多项式的最前面,然后除以公因式得到新的多项式。

这个方法可以简化多项式的计算和化简过程。

提公因式法公式法是因式分解中比较常用的方法之一,其核心是利用已知的公式或定理来进行因式分解。

总结词公式法适用于一些特定的多项式。

这些多项式往往有对应的公式或定理可以利用来进行因式分解。

通过将多项式代入公式或定理中,可以得到新的多项式,从而简化计算和化简过程。

详细描述公式法十字相乘法总结词十字相乘法是一种特殊的因式分解方法,其核心是将二次项和常数项分别用交叉相乘的方式进行因式分解。

详细描述十字相乘法适用于一些特定的二次多项式。

整式的乘除与因式分解综合练习题含答案

整式的乘除与因式分解综合练习题含答案

整式的乘除与因式分解综合练习题一、选择题1.下列计算中,运算正确的有几个( )(1) a 5+a 5=a 10(2) (a+b)3=a 3+b 3(3) (-a+b)(-a-b)=a 2-b 2(4) (a-b)3= -(b-a)3A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2.当a =-1时,代数式(a +1)2+ a (a +3)的值等于( )A.-4B.4C.-2D.23、下列各式中,能用平方差公式计算的是( )A 、B 、C 、D 、4.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-15.若,则的值为 ( ) A . B .5 C .D .26、计算:1.992-1.98×1.99+0.992得( )A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601))((b a b a +--))((b a b a ---))((c b a c b a +---+-))((b a b a -+-7、(x 2+px+8)(x 2-3x+q)乘积中不含x 2项和x 3项,则p,q 的值 ( )A 、p=0,q=0B 、p=3,q=1C 、p=–3,–9D 、p=–3,q=18.如果一个单项式与的积为,则这个单项式为( ) A. B. C. D.9、对于任何整数,多项式都能( )A 、被8整除B 、被整除C 、被-1整除D 、被(2-1)整除10.已知,,则与的值分别是 ( )A. 4,1B. 2,C.5,1D. 10,二、填空题11、(1)化简:a 3·a 2b=12、把边长为12.75cm 的正方形中,挖去一个边长为7.25cm 的小正方形,则剩下的面积为 。

13.已知31=-a a ,则221a a + 的值等于 。

14、有一串单项式:……,(1)第2006个单项式是 ;(2)第(n+1)个单项式是 .三、解答题。

m 9)54(2-+m m m m 234,2,3,4,x x x x --192019,20x x -15、化简(1)3x2y·(-2xy3); (2)2a2(3a2-5b);(3)(-2a2)(3a b2-5a b3). (4)(5x+2y)(3x-2y).1)2009 (5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3);(6)(-3)2008·(316、因式分解(1)xy+a y-by; (2)3x(a-b)-2y(b-a);(3)m2-6m+9;(4) 4x2-9y2(5) x4-1; (6) x2-7x+10;17、先化简,再求值(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b),其中a=2, b=-1 18.已知x-y=1,xy=3,求x3y-2x2y2+xy3的值.19、如图是L 形钢条截面,试写出它的面积公式。

整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版

整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法(1)(-3x)2(x+1)(x+3)+4x(x-1)(x2+x+1),其中x=-1;解:原式=9x2(x2+3x+x+3)+4x(x3+x2+x-x2-x-1)=9x2(x2+4x+3)+4x(x3-1)=9x4+36x3+27x2+4x4-4x=13x4+36x3+27x2-4x当x=-1时原式=13×(-1)4+36×(-1)3+27×(-1)2-4×(-1)=13-36+27+4=8(2)y n(y n+3y-2)-3(3y n+1-4y n),其中y=-2,n=2.解:原式=y2n+3y n+1-2y n-9y n+1+12y n=y2n-6y n+1+10y n当y=-2,n=2时原式=(-2)2×2-6×(-2)2+1+10×(-2)2=16+48+40=10415、已知不论x、y为何值时(x+my)(x+ny)=x2+2xy-8y2恒成立.求(m+n)mn的值.解:x2+nxy+mxy+mny2=x2+2xy-8y2x2+(m+n)xy+mny2=x2+2xy-8y2∴m+n=2,mn=-8∴(m+n)mn=2×(-8)=-166、已知31=+a a,则221a a +=( B ) A .5 B .7 C .9 D .117、如果x 2+kx +81是一个完全平方式,则k 的值是( D )A .9B .-9C .±9D .±188、下列算式中不正确的有( C )①(3x 3-5)(3x 3+5)=9x 9-25②(a +b +c +d)(a +b -c -d)=(a +b)2-(c +d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a -b)2·(4a +2b)2=(4a -2b)2(4a -2b)2=(16a 2-4b 2)2A .0个B .1个C .2个D .3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是( A ) A .xy B .2xy C .2xy D .0 10、已知m 2+n 2-6m +10n +34=0,则m +n 的值是( A )A .-2B .2C .8D .-8二、解答题11、计算下列各题:(1)(2a +3b)(4a +5b)(2a -3b)(5b -4a)(2)(x +y)(x -y)+(y -z)(y +z)+(z -x)(z +x);(3)(3m 2+5)(-3m 2+5)-m 2(7m +8)(7m -8)-(8m)2(1) 解:原式=(2a +3b)(2a -3b)(4a +5b)(5b -4a)=(4a 2-9b 2)(25b 2-16a 2)=100a 2b 2-64a 4-225b 4+144a 2b 2=-64a 4+244a 2b 2-225b 4(2) 解:原式=x 2-y 2+y 2-z 2+z 2-x 2=0(3) 解:原式=25-9m 4-m 2(49m 2-64)-64m 2=-58m 4+2512、化简求值:(1)4x(x 2-2x -1)+x(2x +5)(5-2x),其中x =-1(2)(8x 2+4x +1)(8x 2+4x -1),其中x =21 (3)(3x +2y)(3x -2y)-(3x +2y)2+(3x -2y)2,其中x =31,y =-21 (1) 解:原式=4x 3-8x 2-4x +x(25-4x 2)=4x 3-8x 2-4x +25x -4x 3=-8x 2+21x当x =-1时原式=-8×(-1)2+21×(-1)=-8-21=-29(2) 解:原式=(8x 2+4x)2-1当x =时,原式=[8×()2+4×]2-1=(2+2)2-1=15(3) 解:原式=9x 2-4y 2-9x 2-12xy -4y 2+9x 2-12xy +4y 2=9x 2-24xy -4y 2当x =,y =-时原式=9×()2-24××(-)-4×(-)2=1+4-1=413、解下列方程:(1)(3x)2-(2x +1)2=5(x +2)(x -2)解:9x 2-4x 2-4x -1=5x 2-205x 2-4x -1=5x 2-204x =19∴x =419(2)6x +7(2x +3)(2x -3)-28(x -21)(x +21)=4解:6x +28x 2-63-28x 2+7=46x -56=46x =60∴x =1014、解不等式:(1-3x)2+(2x -1)2>13(x -1)(x +1)解:1-6x +9x 2+4x 2-4x +1>13x 2-1313x 2-10x +2>13x 2-13-10x>-15∴x<2315、若n 满足(n -2004)2+(2005-n)2=1,求(2005-n)(n -2004)的值.解:(n -2004)2+2·(n -2004)·(2005-n)+(2005-n)2=1+2(n -2004)(2005-n)(n -2004+2005-n)2=1+2(n -2004)(2005-n)1=1+2(2005-n)(n -2004)∴(2005-n)(n -2004)=014.3 因式分解一、选择题1、下列各式,从左到右的变形是因式分解的为( B )A .x 2-9+5x =(x +3)(x -3)+5xB .x 2-4x +4=(x -2)2C .(x -2)(x -3)=x 2-5x +6D .(x -5)(x +2)=(x +2)(x -5)2、把多项式x 2-mx -35分解因式为(x -5)(x +7),则m 的值是( B)A .2B .-2C .12D .-123、分解因式:x 2-2xy +y 2+x -y 的结果是( A )A .(x -y )(x -y +1)B .(x -y )(x -y -1)C .(x +y )(x -y +1)D .(x +y )(x -y -1)4、若9x 2-12xy +m 是一个完全平方公式,那么m 的值是( B )。

《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案

《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案

整式的乘除与因式分解一、选择题:1.下列计算正确的是( )A .105532a a a =+B .632a a a =⋅C .532)(a a =D . 8210a a a =÷2.下列计算结果正确的是( )A .4332222y x xy y x -=⋅-B .2253xy y x -=y x 22-C .xy y x y x 4728324=÷D .49)23)(23(2-=---a a a3.两个三次多项式相加,结果一定是 ( )A .三次多项式B .六次多项式C .零次多项式D .不超过三次的多项式4.把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后,余下的部分是( )A .()1+xB .()1+-xC .xD .()2+-x5.计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 ( )A 、2B 、0C 、-2D 、-56.已知代数式12x a -1y 3与-3x -b y 2a+b 是同类项,那么a 、b 的值分别是( )A .2,1a b =-⎧⎨=-⎩B .2,1a b =⎧⎨=⎩C .2,1a b =⎧⎨=-⎩D .2,1a b =-⎧⎨=⎩7.已知2239494b b a b a n m =÷,则( )A .3,4==n mB .1,4==n mC .3,1==n mD .3,2==n m8.如图,是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形,则该图形的面积为()A .m 2+12mnB .22mn n -C .22m mn+ D .222m n +9.若2()9a b +=,2()4a b -=,则ab 的值是( )A 、54B 、-54C 、1D 、-1 二、填空题: 1.分解因式2233ax ay -= .2.分解因式ab b a 8)2(2+- =_______.3.分解因式221218x x -+= .4.若22210a b b -+-+=,则a = ,b = .5.代数式4x 2+3mx +9是完全平方式,则m =___________.6. 已知a+b=5,ab=3,求下列各式的值:(1)a 2+b 2= ;(2)-3a 2+ab-3b 2= .7. 已知522=+b a ,()()223232a b a b --+=-48,则a b +=________. 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ (x >0,y >0),利用分解因式,写出表示该正方形的边长的代数式 .9.观察下列等式: 第一行 3=4-1第二行 5=9-4第三行 7=16-9第四行 9=25-16… …按照上述规律,第n 行的等式为____________ .三、解答题:1.计算题(1)(-3xy 2)3·(61x 3y )2 (2)4a 2x 2·(-52a 4x 3y 3)÷(-21a 5xy 2)(3)222)(4)(2)x y x y x y --+( (4)221(2)(2))x x x x x-+-+-(2.因式分解(1)3123x x - (2)2222)1(2ax x a -+(3)xy y x 2122--+ (4))()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3.解方程:41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4.已知x 2+x -1=0,求x 3+2x 2+3的值5.若(x 2+px +q )(x 2-2x -3)展开后不含x 2,x 3项,求p 、q 的值.四.综合拓展:1.已知c b a 、、是△ABC 的三边的长,且满足0)(22222=+-++c a b c b a ,试判断此三角形的形状.2.已知2006x+2006y=1,x+3y=2006,试求2x 2+8xy+6y 2的值五.巩固练习:1.若n221623=÷,则n 等于( )A .10B .5C .3D .62.计算:xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是( ) A .xy y x 232- B .22322+-xy y x C .1232+--xy y x D .12322+--xy y x3.下列计算正确的是( )A .x y x y x 221222223=⋅÷ B .57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C .mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D .22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4.已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-,则这个多项式为___5.若(a+b )2=13(a-b )2=7求a 2+b 2和ab 的值。

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整式的乘除与因式分解1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。

bc a 22-的 系数为 ,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。

2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

122++-x ab a ,项有 ,二次项为 ,一次项为 ,常数项为 ,各项次数分别为 ,系数分别为 ,叫 次 项式。

3、整式:单项式和多项式统称整式。

注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列:1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列: 按y 的升幂排列: 按x 的降幂排列: 按y 的降幂排列:5、同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +=(n m ,都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

例1.若6422=-a ,则a= ;若8)3(327-=⨯n ,则n= .例2.若125512=+x ,则 x x +-2009)2(的值为 。

例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。

6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。

如:10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a)()(==如:23326)4()4(4==7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。

(523)2z y x -=8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)m n >同底数幂相除,底数不变,指数相减。

如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷9、零指数和负指数; 10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。

pp a a 1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如:81)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

注意:①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。

②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。

如:=•-xy z y x 323211、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意:①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。

如:)(3)32(2y x y y x x +--=12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。

如:(32)(3)a b a b +-=13、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

如:b a m b a 242497÷-=14、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即:()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++例1.(a -61b )(2a +31b )(3a 2+121b 2); 例2.[(a -b )(a +b )]2÷(a 2-2ab +b 2)-2ab .例3.已知x 2+x -1=0,求x 3+2x 2+3的值.15、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项如:))((z y x z y x +--+=16、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=± ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。

※17、三项式的完全平方公式:bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++例1.利用平方差公式计算:22007200720082006-⨯例2.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?例3.(1) ,21=-x x 求221x x +的值。

(2),16)(2=+y x 4)(2=y x -,求xy 的值。

18、因式分解:常用方法:提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……A.提公因式法:式子中有公因式时,先提公因式。

例1.把2105ax ay by bx -+-分解因式. 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然后从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式.解:2105ax ay by bx -+-=说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.例2.把2222()()ab c d a b cd ---分解因式. 分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解:2222()()ab c d a b cd ---=说明:由例2、例1可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。

B. 公式法:根据平方差和完全平方公式分解因式22925x y -C.配方法:分解因式2616x x +-说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.D.十字相乘法:(1).2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和. 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1.把下列各式因式分解:(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.例2.把下列各式因式分解:(1) 2524x x +- (2) 2215x x --说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.例3.把下列各式因式分解:(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++分析:(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是26y -,一次项系数是y ,把26y -分解成3y与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数.(2) 由换元思想,只要把2x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解二次三项式2812a a -+.(2)一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ,那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.例4.把下列各式因式分解:(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 提高练习1.(2x 2-4x -10xy )÷( )=21x -1-25y . 2.若x +y =8,x 2y 2=4,则x 2+y 2=_________.3.代数式4x 2+3mx +9是完全平方式,则m =___________.4.()201320142 1.53⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭___________ 5.若22210a b b ++-+=,则22a b ab += 。

6.(-a +1)(a +1)(a 2+1)= 。

7.一个正方形的边长增加4cm ,面积就增加56cm 2 ,原来正方形的边长为 。

8.(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-401632= 。

9.(1)(4x +3y )2-(4x -3y )2 (2)(x 2-2x -1)(x 2+2x -1);10.求(1-221)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-2011)的值.11.已知x +x 1=2,求x 2+21x ,x 4+41x的值.12.已知(a -1)(b -2)-a (b -3)=3,求代数式222b a -ab 的值.13.若(x 2+px +q )(x 2-2x -3)展开后不含x 2,x 3项,求p 、q 的值.。

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