第四章恒定磁场题解电子教案

第四章恒定磁场题解第四章 恒定磁场(注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I 的半无穷长直导线垂直交于O 点。

在两导线所在平面，以O 点为圆心作半径为R 的圆。

求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。

解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为()αθθπμe B 120cos cos 4--=rI因此，可得（设参考正方向为指出纸面）R IR R I B A πμπμ422135cos 180cos 220cos 135cos 400=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= ()RIR I B B πμπμ410cos 90cos 400=--=用类似的方法可得 RI B C πμ40=，I R B C 0212μπ-=，R I B D πμ40=，RI B E πμ20=，I R B F 0212μπ+-=4-2 xy 平面上有一正n 边形导线回路。

回路的中心在原点，n 边形顶点到原点的距离为R 。

导线中电流为I 。

1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度；2）证明当n 趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R 的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n 等于3时原点的磁感应强度 。

解 如图4-3中所示为正n 边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为n π2，各边在圆心产生的磁感应强度为()()()()()αααααααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====---=--=n R I n r I r I r I rIr I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 40010101011012011）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 απe B ⎪⎭⎫⎝⎛=n R tan 202）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→3）当n 等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=⎪⎭⎫⎝⎛=4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R 的圆形导线回路通以电流I 时，在其轴线上产生的矢量磁位。

解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为0d 4220=+=⎰lR z Il A πμ4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流I 在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。

解 据76页例4-4，可得 ()()12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ，其中，451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=πμπμI I zz e e A4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。

1） Ar r e （球坐标系） 2） A x y y x ()e e +3） )(y x y x A e e - 4） Ar e α（球坐标系） 5） Ar e α（圆柱坐标系）解 1） 03)(132≠==∇•A A r rr ∂∂A 2） 0 ==++∇•z A y A x A zy x ∂∂∂∂∂∂A 3） 01-1 ===++∇•z A y A x A zy x ∂∂∂A 4） 0sin 1)sin (sin 1)(122=++=∇•∂α∂θθ∂θ∂θ∂∂αθA r A r A r rr r A 5） 01)(1=++=∇•zA A r rA r r zr ∂∂∂α∂∂∂αA 2）~5）可能是磁感应强度表达式。

4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两平面分别在z d =-/2和z d =/2平行于xy 平面。

面电流密度分别为K x e 和K y e ，求由两无限大平面分割出的三个空间区域的磁感应强度。

解 如图建立坐标系，并作平行于xz 平面的闭合回线1l ，据安培环路定律，可得 2KH x =和平行于yz 平面的闭合回线2l ，可得 2KH y =考虑坐标系，及H B μ=可得当2dz -<，y x K K e e B 2200μμ+-=；当22d z d <<-，y x K K e e B 2200μμ--=；当2dz -<，y x K K e e B 2200μμ+=；4-7 求厚度为d ，中心在原点，沿yz 平面平行放置，体电流密度为z J e 0的无穷大导电板产生的磁感应强度。

解 如图4-6建立坐标系，当2dx ≤，作闭合回线1l ，据安培环路定律，可得x J B 00μ=，当2dx >，作闭合回线2l ，据安培环路定律，可得200dJ B μ=，因此，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=222222000000d x d J d x d x J d x dJ yy y e e e B μμμ4-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流I 。

求各处的磁感应强度。

解 作半径为r 的闭合回线，据安培环路定律，可得 012101222323223232220Irr R R IR r R r I R r R r R r R R r R αααμπμπμπ⎧-≤⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎪⎪>⎩e e B e4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为J 的体电流。

求小圆柱面内空洞中的磁感应强度。

解 设小圆柱面内空洞中的任意点p 至大、小圆柱面的轴心距离分别为1r 、2r ，当空洞内也充满体电流时，可得p 点的磁感应强度为11012e B Jrμ=，空洞内的体电流密度在p 点产生的磁感应强度为22022e B Jr μ=()x d J r r Je e e B B B 2202211021μμ=-=+=4-10 内半径为R 1，外半径为R 2，厚度为h ，磁导率为μ（μμ>>0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N 匝线圈，如图4-9所示。

线圈中电流为I 。

求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。

解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为r 的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为 απμe B rIN20=相应的磁通为 1200ln 2d 221R R INh r h r IN R R πμπμφ==⎰磁链为 1220ln2R R h IN N πμφψ==4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流 I ，如图4-10所示。

求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。

解 设z 轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 12H r H r I ππ+=， 据边界条件，可得 2211H H μμ=解以上两式，得 ()αμμπμe H rI2121+=，()αμμπμe H r I 2122+=，()αμμπμμe B B r I212121+==4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为R 。

求这对导线单位长度的电感。

解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a 、b 的单为长度内自感为πμ40=i L对于外自感，如图4-12取镜象，a 、b 之间的外磁链可视为a 、b 和c 、d 中的电流分别作用后叠加，即R R ln ln 0011ππφψ≈==，22202202244ln 24ln 2hh d I h h d I +=+==πμπμφψ 外磁链为 2220222002144ln 44ln ln hh d R d I h h d I R d I +⋅=++=+=πμπμπμψψψ外自感为 222044ln hh d R d I L o +⋅==πμψ因此，自感为2220044ln 4h h d R d L L L o i +⋅+=+=πμπμ4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。

若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有解 设长直导线中有电流I ，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为120ln 2R R Ih πμφ=，120ln 2R R NIh N πμφψ==因此，两线圈之间的互感为120ln 2R R Nh I M πμψ==为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。

4-14 如图4-14所示，内半径为R 1，外半径为R 2，厚度为h ，磁导率为μ（μμ>>0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N 匝线圈。

求此线圈的自感。

若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为∆α，求线圈的自感。

解 当线圈中有电流I 时，设铁芯中的磁场强度为H 、气隙中为0H ，据安培环路定律，可得 ()NI r H r =⋅⋅∆⋅+∆-ααπ02H据边界条件，可得 00H H μμ=，代入上式，得()()[]αμαπμμαμμαπ∆+∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆⋅+∆-=22000r NI r NIH相应的磁通为 ()[]αμαπμμμμ∆+∆-==200r NIH B则铁芯及气隙中的磁通为 ()[]1200ln 2d 21R Rr NhI r h B R R αμαπμμμφ∆+∆-==⎰线圈所链绕的磁通为 ()[]12020ln 2R Rr hI N N αμαπμμμφψ∆+∆-==则电感为 ()[]12020ln 2R R r h N I L αμαπμμμψ∆+∆-==4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。

解 （a ）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得x bdy 2=长直导线中的电流I 在三角形线圈中产生的磁感应强度为()x a I B +=πμ20，则磁通为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰a b a a b b Id xxa xb Id b ln 2d 2000πμπμφ互感为 ⎪⎭⎫⎝⎛+-===a b a a b b d I I M ln 20πμφψ（b ）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得()b x b dy --=2长直导线中的电流I 在三角形线圈中产生的磁感应强度为 ()x a IB +=πμ20，则磁通为 ()⎪⎭⎫⎝⎛-++=+--=⎰b a b a b a b Id x x a b x b Id b ln 2d 2000πμπμφ互感为 ()⎪⎭⎫⎝⎛-++===b a b a b a b d I I M ln20πμφψ4-16 试证明真空中以速度v 运动的点电荷所产生的磁场强度和电位移矢量之间关系为H v D =⨯ 。