第四章 周期信号频域分析
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
第四章_周期信号频域分析
C n 1 T0
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
SSch4-1连续周期信号频域分析
因此，周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开 式为
f (t) C ne
n= jn t 0
1 2 j ( 2 m 1 ) t 0 e 2 2m [(2 m 1 ) ] =
由
j n t 0 f( t ) C 2 Re( C e n ) 0 n 1
an jb n C n 2
j n t 0 C 2 Re( C e n ) 0 n 1
n 1
由于Fourier级数的系数Fn一般为复数，记 由于 C0是实的，所以b0=0，故 2019/2/24 信号与系统
a0 C0 2
整理后得三角形式傅立叶级数，为
a 0 f ( t ) ( a cos n t b sin n t ) 量）的线性组合， 这样，不同的信号都归结为正弦分量，为不同的信号 之间进行比较提供了途径。 （2）从系统分析角度，线性时不变系统在单频正弦 信号激励下的稳态响应仍是同频率的正弦信号。在多 个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，只需利用 线性系统的迭加特性即可求得，而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。 2019/2/24 信号与系统
2019/2/24 信号与系统
2.
指数形式傅立叶级数
jn t 0 f (t) C e n n=
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
其中
1T jn t 0 2 C f ( t ) e dt T T n T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
可得，周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为
周期信号频域分析
周期信号频域分析（3-5）连续时间周期信号的傅立叶综合任何满足狄里赫利条件的周期信号，可以表示成式（3-1）或（3-5）的和式形式，式（3-1）或（3-5）成为连续时间周期信号（CTFS）综合公式。
一般说来，傅立叶级数系数有无限个非零值，即任何具有有限个间断点的周期信号都一定有一个无限项非零系数的傅立叶级数表示。
但对于数值计算来说，这是无法实现的。
在实际应用中，可以用有限项傅立叶级数求和来逼近。
即：（3-7）当值取得较大时，上式就是原周期信号的一个很好近似。
式（3-7）常称做的截断傅立叶级数表示。
MATLAB的符号积分函数int()可以用来求解连续时间周期信号的截断傅立叶级数及傅立叶表示。
求积函数int()的具体使用格式如下：a.intf=int(f,v); 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；b.intf=int(f,v,a,b); 给出符号表达式f对指定变量v的定积分；1、利用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合（1）利用MATLAB求解周期矩形脉冲傅立叶级数，并绘制出各次谐波叠加的傅立叶综合波形图。
周期矩形脉冲为，式中。
采用三角形式傅立叶级数分解与综合形式，用式（3-2）~（3-4）求出傅立叶级数分解系数，运用MATLAB的符号运算功能，用式（3-7）实现信号的综合，谐波的阶数。
（a）实现流程利用MATLAB实现上述分析过程的流程如下：∙编写子函数x=time_fun_x(t)，用符号表达式表示出周期信号在第一个周期内的符号表达式，并赋值返回给符号变量x；∙编写子函数y=time_fun_e(t)，求出该周期信号在绘图区间内的信号样值，并赋值给返回变量y；∙编写求解信号傅立叶系数及绘制合成波形图的通用CTFShchsym.m，该函数流程如下：1.调用函数time_fun_x(t)，获取周期信号的符号表达式；2.求出信号的傅立叶系数；3.求出各次谐波；4.绘制各次谐波叠加波形图；5.调用函数time_fun_e(t)，绘制原信号波形图。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
第四章周期信号傅里叶级数
2
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
第四章 信号的频域分析 6 信号的时域抽样
(aliasing)。
信号的时域抽样和频域抽样
x(t ) x[k ]
时域抽样
CTFT DTFT
周期化
~ X (e ) X [m]
j 频域抽样
IDTFT
IDFS
X ( jw )
1 T
n
X (j
2 πn
T
)
x[k ] 周期化
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
1 T
0 wm
w
ws 2.5wm
X [ j(w w s )]
X ( jw )
...
ws wm
0
X [ j(w w s )]
ws /2 wm ws
...
w
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) x(t )
X ( jw )
抗 混
低通滤波器
H ( jw ) 1
0
w
x1 (t )
X 1 ( jw )
1
1
wm
0
wm w
wm
0
wm
w
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 混叠误差与截断误差比较
X s ( jw )
理想抽样信号的频谱分析
抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T关系：
X ( jw )
1
wm
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
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周期信号：给定连续信号f(t), 若存在一个正常数T0 , 使得
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
8
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )d T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
20
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
8
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )d T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
20
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
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4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指