机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动
机械振动的概念
第一章绪论1-1机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。
如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。
振动在大多数情况下是有害的。
由于振动，影响了仪器设备的工作性能：降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。
此外, 由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。
但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程, 如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
这些都在生产实践中为改善劳动条件、提髙劳动生产率等方而发挥了积极作用。
研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防I匕与限制英危害，同时发挥其有益作用。
任何机器或结构物，由于具有弹性与质疑，都可能发生振动。
研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。
实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。
为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。
振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。
苴中质量（包括转动惯虽:）只具有惯性: 弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧：在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。
连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。
机械振动
相差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
➢ 2 < 1 ， 振动（1）比振动（2）超前或振动
（2）比振动（1）落后；
x1
➢2- 1=0 或 2π的整
数倍，即π的偶数倍,
x2
称这两个振动为同相;
➢ 2- 1=π或π的奇
数倍，称这两个振 动为反相.
x1 x2
五.简谐振动实例 1. 单摆
ft mg sin
例3.质点沿x轴谐振动的方程为x=4cos(2πt+ π/3)cm,求: 从t=0时刻到x=-2cm且向x轴正向运动的最短时间间隔.
解: x=-2cm, 且向x轴的正向运动, v>0, =4π/3 t=0, o=π/3 0 t t=0.5s
课堂练习： (1)x0 A
(3)x0 0,vo 0
机械振动的概念
振动也称振荡.在力学中,振动是指物体围绕某个 平衡位置作周期性的往复运动,又称机械振动.
广义地说,任何一个物理量在某一确定值附近的反 复变化都可称为振动,如电磁振荡,交流电中电流、 电压的反复变化等. 物体作机械振动时,来回往复的运动轨迹，最简单 的是一条直线,称为直线振动.在平面或空间的往复 振动,都可以认为是由多个直线振动叠加而成的.
A1 cos1 A2cos2 Acoso
x Acos(t o )
用旋转矢量法可得到同样结果
x1 A1 cos(t 1 ),
x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2 ➢合矢量 A 将与矢 量 A1 与 A2 一起以 角速度ω转动.
x Acos(t o )
y A2
ω
A
2 o 1
➢振幅A :是质点离开平衡位置的最大位移,它的大 小表征振动的强弱.
03-1 弦的横向振动
●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动 的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变， 但一般形状的幅度是随时间而改变的； ●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平 衡位置； ●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数 y(x,t) 在 时间和空间上是分离的。
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 2 a 2 2 F t dt Y x dx
由该式得到如下 两个方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
关于时间变量t的常微分方程。 关于空间变量 x 的常 微分方程。
d 2Y x 2 Y x 0 0 x L 2 dx 将偏微分方程转化为两个二阶常 微分方程！——分离变量法。 a
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 a 2 F t dt Y x dx 2
左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都 成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得
r
r 1, 2,
r 1, 2,
E=0
Yr x Dsinr x Ecosr x
因为振型只确定系统中各点振 r Y x sin x r 动幅度的相对值，其表达式无 L 需带常数因子D，取D=1。
r 1, 2,
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第二节 机械振动基础
第二节机械振动基础一.振动的分类1.按振动产生的原因分为：自由振动、强迫振动、自激振动（1）自由振动是系统受初始干扰或原有外激励力取消后产生的振动（2）强迫振动是系统在外激励力作用下产生的振动（3）自激振动是在没有周期外力作用下.由系统内部激发及反馈的相互作用而产生的稳定的周期振动2.按结构参数的特性分为：线性振动、非线性振动（1）线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的一类振动，可用常系数线性微分方程来描述（2）非线性振动式系统内上述参数有一组以上不成线性关系时的振动，此时微分方程中将出现非线性项。
3.按系统的自己度数分为：单自由度系统振动、多自由度系统振动、连续体振动（1）单自由度系统振动是指只用一个独立坐标或能确定的系统振动（2）多自由度系统振动是需要多个独立坐标才能确定的系统振动（3）连续体振动即无限多自由度系统的振动，一般也称弹性体振动，需用偏微分方程来描述自由度数是完全描述系统的一切部位在任何顺时的位置所需要的独立坐标的个数4.按振动的规律分为：简谐振动、周期振动、瞬态振动、随机振动(1)简谐振动是振动量为时间的正弦或余弦函数的一类周期振动(2)周期振动是指振动量可表示为时间的周期函数的一大类振动，可用谐波分析法将其展开成一系列简谐振动的叠加。
(3)瞬态振动是指振动量为时间的非周期函数，通常只在一定时间内存在。
(4)随机振动是指振动量为时间的非确定性函数的一大类振动，只能用概率统计的方法进行研究。
5按振动位移的特征分为：直线振动、圆振动（1）直线振动的特征是振动体上质点的运动轨迹是直线，包括振动体上质点只沿轴线方向振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动的横向振动（又称弯曲振动）（2）圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹为圆弧线，对轴线而言，振动体上的质点只作绕轴线的振动，也称角振动或扭转振动。
二、振动的表示方法1.机械振动的一般表示方法机械振动是一种特殊形式的运动。
复习-连续系统的振动
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
u(x,t) Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F( )sin[i (t )]d
10
二、 梁的弯曲振动
1. 运动微分方程
2 x2
EI (x)
2u(x,t)
x2
A(x)
2u( x, t ) t 2
f
( x, t )
2. 均匀梁自由振动方程
的解耦方程
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
1
qi i
l
t
0 Φi 0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, )sin[i (t )]d dx
9
（2）集中荷载 设在x＝x1处受集中力F(t)
q(t) Φi (x1)
dFi
dx
dx
0
l
0Fi AFidx Mi
l
0Fi
d dx
EA
dFi
dx
dx
i2 M i
6
8.初始条件的响应求解步骤 （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型。 （2）对振型函数标准化（正则化）
l
0Fi AFidx Mi 1
（3）将初始条件变换到标准坐标
l
q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
12
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2u( x, t ) x2
0,
3u( x, t ) x3
0
（x=0或l）
（4）集中质量
（5）弹簧
利用截面法研究微单元体的平衡。
高中物理选修课件第一章机械振动归纳与整理
应的措施进行补偿和校正。
02
雷达技术
在雷达技术中，多普勒效应被应用于目标检测和跟踪。通过测量反射回
来的雷达波的多普勒频移，可以确定目标的运动速度和方向，从而实现
目标的精确跟踪和定位。
03
声学技术
在声学技术中，多普勒效应被应用于声音的定位和识别。通过测量声音
的多普勒频移，可以确定声源的位置和运动状态，从而实现声音的精确
受迫振动：在外力作用下发生的振动 ，如共振现象中的受迫振动。
周期性振动与非周期性振动
01
周期性振动
02
非周期性振动
物体在平衡位置附近做周期性往复运动，如单摆、弹簧振子等。
物体的运动不具有周期性，即不重复出现相同的运动状态，如阻尼振 动、随机振动等。
02
简谐运动规律及特性
简谐运动定义及条件
定义
物体在一条直线上做周期性往返 运动，且在一定范围内位移与时 间关系符合正弦或余弦函数规律 ，这种运动称为简谐运动。
计算振动周期和频率
通过测量波动图像上相邻两个峰值或 谷值之间的时间间隔，可以计算出振 动的周期和频率。
06
多普勒效应及其在生活中 的应用
多普勒效应定义及原因
定义
多普勒效应是指波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的波的频率会发生变化的现象。
原因
当波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的波的频率会因为波源和观察者之间的距离变化而 发生变化。当波源向观察者靠近时，观察者接收到的波的频率会变高；当波源远离观察者时，观察者 接收到的波的频率会变低。
03
阻尼振动、受迫振动和共 振现象
阻尼振动现象及原因
阻尼振动现象
振幅逐渐减小的振动。
原因
机械振动教学大纲
《机械振动》教学大纲一、课程基本信息二、课程目的和任务《机械振动》是理论与应用力学等力学类本科专业必修的专业课程，同时也是机械、土建等工程学科本科和研究生培养的一门专业基础课程。
《机械振动》是一门系统地研究自然界和工程技术领域中振动现象的产生机理、运动规律、描述和控制方法的科学。
本课程教学应立足于加强学生的振动力学基础理论素养和相关基本技能培养，并着眼于拓宽学生的相关工程背景，提高科学建模能力，为今后学生能够创造性的从事相关理论研究或工程技术实践奠定必要的基础。
三、本课程与其它课程的关系本课程学习所需的主要选修课程为微分方程、矩阵理论、概率与统计、理论力学、材料力学等一系列数学、力学基础课程。
本课程教学应紧密结合相关的实验力学教学共同完成。
通过本课程的学习，为学生完成相关毕业设计课题奠定必备的基础。
四、教学内容、重点、教学进度、学时分配第一章绪论（2学时）1、主要内容机械振动的概念、振动理论研究体系、振动系统分类、简谐振动以及振动发展历史概述（选）2、本章重点机械振动的概念，振动理论研究体系，简谐振动3、本章难点振动系统分类4、教学要求从工程实践方面介绍广泛存在的振动现象，概括其特点和共同性，由此给出机械振动的科学概念。
指出振动理论的研究体系，分类的方法及振动力学的发展历史与现状，特别是指出振动力学在工程中的应用前景和应用价值；介绍相关参考书，提示学生在今后的学习中，从全书观点逐步理解分类的系统性。
第二章单自由度系统的自由振动（10学时）1、主要内容单自由度系统的无阻尼自由振动、等效质量与等效刚度、等效黏性阻尼和有阻尼自由振动。
2、本章重点建立振动微分方程、固有频率和振型、阻尼比、幅频和相频曲线与共振。
3、本章难点建立微分方程、固有频率、振幅减缩率和阻尼比。
4、教学要求介绍单自由度振动系统的工程实际背景，给出描述这一自然现象的力学模型，通过牛顿法和拉氏法建立数学模型及其简化理由和适用条件。
给出固有频率、阻尼特性及它们在自由振动中的物理意义，着重讲解幅频特性、相频特性曲线的物理意义及其在工程设计、控制中的重要作用。
03-1 弦的横向振动解析
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
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式中A, B或C,为积分常数，由初始条件y(x,0), y(x,0)确定。
10
d 2Y (x) 2Y (x) 0
dx2
(0 x L) （6.111）
a
而(6.1-11)的解应该是：
Y (x) Dsin x E cos x 振型函数 （6.113）
式中D, E为积分常数，由边界条件y(0,t), y(L,t)确定。
12
i
ia
L
i
L
T
(i 1,2,)
Yi
(
x)
sin
i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
FFi ((tt)) AAi ssiinntitBBci ocosst it
y(x,t) Y (x)F(t)
T x
dx sin(
x
dx) T
s in
f
( x, t )dx
sin tan y
x
dx
2 t
y
2
T
y x
2 y x2
dx
T x
y x
dx
T x
2 y x2
(dx)
2
T
y x
f
( x, t )dx
不计dx的二次项， 同除以dx：
2 y t 2
T
2 y x 2
T x
y x
f
( x, t )
8
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
弦存在着同步运动的特征： y(x,t) Y (x)F(t)
（6.1 8）
代入上式： Y (x) d 2F (t) a2 d 2Y (x) F (t)
dt 2
dx2
移项得：
1 d 2F (t) a2 1 d 2Y (x)
F (t) dt2
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。
4
6.1 弦的横向振动
y
y( x, t )
T (0,t)
弦两端固定，以张力 T 拉紧
o
在分布力作用下作横向振动
x
f (x,t)
dx
T (L,t) x
单位长度弦的质量
f (x,t) 单位长度弦上分布的作用力
dx T T dx
f dx
x dx
a
由此得无穷多个固有频率：
L i ,
a
i
ia
L
i
L
T
(i 1,2,) （6.116）
频率ω1称为基频或基谐波，较高次频率称为高次谐波。
高次谐波是基频的整数倍。对应无穷多个固有频率，就有无
穷多个固有振型函数：
Yi (x)
sin i
a
x
sin
i
L
x
(i 1,2)
（6.117）
此处D 省略，因为Y表示系统各点振幅的相对比值（振型）。
(0 x L)
（6.1 5）
弦的横向强迫 振动方程
如果f (x,t) 0，则弦的自由振动微分方程：
2 y t 2
a2
2 y x2
（6.1 6）
波动方程
其中：a
T/
弹性波沿弦向 的传播速度
7
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
y
弦存在着同步运动的特征： T
弦位移的形状不随时间改变
x
建立坐标系 xoy
y(x,t)
弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移 T(x,t)
dx
2 t
y
2
微段受力情况 达朗贝尔原理：
dx
2 y t 2
T (x,t)
T x
dx sin(
x
dx) T
s in
f
( x, t )dx
微振：
sin tan y
x
5
dx
2 y t 2
T (x,t)
2 y t 2
T x
y x
f
( x, t )
(0 x L)
此为弦的横向振动的偏微分方程
式中： (x), T T (x,t), y y(x,t)
6
2 y t 2
T x
y x
Hale Waihona Puke f( x, t )
(0 x L)
y
从图上看出，在两端：
T (0,t)
y(0,t) y(L,t) 0 （6.1 4） o
y(0,t) y(L,t) 0
（6.1 4）
Y (0) Y (L) 0
（6.114）
代入(6.1-13)得：
Y (0) E 0，Y (L) Dsin L 0
D 0 sin L 0
即，sin L 0
a
11
Y (x) Dsin x E cos x
（6.113）
sin L 0 这就是弦振动的特征方程。（6.115）
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。
• 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
（6.1 8）
d
2F (t) dt 2
2
F
(t
)
0
（6.110）
d
2Y (x) dx2
2Y
(
x)
0
a
(0 x L) （6.111）
这样，偏微分方程就变成两个二阶常微分方程，x, t.
而(6.1-10)的解应该是简谐的：
F(t) Asint B cost C sin(t )
（6.112）
o x
y( x, t ) f (x,t)
dx
T
x
但弦位移形状的幅度随时间改变，弦上各点同时达到最大幅值， 又同时通过平衡位置。 数学上讲，就是位移函数在时间和空
间上是分离的， 即位移函数可以写成：
y(x,t) Y (x)F(t) （6.18）
Y (x)表示弦的振动位形，只取决于x， F (t)表示弦的振动规律，只取决于t，
• 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系 统是完全类似的。
2
教学内容
• 弦的横向振动 • 杆的纵向振动 • 轴的扭转振动 • 梁的弯曲振动 • 振型函数的正交性 • 连续系统的响应·振型叠加法
3
说明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律。
Y (x) dx2
= 2
上式左端只依赖于t，右端只依赖于x. 要使等号两端对任意的
x和t都相等，必须都等于常数， 该常数用 2表示，得
d
2F (t dt 2
)
2
F
(t
)
0
d 2Y (x) 2
dx2 a2 Y (x) 0
9
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
令：y(x,t) Y (x)F(t)