函数单调性与奇偶性典型例题讲解ppt课件
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函数单调性与奇偶性典型例题讲解
又∵f(x)在 R 上递减， ∴x2－x+3x＜3,∴x2+2x－3＜0∴－3＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
人教版高中数学课件：正弦函数性质(单调性与奇偶性)新人教版
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=- |sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
, k , k
4
], k Z
4
y为增函数 y为减函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
3 4 3 4
,k Z ,k Z
为减区间。 为增区间。
当
2k
x 3
4
2k
2
6k
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
高三一轮函数的奇偶性与单调性54页PPT
高三一轮函数的奇偶性与单调性
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·—孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
1.3函数的基本性质——奇偶性1课件人教新课标
(是偶函数)
练习
3. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
4. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
《习案》P.168第3题
例1 已知函数f (x)是偶函数，而且 在(0，＋∞)上是减函数，判断f (x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数， 并证明你的判断.
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《学案》双基训练P.37-P.38.
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习
3. 如图⑴，给出了奇函数y＝f (x)的局部
图象，求f (－4).
y
y
2
2
O⑴
4 x – 3 –1 O ⑵ x
4. 如图⑵，给出了偶函数y＝f (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.
《习案》P.168第3题
例1 已知函数f (x)是偶函数，而且 在(0，＋∞)上是减函数，判断f (x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数， 并证明你的判断.
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且 f ( x) g( x) 1 ，求函数f (x)，g(x) x1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞)
上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1. 奇函数、偶函数的定义； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《学案》双基训练P.37-P.38.
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
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1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函 数的大致图象，然后观察图象得出结论．
2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利 用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注 意“求谁设谁”．
3．解含“f”的不等式，应具备两个方面： 一是能转化为 f(x1)＜f(x2)或 f(x1)＞f(x2)的形式； 二是 f(x)的单调性已知．特别是 f(x)为偶函数时， 应把不等式 f(x1)＜f(x2)转化为 f(|x1|)＜f(|x2|)的形 式，利用 x∈[0，＋∞)的单调性求解．
又 f(－2)＝－1， ∴f(2)＝3．
拓展提升：函数 f(x)，x∈R，若对于任意实数 a，b 都有 f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
奇偶函数的图象及应用 已知函数 f(x)＝x2＋1 1在区间[0，＋∞)上的图象
如图 2－2－4 所示，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定 义域内的图象，请说明你的作图依据．
图 2－2－4
【思路探究】 先证明 f(x)是偶函数，依据其图象关于 y 轴对称作图． 解：∵f(x)＝x2＋1 1，∴f(x)的定义域为 R．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)ห้องสมุดไป่ตู้0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
【答案】 (－2，0)∪(2，5]
利用函数的奇偶性求解析式
已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝x3＋x
＋1，求 f(x)的解析式．
解：∵f(x)为 R 上的奇函数，∴f(0)＝0． 令 x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
从而－f(x)＝－x3－x＋1，即 f(x)＝x3＋x－1.
∴x＜0 时，f(x)＝x3＋x－1．
∴f(x)＝x03，＋x－1，
x＜0 x＝0
．
x3＋x＋1， x＞0
1．本题在求 x＜0 时，f(x)的解析式，用了化归的思想， 即把待求 x＜0 的范围向已知范围 x＞0 转化．
2．如果奇函数 f(x)在原点处有定义，则 f(0)＝0．
又 f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－1． 【答案】 －1
4．已知 f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈R)，若 f(－2)＝－1， 则 f(2)的值＝___3______．
解：易见 f(2)＝8a－2b＋1，………① f(－2)＝－8a＋2b＋1，……②
由①＋②得，f(2)＋f(－2)＝2，
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，xx，＜x0＞0 ．
(3)①当 x＜0 时，－x＞0， 且 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； ②当 x＞0 时，－x＜0， 且 f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)． 综上所述，对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 总有 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
x＞0 x＜0
．
已知 f(x)是 R 上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数， 若有 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立，求实数 a 的取值范围． 解：因偶函数 f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
故其图象关于 y 轴对称，且在区间(－∞，0)上是减函数． 又 f(－2a＋3)＞f(2a－1)成立， 根据 f(x)图象性质可知：|－2a＋3|＞|2a－1|． 两边平方得：(－2a＋3)2＜(2a－1)2， 整理得：8＞8a，解 a＜1， 所以实数 a 的取值范围为(－∞，1)．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
请关注：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用 f(x1)与 f(x2) 的大小关系推出 x1 与 x2 的关系时，必须要注意 x1 与 x2 是否 属于同一个单调区间，若不属于同一个单调区间，需要利用 奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点．
又对任意 x∈R，都有 f(－x)＝(－x1)2＋1＝x2＋1 1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数． 则 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图象如图所示：
1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原 点对称，偶函数图象关于 y 轴对称，画图象时，一般先找出 一些关键点的对称点，然后连点成线．
2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得 到作函数图象的简便方法，如作出函数 y＝|x|的图象．因为 该函数为偶函数，故只需作出 x≥0 时的图象，对 x≤0 时的 图象，关于 y 轴对称即可．
1．函数 y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则 a＝ ________.
解：由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称， ∴2a－3＝－a，且 2a－3＜－a，解之得 a＝1．
【答案】 1
3．已知函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f(x) ＝1，则 f(－2)的值为________． 解：∵当 x＞0 时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x－1x；
解：(1)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 又 f(－x)＝(－x)－－1x＝－(x－1x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(2)易知 f(x)的定义域为 R，它关于原点对称， 且 f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数；