光学实验所涉及计算表达和误差传递公式

光学实验所涉及计算表达和误差传递公式
复习围绕着○1实验原理、○2主要仪器结构、○3步骤、○4误差分析、○5数据处理
1 薄透镜焦距测定
共轭法测薄凸透镜的焦距公式为：
l
l f 422∆-= 或l l f 442∆-= （1）
式中l 为物屏到像屏之间的距离（注：f l 4>），∆为两次成像时透镜移动的距离。

22
441l l f ∆+=∂∂ （2） l
l f 2∆
-=∂∂ （3） 因此焦距的误差传递公式为：
()()()∆∆∆22222
22
4441c c c u l l u l f u +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+= （4）
其中()l u c 和()∆c u 分别代表l 和∆的综合不确定度。

对于同一透镜，焦距f
为某一定值，l 取
大些，∆也随之增大，因此2
2
4l
∆这一比值如何变化不好判断。

由焦距表达式两边同除以l 得：
2
2441l l f ∆-= （5） 整理一下可得：
l
f l -=41422∆ （6）
将（6）式代入（4）式可得：
()()()∆22
2
4121c c c u l f l u l f f u ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （7）
这样就容易看出：其中()l u c 和()∆c u 的大小虽然每次做实验都会不一样，这是我们无法控制的，
但我们可以控制传递公式中传递系数，()l u c 的传递系数为l f -21，()∆c u 传递系数为l
f
-41，
这两个传递系数随着l 增大而增大，因此在同样的()l u c 和()∆c u 的情况下，误差也就越大，因此l 只要稍大于f 4即可，这样有利于减小共轭法测焦距的误差。

2 分光计的调节和使用
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--︒=2''1802211θθθθA ()()()''2
1222112
θθθθ-+-=u u A u
其中()'11θθ-u 、()'22θθ-u 分别代表'11θθ-和'22θθ-的综合不确定度
3 迈克尔孙干涉仪测钠灯波长
波长计算公式为：
N
d 2=
λ 式中d 为条纹涌出数目N
所对应可动反射镜移动的距离。

容易求得其误差传递公式为：
()()()()()()()2
22
2
22
2
22⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N u d u N N N u d u d N N u d d u u c
c c
c c c
c λλλλλ
对于某一光源而言，其波长为一定值，由上式容易分析得出：实验测量过程转动微动手轮使得从环心处涌现的条纹数目N 尽可能多，这样有利提高波长的测量精确度。

4 光栅衍射测汞灯光谱
j d or d j /sin sin θλθλ==（实验时测量1级谱线的衍射，因此
j 取1）
0sin θλj d =
()()()0000
2
cot sin cos θθθθθλu d u j d u == 由此可知：测量光栅常数d 宜选择衍射角较大的谱线，这有利于提高光栅常数的测量精确度，因此实验过程我们选择546.07nm 绿色谱线。

()()()()[]()()[]()()[]{}()[]()[]()[]2
2002
2002
2002
2002
2cot cot cot cot sin cos sin cot sin sin cos sin cot sin cos sin θθθθλ
θθλθθλθθθθθθθθθθθθθθθθθλu u u u u j d u j d u j d u d j u j d d u j u +=+=⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
综合可知，提高波长测量精确度的措施有：（1）汞灯谱线中选择波长较大且衍射级次大的谱线来测
量光栅常数；（2）测量级次高的衍射谱线来测相应谱线波长。

5 最小偏向角测棱镜折射率
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=
2sin 2sin A A n m δ 或2sin 2cot 2cos 2
sin 2sin 2cos 2cos 2sin m
m m
m A A A
A n δδδδ+=+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=
∂∂2sin 2cos 21A A n m m δδ ⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2sin 22sin 2A A n m δ
()()()()()()()2
22222
22222
222sin 22sin 42sin 412sin 22sin 2sin 42sin 12sin 22sin 2sin 22cos ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A u A u n A A u A u A A A u A u A A n u c m m c c m m c m c m m c m δδδδδδδδ
6 掠入射法测棱镜折射率
()A
n 2
2
sin sin cos 1ϕ+A +
=
根据误差传递规律自己求出上面这个表达式的误差传递公式
7 牛顿环测平凸透镜的曲率半径
()λ
n m d d R n
m --=
422
()()
()2
2
222
2⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=λλc n m n
m c c u d d d d u R R u
8 读数显微镜放大本领测量
o
l l M '=
()()()()()()[]()[]222
2
2
22
0'1
'''o c c o
o o c o c o c o c l Mu l u l l l u M l l u l u l l l l u M u +=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 其中o l 和'l 不确定度分别为()o c l u 和()'l u c 。

由上式可知：测量放大率时物体上选取长度o l 应尽可能长一些，这有利于提高测量精确度；不确定度()o c l u 和()'l u c 如果都采用米尺测量，则根号
里头第二项对放大率测量的影响远远超过第一项，换句话说这将使得多次测量物经读数显微镜放大像的大小变得毫无意义，因此为了减小第二项影响，应合适选用测量工具（比如精确度高的读数显微镜）测量物的大小，这样第二项中系数()o c l u 将大幅度减小。

9 光的偏振特性研究
θ20cos I I =
验证马吕斯定律时误差来源：
（1）硅光电池检测光强时，电路中所产生的电流大小i 与入射到硅光电池上的光强I 不是严格线性正比关系，这导致i 大小无法准确反映I 的大小。

（2）测量角度元件上刻度盘上一小格就是1度，没有像分光计上设置两个角游标用以消除偏心所带来的误差
（3）激光器输出激光的功率稳定性也在一定程度上影响了测量精确度提高
10 菲涅尔双棱镜干涉测钠灯波长
δλl
d =
()()()()2
2
2
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l l u u d d u u δδλλ
从上式容易分析提高波长测量精确度的措施：
（1） 尽量增大狭缝到观察屏之间的距离l ，可减小开根号里头第三项的数值
（2） 适当增大狭缝到双棱镜之间的距离，两虚光源之间的距离d 越大，有利于减小误差传递
公式中第一项数值。

（3）当l和d一定，考虑到近轴区域的相邻条纹间隔δ为一常数，可采用测连续多个条纹首尾条纹之间的间隔∆，这样有助于减小开根号里头第二项数值。