3.2 第四讲 权及中误差的计算

n),
它们的方差为
2 i
,
如选定任一常数
，则定义
0
:
pi


2 0

2 i
称为观测值Li的权。权与方差成反比。
p1 : p2 :
pn


2 0
12
:

2 0 2 2
:
:

2 0 2 n

1

2 1
:
1

2 2
:
:
1

2 n
一、权与定权的常用方法
例：已知km ,1 2km ,2 4km ,3 3km ,
2 由改正数计算中误差
在进行n次观测时，求得观测值的改正数V=[v1 v2 … vn ]T之后，进而可求得中误差
（1）当n有限时，等精度观测的情况下，单位权中误差估值为

0
vv
n 1
白塞尔公式
（2）若是不等精度观测，而且观测对象不止一个而是t个的情 况下，单位权中误差估值为：

0
pvv
差数的真误差为：
按权倒数传播律可得差数的权为：
1 11 2
pdi pi pi pi
pdi

pi 2
用不等精度观测的真误差计算单位权中误差估值为：
可得
ˆ0
pd d d n
p dd 2
n
pdd
2n
4 由双观测值之差计算中误差
观测对之差的单位权中 误差为

0
pd dd
一、权与定权的常用方法
2、单位权中误差
令σi=σ0，则得:
Pi

2 0
2 i

2 0
2 0

1
0称为单位权中误差，权等于1的观测值称为单位权观测值。
一、权与定权的常用方法
例：在图中水准网中，在认为每公里观测值高差的精 度相同的前提下，确定各条路线的权
S1=1.0km S2=2.0km S3=4.0km S4=8.0km
nt
，
，
3
由三角闭合差求测角中误差
已知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和
闭合差为 i ，求测角中误差 ˆ ？
三角形的闭合差是中误差， 当n有限内角和的中误差为
ˆ

n
设三角形观测时每个内角的测角中误差相等 ˆ ，且独立，
则由误差传播律得
ˆ 2 3ˆ 2
一、权与定权的常用方法
例1：设对丈量10公里的距离，同精度丈量10次，令其平 均值的权为5，每次丈量10公里的权为多少？现以同样等 级的精度丈量2.5公里的距离。问丈量此距离一次的权是 多少？在本题演算中是以几公里的丈量中误差作为单位 权中误差的？
解：由同精度观测值的算术 平均值的基本公式得
pL

解：令C=1.即1km观测高差为单位权观测值，其数字计算列于表
（1）单位权中误差为
0 km
5
pidi2
i 1

2n
92.5 3.0mm 10
（2）第二段观测高差的中误差为
2 0
1 3.0 3.2 5.4mm p2
（3）第二段高差平均值的中误差为
L2

2
经检验，各闭合差包含有系统性的常误差 0.5
1、求这组闭合差的中误差； 2、各角观测值的中误差； 3、每测回观测值的中误差
3 由三角闭合差求测角中误差
解：１）由于包含系统误差，故偶然误差 i 为：
2.0 2.0 4.0 3.0 3.0 1.0 5.0 2.0 3.0
ˆ
1 3
ˆ


3n
菲列罗公式
3 由三角闭合差求测角中误差
例1：对一三角形的三个角进行了九组同精度 的观测，各组观测值是对各角分别观测四回的平均 值，得到三角形闭合差为：
2.5 1.5 3.5 3.5 2.5 0.5 5.5 2.5 2.5
2
3.8mm
（4）全长一次观测高差的中误差为
5
全 0 Si 3.0 15.2 11.7mm i 1
若 0
2 km
则
p1 1, p2

2, 4
p3

2 3
若 0
4 km
则
4 p1 2, p2 1, p3 3
一、权与定权的常用方法
1）权的大小随02 而变化，但权比不会发生变化。 2）选定了02，即对应了一组权。 3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 4）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和ｉ的单位而 定。 5）方差之间比例关系的数字特征。

2 0 2 L


2 0
( 2 n)

n

2 0 2
np
所以每次丈量10km的距离的权为：
p10

pL n
5 10
0.5
长度为
S i 的距离的权为：Pi

C Si
P10

C 10
C 5
P2.5

C 2.5

2
σ02=Cσ2KM
本题演算中是以5km距离一次丈量 中误差作为单位权中误差的。
设对量X1，X2，…Xn各观测两次，得独立观测值为：
L1' , L'2 , , L'n L1'' , L'2' , , L'n'
双观测差数为： d L'i L'i'
又设同一对观测时等精度的，不同的观测对精度不同，且 各观测对的权为
求单位权中误差？
4 由双观测值之差计算中误差
一对观测的差数为：
由２＝[n]

81 9

9
则这组闭合差的中误差为：
3
２） 由于２＝3２L
3）由于２L＝
1 4
２ 一测回
所以
＝
L

3
所以一测回＝ 2 L 2 3
4 由双观测值之差计算中误差
在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对 的观测，这成对的观测称为双观测
二、单位权中误差的计算
1 由真误差计算中误差
设观测值为Li，i=1，2，…，n；数学期望为u，观测
的真误差为 i ，并且服从正态分布，
（1）等精度观测的情况下，单位权中误差估值为：


0

n
（2）不等精度观测的情况下，单位权中误差估值为：

0
p
n
二、单位权中误差的计算
2 km
S
2 km

C S
水准测量中高差的权与路线长成反比
一、权与定权的常用方法
3、测量上确定权的常用方法举例
（3）水准测量的权 设每站观测高差独立且等精度，每站中误差为σ站
n站所测的总高差为：
σh2=nσ2站 σ02=Cσ2站
总高差的权为
ph


2 0 2 h

C
2 站
n 2站

C n
3、测量上确定权的常用方法举例
（1）同精度独立观测算术平均数的权
L

1 n
(wenku.baidu.com
L1

L2


Ln )
p


2 0 2
2 L


1 n

2
(
2 1


2 2



2 n
)


1
2

n
2
n

12
n
pL


2 0 2
L


2 0
( 2 n)

n

2 0 2
np
n
pdd
2n
当所有观测对为等精度是， 其单位中误差为

0
dd
2n
对于单个观测值而言，其中误差为 第i个观测对的平均值的中误差



Li ' Li '' 0
1 pi


L
Li ''
2

0
1 2 pi
例：设分5段测定A,B两水准点间的高差，每段各测两次 ，其结果列于下表，试求（1）每公里观测高差的中误差， （2）第二段观测高差的中误差，（3）第二段高差的平均 值的中误差，（4）全长一次（往返测）观测高差的中误差
设每公里观测值高差的方差为 σ2公里 ,各水准路线的方差为
σ12=S1σ2公里 σ22=S2σ2公里 σ32=S3σ2公里
令： σ02=σ12 按权的定义各路线观测值的权为
σ42=S4σ2公里
σ02=σ42 ???
P1=1.0, P2=0.5， P3=0.25， P4=0.125
一、权与定权的常用方法
本节内容
一、权与定权的常用方法
• 权的定义 • 单位权 • 测量中常用的定权方法
二、单位权中误差的计算
• 由真误差计算中误差 • 由改正数计算中误差 • 由三角形闭合差计算测角中误差 • 由双观测值之差计算中误差
第四讲 权与单位权中误差
一、权与定权的常用方法
1、权的定义
设Li
(i

1,2,...,
算术平均数的权是等精度观测值的权的n倍
一、权与定权的常用方法
3、测量上确定权的常用方法举例
（2）水准测量的权
设每公里观测高差独立且等精度，每公里中误差为σkm 设水准路线长S，且Skm的观测高差值为h，有
σh2=Sσ2km
σ02=Cσ2km
则有Skm的观测高差的权为：
ph


2 0 2 h

C