数值计算中误差的传播规律

数值计算方法

实

验

报

告

实验序号：实验一

实验名称：数值计算中误差的传播规律

实验人：

专业年级：

教学班：

学号：

实验时间：

实验一 数值计算中误差的传播规律

一、实验目的

１．观察并初步分析数值计算中误差的传播；

２．观察有效数字与误差传播的关系．

二、实验内容

1．使用MATLAB 的help 命令学习MATLAB 命令digits 和vpa 的用途和使用格式；

2．在4位浮点数下解二次方程01622=++x x ；

3．计算下列５个函数在点2=x 处的近似值

（1）60)1(-=x y ，

（2）6

1)1(1+=x y ， （3）32)23(x y -=，

（4）3

3)23(1x y +=， （5）x y 70994-=．

三、实验步骤

本次实验包含三个相对独立的内容．

1．在内容１中，请解释两个命令的格式和作用；

在matlab 中采用help 语句得到：

1、digits用于规定运算精度，比如： digits(20); 这个语句就规定了运算精度是20位有效数字。但并不是规定了就可以使用，因为实际编程中，我们可能有些运算需要控制精度，而有些不需要控制。vpa就用于解决这个问题，凡是用需要控制精度的，我们都对运算表达式使用vpa函数。

例如： digits(5); a=vpa(sqrt(2)); 这样a的值就是1.4142，而不是准确的1.4142135623730950488016887242097 又如： digits(11);

a=vpa(2/3+4/7+5/9); b=2/3+4/7+5/9; a的结果为1.7936507936，b的结果为1.793650793650794......也就是说，计算a的值的时候，先对2/3，4 /7，5/9这三个运算都控制了精度，又对三个数相加的运算控制了精度。而b的值是真实值，对它取11位有效数字的话，结果为1.7936507937，与a不同，就是说vpa 并不是先把表达式的值用matlab本身的精度求出来，再取有效数字，而是每运算一次都控制精度。

2．求解方程时，分别使用求根公式和韦达定理两种方法，并比较其有效数字和相对误差；

用求根公式解得：x1=-0.015,x2=-62.00

用韦达定理解得：x11=-0.016,x22=-62.00

x22=x2,x11=1/x22

该方程相对精确的解为：

Er1表示用求根公式求得的相对误差，Er2表示用韦达定理求得的相对误差

x1有1位有效数字，x2有3位有效数字；

x11有4位有效数字，x22有3位有效数字。

3．实验内容３中的５个函数在2=x 处的精确值都是相等的，若取4.12≈进行计算，计算各函数的结果，作图观察并比较它们的绝对误差（作图区间可取

]

.1,4.1[甚至更小）,并从算法设计原则上说明原因．

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Matlab计算如下：

作图比较如下：

计算绝对误差：

结论：当x=1.4时，结果的好坏次序是y3,y1,y0,y2,y4.导致y4的结果出现很大误差的原因是大数70作了乘数，y2误差的原因是小数0.2作为了乘数，其余的结果还是比较好的，误差都不至于太大。

由此可知,不同的计算方法会导致不同的结果，相应结果中误差的放大程度也不同，所以我们在计算的过程中应尽量遵循计算原则，注意以下几点：小数不能作为乘数，大数不能作为除数，避免大数吃小数，避免相近的数相减，简化计算步骤等。