数值计算的误差
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1-2数值计算的误差
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
数值计算中的误差
∴ n=3
r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
1.3.4 有效数字与相对误差
例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相
对误差限
解：已知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得
r*=1/2x1 10-1
x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下 讨论：当
e(x* ) x x* dx
er (x* )
e* x
x x* x
dx x
d ln x
1.4.2 算术运算误差
由d( x±y)=dx±dy 可得两数之和(差）的
误差等于两数的误差之和（差）；
由 d ln(x y) d ln x d ln y 可得两数之积
的相对误差等于两数的相对误差之和；
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x* *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
1.3 误差的度量
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2
一般情况，当f(x)≈f(x*)时，可用泰勒展开 f (x) f (x* ) f (x* )(x x* ) f (x) (x x* )2
由
d
ln
x y
d
ln
x
d
ln
y
可得两数商的相
对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差
。
例12 正方形的边长约为100cm,怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2 ?
数值计算中的误差
曲线拟合的最小二乘法
法方程：带权离散内积 正交多项式法：关于离散点集的带权正交多项式
3
第四章
数值积分
插值型求积公式
机械求积公式，代数精度及其计算方法，收敛性，稳定性 梯形公式，抛物线（Simpson）公式，Newton-Cotes公式 余项估计（三步曲）
复合求积公式：复合梯形公式，复合Simpson公式 Romberg算法
梯形法的递推计算，Romberg外推思想与计算过程
Gauss求积公式
Gauss点的计算，Gauss系数的计算 Gauss-Legendre公式，Gauss-Chebyshev公式
数值微分
向前一阶差分，向后一阶差分，余项计算 中心差分（一阶导数，二阶导数，推导过程），余项计算
4
正交多项式
正交多项式族，首项系数为 1 的正交多项式递推公式 Legendre多项式，Chebyshev多项式，Chebyshev插值多项式
最佳逼近
最佳平方逼近：法方程，Hilbert矩阵，正交多项式法(推广到一般区间) n 次多项式的 n-1 次最佳一致逼近(推广到一般区间) ，Chebyshev级数
Hermite 插值
两点三次，三点三次，推导过程，余项推导
分段低次插值
分段线性插值，分段Hermite插值，余项推导
三次样条插值
三次样条函数，三弯矩方程2第三章源自范数与内积函数逼近
范数与内积的定义，常见范数与内积：Rn, C[a, b] 正交，Cauchy-Schwarz 不等式，Gram矩阵 带权内积，权函数，内积导出范数
第一章 数值计算中的误差
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
数值计算中的误差课件
在进行数值计算时，舍入误差是不可避免的，但可以通过一些方法来减小其影响。
截断误差
01
02
03
04
截断误差是由于对无限循环小 数或无穷级数进行截断而产生
的误差。
当我们使用有限项来近似表示 一个无限循环小数或无穷级数
时，就会产生截断误差。
截断误差的特点是它是一个无 界误差，可能会随着近似项的 增加而逐渐减小，但永远不会
VS
结论
根据误差分析报告，得出关于模型准确性 的结论。例如，如果误差分析结果表明模 型预测结果不够准确，那么需要进一步改 进模型或调整模型参数。
THANKS
感谢观看
数据类型
选择适当的数据类型可以减少计算过程中的误差。例如，对于精度要求较高的 计算，应使用浮点数；对于范围较大的数值，应使用定点数。
利用数值稳定性技巧
舍入策略
采用适当的舍入策略可以减少误差。例如，四舍五入或向上取整可以减少舍入误 差。
迭代收敛
通过迭代法求解方程时，应选择收敛速度较快的算法以减少误差。例如，梯度下 降法和牛顿法具有较好的收敛性能。
03
算法误差分析
迭代法与收敛性
迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解来 求解方程的方法。常见的迭代法 有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel
迭代法等。
收敛性
收敛性是指迭代法是否能得到准确 解的过程。一般来说，收敛速度越 快，误差越小。
误差分析
对于不同的迭代法，需要进行误差 分析，比较各种方法的优劣。
最小二乘法与回归分析
数据拟合
最小二乘法可以找到最佳 拟合数据的数据集，但可 能存在过拟合现象。
病态性
当数据集具有病态性时， 使用最小二乘法可能导致 误差增大。
截断误差
01
02
03
04
截断误差是由于对无限循环小 数或无穷级数进行截断而产生
的误差。
当我们使用有限项来近似表示 一个无限循环小数或无穷级数
时，就会产生截断误差。
截断误差的特点是它是一个无 界误差，可能会随着近似项的 增加而逐渐减小，但永远不会
VS
结论
根据误差分析报告，得出关于模型准确性 的结论。例如，如果误差分析结果表明模 型预测结果不够准确，那么需要进一步改 进模型或调整模型参数。
THANKS
感谢观看
数据类型
选择适当的数据类型可以减少计算过程中的误差。例如，对于精度要求较高的 计算，应使用浮点数；对于范围较大的数值，应使用定点数。
利用数值稳定性技巧
舍入策略
采用适当的舍入策略可以减少误差。例如，四舍五入或向上取整可以减少舍入误 差。
迭代收敛
通过迭代法求解方程时，应选择收敛速度较快的算法以减少误差。例如，梯度下 降法和牛顿法具有较好的收敛性能。
03
算法误差分析
迭代法与收敛性
迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解来 求解方程的方法。常见的迭代法 有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel
迭代法等。
收敛性
收敛性是指迭代法是否能得到准确 解的过程。一般来说，收敛速度越 快，误差越小。
误差分析
对于不同的迭代法，需要进行误差 分析，比较各种方法的优劣。
最小二乘法与回归分析
数据拟合
最小二乘法可以找到最佳 拟合数据的数据集，但可 能存在过拟合现象。
病态性
当数据集具有病态性时， 使用最小二乘法可能导致 误差增大。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
数值计算中的误差分析
数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。
本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。
一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。
主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。
在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。
这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。
这些近似方法往往会引入截断误差。
当近似的项数增多时，截断误差会减小。
因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。
2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。
计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。
特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。
这个过程中，会引入舍入误差。
舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。
为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。
二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。
以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。
绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。
相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。
绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。
2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。
截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。
这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。
3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。
当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。
稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。
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3
误差举例
∫ 例：近似计算 1 e − x2 dx 0 解：将 e−x2 作Taylor展开后再积分
∫ ∫ 1 e−x2 dx =
1
(1 −
x2
+
x4
−
x6
+
x8
−
) dx
0
0
2 ! 3! 4!
=1− 1 + 1 ×1 − 1 × 1 + 1 ×1 − 3 2! 5 3! 7 4! 9
∫ 取
er* =
x* - x x
为近似值 x* 的 相对误差。
由于精确值难以求出，通常也采用下面的定义
x* - x
er* = x*
若存在正数 εr*，使得 |er*| ≤ εr*，则称 εr*为 相对误差限
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 绝对误差限 或 相对误差限
8
有效数字
定义：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字。
例：π = 3.14159265 ··· ，近似值
x1 = 3.1415，x2 = 3.1416
问：x1, x2 分别有几位有效数字？
（4, 5）
例：根据四舍五入原则写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值： 187.9325，0.03785551，8.000033
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 数学模型的数值求解 —— 截断误差（方法误差） 机器字长有限 —— 舍入误差
在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模
型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算
结果的影响。
第一章
数值计算的误差
1
内容提要
误差 误差的来源 绝对误差与相对误差 误差限 有效数字 误差估计
误差分析与数值稳定性 数值计算中算法设计的技术 数学软件（略）
2
什么是误差
误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科
学计算中的一个十分重要的概念。
误差的来源
0.5 × 10k-1 < |x*- x| ≤ 0.5 × 10k 则 x* 有 m-k+1 位有效数字。
x*有 n 位有效数字
0.5 × 10m-n < |x*- x| ≤ 0.5 × 10m-n+1
有效数字与相对误差限
定理：设近似值 x* 可表示为
x* = ± a1.a2···an ··· ×10m (a1≠0)，
20cm±0.1cm.
Of course mine is more accurate ! The
accuracy relates to not
only the absolute error, but also to the size of the exact value
7
相对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
2 f ( x*) − f ( x) ≈ f '( x*) x * − x
ε ( f ( x*)) ≈ f '( x*) ε ( x*)
13
误差估计
多元可微函数 f (x) 的误差估计 设多元函数 f (x) 可微， x*=(x1*, x2*, ⋅⋅⋅, xn*) 为 x = (x1, x2, ⋅⋅⋅, xn) 的近似值，则有
( ) ( ) ( ) ( ) ε
x1∗ x2∗
≤
|
x2∗
|
ε
x1∗ + | x1∗ | ε
| x2∗ |2
x2∗
+ ... ≈ | x2∗ | ε
x1∗ + | x1∗ | ε
| x2∗ |2
x2∗
12
误差估计
一元可微函数 f (x) 的误差估计 设一元函数 f (x) 可微，x*为 x 的近似值，则有 f ( x) − f (= x*) f '( x*)( x − x*) + f "(ξ ) ( x − x*)2
做误差估计时所求的是绝对误差限，越小越好！ 但绝对误差限却不能很好地表示近似值的精确程度
6
相对误差
I can tell that distance between
two planets is 1 million light year
±1 light year.
I can tell that this part’s diameter is
5
绝对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
e* = x* - x
为近似值 x* 的绝对误差，有时简称误差。
绝对误差可正可负 绝对误差通常是不可知的
x — 精确值 x* — 近似值
定义：存在一个正数 ε* ，使得，
|e*| = |x* - x| ≤ ε* 则称 ε* 为绝对误差限，简称误差限。记： x = x*± ε*
1 e − x2 dx
0
≈
S4
S4
R4
则 R4 =
1 4!
×
1 9
−
1 5!
×
1 11
+
称为 截断误差
4
误差举例
∫ 1 e− x2dx 0
≈
S4
=1 − 1 + 1 − 1 3 10 42
保留小数点后 4 位数字
≈ 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238
= 0.7429
舍入误差
（187.93，0.037856，8.0000）
按四舍五入原则得到的数字是有效数字 一个数末尾的 0 不可以随意添加或省略
9
有效数字
另一个比较实用的描述 设 x* 为 x 的近似值，若 x* 可表示为
x* = ± a1.a2···an ··· × 10m
其中 ai 是 0 到 9 中的数字且 a1≠0 ，且有
若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足
反之，若
x∗ − x x∗ ≤
1 × 10-(n-1)
2a1
x∗ − x x∗
≤
1 × 10-(n-1)
2(a1+1)
则 x* 至少有 n 位有效数字。
证明：板书
有效数字越多，相对误差限越小
11
误差估计
误差估计：估计误差限或相对误差限
简单算术运算的误差估计
记 ε (x*) 为 x* 的误差限，则有
( ) ( ) ( ) ε x1∗ ± x2∗ ≤ ε x1∗ + ε x2∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε x1∗x2∗ ≤ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗ + ε x1∗ ε x2∗
( ) ( ) ≈ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗
误差举例
∫ 例：近似计算 1 e − x2 dx 0 解：将 e−x2 作Taylor展开后再积分
∫ ∫ 1 e−x2 dx =
1
(1 −
x2
+
x4
−
x6
+
x8
−
) dx
0
0
2 ! 3! 4!
=1− 1 + 1 ×1 − 1 × 1 + 1 ×1 − 3 2! 5 3! 7 4! 9
∫ 取
er* =
x* - x x
为近似值 x* 的 相对误差。
由于精确值难以求出，通常也采用下面的定义
x* - x
er* = x*
若存在正数 εr*，使得 |er*| ≤ εr*，则称 εr*为 相对误差限
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 绝对误差限 或 相对误差限
8
有效数字
定义：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字。
例：π = 3.14159265 ··· ，近似值
x1 = 3.1415，x2 = 3.1416
问：x1, x2 分别有几位有效数字？
（4, 5）
例：根据四舍五入原则写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值： 187.9325，0.03785551，8.000033
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 数学模型的数值求解 —— 截断误差（方法误差） 机器字长有限 —— 舍入误差
在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模
型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算
结果的影响。
第一章
数值计算的误差
1
内容提要
误差 误差的来源 绝对误差与相对误差 误差限 有效数字 误差估计
误差分析与数值稳定性 数值计算中算法设计的技术 数学软件（略）
2
什么是误差
误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科
学计算中的一个十分重要的概念。
误差的来源
0.5 × 10k-1 < |x*- x| ≤ 0.5 × 10k 则 x* 有 m-k+1 位有效数字。
x*有 n 位有效数字
0.5 × 10m-n < |x*- x| ≤ 0.5 × 10m-n+1
有效数字与相对误差限
定理：设近似值 x* 可表示为
x* = ± a1.a2···an ··· ×10m (a1≠0)，
20cm±0.1cm.
Of course mine is more accurate ! The
accuracy relates to not
only the absolute error, but also to the size of the exact value
7
相对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
2 f ( x*) − f ( x) ≈ f '( x*) x * − x
ε ( f ( x*)) ≈ f '( x*) ε ( x*)
13
误差估计
多元可微函数 f (x) 的误差估计 设多元函数 f (x) 可微， x*=(x1*, x2*, ⋅⋅⋅, xn*) 为 x = (x1, x2, ⋅⋅⋅, xn) 的近似值，则有
( ) ( ) ( ) ( ) ε
x1∗ x2∗
≤
|
x2∗
|
ε
x1∗ + | x1∗ | ε
| x2∗ |2
x2∗
+ ... ≈ | x2∗ | ε
x1∗ + | x1∗ | ε
| x2∗ |2
x2∗
12
误差估计
一元可微函数 f (x) 的误差估计 设一元函数 f (x) 可微，x*为 x 的近似值，则有 f ( x) − f (= x*) f '( x*)( x − x*) + f "(ξ ) ( x − x*)2
做误差估计时所求的是绝对误差限，越小越好！ 但绝对误差限却不能很好地表示近似值的精确程度
6
相对误差
I can tell that distance between
two planets is 1 million light year
±1 light year.
I can tell that this part’s diameter is
5
绝对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
e* = x* - x
为近似值 x* 的绝对误差，有时简称误差。
绝对误差可正可负 绝对误差通常是不可知的
x — 精确值 x* — 近似值
定义：存在一个正数 ε* ，使得，
|e*| = |x* - x| ≤ ε* 则称 ε* 为绝对误差限，简称误差限。记： x = x*± ε*
1 e − x2 dx
0
≈
S4
S4
R4
则 R4 =
1 4!
×
1 9
−
1 5!
×
1 11
+
称为 截断误差
4
误差举例
∫ 1 e− x2dx 0
≈
S4
=1 − 1 + 1 − 1 3 10 42
保留小数点后 4 位数字
≈ 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238
= 0.7429
舍入误差
（187.93，0.037856，8.0000）
按四舍五入原则得到的数字是有效数字 一个数末尾的 0 不可以随意添加或省略
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有效数字
另一个比较实用的描述 设 x* 为 x 的近似值，若 x* 可表示为
x* = ± a1.a2···an ··· × 10m
其中 ai 是 0 到 9 中的数字且 a1≠0 ，且有
若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足
反之，若
x∗ − x x∗ ≤
1 × 10-(n-1)
2a1
x∗ − x x∗
≤
1 × 10-(n-1)
2(a1+1)
则 x* 至少有 n 位有效数字。
证明：板书
有效数字越多，相对误差限越小
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误差估计
误差估计：估计误差限或相对误差限
简单算术运算的误差估计
记 ε (x*) 为 x* 的误差限，则有
( ) ( ) ( ) ε x1∗ ± x2∗ ≤ ε x1∗ + ε x2∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε x1∗x2∗ ≤ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗ + ε x1∗ ε x2∗
( ) ( ) ≈ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗