数值计算的误差

定义
若有一个适当小的正数 ，使
*
| e( x*) || x * x | *
则
* 称为近似值 x* 的绝对误差限。
有时用 x x * 表示近似值x*的 精度或准确值的所在范围。
注：在实际问题中，绝对误差和绝对误差 限一般是有量纲的。
例如，测得某物体的长度为5m，其误 差限为0.01m
（参见书p6?!）
例：精确数有多少位有效数字？ 答：无穷多位有效数字
有效数字的性质 有效数字的位数可刻画近似 数的精确度。有效数字越多，则 相对误差越小。
六、数值运算的误差估计
1. 利用微分估计误差
(1) 一元函数的函数值计算误差估计
问题：设y=f(x)，x的近似值为x*，则 y的近似值 y*的误差如何计算？
解：e( y*) dy f ( x*)dx f ( x*)e( x*)
dy er ( y*) y f ( x*)e( x*) f ( x*) x* f ( x*) er ( x*) f ( x*)
因为
故相应的误差限估算如下
x* r ( y*) f ( x*) r ( x*) f ( x*)
(2)二元函数的函数值计算误差估计 问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值 为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？ 解 e ( y*) y * y
由于
f ( x *1 , x *2 ) f ( x *1 , x *2 ) e( x *1 ) e ( x *2 ) x1 x 2
er ( x1 x2 ) er ( x1 ) er ( x2 )
r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
(4)除法的所有误差估计公式：
x1 x2e( x1 ) x1e( x2 ) e( ) 2 x2 x2
x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) x1 ( ) 2 x2 x2 x1 er ( ) er ( x1 ) er ( x2 ) x2
而 | e( x1 x2 ) || e( x1 ) e( x2 ) |
| e( x1 ) | | e( x2 ) |
故
ε( x1 x2 ) ≤ = ε( x1 ) + ε( x2 )
减法的所有误差估计公式：
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 )
( x1 x2 ) ≤ ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 ) ≤
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
注意： ◆和(差)的误差等于误差之和(差)
e( x1 x2 e x1 e x2
◆和(差)的误差限等于误差限之和
( x1 x2 ) ≤ ( x1 ) ( x2 )
简例：设 x = π= 3.1415926··· 取x1*= 3作为π的近似值，则
0.1415 1 | e | 100 3 2
(1) r
例：π1*= 3，π2*= 3.14，π3*= 3.140, π4*= 3.141, π5*= 3.149 作为π的近似值，则有 效数字分别有多少位？ 答：1，3，3, 3, 3(相对误差为0.0023…)
§2 一、误差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
道这类误差的界。
一、误差来源的类型 2.模型误差
(3)乘法运算
e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) x2 e( x1 ) x1e( x2 )
故误差限计算公式为
( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 )
因为
e( x1 x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
x2e( x1 ) x1e( x2 ) x1 x2 e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 ) er ( x2 ) x1 x2
定义 绝对误差与准确值之比
e ( x*) x * x e er ( x*) ,x0 x x
* r
称为x*的相对误差（relative error）
注 (1)相对误差是个无量纲量,对近似问题，可
用于刻画近似精确度；值小者精度高。
(2)由于准确值x未知，故实际问题中， 当| 较小时，常取 e| r ( x*)
三、绝对误差和绝对误差限
定义 设某一量的精确值为x，近似值为 x*，则x*与x之差叫做近似值x*的绝对误 差(简称误差)，记为
？判断题：绝对误差是误差的绝对值．
绝对误差的性质 (1)绝对误差e(x*) 可正可负 (2) |e(x*) |的大小标志着x*的精确度 (3) 绝对误差e(x*) 通常未知
例： 设有三个近似数， a=2.31, b=1.93, c=2.24 它们都有三位有效数字，试计算p =a+bc，ε(p)和εr(p)并问：p的计算 结果能有几位有效数字？
解：由题意可知
(a ) (b) (c ) 0.005
故 p 2.31 1.93 2.24 6.6332 ( p) (a bc ) (a ) (bc )
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
试思考这两个方程组的解的关系？
容易看出两方程系数完全相同，而右端常 数项有微小差别： 1.9999 变成 2.0001 ，其 误差为
2.0001-1.9999
=0.0002
但对应的解为
x1 1 x2 1
x1 3 x 2 1
其解竟然相差得很大！ 解的最大误差= 2
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官 : 明晚大约 8 点钟左右，哈雷彗星将可能在这 个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵 着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如 果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场 上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂， 这一罕见的现象将在那里出现。
故相对误差限计算公式为
r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
积的相对误差 ( 限 ) 等于两个自变量相 对误差(限)之和
乘法的所有误差估计公式：
e( x1 x2 ) x2e( x1 ) x1e( x2 )
( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 )
e ( x*) er ( x*) x*
定义 若指定一个适当小的正数 使
，
则称 r ( x*) 为近似值 x*的相对误差限 当|er ( x*)|较小时，可用下式计算
五、有效数字-----数值近似中相对误差的一种实用刻画
当数值x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则 取前几位数字作为x的近似值。我们来考虑“四舍五入” 近似法的相对误差。
r ( x1 / x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
注意：
r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
r ( x1 / x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
积(商)的相对误差限等于两个 自变量相对误差限的和。
故绝对误差限为
与前面类似的推导可得多元函数的误差 估计
2. 加减乘除运算的估计误差 （注意：下列公式均省略了“*”） (1)加法运算：
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 )
而 | e( x1 x2 ) || e( x1 ) e( x2 ) |
| e( x1 ) | | e( x2 ) |
x3 x5 x7 sin x x , x 3! 5! 7!
但在计算机中计算时，常用前几项来 代替，即抛弃了无穷级数的后段，这样就 产生了截断误差。
当|x|很小时，常用x代替sinx，其截 断误差大约为 x 3/6。
4.舍入误差
由于计算机字长有限，原始数据的输 入及浮点数运算过程中都有可能产生误 差，这样产生的误差称为舍入误差
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( x2 ) x1 x 2 e( x1 ) e( x2 )
连长对排长 : 根据营长的命令，明晚 8点，非凡的哈雷彗星将 身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一 个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
排长对班长 : 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现， 这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿 上野战服到操场上去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76 岁哈雷将军将 在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过 操场前往礼堂。
(a ) b (c ) c (b)
0.005 0.005(1.93 2.24) 0.02585