第一章数值计算中的误差

用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x 时，如果该长度接近某一刻度 x* ，则 x* 作为 x
的近似值时
ε (x) = x − x * ≤ 1 (毫米)=0.5(毫米) 2
它的误差限是 0.5 毫米。如果读出的长度为 x* = 765 ,则有 x − 765 ≤ 0.5 ， 从这个不等式
我们仍不能知道准确的 x 值，只知道 764 .5 ≤ x ≤ 765 .5 。即 x 在区间[764.5, 765.5]内。
二、相对误差和相对误差限
用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度.例如,测量 10m 的长度对产生的 1cm 的误差
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与测量 1m 的长度时产生的 lcm 的误差是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同,都是 1cm, 但是由于所测量的长度要差 10 倍，显然前一种测量比后一种要精确得多。这说明决定一个 量的近似值的好坏，除了要考虑绝对误差的大小，还要考虑准确值本身的大小，为此引入相 对误差的概念。
由于计算机只能近似地表示实数，不论计算机中的数是定点表示，还是浮点表示，它所 表示的数的位数都是有限的，且任一算法只能在有限的时间内通过有限次运算来完成。这说 明用计算机运算得到的结果都是近似的，因此需要有可靠的理论分析。 第三 要有好的计算复杂性。它是由以下两个因素决定的：使用中央处理器（CPU）的时 间，这主要由四则运算的次数决定；占用内存储器的空间，这主要由使用的数据量来决定。 有时也称之为时间与空间的复杂性，简称计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间，空间复
2
杂性好是指节省存储量。 第四 要有数值实验。即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试 验证明是行之有效的。
四．数值算法的选择
在数值计算过程中选定合适的算法是整个数值计算中非常重要的一环。对算法所要考虑
的问题主要包括：
1 计算速度
例如，计算多项式
pn (x) = a0 + a1x + " + an−1x n−1 + an x n
第一章 数值计算中的误差
1. 教学目的与要求：
（1）了解数值方法的基本概念，研究对象，特点；了解该学科的地位和作用； （2）了解误差的来源和种类； （3）掌握绝对误差、相对误差、有效数字的相关概念及其相互关系； （4）了解误差在数值运算中的传播；了解算法的数值稳定性；掌握数值运算 应遵循的基本原则。
然这是完全没有实际意义的。而如果用消元法，求解一个 n 阶线性方程组大约需要 1 n3 + n2 3
次乘法，一个 20 阶的方程组即使用一台小型计算器也能很快解出来。
2 存储量
对复杂的大型问题而言，却起着决定性作用。有人可能说，随着计算机的发展，运算速 度提高、内存增大以及新结构计算机的涌现，以前认为过于复杂而不能求解的问题将会得到 解决。但是，不论计算机如何发展，使用计算机的代价，即计算复杂性，都是要考虑的。
只要 n 次乘法和 n 次加法就可算出 pn ( x) 的值。
在数值计算方法中，这种节省计算次数的算法还有不少， 又如，我们知道，用克莱姆
(Cramer)法则求解一个 n 阶线性方程组，要算 n + 1个 n 阶行列式，总共需要 (n − 1)(n + 1)n!
次乘法，当 n 充分大时，计算量是相当惊人的。如一个 20 阶不算太大的方程组大约要做 10 20 次乘法，这项计算即使用每秒百亿次的电子计算机去做，也要连续工作数千年才能完成，当
2. 教学重难点：
数值方法的特点、绝对误差与相对误差、有效数字的概念的理解及相互关系； 数值运算应遵循的基本原则。
3. 教学主要内容：
本章是数值方法的引论部分，让学生对数值方法这门课程的基本概念有所了 解；了解该学科的地位和作用；激发学生学习的兴趣。主要内容包括：
（1） 数值计算方法的概念，数值计算方法的研究对象，内容及特点； （2） 误差的种类及来源； （3） 绝对误差与相对误差； （4） 数据误差在数值运算中的传播； （5） 算法的数值稳定性。
负时，近似值 x* 偏大，叫作强近似值。
准确值 x 一般是未知的，因而绝对误差 ε(x)也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的
一个上界，即可以找出一个正数η ，使
| ε (x) |= x − x * ≤ η
(1.3.2)
称η 为 x* 的绝对误差限(或误差限)。
例如， x = 2 = 0.6666", 若取 x∗ = 0.667 于是|ε(x)|=|x–x*|=0.000333….<0.0005；则 x* 3
相对误差限ηx=0.5/1=0.5 y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
相对误差限ηy=5/10000=0.0005 由于ηy< ηx ，所以 y 的近似值 y*的精度较高。
课堂练习：1、求 3 的近似值，使其绝对误差限精确到 1 ×10−3 （答案：1.732） 2
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一、有效数字
§4 有效数字
个正数 δ，使 εr (x) ≤ δ ，δ 称为近似值 x*的相对误差限。
【注】：由定义可知，绝对误差与绝对误差限是有量纲的量，而相对误差和相对误差限是 无量纲的量，通常用百分数来表示。
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y 的近似值哪一个精度高些?
解：x*=1,
绝对误差限ξx=0.5,
简化而得到的，因而是近似的，我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误
差。由于这种误差难于用数量表示，通常都假定数学模型是合理的，这种误差可忽略不计，
在数值计算方法中不予讨论。
2. 观测误差：实验或观测得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差或数据误差。 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，这些参
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一 误差的来源
§2 误差的种类及来源
除极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。
数值方法的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。按照误差
的来源不同，主要有以下几种：
1. 模型误差：数学模型与实际问题之间的误差称为模型误差。 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，
3! 5!
3! 5!
为:
sin
x
− (x-
x3
+
x5 )
≤
x7
3! 5! 7!
4. 舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差称为舍入误差。 有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限， 原始数据常常不属于计算机数系，而采用计算机数系中和它们比较接近的数来表示它们，由 此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。例如，用 3.14159
3 数值稳定性
算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误 差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的算 法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。
3
数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类： 一类是由于计算者在工作中的粗心大意而产生的，例如笔误将 886 误写成 868，以及误 用公式等，这类误差称为过失误差或疏忽误差。它完全是人为造成的，只要在工作中仔细、 谨慎，是完全可以避免的。 另一类为非过失误差，在数值计算中则往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，还 有模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于它们应该设法尽量降低其数值，尤其 是控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。
定义 2我们把近似值 x* 的误差 ε ( x) 与准确值 x 的比值，记作
εr(x) =
ε ( x) x
=
x − x* x
称为近似值 x* 的相对误差。
在实际计算中，由于真值 x 总是未知的，常取
(1.3.6)
εr
*(x) =
ε ( x) x*
=