2020年中考冲刺模拟考试《数学试题》含答案解析

中 考 数 学 模 拟 测 试 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.在－3，－1，0，3这四个数中，比－2小的数是( )A. －3B. －1C. 0D. 32.下列运算正确的是（ ）A. 336a a a ⋅=B. 1243a a a ÷=C. 3232a a a -=D. ()527a a = 3.2019年1~9月，我省规模以上工业企业实现利润总额1587亿元，同比增长8.8%，居全国第8位，中部第3位，数据1587亿用科学记数法表示为（ ）A. 31.58710⨯B. 81.58710⨯C. 111.58710⨯D. 121.58710⨯ 4.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 5.如图是芜湖2019年12月2日至27日的天气预报，对于每日的最高气温和最低气温，下列说法中错误的是（ ）A. 每日最高气温的平均数是11℃B. 每日最高气温的中位数是11℃C. 每日最低气温的众数是1℃D. 每日最高气温方差为4℃6.已知某商品经过了两轮价格上涨，第一轮的增长率为a ，第二轮的增长率为()b a b ≠．设这两轮的平均增长率为x ，则下列关于x 与,a b 之间的关系正确的是（ ）A. x a b =+B. 2a b x +=C. ()()()2111x a b +=++ D. 不能确定 7.不等式组331482x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1-8.如图，ABC ∆中，点,D E 分别在,AB AC 边上，连接,,,//CD DE ACD B DE BC ∠=∠，且63CD BC =，则AE EC=（ ）A. 3B. 2C. 3D. 2339.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点C 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，点A 的坐标为()1,2，点B 在x 轴正半轴上，则k 的值为（ ）A. 10-B. 8-C. 6-D. 4-10.如图，正方形ABCD 的边长为32，点,E F 为对角线BD 上的两个动点，且满足13EF BD =，点P 是BC 上一点，且2BP PC =，连接,AE PE ，则AE PF +的最小值为（ ）A. 26B. 5C. 26D. 33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算：4520-＝_____．12.命题“如果a ＞b,那么ac ＞bc ” 的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 13.如图，在半径为3的O e 中，点,,A B C 均在圆上，连接,,,,OA OB BC AC AB ，已知//,110BC OA AOB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_________．14.已知y 关于x 的二次函数212y ax x =+和一次函数2y x a =-，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，则常数a 的取值范围是__________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简：25692224++⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭x x x x x ，再选取一个你喜欢的x 的整数值代入求值． 16.观察下列等式：第1个等式：()2321111121⨯+--=⨯；第2个等式：()2322212222⨯+--=⨯；第3个等式：()2323313323⨯+--=⨯；第4个等式：()2324414424⨯+--=⨯；第5个等式：()2325515525⨯+--=⨯；…… （1）请直接写出第6个等式：___________；（2）请根据上述等式的规律，猜想出第n 个等式（用含n 的式子表示，n 为正整数），并证明你的猜想．四、(本大题共2小题，毎小题8分，满分16分)17.2019年10月28日，备受关注的巢马城际铁路先导段正式开工建设．预计全程 建成后从马鞍山到巢湖的通行时间将缩短约1个小时．已知从马鞍山到巢湖的普通列车行驶距离约为122km ，巢马城际铁路全长约75.6km ，列车速度是普通列车速度的3.5倍，那么巢马城际铁路列车的设计速度为多少/km h ？ 18.如图，在1010⨯的网格图中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是()()()2,2,0,5,0,1A B C -．（1）若ABC ∆经过平移后，点A 的对应点的坐标为()1,1-，请作出平移后的'''A B C ∆（点的对应点,,A B C 分别为点'''A B C ）；（2）请在网格图中以''A B 为腰作一个面积为132的等腰三角形''A B D （任选一个即可） 五、(本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分)19.1400多年前，我国隋代建造的石拱桥——赵州桥(如图(1))，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．如图(2)是它的简化示意图，主桥拱是»AB ，拱高(»AB 的中点到弦AB 的距离)为7.2m ．（1）在图(2)中(点O 为圆心)，用尺规作图作出AB 的中点C ．(不要求写作法，但保留作图痕迹) （2）若∠OAB =49︒，求主桥拱跨度AB 的长．(结果精确到0.1m 参考数据：3sin 497 2.64︒≈≈) 20.已知关于x 的一次函数12y ax =+和221y x =-．（1）当3a =-，12y y >时，求x 的取值范围；（2）当1x >时，若12y y <，请结合两函数图象，求出a 的取值范围． 六、（本题满分12分）21.某校为了解禁毒知识宣传的效果，针对全校学生进行了一次测试，并随机抽取 了部分学生的测试成绩(满分100分，最低分为60分，80分及以上为优秀)，统计后绘制成如下不完整的请根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a =__________，b =_________；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校有学生2100人，试估计分数达到优秀的有多少人；（4）学校准备从得分最高的5名学生(3男2女)中，随机挑选2名学生去参加市里举办的禁毒知识竞赛．小明说：“因为男生人数是女生人数的1.5倍，所以选中的2名学生都是男生的概率是选中的2名学生都是女生的概率的1.5倍．”他的说法正确吗？请判断并说明理由．七、（本题满分12分）22.某商场销售一种商品，该商品的进价为每件10元，物价部门限定，每件该商品的销售利润不得超过100%，销售过程中发现月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系满足：当1014x <≤时，月销售量为640件；当1420x <≤时，销售单价每增加1元，月销售量就减少20件．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该商品的月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式，并指出当该商品的销售单价定为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少．八、（本题满分14分）23.如图（1），已知：在菱形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,,BE DF AE AF =分别交BD 于点,C H（1）求证：BG DH =；（2）连接FE ，如图（2），当EF BG =时，①求证：AH DF AF AD；②若菱形ABCD的边长为2，求CF的长．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.在－3，－1，0，3这四个数中，比－2小的数是( )A. －3B. －1C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】根据两个负数比较大小，绝对值较大的数反而小，正数比负数大，逐个判断与-2的大小关系即可．【详解】解：∵-32103<-<-<<∴比－2小的数是-3故选：A 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握负数比较大小的方法是关键．2.下列运算正确的是（ ）A. 336a a a ⋅=B. 1243a a a ÷=C. 3232a a a -=D. ()527a a =【答案】A【解析】【分析】 根据同底数幂的乘除法、合并同类项发则、幂的乘方即可逐一判断．【详解】解：A 、336a a a ⋅=，正确；B 、1248a a a ÷=，故B 选项错误；C 、33a 与a 不同类项，不能合并，故C 选项错误；D 、()5210a a =，故D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项发则、幂的乘方，解题的关键是掌握基本的运算发则． 3.2019年1~9月，我省规模以上工业企业实现利润总额1587亿元，同比增长8.8%，居全国第8位，中部第3位，数据1587亿用科学记数法表示为（ ）A. 31.58710⨯B. 81.58710⨯C. 111.58710⨯D. 121.58710⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：1587亿=83181158710 1.5871010 1.58710⨯=⨯⨯=⨯．故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．【详解】解：从上面看到的图形是：故选：C ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．5.如图是芜湖2019年12月2日至27日的天气预报，对于每日的最高气温和最低气温，下列说法中错误的是（ ）A. 每日最高气温的平均数是11℃B. 每日最高气温的中位数是11℃C. 每日最低气温的众数是1℃D. 每日最高气温的方差为4℃【答案】D【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义即可逐一计算．【详解】解：A 、每日最高气温的平均数是101212111011116+++++=℃，故A 正确； B 、将最高气温从小到大排序得：10，10，11，11，12，12，第三、四个数据均是11，即中位数为11℃，故B 正确；C 、最低气温中，1℃出现了两次，出现的次数最多， 则每日最低气温的众数是1℃，故C 正确；D 、每日最高气温的方差为：22222212[(1011)(1211)(1211)(1111)(1011)(1111)]63-+-+-+-+-+-=，故D 错误； 故选：D ．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的计算，解题的关键是熟记基本的计算公式．6.已知某商品经过了两轮价格上涨，第一轮的增长率为a ，第二轮的增长率为()b a b ≠．设这两轮的平均增长率为x ，则下列关于x 与,a b 之间的关系正确的是（ ）A. x a b =+B. 2a b x +=C. ()()()2111x a b +=++ D. 不能确定 【答案】C【解析】【分析】设该商品原价为1，分别列出两轮增长后的价格即可解答．【详解】解：该商品原价为1，则若这两轮的平均增长率为x ，则两轮增长后的价格为()211x ⨯+，若第一轮的增长率为a ，第二轮的增长率为()b a b ≠，则两轮增长后的价格为()()111a b ⨯++， ∴()()()2111x a b +=++，故选：C ．【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意，熟知“原价×（1+增长率）=一次增长后价格”的等量关系，是解题的关键．7.不等式组331482x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 1- 【答案】A【解析】【分析】 先解不等式组可得：243x -<≤，进而可求得最小整数解是0． 【详解】解：解不等式331x +>得23x >-， 解不等式482x x -≤-得x≤4，所以不等式的解集为：243x -<≤， 其最小整数解是0．故选：A ． 【点睛】本题要考查不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值，一般方法是先解不等式，再根据解集求其特殊值．8.如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在,AB AC 边上，连接,,,//CD DE ACD B DE BC ∠=∠，且63CD BC =，则AE EC=（ ）A. 3B. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据∠ACD=∠B ，证明△ACD ∽△ABC ，列出相似比3CD AD AC BC AC AB ===，设，则AB=3x ，由相似比求出AD=2x ，根据DE ∥BC ，得到AD AE AB AC =，求出AE=3x ，进而表达出EC ，即可解答． 【详解】解：∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴CD AD AC BC AC AB ===设，则AB=3x ，∴2AC AD AB =g ，即)23AD x =g ，∴AD=2x ，又∵DE ∥BC ， ∴AD AEAB AC=，即23x x =解得：AE=3x ，∴EC=AC-AE=3x ， ∴2AE EC=， 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，以及平行线分线段成比例，解题的关键是灵活运用相似三角形的比例关系进行求解．9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点C 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，点A 的坐标为()1,2，点B 在x 轴正半轴上，则k 的值为（ ）A. 10-B. 8-C. 6-D. 4-【答案】B【解析】【分析】 如图，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，证明OAD ABD ∆∆∽，根据相似比得出BD=4，进而得到点B 的坐标，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，根据矩形的性质得到()BCE OAD AAS ∆∆≌，从而得出点C 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解：如图，过点A 作AD x ⊥轴于点D ．由题意可知1,2OD AD ==．∵四边形OABC 是矩形，∴∠ADO=∠BDA=∠OAB=90°∵∠OAD+∠BAD=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∴∠BAD=∠AOD ，∴OAD ABD ∆∆∽，OD AD AD BD∴=，即122BD ∴= ∴4BD =，∴点B 的坐标为()5,0．过点C 作CE x ⊥轴于点E ．∵四边形OABC 为矩形，//,BC AO BC AO ∴=．CBE AOD ∴∠=∠又∵90ADO CEB ∠=∠=︒，()BCE OAD AAS ∆∴∆≌1,2BE OD CE AD ∴====()4,2C ∴-将点C 的坐标代入k y x =中，得8k =-， 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与几何，涉及了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是确定点C 的坐标． 10.如图，正方形ABCD 的边长为32，点,E F 为对角线BD 上的两个动点，且满足13EF BD =，点P 是BC 上一点，且2BP PC =，连接,AE PE ，则AE PF +的最小值为（ ）26 B. 5 C. 6 D. 33【答案】A【解析】【分析】 如图，过点P 作//PG BD ，交CD 于点G ，连接EG ，先证明 CPG CBD ∆∆∽，得到13PG BD =，13CG CD =，根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，得到四边形EFPG 为平行四边形，从而得到,EG PF AE PF AE EG =+=+，确定当,,A E G 三点共线时，AE EG +取得最小值，再利用勾股定理求出AG 即可．【详解】解析：如图，过点P 作//PG BD ，交CD 于点G ，连接EG ．∵//PG BD ，∴ CPG CBD ∆∆∽，∵2BP PC =∴13PG CG CP BD CD CB ===． ∴13PG BD =，13CG CD = 又∵13EF BD =， PG EF ∴= 又∵//PG EF ，∴四边形EFPG 为平行四边形，,EG PF AE PF AE EG ∴=+=+连接AG ，交BD 于点H ．当,,A E G 三点共线时，AE EG +取得最小值，此时点E 与点H 重合，∵13CG CD =，CD=AD=32， ∵2223DG CD ==， ()()22223226AG ∴=+=即AE PF +的最小值为26，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的应用等知识点，解题的关键是通过证明四边形EFPG 为平行四边形，确定当,,A E G 三点共线时，AE EG +取得最小值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.4520_____．5【解析】【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可.4520=3525-=5故答案是：5.【点睛】本题主要考查二次根式的减法运算，把二次根式化为最简二次根式，是解题的关键.12.命题“如果a ＞b,那么ac ＞bc ” 的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假【解析】【分析】逆命题就是题设和结论互换，本题的逆命题是若“ac＞bc ，则a ＞b ，举反列判断真假.【详解】解：逆命题是若“ac＞bc ，则a ＞b ，当c< 0时，结论不成立，故逆命题是假命题.“点睛”判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．13.如图，在半径为3的O e 中，点,,A B C 均在圆上，连接,,,,OA OB BC AC AB ，已知//,110BC OA AOB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】π【解析】【分析】如图所示，连接OC ，交AB 于点D ，根据OA ∥BC ，得到∠BOC=40°，以及S △OBC =S △ABC ，从而得到S 阴影=S 扇形OBC 即可解答．【详解】解：如图所示，连接OC ，交AB 于点D ，∵OA ∥BC ，∠AOB=110°，∴∠OBC=70°，∵OB=OC ， ∴∠ABC=∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°-70°=40°，∵OA ∥BC ，则AO 与BC 间的距离处处相等，∴S △OBC =S △ABC ，∴S △ADC =S △OBD ，∴S 阴影=S 扇形OBC =2403360ππ⨯=， 故答案为：π．【点睛】本题考查了圆中不规则图形的面积的计算问题，解题的关键是作出辅助线，得到∠BOC=40°，证明S 阴影=S 扇形OBC ．14.已知y 关于x 的二次函数212y ax x =+和一次函数2y x a =-，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，则常数a 的取值范围是__________．【答案】12a >或12a <- 【解析】【分析】若12y y =，则20ax x a ++=，根据根的判别式2140a ∆=-=时，函数1y 与2y 的图象只有一个交点，此时12a =或12-，对a 的值进行分类讨论，结合图形，根据a 的值对函数图形的影响，确定a 的取值范围即可．【详解】解：若12y y =，则22ax x x a +=-，整理得20ax x a ++=，当2140a ∆=-=时，函数1y 与2y 的图象只有一个交点，此时12a =或12-． ①当12a =时，如图（1）所示．当a 从12逐渐增大时，函数212y ax x =+的图象开口向上，并随着a 的增大，开口越来越小，函数2y x a =-的图象逐渐向下平移，此时函数212y ax x =+的图象在函数2y x a=-的图象上方．②当12a =-时，如图（2）所示．当a 从12-逐渐减小时，函数212y ax x =+的图象开口向下，并随着a 的减小，开口越来越小，函数2y x a =-的图象逐渐向上平移，此时函数212y ax x =+的图象在函数2y x a=-的图象下方．综上所述，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，a 的取值范围为12a >或12a <-．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数中系数对函数图象的影响，解题的关键是确定当函数1y 与2y 的图象只有一个交点时a 的值，并根据系数对图象的影响确定a 的取值范围．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简：25692224++⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭x x x x x ，再选取一个你喜欢的x 的整数值代入求值． 【答案】623x x -+，当x =－2时，原式=10． 【解析】【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再利用分式除法法则化简出最简结果，最后代入求值即可． 【详解】2569(2)224x x x x x ++--÷-- ()()()22543222--+=÷--x x x x()()()()2332223-+--=⨯-+x x x x x 623x x -=+ 当x=－2时，原式=()6221023-⨯-=-+【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．16.观察下列等式：第1个等式：()2321111121⨯+--=⨯；第2个等式：()2322212222⨯+--=⨯；第3个等式：()2323313323⨯+--=⨯；第4个等式：()2324414424⨯+--=⨯；第5个等式：()2325515525⨯+--=⨯；……（1）请直接写出第6个等式：___________；（2）请根据上述等式的规律，猜想出第n 个等式（用含n 的式子表示，n 为正整数），并证明你的猜想．【答案】（1）226⨯；（2）()23212n n n n n +--=，理由见解析【解析】【分析】（1）根据前五个等式即可直接写出第6个等式；（2）根据题干中等式的规律即可猜想出第n 个等式，根据整式的混合运算计算等式的左边，即可得到左边=右边．【详解】解（1）第6个等式：()2326616626⨯+--=⨯，故答案为：()2326616626⨯+--=⨯；（2）猜想：()23212n n n n n +--=．证明：等式左边()2332322122n n n n n n n n n n n ++--=++--===等式右边，故猜想成立．【点睛】本题考查了整式运算中从特殊到一般的规律探究问题，解题的关键是认真观察题中给出的等式的共同特点，猜想出一般规律，熟练掌握整式的混合运算发则进行证明． 四、(本大题共2小题，毎小题8分，满分16分)17.2019年10月28日，备受关注的巢马城际铁路先导段正式开工建设．预计全程 建成后从马鞍山到巢湖的通行时间将缩短约1个小时．已知从马鞍山到巢湖的普通列车行驶距离约为122km ，巢马城际铁路全长约75.6km ，列车速度是普通列车速度的3.5倍，那么巢马城际铁路列车的设计速度为多少/km h ？【答案】巢马城际铁路列车的设计速度为351.4/km h【解析】【分析】设普通列车的速度为/xkm h ，则巢马城际铁路列车的速度为3.5/xkm h ，根据“建成后从马鞍山到巢湖的通行时间将缩短约1个小时”，列出方程解答，并对x 的值进行检验即可．【详解】设普通列车的速度为/xkm h ，则巢马城际铁路列车的速度为3.5/xkm h ． 由题意可列方程12275.613.5x x-= 解得100.4x =经检验，100.4x =是原分式方程的解，且符合题意故巢马城际铁路列车的速度为()100.4 3.5351.4/km h ⨯=答：巢马城际铁路列车的设计速度为351.4/km h【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，找出题中的等量关系并列出方程，注意分式方程的解一定要检验．18.如图，在1010⨯的网格图中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是()()()2,2,0,5,0,1A B C -．（1）若ABC ∆经过平移后，点A 的对应点的坐标为()1,1-，请作出平移后的'''A B C ∆（点的对应点,,A B C 分别为点'''A B C ）；（2）请在网格图中以''A B 为腰作一个面积为132的等腰三角形''A B D （任选一个即可） 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平移作图以及点A 的对应点的坐标即可；（2）计算出13A B ''=132的等腰三角形''A B D ，则等腰三角形''A B D 中以''A B 为底，高为13．【详解】（1）平移后的'''A B C ∆如图（1）所示．（2）如图（2）所示，123'','',''A B D A B D A B D ∆∆∆即为符合条件的三角形（作出其中一个即可）【点睛】本题考查了平移作图以及网格图中三角形面积的计算，解题的关键是掌握平移作图的方法，以及利用勾股定理计算网格中两点之间的距离．五、(本大题共 2小题，每小题 10分，满分 20分)19.1400多年前，我国隋代建造的石拱桥——赵州桥(如图(1))，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．如图(2)是它的简化示意图，主桥拱是»AB ，拱高(»AB 的中点到弦AB 的距离)为7.2m ．（1）在图(2)中(点O 为圆心)，用尺规作图作出AB 的中点C ．(不要求写作法，但保留作图痕迹) （2）若∠OAB =49︒，求主桥拱的跨度AB 的长．(结果精确到0.1m 参考数据：3sin 497 2.64︒≈≈) 【答案】（1）见解析；（2）主桥拱的跨度AB 的长为37.4m【解析】【分析】（1）根据垂径定理可以作弦AB 的垂直平分线，和弧的交点即是弧的中点；（2）根据3sin 494OD AO ︒=≈，设3OD x =，则AO 4x ≈，表达出CD ，求出x 的值，根据勾股定理求出AD ，进而得到AB 的值即可．【详解】（1）点C 如图（1）所示．（做法不唯一，正确即可）（2）如图（2），设OC 与弦AB 交于点D ．∵点C 为弧AB 的中点，∴OC 垂直平分AB ，2AB AD ∴=． ∵3sin 494OD AO ︒=≈， ∴设3OD x =，则AO 4x ≈，∴CD=OC-OD=OA-OD=4x-3x=x ，由题意可知CD=7.2m ，即x=7.2，()221697 2.67.218.72AD x x x m =-=≈⨯=Q()218.72237.4AB AD m ∴==⨯≈答：主桥拱的跨度AB 的长为37.4．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，以及锐角三角函数的定义，解题的关键是作出图形，熟悉锐角三角函数的定义以及垂径定理的内容．20.已知关于x 的一次函数12y ax =+和221y x =-．（1）当3a =-，12y y >时，求x 的取值范围；（2）当1x >时，若12y y <，请结合两函数图象，求出a 的取值范围．【答案】（1）3x<5；（2）1a ≤- 【解析】【分析】（1）当3a =-时，132y x =-+，列出不等式即可解答；（2）若1x =，则22111y =⨯-=，再将点（1,1）代入12y ax =+，得到a=-1，结合图象，当1x >时，一次函数12y ax =+的图象在221y x =-的下方，即可得到a 的取值范围．【详解】（1）当3a =-时，132y x =-+．当12y y >时，3221x x -+>-，解得3x<5； （2）若1x =，则22111y =⨯-=．把()1,1代入12y ax =+得21a +=，解得1a =- 12y x ∴=-+如图所示，将直线12y x =-+绕点()0,2顺时针旋转至第一次与y 轴重合，在此过程中，当1x >时，12y y <故a 的取值范围为：1a ≤-，【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx ＋b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．六、（本题满分12分）21.某校为了解禁毒知识宣传的效果，针对全校学生进行了一次测试，并随机抽取 了部分学生的测试成绩(满分100分，最低分为60分，80分及以上为优秀)，统计后绘制成如下不完整的请根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a =__________，b =_________；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校有学生2100人，试估计分数达到优秀的有多少人；（4）学校准备从得分最高的5名学生(3男2女)中，随机挑选2名学生去参加市里举办的禁毒知识竞赛．小明说：“因为男生人数是女生人数的1.5倍，所以选中的2名学生都是男生的概率是选中的2名学生都是女生的概率的1.5倍．”他的说法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）120，0.1；（2）见解析；（3）若该校有学生2100人，试估计分数达到优秀的有1050人；（4）不正确，理由见解析【解析】 【分析】（1）根据70≤x ＜80的频数及频率即可求出a 的值，根据90≤x≤100的频数及a 的值即可求出b ； （2）计算出80≤x ＜90的频数即可补全直方图；（3）根据80≤x ＜90以及90≤x≤100的频率即可求出达到优秀的人数；（4）通过列表法，列出所有情况，共有20种等可能的结果，再分别计算概率即可判断． 【详解】解：（1）360.3120a =÷=（人）∵120.1120b == 故答案为：120，0.1；（2）80≤x ＜90的频数为120×0.4=48（人）∴补全频数分布直方图如下：（3）()21000.40.11050⨯+=（人）故若该校有学生2100人，试估计分数达到优秀的有1050人．（4）不正确．理由：根据题意，列表如下：由上表可知，共有20种等可能的结果，其中选中的2名学生都是男生的结果有6种，故其概率为310；选中的2名学生都是女生的结果有2种，故其概率为110，3131010÷=， 故小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了频数分布直方图以及列举法求概率的应用，解题的关键是理解频数分布直方图，并熟知列举法求概率．七、（本题满分12分）22.某商场销售一种商品，该商品的进价为每件10元，物价部门限定，每件该商品的销售利润不得超过100%，销售过程中发现月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系满足：当1014x <≤时，月销售量为640件；当1420x <≤时，销售单价每增加1元，月销售量就减少20件．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该商品的月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式，并指出当该商品的销售单价定为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少．【答案】（1）()()6401014209201420x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）()()()264064001014202864801420x x W x x ⎧-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩，当商品的销售单价定为20元时，月利润最大，最大月利润是5200元【解析】【分析】（1）根据题意，分当1014x <≤时和当1420x <≤时两种情况即可解答；（2）分两种情况列出W 与x 的函数关系式，根据一次函数和二次函数的增减性，确定当1014x <≤时和当1420x <≤时的最大值，比较即可解答．【详解】解：（1）当1014x <≤时，y=640，当1420x <≤时，y=640-20(x-14)=-20x+920，∴()()6401014209201420x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）当1014x <≤时，()640106406400W x x -=-=当14<x 20≤时，()()()2209201020286480W x x x =-+-=--+ 故W 与x 之间的函数关系式为()()()264064001014202864801420x x W x x ⎧-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩当1014x <≤时，6400>Q ，W ∴随x 的增大而增大，∴当14x =时，W 取最大值，最大值为2560．当1420x <≤时，200-<，函数()220286480W x =--+图象的对称轴为直线28x =，∴在对称轴左侧，W 随x 的增大而增大．当20x =时，W 取最大值，最大值为5200． 52002560>Q ，当商品的销售单价定为20元时，月利润最大，最大月利润是5200元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是建立函数关系式，将实际问题转化为数学模型，注意x 的范围不同，对应的函数关系式也不同，需要分类讨论列出分段函数．八、（本题满分14分）23.如图（1），已知：在菱形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,,BE DF AE AF =分别交BD 于点,C H（1）求证：BG DH =；（2）连接FE ，如图（2），当EF BG =时， ①求证：AH DF AF AD=； ②若菱形ABCD 的边长为2，求CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②35CF =【解析】【分析】（1）根据菱形的性质证明() ABE ADF SAS ∆∆≌，进而得到BAE DAF ∠=∠，证明()ABG ADH ASA ∆∆≌即可；（2）①连接FG ，先证明//EF BD ，从而证明∴四边形BEFG 为平行四边形，得到AD∥GF∥BC，进而得到DF DF DG AG AD DC DB AE ===，结合//BD EF ，得到AG AH AE AF =，即可证明AH DF AF AD=； ②设CF a =，则2BE DF a ==-，根据////GF AD BC 得到DF DG AD FC BG BE ==，从而列出方程解答即可．【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形．AB AD ∴=，ABE ADF ∠=∠，又BE DF =Q ，() ABE ADF SAS ∴∆∆≌，BAE DAF ∴∠=∠，又,AB AD ABD ADB =∠=∠Q ，()ABG ADH ASA ∴∆∆≌，BG DH ∴=（2）①证明：连接FG ，,BC DC BE DF ==Q ，CE CF ∴=，CE CF CB CD∴=， //EF BD ∴，又EF BG =Q∴四边形BEFG 为平行四边形，∴//BC GF ， ∴DF DG DC DB=， 又∵AD ∥BC，∴AD∥GF∥BC，∴DF AG DC AE =， 又∵AD=DC ， DF DF DG AG AD DC DB AE ∴===， //BD EF Q ， AG AH AE AF∴=， AH DF AF AD ∴=，②设CF a =，则2BE DF a ==-，由////GF AD BC ，∴DF DG AD FC BG BE==． DF BE FC AD ∴⋅=⋅，故()222a a -=，解得135a =，235a =故35CF =【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例以及全等三角形的性质与判定，解题的关键灵活运用比例关系进行推导．。