矩估计原理及方法介绍精品PPT课件
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参数的矩估计及评价标准PPT课件
2.有效性（不作要求）
设 ˆ1 ˆ1( X1, X与2,, X n ) ˆ2 都ˆ2是( X1, X 2,, X n ) 参数 的无偏估计量,如果
D(ˆ1) D(ˆ2), 则称 ˆ1 比 ˆ2 有效.
如果对于给定的样本容量 , 的方差 n 最小ˆ , 称 是ˆ 的有效估计量.
D(ˆ)
则
第15页/共25页
3.一致性（不作要求）
如果 n 时, 按概率收ˆn敛于 , 的正数 ,有
即对于任意给定
lim
n
P(
ˆn
) 1,
则称 是ˆn 的一致估计量.
n 第16页/共25页
小结
未知参数的估计量的三个评选标准:无偏性,有效性
和一致性. 评价估计量,不能从一个估计量的某次具体表现上
去衡量好坏,而应看其整体性质.
i
X )2
,
则
（A）
S 是 的无偏估计量.
（B） （C） （D）
S 是 的最大似然估计. S 是 的相合估计量（即一致估计量）. S 与 相X互独立.
[1992 数学四]
第18页/共25页
分析:
对于任何总体，
虽然有 E(S 2 ) 2 , 即 S是2 2
的无偏估计量，
但是未必有 E(S) , 即 S未必是
Xi)
1 n
n i1
E(
X
i
)
1 n
n
.
X 是 的无偏估计量:
ˆ X .
第12页/共25页
（2）
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
矩估计ppt课件
p未知，(1)求 p 的矩估计量；
(2)求 p p 的矩估计量.
q 1 p
解 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
g( p) p 1 p
g( pˆ )
pˆ 1 pˆ
1X m 1 1 X
X m X
是 p 的矩估计量.
m
q
6
例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
随机变量的矩 1.原点矩
设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 E X k 存在，则称 EX k 为随机变量 X 的 k 阶原点矩. 当 k 1时,1阶原点矩就是 EX 当 k 2时,2阶原点矩是 EX 2
1
2.中心矩 EX k 也存在.
称 E( X EX )k 为随机变量 X 的 k 阶中心矩. 当 k 2时,2阶中心矩 E( X EX )2 DX
2
设总体X，X1, X2,..., Xn 是来自 X的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1,2,...
A1
1 n
n i 1
X
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX 1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
A1
X
1 n
n i 1
Xi
1
ˆ
解得
ˆ
1 X
1 n
1
n
i 1
Xi
是λ的矩估计量.
10
例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
(2)求 p p 的矩估计量.
q 1 p
解 pˆ 1 X 是p 的矩估计量.
m
g( p) p 1 p
g( pˆ )
pˆ 1 pˆ
1X m 1 1 X
X m X
是 p 的矩估计量.
m
q
6
例
已知总体X
有密度函数
X ~ f (x)
随机变量的矩 1.原点矩
设X是随机变量，对于自然数 k, 如果 E X k 存在，则称 EX k 为随机变量 X 的 k 阶原点矩. 当 k 1时,1阶原点矩就是 EX 当 k 2时,2阶原点矩是 EX 2
1
2.中心矩 EX k 也存在.
称 E( X EX )k 为随机变量 X 的 k 阶中心矩. 当 k 2时,2阶中心矩 E( X EX )2 DX
2
设总体X，X1, X2,..., Xn 是来自 X的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1,2,...
A1
1 n
n i 1
X
解 总体一阶原点矩 EX 1 EX 1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
A1
X
1 n
n i 1
Xi
1
ˆ
解得
ˆ
1 X
1 n
1
n
i 1
Xi
是λ的矩估计量.
10
例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，即
ex ,
X ~ f (x) 0,
x0 x0
广义矩估计61页PPT
yi h(Xi,)i i 1,n
n
xji i 0
i1
j1,2, ,k
n
xji(yih (X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。
yi h(Xi,)i i 1,n
n
zji i 0
i1
of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
• 关于GMM发展的讨论
R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
一、广义矩估计的概念
⒈几个重要的性质
• 从方法论角度
– 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机 与确定。
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yix2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x2i 0
• 如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正 规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yiz1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)z1i 0
第三节矩估计法 PPT
则称ˆn 是θ的一致估计量。
结论1 样本均值 X 是总体均值μ的一致估计量.
结论2 样本方差 S 2是总体方差 2的一致估计量.
§6、3 正态总体参数得区间估计
问题: 参数得估计值得精确性与可靠性如何？
一、区间估计得概念
置信水平与置信区间 假设用ˆx1, x2 ,, xn 作为未知参数θ
的估计值，若对于任意ε> 0,都有 P ˆ 1
已给置信水平1-α= 0、95, 有α= 0、05,
查表得 t 8 t0.025 8 2.31.
2
求得
s
0.203
n
t
2
2.31 0.16. 9
得置信区间为: 19、85 <μ< 20、17(毫米)、
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
12
2.正态总体方差 2 的区间估计
（1）设总体X～ N , 2 , 已知 0 ，求 2 的置信区间。
考虑样本函数
2
1
2
n i 1
Xi 0 2
~ 2 n .
利用 2分布表，可以求得 2的置信区间.
对于已给得置信水平1-α, 应选取这样得置信区间
f2 x
2 1
2
(n)，
2
2
(n)
2
1
使得
P 2
2 1
2
(
1
,
P X S t (n 1) 1
n2
上式表明,对应于置信水平1-α,总体均值μ得置信区间为
X S t (n 1) X S t (n 1)
n2
n2
例2 在上面的例1中，设未知σ，求零件均值μ对应于置信
概率论与数理统计-第6章-第1讲-矩估计法
E(X )
xf (x)dx
1
x
x 1
dx
, 1
令 X 总体矩 1
样本矩
得 ˆ X 的矩估计
X 1
6
01 矩估计法
例
设 X 的分布列为
X P
0
2
1
2 (1 )
2
2
3
1 2
其中 (0 1) 是未知参数. 利用总体 X 的样本值: 3,1,3,0,3,1,2,3,
2
求 的矩估计.
则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
B2
9
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b) , a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
解1 由于 E( X ) a b , D( X ) (b a)2
2
12
E(X 2) D(X ) ab X
E2(X
)
(b
a)2 12
a
2
b
2
令
2
(b a)2 12
a
b 2
2
A2
1 n
n i1
X
2 i
解得
aˆ矩 X 3(A2 X 2 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
,
bˆ矩 X
3( A2 X 2 ) X
3 n
n i1
(Xi
X )2
.
10
02 典型例题
例 设总体 X ~ U (a,b), a,b 未知, 求参数a,b 的矩估计量.
法2
《矩估计的基本步骤》课件
矩估计的基本思想
矩估计的基本思想是，通过样本矩与总体矩之间的对应关系，建立估计量与 参数之间的关系。
矩估计的基本公式
均值
样本均值与总体均值相等。
方差
样本方差与总体方差之间的差 异最小。
偏度
样本偏度与总体偏度相匹配。
矩估计的步骤
1
确定数个数
分析问题中的参数个数，并假设总体是
计算样本矩
2
连续或离散的。
根据样本数据计算均值、方差和偏度等
统计量。
3
建立矩估计方程
根据样本矩与总体矩的对应关系，建立
求解估计方程
4
估计量与参数的方程。
解方程得到参数的估计值，即矩估计量。
矩估计的优缺点
优点
简单易用，不需要知道总体分布；计算量小，效 率高。
缺点
对于小样本量和非均匀分布的情况，估计结果可 能偏差较大。
矩估计的应用领域
《矩估计的基本步骤》 PPT课件
欢迎大家来到本次课程，今天我们将探讨矩估计的基本步骤，带你深入理解 这一重要的统计方法。
矩估计的定义
1 什么是矩估计？
矩估计是一种参数估计方法，通过样本矩来估计总体参数的未知值。
2 为什么要使用矩估计？
矩估计可以根据样本的统计量，推断总体的参数，无需事先对总体分布进行假设。
市场分析
通过矩估计可以揭示市场需求、 预测消费行为、制定市场策略。
财务规划
矩估计可用于估计投资回报率、 风险评估、资产配置等。
气象预测
通过分析历史数据的矩估计，可 以预测天气变化、风险评估等。
总结
矩估计是一种常用的参数估计方法，具有广泛应用。通过理解矩估计的基本 步骤和优缺点，我们可以更好地应用它来解决实际问题。
《广义矩估计》课件
《广义矩估计》课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 广义矩估计的基本理论 • 广义矩估计的算法 • 广义矩估计的实例分析 • 广义矩估计的扩展和改进 • 结论与展望
01 引言
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种统计估计方法，它 通过使用样本矩来估计未知参数。这 种方法基于样本矩和总体分布之间的 关系，通过最小化误差函数来求解参 数的估计值。
实例三：时间序列模型的广义矩估计
总结词
时间序列模型是用于描述时间序列数据之间 关系的模型，常见的有ARMA模型、 ARIMA模型等。广义矩估计也可以用于时 间序列模型的参数估计。
详细描述
在实例三中，我们将介绍如何使用广义矩估 计对时间序列模型的参数进行估计。我们将 首先介绍时间序列模型的基本概念和假设， 然后介绍如何利用广义矩估计方法对模型参 数进行估计，并给出具体的计算步骤和实例 分析。
03 广义矩估计的算法
算法的基本步骤
确定模型
根据数据特征和问题背景选择合适的概率模 型。
估计参数
利用样本数据和所选矩，通过优化算法求解 模型参数。
确定矩
根据所选模型，确定需要使用的矩（如一阶 矩、二阶矩等）。
验证估计
使用统计方法验证估计的参数是否符合所选 模型。
算法的实现细节
数据预处理
对原始数据进行清洗、去噪、标准化等处理 ，确保数据质量。
参数矩估计的步骤
首先计算样本数据的矩，然后利用这些矩和已知的总体分布关系来估计未知参 数。
广义矩估计的原理
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种基于样本数据的矩来估计未知参数的统计方法，它不仅利用了 样本数据的矩信息，还利用了已知的总体分布信息。
广义矩估计的步骤
目录
CONTENTS
• 引言 • 广义矩估计的基本理论 • 广义矩估计的算法 • 广义矩估计的实例分析 • 广义矩估计的扩展和改进 • 结论与展望
01 引言
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种统计估计方法，它 通过使用样本矩来估计未知参数。这 种方法基于样本矩和总体分布之间的 关系，通过最小化误差函数来求解参 数的估计值。
实例三：时间序列模型的广义矩估计
总结词
时间序列模型是用于描述时间序列数据之间 关系的模型，常见的有ARMA模型、 ARIMA模型等。广义矩估计也可以用于时 间序列模型的参数估计。
详细描述
在实例三中，我们将介绍如何使用广义矩估 计对时间序列模型的参数进行估计。我们将 首先介绍时间序列模型的基本概念和假设， 然后介绍如何利用广义矩估计方法对模型参 数进行估计，并给出具体的计算步骤和实例 分析。
03 广义矩估计的算法
算法的基本步骤
确定模型
根据数据特征和问题背景选择合适的概率模 型。
估计参数
利用样本数据和所选矩，通过优化算法求解 模型参数。
确定矩
根据所选模型，确定需要使用的矩（如一阶 矩、二阶矩等）。
验证估计
使用统计方法验证估计的参数是否符合所选 模型。
算法的实现细节
数据预处理
对原始数据进行清洗、去噪、标准化等处理 ，确保数据质量。
参数矩估计的步骤
首先计算样本数据的矩，然后利用这些矩和已知的总体分布关系来估计未知参 数。
广义矩估计的原理
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种基于样本数据的矩来估计未知参数的统计方法，它不仅利用了 样本数据的矩信息，还利用了已知的总体分布信息。
广义矩估计的步骤
矩估计 PPT
k k (1,2 , ,l ), (1 k l)
(2)设来自总体X样本得k阶矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
其中1 k l.
(3)令总体得k阶矩分别与样本得k阶矩相等,即
5
1(1,2 , 令 2 (1,2 ,
l (1,2 ,
,l ) A1, ,l ) A2 ,
,l ) Al .
n
n
L( ) f (xi ; ) xi 1
i 1
i 1
(0 xi 1)
n (x1x2 xn ) 1
取对数
n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi i 1
25
求导并令其为0:
d ln L( ) n n
d
i 1
ln
xi
=0
从中解得
n
n
ln xi
i 1
即为θ得极大似然估计值。
而样本1、2阶矩分别为
A1
X
1 n
9 i 1
xi
1 (94 89 9
55) 75
A2
1 n
9 i 1
xi2
1 (942 9
892
552 ) 5772.33
而总体X得1、2阶矩为
1 E( X ) 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
13
75 2 2 5772.33
点估计就是指把总体得未知参数估计为某个确定得值或在 某个确定得点上、
【定义 7.1】设总体 X 的分布函数为 F(x; ) ，其中θ是待估计的
参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2 ,, X n ) ，构造一个统计量
ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 来估计θ，我们称ˆ(X1, X 2 ,, X n ) 为θ的点估计
(2)设来自总体X样本得k阶矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
其中1 k l.
(3)令总体得k阶矩分别与样本得k阶矩相等,即
5
1(1,2 , 令 2 (1,2 ,
l (1,2 ,
,l ) A1, ,l ) A2 ,
,l ) Al .
n
n
L( ) f (xi ; ) xi 1
i 1
i 1
(0 xi 1)
n (x1x2 xn ) 1
取对数
n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi i 1
25
求导并令其为0:
d ln L( ) n n
d
i 1
ln
xi
=0
从中解得
n
n
ln xi
i 1
即为θ得极大似然估计值。
而样本1、2阶矩分别为
A1
X
1 n
9 i 1
xi
1 (94 89 9
55) 75
A2
1 n
9 i 1
xi2
1 (942 9
892
552 ) 5772.33
而总体X得1、2阶矩为
1 E( X ) 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
13
75 2 2 5772.33
点估计就是指把总体得未知参数估计为某个确定得值或在 某个确定得点上、
【定义 7.1】设总体 X 的分布函数为 F(x; ) ，其中θ是待估计的
参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2 ,, X n ) ，构造一个统计量
ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 来估计θ，我们称ˆ(X1, X 2 ,, X n ) 为θ的点估计
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第三节
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
比较：
的最大似然估计量为
ˆ
max
1 i n
X
i
.
在本例中,如果 X 表示乘客的候车时间,随机抽样
得到的5位乘客的候车时间为 0.5, 1, 2, 3.5, 8, 则其矩
估计值为 6, 而其最大似然估计值为 8.
5
例2 设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，( X1,, X n ) 是 取自 X 的样本，则 , 2 的矩法估计量分别为
解 (1) 矩估计法：
X 服从几何分布， E( X ) 1 p
所以 p 的矩估计量为
pˆ 1 X
Байду номын сангаас
7
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
解 (2) 最大似然估计法：
n
L( p)
n
p(1
p
)
xi
1
pn (1
xi n p) i1
,
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ,
i 1
n
d ln L n n i1 xi
令
0，
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为
pˆ
n1
n
Xi
. X
i 1
8
例4 设总体 X 的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本， 1 是未知参数,
试分别用矩法和最大似然估计法给出 的估计量.
0,
其他
n
ln L n ln( 1) ln xi ,
i 1
d ln L
d
n 1
n
ln xi
i 1
令
0，
10
d ln L n n
d 1 i1 ln xi
令
0，
解得 的极大似然估计量为
ˆ 1 n n .
ln X i
i 1
比较： 的矩估计量为 ˆ 2 X 1 .
1 X
两者不同.
解 总体 X 的数学期望为
E( X )
xf ( x)dx
1
(
1) x 1
dx
1
，
0
2
2EX 1 ，
1 EX
得 的矩估计量为 ˆ 2 X 1 .
1 X
9
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
似然函数为
L( )
(
1)n(
n i 1
xi )
,
0 xi 1(i 1,, n)
ˆ X ,
ˆ 2
B2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
.
它们与相应的最大似然估计量相同.
6
例3 设总体 X 的概率密度为
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本，其中 0 p 1 是未知参
数; 试分别用矩法和最大似然估计法给出 p 的估计量.
1 n
n i 1
Xi
2. 用二阶中心矩 M2 作为总体方差 D( X ) 的估计量：
D(ˆ X )
M2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
4
例1 设总体 X 服从均匀分布U(0, ) ， ( X1,, X n ) 是取自 X 的样本，求未知参数 的矩法估计量.
解 EX ， 2EX ，
2
所以 的矩法估计量为 ˆ 2X .
11
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
12
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体 k 阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
样本 k 阶中心矩为
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称
为矩估计法 .
3
两个基本的矩估计量：
1. 用样本均值 X 作为总体均值 E( X ) 的估计量：
E(ˆ X )
X
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
比较：
的最大似然估计量为
ˆ
max
1 i n
X
i
.
在本例中,如果 X 表示乘客的候车时间,随机抽样
得到的5位乘客的候车时间为 0.5, 1, 2, 3.5, 8, 则其矩
估计值为 6, 而其最大似然估计值为 8.
5
例2 设总体 X 服从正态分布 N (, 2 ) ，( X1,, X n ) 是 取自 X 的样本，则 , 2 的矩法估计量分别为
解 (1) 矩估计法：
X 服从几何分布， E( X ) 1 p
所以 p 的矩估计量为
pˆ 1 X
Байду номын сангаас
7
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
解 (2) 最大似然估计法：
n
L( p)
n
p(1
p
)
xi
1
pn (1
xi n p) i1
,
i 1
n
ln L n ln p ( xi n) ln(1 p) ,
i 1
n
d ln L n n i1 xi
令
0，
dp p 1 p
解得 p 的最大似然估计量为
pˆ
n1
n
Xi
. X
i 1
8
例4 设总体 X 的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本， 1 是未知参数,
试分别用矩法和最大似然估计法给出 的估计量.
0,
其他
n
ln L n ln( 1) ln xi ,
i 1
d ln L
d
n 1
n
ln xi
i 1
令
0，
10
d ln L n n
d 1 i1 ln xi
令
0，
解得 的极大似然估计量为
ˆ 1 n n .
ln X i
i 1
比较： 的矩估计量为 ˆ 2 X 1 .
1 X
两者不同.
解 总体 X 的数学期望为
E( X )
xf ( x)dx
1
(
1) x 1
dx
1
，
0
2
2EX 1 ，
1 EX
得 的矩估计量为 ˆ 2 X 1 .
1 X
9
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
似然函数为
L( )
(
1)n(
n i 1
xi )
,
0 xi 1(i 1,, n)
ˆ X ,
ˆ 2
B2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
.
它们与相应的最大似然估计量相同.
6
例3 设总体 X 的概率密度为
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本，其中 0 p 1 是未知参
数; 试分别用矩法和最大似然估计法给出 p 的估计量.
1 n
n i 1
Xi
2. 用二阶中心矩 M2 作为总体方差 D( X ) 的估计量：
D(ˆ X )
M2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
4
例1 设总体 X 服从均匀分布U(0, ) ， ( X1,, X n ) 是取自 X 的样本，求未知参数 的矩法估计量.
解 EX ， 2EX ，
2
所以 的矩法估计量为 ˆ 2X .
11
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
12
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体 k 阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
样本 k 阶中心矩为
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称
为矩估计法 .
3
两个基本的矩估计量：
1. 用样本均值 X 作为总体均值 E( X ) 的估计量：
E(ˆ X )
X