算法导论复习资料
算法导论复习资料
算法导论复习资料一、选择题：第一章的概念、术语。
二、考点分析：1、复杂度的渐进表示，复杂度分析。
2、正确性证明。
考点：1）正确性分析（冒泡，归并，选择）；2）复杂度分析（渐进表示O，Ｑ，©，替换法证明，先猜想，然后给出递归方程）。
循环不变性的三个性质：1）初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的；2）保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确；3）当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。
插入排序算法：INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 ▹Insert A[j] into the sorted sequence A[1，j - 1].4 i ←j - 15 while i > 0 and A[i] > key6 do A[i + 1] ←A[i]7 i ←i - 18 A[i + 1] ←key插入排序的正确性证明：课本11页。
归并排序算法：课本17页及19页。
归并排序的正确性分析：课本20页。
3、分治法（基本步骤，复杂度分析）。
——许多问题都可以递归求解考点：快速排序，归并排序，渐进排序，例如：12球里面有一个坏球，怎样用最少的次数找出来。
（解：共有24种状态，至少称重3次可以找出不同的球）不是考点：线性时间选择，最接近点对，斯特拉算法求解。
解：基本步骤：一、分解：将原问题分解成一系列的子问题；二、解决：递归地解各子问题。
若子问题足够小，则直接求解；三、合并：将子问题的结果合并成原问题的解。
复杂度分析：分分治算法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的，T(n)为一个规模为n的运行时间，得到递归式T(n)=Q(1) n<=cT(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) n>c附加习题：请给出一个运行时间为Q(nlgn)的算法，使之能在给定的一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。
算法导论-9.红黑树习题
算法导论-9.红⿊树习题这⼀篇解决《算法导论》中红⿊树章节的部分习题，在上⼀篇⾃⼰亲⾃实现红⿊树后，解决这些题⽬就轻松多了。
练习13.1-6 在⼀棵⿊⾼度为 $k$ 的红⿊树中，内节点最多有多少个？最少有多少个？⿊⾼度为 $k$ 的⼆叉树，全⾼度最⼩为 $k+1$，最⼤为 $2k+2$ 。
内节点最多有 $2^{k+1}-1$ 个，这种情况下红⿊树中没有红节点，⿊节点全满（满⾜所有叶⼦节点⿊⾼度⼀致的条件）；内节点最多有 $2^{2k+2}-1=4^{k+1}-1$ 个。
这种情况下红⿊树全满。
练习13.1-7 在 $n$ 个关键字上构造出来的⼆叉树，红节点与⿊节点个数的⽐值最⼤为多少？最⼩是多少？红节点最多时，⽐值为：$$\frac{n-2^{h-1}-2^{h-3}-...-(2)-1}{2^{h-1}+2^{h-3}+...+(2)+1},h=\lfloor\lg n\rfloor$$红节点最少时，⽐值时为：$$\frac{n-2^{\lfloor\lg n\rfloor}}{2^{\lfloor\lg n\rfloor}}$$练习13.2-2 证明，在⼀棵 $n$ 个节点的⼆叉查找树中，刚好有 $n-1$ 种可能的旋转。
思路：每⼀个可能的旋转对应于⼀条边，每⼀个条边也只能对应⼀个可能的旋转，因此可能的旋转数就是边的数⽬。
每⼀条边都对应⼀个⼉⼦节点，每⼀个节点（除了根节点）都对应⼀个边，所以边的数⽬为 $n-1$ ，也就是可能的旋转的数⽬。
练习13.2-4 证明任意⼀颗含有 $n$ 个节点的⼆叉查找树都能通过 $O(n)$ 次旋转，转变为另⼀颗含有同样节点（节点位置可以任意不⼀样，但仍然保持⼆叉查找树性质）的⼆叉查找树。
思路：考虑⼀颗⼆叉查找树的“右链”，即从根节点向具有最⼤节点值的节点的路径。
不断地右旋右链上具有左⼦树的节点，每⼀次旋转可以使右链上多⼀个节点，（⼜，右链上⾄少有⼀个节点，根节点），所以⾄多 $n-1$ 次右旋后，⼆叉树的右链上连接了所有的节点，这时⼆叉树实际上称了⼀个已排序（旋转保持⼆叉查找树的性质）的单链表。
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算法导论（第三版）－复习－第六部分图论22-26［转］
算法导论（第三版）－复习－第六部分图论22-26［转］22习题22.1-5 有向图G(V, E)的平⽅图。
链表表⽰时，对每结点u的Adj[u]中所有v加⼊队列，后边出队边将Adj[v]加⼊Adj[u]中。
矩阵表⽰时，若w[i, j]、w[j, k]同时为1则将w[i, k]置1.习题22.1-6 O(V)的时间寻找通⽤汇点。
汇点的特征是邻接矩阵的第j列除[j, j]外所有元素为1. 可将每⾏调整[j ,j]后作为⼀个整数，所有整数与运算，为1的位是汇点。
习题22.1-7 有向⽆环图的关联矩阵B，BB’每个元素C[i, j]=∑B[i, k]*B’[k, j]=∑B[i, k]*B[j, k]，即同时进i, j两结点与同时出i, j的结点总数-⼀进⼀出i, j两结点的结点总数。
习题22.2-7 类似BFS，d mod2为0则标为B（娃娃脸），d mod2为1则标为H（⾼跟鞋）。
但若有边连接相同类的结点，则⽆法划分。
wrestler(G){for each u in G{(u,v)=Adj[u];if(v.mark==u.mark){throw error;}if(v.d==NIL) {v.d=u.d+1; v.mark=v.d mod 2;}}}习题22.2-8 任意点之间的最短路径。
重复的Dijktra算法或Floyd-Warshall算法习题22.2-9 ⽆向图扩展为有向图。
问题变成要遍历所有边⼀次。
访问结点u时，将u的⼦结点v的其他边都可视为⼦集v，问题等价于u到v，访问v的集合，v到u。
u标为visiting⼊列，然后访问v，v标为visiting⼊列，然后访问v的后继结点，访问过的边标为visited，返回到visiting的点时，如果该点所有连接的边都标为visited只剩⼀条返回上级的边，则返回上级结点并将点标为visited，v出列，访问u的其他⼦结点，最终u出列。
全部结点出列后达到遍历所有边⼀次。
《算法导论》习题答案
Chapter2 Getting Start2.1 Insertion sort2.1.2 将Insertion-Sort 重写为按非递减顺序排序2.1.3 计算两个n 位的二进制数组之和2.2 Analyzing algorithms2.2.1将函数32/10001001003n n n --+用符号Θ表示2.2.2写出选择排序算法selection-sort当前n-1个元素排好序后，第n 个元素已经是最大的元素了.最好时间和最坏时间均为2()n Θ2.3 Designing algorithms2.3.3 计算递归方程的解22()2(/2)2,1k if n T n T n n if n for k =⎧=⎨+ = >⎩ （1） 当1k =时，2n =，显然有()lg T n n n =（2） 假设当k i =时公式成立，即()lg 2lg22i i i T n n n i ===⋅，则当1k i =+，即12i n +=时，111111()(2)2(2)222(1)22lg(2)lg i i i i i i i i T n T T i i n n ++++++==+=⋅+=+== ()lg T n n n ∴ =2.3.4 给出insertion sort 的递归版本的递归式(1)1()(1)()1if n T n T n n if n Θ =⎧=⎨-+Θ >⎩2.3-6 使用二分查找来替代insertion-sort 中while 循环内的线性扫描，是否可以将算法的时间提高到(lg )n n Θ？虽然用二分查找法可以将查找正确位置的时间复杂度降下来，但是移位操作的复杂度并没有减少，所以最坏情况下该算法的时间复杂度依然是2()n Θ2.3-7 给出一个算法，使得其能在(lg )n n Θ的时间内找出在一个n 元素的整数数组内，是否存在两个元素之和为x首先利用快速排序将数组排序，时间(lg )n n Θ，然后再进行查找： Search(A,n,x)QuickSort(A,n);i←1; j←n;while A[i]+A[j]≠x and i<jif A[i]+A[j]<xi←i+1elsej←j -1if A[i]+A[j]=xreturn trueelsereturn false时间复杂度为)(n Θ。
算法导论第四版
算法导论第四版引言算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的步骤和方法的描述。
《算法导论第四版》是一本经典的算法教材，深入浅出地介绍了各种常见的算法和数据结构。
本文将对这本书进行全面、详细和深入地探讨，帮助读者更好地理解和应用算法导论。
为什么学习算法导论1.提升编程技能：算法是编程的基础，学习算法可以提升编程的技能和水平。
2.解决实际问题：算法解决了许多实际问题，学习算法可以帮助我们更好地解决实际问题。
3.备战面试：许多技术面试都会考察算法和数据结构的知识，学习算法导论可以更好地应对面试。
基础知识算法分析1.时间复杂度：衡量算法的执行时间随输入规模增长的速度。
2.空间复杂度：衡量算法执行过程中所需的额外空间随输入规模增长的速度。
排序算法1.冒泡排序：反复交换相邻的元素，将最大的元素逐渐“冒泡”到最后。
2.插入排序：通过构建有序序列，依次将未排序的元素插入到已排序的序列中。
3.快速排序：选择一个基准元素，按照它的值将数组分成两部分，递归地对两部分进行排序。
4.归并排序：将数组分成两部分，分别对两部分进行排序，然后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。
数据结构数组和链表1.数组：连续的内存空间，支持随机访问，但插入和删除的时间复杂度较高。
2.链表：不连续的内存空间，只支持顺序访问，但插入和删除的时间复杂度较低。
栈和队列1.栈：后进先出的数据结构，主要有进栈和出栈两个操作。
2.队列：先进先出的数据结构，主要有入队和出队两个操作。
哈希表1.哈希函数：将关键字映射到哈希表中的位置。
2.哈希冲突：不同的关键字映射到了同一个位置，解决冲突的方法有开放寻址法和链地址法。
3.哈希表的应用：常用于高效地插入、删除和查找操作。
树和二叉树1.树：由节点和边组成的一种数据结构，常见的树包括二叉树、平衡二叉树和B树等。
2.二叉树：每个节点最多有两个孩子节点的树。
堆和优先队列1.堆：完全二叉树，堆可以分为最大堆和最小堆。
《算法导论(第二版)》(中文版)课后答案
5
《算法导论（第二版） 》参考答案 do z←y 调用之前保存结果 y←INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(y, i) 如果循环是由于y没有左子树，那我们返回y 否则我们返回z，这时意味着没有在z的左子树找到重叠区间 7 if y≠ nil[T] and i overlap int[y] 8 then return y 9 else return z 5 6 15.1-5 由 FASTEST-WAY 算法知：
15
lg n
2 lg n1 1 2cn 2 cn (n 2 ) 2 1
4.3-1 a) n2 b) n2lgn c) n3 4.3-4
2
《算法导论（第二版） 》参考答案 n2lg2n 7.1-2 (1)使用 P146 的 PARTION 函数可以得到 q=r 注意每循环一次 i 加 1，i 的初始值为 p 1 ，循环总共运行 (r 1) p 1次，最 终返回的 i 1 p 1 (r 1) p 1 1 r (2)由题目要求 q=(p+r)/2 可知，PARTITION 函数中的 i，j 变量应该在循环中同 时变化。 Partition(A, p, r) x = A[p]; i = p - 1; j = r + 1; while (TRUE) repeat j--; until A[j] <= x; repeat i++; until A[i] >= x; if (i < j) Swap(A, i, j); else return j; 7.3-2 （1）由 QuickSort 算法最坏情况分析得知：n 个元素每次都划 n-1 和 1 个，因 为是 p<r 的时候才调用，所以为Θ （n） （2）最好情况是每次都在最中间的位置分，所以递推式是： N(n)= 1+ 2*N(n/2) 不难得到：N(n) =Θ （n） 7.4-2 T(n)=2*T(n/2)+ Θ （n） 可以得到 T(n) =Θ （n lgn） 由 P46 Theorem3.1 可得：Ω (n lgn)
算法导论Chapter 17
7
Ch.17 平摊分析
平摊分析特点
3）不仅是分析方法，也是设计算法和数据结 构的一种思维方法 因为设计算法与分析时间性能紧密相关， 所以通过平摊分析可优化算法设计，加深对 算法所操作的数据结构特性的认识，从而设 计出时空性能更优的数据结构
操作
Push(S, x): O(1)
Pop(S):
O(1)
MultiPop(S, k): O(min(|S|, K)) 弹出min(|S|, K)个对象
10
17.1 合计法
栈上操作序列的时间分析 通常分析方法得不到紧确界 设 有 n 个 Push ， Pop 和 Multipop 操 作 构 成 的序列作用在初值为空的栈S上。 一次Multipop的最坏时间为O(n)，因为|S| ≤n，K=O(n)； 最坏情况下可能有O(n)个Multipop。 因此，该序列最坏时间为O(n2)
14
if i<length[A] then //i位上为0，且x<2k -1
A[i] 1;
//将进位加到第i位上
//否则x=2k -1，加1后A[0..k-1]=0
}
15
17.1 合计法
执行过程： 初值为0，做n次增量操作
调用 A中值 A[7] … A[2] A[1] A[0] 总成本 本次成 本
执行次 0
0
…
0
0
0
0
0
数
1
1
0
…
0
0
1
1
1
2
2
0
…
0
1
0
3
2
3
3
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算法导论复习资料一、选择题：第一章的概念、术语。
二、考点分析：1、复杂度的渐进表示，复杂度分析。
2、正确性证明。
考点：1）正确性分析（冒泡，归并，选择）；2）复杂度分析（渐进表示O，Ｑ，©，替换法证明，先猜想，然后给出递归方程）。
循环不变性的三个性质：1）初始化：它在循环的第一轮迭代开始之前，应该是正确的；2）保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么，在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确；3）当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于表明算法是正确的。
插入排序算法：INSERTION-SORT(A)1 for j ←2 to length[A]2 do key ←A[j]3 ▹Insert A[j] into the sorted sequence A[1，j - 1].4 i ←j - 15 while i > 0 and A[i] > key6 do A[i + 1] ←A[i]7 i ←i - 18 A[i + 1] ←key插入排序的正确性证明：课本11页。
归并排序算法：课本17页及19页。
归并排序的正确性分析：课本20页。
3、分治法（基本步骤，复杂度分析）。
——许多问题都可以递归求解考点：快速排序，归并排序，渐进排序，例如：12球里面有一个坏球，怎样用最少的次数找出来。
（解：共有24种状态，至少称重3次可以找出不同的球）不是考点：线性时间选择，最接近点对，斯特拉算法求解。
解：基本步骤：一、分解：将原问题分解成一系列的子问题；二、解决：递归地解各子问题。
若子问题足够小，则直接求解；三、合并：将子问题的结果合并成原问题的解。
复杂度分析：分分治算法中的递归式是基于基本模式中的三个步骤的，T(n)为一个规模为n的运行时间，得到递归式T(n)=Q(1) n<=cT(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) n>c附加习题：请给出一个运行时间为Q(nlgn)的算法，使之能在给定的一个由n个整数构成的集合S 和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。
4、动态规划（最优子结构性质，自底向上填表计算最优解值（即最长公共子序列），导出最优解）。
考点：最优子结构性质，自底向上填表计算最优解值，导出最优解。
a）动态规划算法设计的4个步骤：1）描述最优解的结构；2）递归定义最优解的值；3）按自底向上的方式计算最优解的值；4）由计算出的结果构造一个最优解。
b）最优子结构遵循的共同模式：1）问题的一个解可以是做一个选择，做这种选择可能会得到一个或多个有待解决的子问题；2）假设对一个给定的问题，已知的是一个可以导致最优解的选择，不必关心如何确定这个选择，尽管假定它是已知的；3）在已知这个选择后，要确定哪些子问题会随之发生，以及如何最好地描述所得到的子问题的空间；4）利用一种―剪切粘贴法‖，来证明在问题的一个最优解中，使用的子问题的解本身也必须是最优的。
备注：A problem exhibitsoptimal substructure if an optimal solution to the problem contains within it optimal solutions tosubproblems.Whenever a problem exhibits optimal substucture it is a good clue that dynamic programming might apply.c ）最长公共子序列的算法：这里以两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}为输入，注意课本211页的自底向上填表方法。
LCS-LENGTH(X, Y) 注：此程序运行时间为O （mn ），每个表项的计算时间为O （1） 1 m ← length[X]2 n ← length[Y]3 for i ← 1 to m4 do c[i, 0] ← 05 for j ← 0 to n6 do c[0, j] ← 07 for i ← 1 to m8 do for j ← 1 to n9do if xi = yj 10then c[i, j] ← c[i - 1, j - 1] + 1 11b[i, j] ← ―=" 12else if c[i - 1, j] ≥ c[i, j - 1] 13 then c[i, j] ← c[i - 1, j]14 b[i, j] ← "↑"15 else c[i, j] ← c[i, j - 1]16 b[i, j] ← " ← "17 return c and bPRINT-LCS(b, X, i, j) 注：此程序运行时间为O （m+n ）1 if i = 0 or j = 02 then return3 if b[i, j] = "="4 then PRINT-LCS(b, X, i - 1, j - 1)5 print xi6 elseif b[i, j] = "↑"7 then PRINT-LCS(b, X, i - 1, j)8 else PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)d ）矩阵链乘法的算法：参照课本上的矩阵链表得出矩阵相乘的最小算法。
}],1[],[{min ],[1j k i jk i p p p j k m k i m j i m -<≤+++=MATRIX-CHAIN-ORDER(p) 每个表项的复杂度是O （n ），共有O （n^2）表项，则为O （n^3） 1 n ← length[p] - 12 for i ← 1 to n3 do m[i, i] ← 04 for l ← 2 to n ▹l is the chain length.5 do for i ← 1 to n - l + 16 do j ← i + l - 17 m[i, j] ← ≦8 for k ← i to j - 19do q ← m[i, k] + m[k + 1, j] + pi-1 pkpj 10 if q < m[i, j]11 then m[i, j] ← q12 s[i, j] ← k13 return m and sPRINT-OPTIMAL-PARENS(s, i, j)1 if i = j2 then print "Ai "3 else print "("4 PRINT-OPTIMAL-PARENS(s, i, s[i, j])5 PRINT-OPTIMAL-PARENS(s, s[i, j] + 1, j)6 print ")"e ）备忘录算法：1）程序结构采用自顶向上；2）保留了递归结构，开销较大；3）当所有的子问题都需要求解时，自底向上的方法效率较高，否则可以采用备忘录方法。
备忘录算法的代码可以参照课本207页。
f ）最优二叉查找树：1）一棵最优二叉查找树不一定是一棵整体高度最小的树，也不一定总是把有最大概率的关键字放在根部来构造一棵最优二叉查找树。
5、贪心法（最优子结构性质+贪心选择性质）。
考点：学会证明最优子结构性质和贪心选择性质的问题。
a ）活动选择问题：⎪⎩⎪⎨⎧≠++==<<φφij jk i ij S if j k c k i c S if j i c }1],[],[{ 0],[max注意课本上224页地贪婪法定理证明，这就是贪婪法的合理性证明。
RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR(s, f, i, j)1 m ← i + 12 while m < j and sm < fi ▹ Find the first activity in Sij.3 do m ← m + 14 if m < j5 then return {am} ∪RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR(s, f, m, j)6 else returnGREEDY-ACTIVITY-SELECTOR(s, f)1 n ←length[s]2 A ←{a1}3 i ←1 24 for m ←2 to n5 do if sm ≥fi6 then A ←A ∪{am}7 i ←m8 return Ab）贪心算法遵循的步骤：1）决定问题的最优子结构；2）设计出一个递归解；3）证明在递归的任一阶段，最优选择之一总是贪心选择，那么，做贪心选择总是安全的；4）证明通过做贪心选择，所有的子问题（出一个以外）都为空；5）设计出一个实现贪心策略的递归算法；6）将递归算法转换成迭代算法。
c）根据贪心选择来构造最优子结构：1）将优化问题转化成这样一个问题，即先做出选择，再解决剩下的一个子问题；2）证明原问题总是有一个最优解是做贪心选择得到的，从而说明贪心选择的安全；3）说明在做贪心选择后，剩余的子问题具有这样的一个性质，即如果将子问题的最优解和我们所作的贪心选择联合起来，可以得出原问题的一个最优解。
d）贪心选择性质：证明定理16.1e）最优子结构性质：课本229页。
6、搜索（回溯法、剪枝函数、最小成本优先）。
考点：回溯，剪枝函数，最小成本优先的问题；分支界限法，剪枝函数所具备的性质。
a）回溯法：1）定义：回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为―回溯点‖。
2）回溯法解题的步骤：a、针对所给的问题，定义问题的解空间；b、确定易于搜索的解空间结构；c、以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
2）回溯法解决的n后问题：在一个n * n的棋盘上放臵n个王后，使得n后彼此不受攻击。
3）回溯法解决0-1背包问题：附：证明部分背包问题具有贪心选择性质。
课本练习题16.2-3：c剪枝函数：约束函数：剪去不满足约束函数的子树； 限界函数：剪去由限界函数表明不能得到最优解的子树。
n k x x x P x x x P k k <<⇒+0),...,,(),...,,(21121剪枝函数的必要条件：典型例题：1）求不等式的整数解 5x 1+4x 2-x 3<=10, 1<=x j <=3, i =1,2,32）装载问题：c）最小成本优先算法：注：分支——限界的基本思想：1回溯法的深度优先比较盲目2广度优先代价太高4能优先搜索那些最有希望得到解的路径6深入分析问题，得到有用的启发信息7利用启发信息构造成本函数8最小成本优先的搜索策略9结合剪枝函数典型题型：重拍九宫问题。