改后第四章概率论习题_奇数答案1汇编

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概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后解答

概率论习题四答案1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①,又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=……由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因11(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =2 1()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 (5)e ,5,()0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其它求()E XY .【解】方法一：先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x==⎰5(5)5()e d5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯= 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为()X f x =⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e ()Y f y =⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） ()E X Y +;（2） 2(23)E X Y -.【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX E X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞===-+⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e d y .4yY E Y y f y y y +∞+∞--∞===⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1) 113()()().244E X Y E X E Y +=+=+= (2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx x ke求（1）系数c ;（2）()E X ;（3） ()D X . 【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d k x k x x +∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .k x E X x f x x x k x dx k +∞+∞--∞===⎰⎰故2222214π()()[()].24D X E X E X k k k ⎛-=-=-= ⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求()E X 和()D X . 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为41e ,0,()40,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且有2(),(),1,2,,i i E X D X i n μσ===,记 11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑. （1）验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2）验证22211()1ni i S X nX n ==--∑；（3）验证22()E S σ=.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因为222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因为2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因为 2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E S E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知()2D X =，()3D Y =，(,)1Cov X Y =-,计算：(321,43)Cov X Y X Y -++-【解】Cov(321,43)3()10ov(,)8()X Y X Y D X C X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故(,3)(,3)0Cov X Cov Y ==,其余类似). 16.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为221,1,(,)π0,.x y f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰ 同理E (Y )=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性，当1x ≤时，()X f x =当 1y ≤时，()Y f y =. 显然 ()()(,)X Y f x f y f x y ≠ ,故X 和Y 不是相互独立的. 17.设随机变量(,)X Y 的分布律为验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表：由期望定义易得()E X =()E Y =()E XY =0.从而()E XY =()E X ()E Y ,再由相关系数性质知xy ρ=0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求(,)Cov X Y ，xy ρ. 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6x x x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差(,)Cov X Y 和相关系数xy ρ. 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知条件得：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X YD Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy -Schwarz ）不等式. 【证】考虑实变量t 的二次函数2222()[()]()2()()g t E V tW E V tE VW t E W =+=++因为对于一切t ，有2()0V tW +≥，所以 ()0g t ≥，从而二次方程 ()0g t =或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0，即 222[2()]4()()0E VW E W E V ∆=-≤故 222[()]()()E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间1()5XE ，其概率密度为 151,0()50,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩根据题意 {}min ,2Y X =，所以Y 的分布函数为 {}{}()min ,2F y P X y =≤当0y <时，{}{}{}()min ,20F y P X y P X y =≤=≤=；当02y ≤<时，{}{}{}115501()min ,215x y yF y P X y P X y e dx e --=≤=≤==-⎰；当2y ≥时，{}{}()min ,21F y P X y =≤=；于是Y 的分布函数为：150,0,()1,02,1,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解：由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

概率论第四章作业附答案

由列维定理知, 所求的概率
70 60 300 P X i 70 1.29 0.9015 300 0.2
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
解设事件 A 在每次试验中发生的概率为 p, 在这10000次试验中
发生了X 次, 则 E ( X ) np 10000 p, D( X ) 10000 p1 p,
因此所求事件的概率为
X P 10000 p 0.01 P X 10000 p 100 P X E ( X ) 100 2 D( X ) 1 2 3 1 1 p 1 p 1 p p p 0.75. 100 2 4 2

30 20 30 20 40 40
出现的次数，设Y 表示在三次独立测量中事件 X 30
0.25 1.25 0.25 1 1.25 0.4931
). ∴所求的概率为：则 Y ~ B(3 , 0.4931
8. X , Y 独立且服从相同分布 N
2
144
。
, ，则 2 X Y 3 ~
2
N ( 3,5 2 )
D(3 X Y ) 7.4
2
．
9. 设 X ~ N (10,0.6),Y ~ N (1,2) ，且 X 与 Y 相互独立，则 10.
2 2 。 4 设 X，Y 独立且服从相同分布 N ( , ), Z X Y 2 ，则 E ( Z )
7
2017年3月23日11时23分山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室

概率论第四章习题解答

1第四章随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.400.300.30求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X 0 8 10 p0.00140.80880.1898则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它则4()()24x E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰.4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p pk p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p =⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-== (0,1,2,)k =求()E X 、2()E X ？解：1()!(1)!kk k k E X k ee ee k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；12201(1)()[]!(1)!!kk kk k k k k E X keee k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑1210[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑. 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布X 10 11 12 13 p0.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？解：(1)()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰；22222()()3baxa ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即的指数分布，即0()0x ex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xxE X xf x dx x edxxdeλλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xxxeedxλλλ+∞+∞--=-+=⎰；2222202()()2xxxE X x f x dxx edxx exedxλλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞-∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为X 0 2 6 p3/12 4/12 5/12求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=；34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()21(||)||2x E X x e dx μσμμπσ--+∞-∞-=-⎰令x t μσ-=，由偶函数性质有222022(||)()2t t E X e d μσσππ+∞--==⎰.11、设某商品需求量(10,30)X U ，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20n n E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰ 27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元则Yx x a - p1p -p按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()220x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p Xdx πππ=>==⎰所以44()0.50.5kkkp Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有42244()0.50.55k kkk E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布求22Z X Y =+的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-=于是22222221()(,)2x y E Z x y f x y dxdy x y edxdy π++∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()22r r E Z r e drd r e drππθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰.15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？YX0 5 10 15 0 0.02 0.06 0.02 0.10 5 0.04 0.15 0.20 0.10 100.010.150.140.01解：由题设可得Z 的分布为Z 0 510 15 p 0.020.25 0.52 0.21()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：12004()(,)125xE X xf x y dxdydx xy dy+∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 1303()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；；131()(,)122xE XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 122222220016()()(,)()15xE XY xy f x y dxdydx xy y dy+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ？解：22007()(,)()88xE X xf x y dxdyxy dxdy+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y xx ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G f x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X xf x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它当01y ≤≤时，有24()99y Y y f y dx y--==⎰当14y <≤时，有222()(2)99y Y y f y dx y y --==+-⎰，所以 40192()(2)1490Y y y f y y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92XE X xfx dx x x x dx +∞-∞--==+-=⎰⎰； 1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y yd y y y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰. 20、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.40 0.30 0.30求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X=，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故2222001711()[()](,)()()8636D X x E X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、40192()(2)1490Y yy f y y y y ⎧≤≤⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y =22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx+∞-∞--==+-=⎰⎰14222214247()()(2)9914Y E Yy f y dyy ydyy y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰229()()[()]20D X E X E X =-=；22279()()[()]350D YE Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2 p8/10 16/90 2/90故2()9E X =、24()15E X =所以2288()()[()]405D XE X E X =-=.26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1()()02x E X xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x xD XE X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D X E X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？解：(,)()()3XY Cov X Y D X D Y ρ==(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y =2221225()994x x G E XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； (,)0.751()()XYCov X Y D X D Y ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为YX-1 0 1 00.07 0.18 0.15 100.080.320.20求22(,)Cov X Y解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X x f x d y x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y y f y d x y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ解：由于X Y n+=，即Y n X=-，于是1XYρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得(,)35(),()XYCov X Y D X D Y ρ==. 38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于12()3x xE X xdydx -==⎰⎰、、10()0x xE Y ydydx -==⎰⎰、10()0xxE XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关；又因当01x <<时，有()2xXxf x dy x-==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U ，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以11201()||()()2aaE Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰3101()()()323a a a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a aCov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关. 40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n = ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =记1ni i X X ==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有15001150001515000(||15)(||)15001/1215001/12i i x p X p =-⨯-⨯>=>∑151[2()1]0.180215001/12≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有1100100.90(||10)(||)2()11/121/121/12ni i x n n p X p n n n =-⨯-⨯≤<=≤≈Φ-∑即10()0.951/12n Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=，则101.6451/12n ≥因此443.45n £，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，种蛋糕，每种蛋糕被购买的概每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为iX (1,,300)i = .则i X的分布为i X1 1.2 1.5 p0.30.20.5于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713iE X =、()0.0489i D X =令3001i i X X ==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有300 1.29400300 1.29(400)()1(3.39)0.00033000.04893000.0489X p X p -⨯-⨯≥=>≈-Φ=⨯⨯；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有606060(60)1()1(0)0.54848Y p Y p --≥=-<≈-Φ=.43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000X p ε-≤≥即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有25010001000(||)2()10.95187.5187.5187.5X p εε-≤≈Φ-≥即1000()0.975(1.96)187.5εΦ≥=Φ解得0.026ε³，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n 号)随机的装入n 只盒子(1n 号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n = ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++ ，且1(1)i p X n ==(1,)i n = 即1()i E X n = (1,)i n =于是1()()1n E X E X X =++=因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)nn ni i i i j ii ij D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====- 所以1()(1)i j E X X n n =-，因此 21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=- 2211()21(1)nn D X Cnn n -⇒=+=-.2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：00()()()()E X xf x dxxf x dxxf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dxxdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dxf x dx dyF y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰ 0()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞=--⎰⎰111111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ--=---+=⎰⎰.4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dxc t f c t dtcf c t dttf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt cf c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dttf c t dtuf c u duuf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p ，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()D X解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知211()[1(1)]E X p p p =⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X Xk k p Xk pk k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得 1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+- 3222[(1)][1(1)]E X X pp p ⇒+==--222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+-- 221[(1)]()[()]p E X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n en λλ-==(0,1,2,)λ= ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn knp Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =由全概率公式，对任意0,1,,k n = 有()()(|)(1)!nkkn kn n k n k p Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n kk kp pn k p p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y服从参数为pλ的泊松分布所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)nnni iiiji i i j D X D X Cov X X-====≤=+∑∑∑∑1111()2()()nni i i j i ij D X D X D X ρ-====+∑∑∑11111()[()()]()[1(1)]n ni ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。

(真题汇编)(核定版)湘教版九年级下册数学第4章概率含答案

湘教版九年级下册数学第4章概率含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是( )A. B. C. D.以上都不对2、公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是（）A.50%B.100%C.由各车所在单位或个人定D.无法确定3、下列事件是必然事件的是( )A.打开电视机,任选一个频道,屏幕上正在播放天气预报B.到电影院任意买一张电影票,座位号是奇数C.在地球上,抛出去的篮球会下落D.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后偶数点朝上4、下列事件中，为必然事件的是（）A.购买一张彩票中奖B.打开电视机正在播放广告C.抛掷一枚硬币，正面向上D.a为实数，≥05、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）.A. B. C. D.6、小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是( )A. B. C. D.7、下列说法正确的是（）A.“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次C.处于中间位置的数一定是中位数 D.方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小8、小华做了一个试验：从反扣在桌面上牌面数字分别为6和8的牌中，抽出一张再放回去算一次试验，如果小华做了三次试验，那么所有的不同结果为（）A.3种B.4种C.8种D.9种9、同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x上的概率为（）A. B. C. D.10、在一次数学课上，第一小组做投掷一枚均匀硬币的实验，若实验次数为50次，那么一定出现的情况是（）A.25次正面朝上，25次背面朝下B.背面朝上次数大于正面朝上次数 C.正面朝上次数大于背面朝上次数 D.不确定11、商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”,下列说法正确的是（）.A.抽10次奖必有一次抽到一等奖B.抽一次不可能抽到一等奖C.抽10次也可能没有抽到一等奖D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖12、有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A.事件A、B都是随机事件B.事件A、B都是必然事件C.事件A是随机事件，事件B是必然事件D.事件A是必然事件，事件B是随机事件13、以下说法正确的是（）A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上C.某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中 D.在一次课堂进行的抛硬币试验中，同学们估计硬币落地后正面朝上的概率为0.514、下列事件为必然事件的是（）A.买一张电影票，座位号是偶数B.抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上 C.明天一定会下雨 D.百米短跑比赛，一定产生第一名15、如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是( )A.1B.C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是________.17、下表记录了篮球运动员易建联在某段时间内进行定点投篮训练的结果：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计易建联定点投篮一次，投中的概率约是________．（精确到0.1）18、任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为________．19、有四条线段，长度分别为1、3、4、5，任意取其中三条，能构成三角形的概率是________%。

改后第四章概率论习题_奇数答案1

改后第四章概率论习题_奇数答案1第四章概率论习题__奇数.doc1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。

从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。

试求这n 次中抽到正品的平均次数。

解每次抽到正品的概率为：N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：Nn M3设随机变量X 的概率密度为()()21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。

试证X 的数学期望不存在。

解由于：2021()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ+∞+∞+∞-∞==+=+∞+?所以X 的数学期望不存在。

5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。

n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。

求n η与n S 的期望。

解每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为：()n E np η=时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112tt P T t e e -->=+，0t ≥。

用两种方法求出()E T 。

解方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。

于是有：13()(1())()(1)24t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞+∞--=-=>=+=??方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数：0,0()1(12),02t tt f t e e t --3()()()4E t t f t dt tf t dt +∞+∞-∞===9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q ，现随机的将此棍子截成两段。

概率论第四章习题解答(全)

P{Y 3}
1 5C3 15 1 30 30 2
当 Y 4 时，包含的 4 个字母的单词只有 1 个，故
1 C4 4 2 P{Y 4} 30 30 15
当 Y 9 时，包含的 9 个字母的单词只有 1 个，故
P{Y 9}
9 9 3 30 30 10 Y p
X p
0 0.2936
1 0.4211
2 0.2263
3 0.054
4 0.0049
（4）求数学期望
E ( X ) 0 0.2936 1 0.4211 2 0.2263 3 0.0542 4 0.0049
1.0556 。
3 有 3 只球 4 个盒子的编号为 1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入 4 个盒子中去，以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X＝3，表示第 1 号、第 2 号盒子是空的，第 3 个盒子至少有一只球。）试求 E ( X ) 。解（1）求 X 的分布律
X 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
p
1 6 E( X )
1 6
1 6
1 6
1 6
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
1 6 1 12 21 57 59 i i 6 i 1 36 i 7 6 36 12
2
某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件产品进行检验，
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )

概率论第四、五章课后习题答案

第四章随机变量的数字特征2．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。

以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X )。

(设诸产品是否为次品是相互独立的。

)解：先求检验一次，决定需要调整设备的概率。

设抽检出次品件数为Y ，则Y ~b (10,0.1).记需调整设备一次的概率为p ，则2639.01.09.01109.01}1{}0{1)1(910=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=-=>=Y P Y P Y P p 又因各次检验结果相互独立，故)2639.0,4(~b X X 的分布律为于是0556.12639.0444)1(43)1(62)1(41)(43223=⨯==⨯+-⨯+-⨯+-⨯=p pp p p p p p X E以后将会知道若X ~b (n ,p )，则np X E =)(.6．(1)设随机变量X 的分布律为求)53(),(),(22+XE X E X E(2)设)(~λπX ，求)11(+X E解：(1)E (X )=(-2)⨯0.4+0⨯0.3+2⨯0.3=-0.2 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2⨯0.4+02⨯0.3+22⨯0.3=2.8E (3X 2+5)=[3⨯ (-2)2+5]⨯0.4+[3⨯ 02+5]⨯0.3+[3⨯22+5]⨯0.3=13.4如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3⨯2.8+5=13.4(2)因)(~λπX ，故!}{k ek X P k λλ-==)1(1)1()1!(!)!1()!1(}{11)11(1100λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞=-∞=-∞=+-∞=-∞=-=-=-==+=+==+=+∑∑∑∑∑eeej ej ek ek ek X P k X E j jj jk k k k k7. (1)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x求(I)Y =2X ；(II) Y =e -2X 的数学期望(2)设随机变量n X X X ,,2,1 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布,(I)求},,max{2,1n X X X U =的数学期望；(II)求},,min{2,1n X X X V =的数学期望。

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第四章概率论习题__奇数.doc1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。

从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。

试求这n 次中抽到正品的平均次数。

解每次抽到正品的概率为：N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M3设随机变量X 的概率密度为()()21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。

试证X 的数学期望不存在。

解由于：2021()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ+∞+∞+∞-∞==+=+∞+⎰⎰所以X 的数学期望不存在。

5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。

n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。

求n η与n S 的期望。

用两种方法求出()E T 。

解方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。

于是有：13()(1())()(1)24t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞+∞--=-=>=+=⎰⎰⎰方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数：0,0()1(12),02t tt f t e e t --<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ 于是03()()()4E t t f t dt tf t dt +∞+∞-∞===⎰⎰ 9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q ，现随机的将此棍子截成两段。

（1）求包含Q 点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q 点，则认为Q 包含在较短的一截内）；（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？解设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q 点的位置距离端点0的长度为q 。

设棍子是在t 点处跌断，t 服从[0,1]的均匀分布。

于是：包含Q 点的棍子长度为T ，则：,11,0min(,1),t q t T t t q q q t q <<⎧⎪=-≤<⎨⎪-=⎩，1q t ≤≤于是包Q 点的那一段棍子的平均长度为：11201()(1)2q qE T Tdx t dt tdt q q ==-+=+-⎰⎰⎰ 11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。

可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II ）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设500k为正整数，1k >）。

将每组ｋ人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。

若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。

如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？解 (I)每个人化验一次，需要化验500次（II ）分成k 组，对每一组进行化验一共化验500k次，每组化验为阳性的概率为：10.7k-，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k 次，于是该方法需要化验的次数为：500(1(10.7))k k k+-。

将（II ）的次数减去（I ）的次数，得：5001(1(10.7))500500(0.7)k k k k k+--=- 于是：当10.70k k -<时，第二种方法检验的次数少一些；当10.70k k->时，第一种方法检验的次数少一些；当10.70kk-=时，二种方法检验的次数一样多。

13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r （0r >），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。

设Ａ的平面直角坐标为(),X Y 。

（１）求()E X 与()E Y ；（２）求点Ａ与屏幕中心位置()0,0的平均距离。

解由题意知：21,,(,)0x y f x y r π⎧⎪=⎨⎪⎩在圆内，其他值，2,()0X r x r f x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值，2,()0Y r y rf x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值（1）计算可得2()()0rrE X E Y xdx rπ-===⎰（2） A 的位置是(),x y ，距中心位置（0，0离为：22223x y r rE +≤==⎰⎰15、接第13题，求当横坐标为2r 时，纵坐标Y 的条件期望。

解|1,(,)(|)2()0Y X X y f x y f y x rf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩，其他值|1(,),(|2220(2Y X X r rf y y f y r ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩，其他值于是：221(|)022rr E Y X ydy r-===⎰17、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。

第一次考试，若考生成绩为X ，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩Y 不低于第一次考试为止。

记第一次考试后，又进行了Z 次才通过第二次考试。

由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。

（1）求最终的平均成绩()E Y ；（2）求()E Z 。

解：由题意知 1()11P X k ==，其中0,1,2,10k =。

于是 (,)0,1,,11P Y k X i i k ====+11(,)()(|),0,1,,1111P Y k X i P X i P Y k X i i k i=======⋅=-从而011()(,)1111kki i P Y k P Y k X i i =======⋅-∑∑于是：10001()7.511kk i E Y ki====-∑∑ 又11011(11)()11k k i i i P Z k --=-==∑ 从而10111()() 3.02(11)k i E Z P Z k k i ∞======-∑∑19、随机变量X 服从Gamma 分布，概率密度函数为()()1xf x x e ααλλα--=Γ，0x >，其中，0α>称为“形状参数”，0λ>称为“尺度参数”。

求()k E X （1k ≥）和()D X 。

解 10()(),(1)()()a kkx k k E X x x e dx k αλλααλα∞--Γ+==≥ΓΓ⎰211222200(2)(1)()[][]()()()()a a x x D X x x e dx x x e dx αλαλλλαααααλαλαλ∞∞----Γ+Γ+=-=-=ΓΓΓΓ⎰⎰21、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。

如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。

机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求（1）产品中非正品数的期望与方差；（2）在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。

解 (1)设p 表示从产品取到非正品的概率，于是有：(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06p =-+-+-=，用X 表示产品中非正品数，X 服从二项分布B(100，0.06)，有：100()()1000.066k E X kP X k ====⨯=∑()100(1) 5.64D X p p =-=（参考77页的例4.2.5）（3）用Y 表示在该条件下正品数，Y 服从二项分布B(100,0.98)，于是()1000.9898E Y =⨯=()1000.98(10.98) 1.96D X =⨯⨯-=23、设随机变量X 和Y 独立，且方差存在，证明：22()()()(())()(())()D XY D X D Y E X D Y E Y D X =⋅+⋅+⋅解证明：22222222222222()(())(())()(())()()(()())(,()())((())()()()()(())()(())()D XYE XY E XY E X Y E XY E X E Y E X E Y X Y D X E X D Y E Y E X E Y D X D Y E X D Y E Y D X =-=-=-+⋅+-=⋅+⋅+⋅由于相互独立)=(25、接第20题，（1）求X 与X 的相关系数，并判断两者是否相关；（2）判断X 与X 是否独立？解（1）由相关系数的定义，得：X X ρ=，其中(,)()()()Cov X X E X X E X E X =-通过计算得(,)0Cov X X =，即0X X ρ=，从而说明,X X 是不相关的。

（2）很显然，X X 与不是相互独立的。

27、随机三角形ABC ，角A 与角B 独立同分布，其分布律均为A /3π /4π /6πP λ θ 1λθ--其中0λ>，0θ>，且满足1λθ+<。

已知()1sin (cos )8E A E A ==。

（1）写出(),A B 的联合分布律；（2）求()sin E C ；（3）求角A 与角C 的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。

解（1）由题意得：()(1)3466612E A ππππππλθλθλθ=++--=--(sin )sinsinsin6612E A πππλθ=--，(cos )coscoscos6612E A πππλθ=--结合已知条件，可求出：14λ=，12θ= 由于A 和B 是独立同分布的，于是（A,B ）的联合分布律为： A B 3π 4π 6πP(A=i)3π1/16 1/8 1/16 1/4 4π1/8 1/4 1/8 1/2 6π1/16 1/8 1/16 1/4（2）2(sin )(sin())(sin cos )(cos sin )(sin )(cos )(cos )(sin )0.966E C E B A E B A E B A E B E A E B E A =+=+=+=≈ （3）AC ρ=，其中(,)(,)(,)ov(,)(,)()Cov A C Cov A A B Cov A A C A B Cov A A D A π=--=-+-=-=- ()()()()2()D C D A B D A D B D A π=--=+=所以：AC ρ==，说明A 和C 是负相关的。