数学实验——线性规划

实验5 线性规划分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法2.练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1.《数学实验》第二版（问题6）问题叙述：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有如下限制：(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；(3).所购证券的平均到期年限不超过5年I.若该经理有1000万元资金，该如何投资？II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？III.在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型转换及实验过程：I.设经理对于上述五种证券A 、B 、C 、D 、E 的投资额分别为：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5(万元)，全部到期后的总收益为z 万元。

由题目中的已知条件，可以列出约束条件为：{ x 2+x 3+x 4≥4002x 1+2x 2+x 3+x 4+5x 5≤1.4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)9x 1+15x 2+4x 3+3x 4+2x 5≤5(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤1000}而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T 的上下界约束为：x i ∈[0,1000]目标函数z =0.043x 1+0.027x 2+0.025x 3+0.022x 4+0.045x 5 将上述条件转变为matlab 的要求形式：使用matlab 解上述的线性规划问题（程序见四.1），并整理成表格：得出结论：当经理对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。

讨论：尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：λ=(0 ,0.00618 ,0.00236 ,0.02984)T该乘子表示，第一个约束条件对目标函数的取值不起作用，而剩余三个约束条件取严格等号的时候，目标函数达到最优解。

下面验证之：由解得的x 值，代入四个约束条件中，得：{ −x 2−x 3−x 4=−736.36≪−4000.6x 1+0.6x 2−0.4x 3−0.4x 4+3.6x 5=0.016≈04x 1+10x 2−x 3−2x 4−3x 5=0.01≈0x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=999.99≈1000}因为决策变量x 的取值经过了四舍五入，因而后三个约束条件最终是“约等于”，但已经十分接近，若使用更高精度的x ，则该三式是可以严格等于的。

以上便从实验角度证明了拉格朗日乘子的其中一条数学意义——非零分量对应于起作用的约束，且这些约束取严格等于的时候，目标函数达到最优解。

II.若能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，那么还可以将这部分资金进行证券投资，设借款金额为x 6，则线性规划条件改为： 使用matlab 求解（程序见四.2）并整理成表格： 名称证券A 证券B 证券C 证券D 证券E 借款额 总收益 金额（万元） 240 0 810 0 50 100 30.07得出结论：当经理在以2.75%的利率借款100万元后，且对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资240、0、810、0、50万元时，在全部收回投资时可得到30.07万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。

讨论：本小题中借款的利率2.75%设为了与借款时间无关的量，即无论借多长时间，最终只需多缴纳0.0275倍借款额的利息，这显然是与实际不符的。

在这种情况下，借款额x6的数值显然是100（万元），因为其他五种证券的收益率都高于贷款利率（也可看做负的收益率），借款越多，其他高收益证券就可以有更多本金，收益就越大，因而该情况下，借款多多益善。

而实际情况下，贷款利率是按年计算的，在这种情况下，还需要考虑还款时间。

III.若证券A的税前收益增加为4.5%，则目标函数变为：z=0.045x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.3），并整理成表格：因此，证券A的税前收益增加为4.5%时，投资方式不需改变，而总收益提高为30.273万元同样，若证券C的税前收益减少为4.8%，则目标函数变为：z=0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.4），并整理成表格：因此，当证券C的税前收益减少为4.8%时，投资方式发生了很大改变，证券A和E有少量的变化，证券C被完全舍弃，原C的资金大部分改投证券D，而总收益也由29.836万元下降为29.424万元。

得出结论：若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不需改变。

总收益增加为30.273万元。

而若证券C的税前收益减少为4.8%，投资需要发生改变，五个证券的投资额相应变为336、0、0、648、16万元。

总收益下降为29.424万元。

2.《数学实验》第二版（问题8）问题叙述：某牧场主知道，对于一匹平均年龄的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质，20磅碳水化合物，45磅粗饲料。

这些营养成分是从不同饲料中得到的，饲料及其价格在下表中列出。

建立数学模型，确定如何以最低的成本满足最低的营养需求。

模型转换及实验过程：设牧场主对于每一匹马的供给量为：x 1捆干草，x 2袋燕麦片，x 3块饲料块，x 4袋高蛋白浓缩料。

每匹马耗费资金z 美元。

则可列出约束条件为：{0.5x 1+x 2+2x 3+6x 4≥402x 1+4x 2+0.5x 3+x 4≥205x 1+2x 2+x 3+2.5x 4≥45}而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4)T ,x i ≥0目标函数：z = 1.8x 1+3.5x 2+0.4x 3+x 4改换成matlab 的要求格式：使用matlab 解上述的线性规划问题（程序见四.5），结果整理成表格：项目 干草/捆 燕麦片/袋 饲料块/块 高蛋白浓缩料/袋 资金/美元得出结论：当牧场主给每匹马配备5捆干草、20块饲料块时，能以每匹马17美元的最低的成本满足最低的营养需求。

讨论：与第一题类似，尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：λ=(0 ,0.4 ,0.2)T这说明，蛋白质的需求量不是有效约束条件，而碳水化合物和粗饲料的需求是有效约束条件，二者在严格等于的时候才会出现最优解。

下面再证明拉格朗日乘子的另一个数学意义：影子价格，λ表示对应约束的右端项增加一个单位时，目标函数的增加量（最大化问题）或减少量（最小化问题）。

分别对一匹马的蛋白质、碳水化合物、粗饲料需求量加1，使用matlab求解这三种线性规划，得目标函数的最优解如下：z1=17z2=17.4z3=17.287可见，z1没有变化，验证了蛋白质的需求量不是有效约束条件这一性质，z2的增量为λ2=0.4，也验证了影子价格的性质。

但奇怪的是，z3却没有按照预期增加0.2，而是增加了0.287个单位。

再将粗饲料的增值设为0.1，其他增值设为0，重复实验，得z3=17.02，即目标函数的增量为0.1∗λ2，符合预期。

然而为什么当增值设为1时，便得不到预期的目标函数的增量了呢？，当约束条因为拉格朗日乘子仅在一定范围内，代表影子价格，即λ=dzdb件的改变达到一定程度后，拉格朗日乘子便不再表示正确的影子价格了。

而在matlab中，无法调用函数操作来输出拉格朗日乘子的使用范围，只有在LINGO 或LINDO中才能给出。

三、实验总结本次实验是求解两个实际的线性规划问题，相对于之前的实验，本次的内容较少，操作也很简单。

除了需要注意一下matlab对于线性规划问题的标准格式，搞清楚min和max的区别、大于与小于的区别之外，没有其他易错点。

相对于这两道题的实际情景，我在本次实验中更关心拉格朗日乘子这个数学概念的深层意义。

通过附加的实验，我证明了拉格朗日乘子的两条数学含义，它的零分量对应于不起作用的约束，且为严格不等式约束，非零分量对应于起作用的约束，且为严格等式约束，且分量数值代表约束右端项改变一个单位时，目标函数的改变量，即影子价格。

当然，拉格朗日乘子也有一定的使用范围，当约束右端项改变达到一定程度，使得各个约束之间的优劣关系发生改变时，原条件下的拉格朗日乘子便不能代表当前的影子价格了。

四、程序清单1.第一题小问c=[-0.043,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045];A1=[0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1];b1=[-400;0;0;1000];v1=[0,0,0,0,0];v2=[1000,1000,1000,1000,1000];opt=optimset('largescale','off','simplex','on');[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,[],[],v1,v2,[],opt)2.第一题II小问c=[-0.043,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045,0.0275];A1=[0,-1,-1,-1,0,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6,0;4,10,-1,-2,-3,0;1,1,1,1,1,-1];b1=[-400;0;0;1000];v1=[0,0,0,0,0,0];v2=[1100,1100,1100,1100,1100,100];opt=optimset('largescale','off','simplex','on');[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,[],[],v1,v2,[],opt)3.第一题III小问——A的税前收益增加为4.5%c=[-0.045,-0.027,-0.025,-0.022,-0.045];A1=[0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1];b1=[-400;0;0;1000];v1=[0,0,0,0,0];v2=[1000,1000,1000,1000,1000];opt=optimset('largescale','off','simplex','on');[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,[],[],v1,v2,[],opt)4.第一题III小问——C的税前收益减少为4.8%c=[-0.043,-0.027,-0.024,-0.022,-0.045];A1=[0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;1,1,1,1,1]; b1=[-400;0;0;1000];v1=[0,0,0,0,0];v2=[1000,1000,1000,1000,1000];opt=optimset('largescale','off','simplex','on');[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,[],[],v1,v2,[],opt)5.第二题c=[1.8,3.5,0.4,1];A1=-[0.5,1,2,6;2,4,0.5,1;5,2,1,2.5];b1=[-40;-20;-45];v1=[0,0,0,0];opt=optimset('largescale','off','simplex','on');[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,[],[],v1,[],[],opt)。