高三数学-2018东城区二模文 精品
北京市东城区近年届高三数学下学期综合练习(二模)试题文(含解析)(最新整理)
北京市东城区2018—2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学(文科)本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则A 。
B 。
C. D.【答案】A 【解析】 【分析】解出集合B 中的不等式，根据集合并集运算得到结果。
【详解】，根据集合并集运算得到：.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的并集运算，属于基础题.2。
下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A 。
B 。
C 。
D 。
【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果。
【详解】是奇函数，故A 排除；是非奇非偶函数,C 排除;是偶函数，但在上有增也有减,B 排除，只有D 正确.{13},{20}A x x xB x x 或=-=-≥AB ={}12x x x <-≥或{}12x x -<≤{23}x x ≤<R{2}Bxx =≥的AB ={}12x x x <-≥或()0,+∞3y x =c o s y x =x y e =1y x =+3y x =xy e =c o s y x=()0,+∞故答案为：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.3。
执行如图所示的程序框图,输入，那么输出的的值分别为A. B 。
C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，依次代入数值得到结果.【详解】根据程序框图,依次代入数值得到：a ＝a ＋b ＝7,b ＝a －b ＝7－5＝2，a ＝a －b ＝7－2＝5, 所以，a ＝5，b ＝2 故答案为：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用,属于基础题.4。
若满足,则点到点距离的最小值为A 。
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--函数与导数
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——函数与导数1.（昌平）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 B A. 1y x=B. 3y x = C. sin y x =D. lg y x =2.（昌平）设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则 C A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>3.（昌平）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款 CA. 45元B. 350元C. 400元D. 445元4.（昌平）已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ . 1e；1a <5.（昌平）设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<.（I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围；（III ）求证：124x x +>.解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：所以，当160,c +>且027c +<时， 因为(0)0,(4)h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x === 由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-< 212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x ∈时，'()0u x >，即()u x 在10(2,)3上单调递增，而(2)0u = 所以当10(2,)3x ∈时，()(2)0u x u >=，所以2()0u x >，210(2,)3x ∈所以124x x +>. --------------------13分6. （朝阳）已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ． 恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定7.（朝阳）如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB ，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为 ；()S x 的最小值为．,4π8.（朝阳）已知函数()e x f x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围;（Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e,()(2)e 0xx h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=,于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，， 因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ）()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1xt x x x =<-.则2()(2)e .xt x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数.所以max 24()(2)1e t x t =-=<.所以2e 1xx <.又1x <-，所以1e x x x >.而当1x <-时，()11,0x∈-， 所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意；(2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<.综上11[,]22a ∈-. ……………13分9.（东城） 若22log (1)x x <+，则x 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(1,+)∞（C ）(1,0)- （D ）(0,)+∞10.（东城）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题：① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ② ()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③（C ）②④（D ）③④11.（东城）设函数2()2ln 2f x x x ax =-++. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线1y x =-+是曲线()y f x =的切线，求a 的值.解：()f x 的定义域为(0,)+∞． ………1分（Ⅰ）当3a =时，2()2ln 32f x x x x =-++，所以22232'()23x x f x x x x-++=-+=.令2232'()0x x f x x-++==，得22320x x -++=， 因为0x >，所以2x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2)+∞，.()f x 有极大值2ln 24+，()f x 无极小值. …………6分（Ⅱ）因为2()2ln 2f x x x ax =-++，所以2'()2f x x a x=-+. 设直线1y x =-+与曲线()y f x =的切点为（00,()x f x ），所以2000000222'()21x ax f x x a x x -++=-+==-，即2002(1)20x a x -+-=.又因为200000()2ln 21f x x x ax x =-++=-+，即20002ln (1)10x x a x -+++= 所以2002ln 10x x +-=.设2()2ln 1g x x x =+-，因为22(1)'()0(0)x g x x x+=>>， 所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.所以()g x 在区间(0,)+∞上有且只有唯一的零点. 所以(1)0g =，即01x =.所以1a =-. …………13分12.（房山） 下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是 B（A ）3xy =- （B ）12y x =- （C ） 2(2)y x =-- （D ）12log y x = 13. （房山）已知集合{}{}4,3,2,,=c b a ，且下列三个关系：4,3,3≠=≠c b a 有且只有一个正确，则函数()()22,,,,⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩xx b f x x c a x b 的值域是 ． [)+∞,314. （房山）已知函数()1ln ()f x a x a x∈R ＝－．（Ⅰ）当1a ＝-时，（i ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）设()()1g x xf x =-，求函数()g x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个的零点，求实数a 的取值范围．(Ⅰ)解：1a ＝-，()1ln f x x x ＝－，()11f ＝，()211x x f x-'+＝. ()10k f ∴='＝.故所求切线方程为：1y ＝ …………4分 (Ⅱ) 解：()ln g x x x =,函数定义域为：{|0}x x >()ln 1g x x '=+，01x e=111(0,)(,)()()xe e eg x g x +∞'-+ 极小值 故()g x 的极小值为1e-，无极大值. …………9分 (Ⅲ)解法1：令()1ln 0f x a x x =-=，解得：1x x aln ＝（显然0a ≠） 问题等价于函数1y a=与函数y x x ln ＝的图像有两个不同交点. 由(Ⅱ)可知：2212()g e e =-，11()g e e =-，21112a eae ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得：22e a e -≤<- 故实数a 的取值范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. …………13分(Ⅲ)解法2： ()2211a ax fx x x x +=--=-，（1） 0a =时，()211,f x x e ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （2）0a >时，10ax +>，所以()210ax f x x+=-<，在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 所以()21,f x e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （3）0a <时，令()210,ax fx x +=-=，1x a=- ()(),f x f x ，变化情况如下表：()(),1110,,0x a a a f x f x ⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+极大值 （i ）211a e -≤时，即2a e ≤-，()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数， 所以()f x 不能有两个零点； （ii ）211a e ->时，20e a -<<()211,f x ea ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上是减函数， ()1,f x a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数. ()10f =所以若()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在有两个零点只需： 21010f a f e ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：221ln 01ln 0a a a e a e ⎧⎛⎫---< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎪⎩ 解得22a e e a <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 所以22e a e -≤<-综上可知a 的范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭…………13分15. (丰台)下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是 D(A) 2log ()y x =- (B) xxy -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =16.（丰台） 设函数122,0,()log ,0.x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩① (2)f =____；② 若(1)1f x +>，则x 的取值范围是____1-；1,4,2-∞-U （）（-1-）17.（丰台）已知函数()()cos sin f x x a x x =--，(0,π)x ∈，()a ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有2122()21f x x x >--，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）()()sin f x x a x '=--． …………………2分因为 (0,π)x ∈，所以 sin 0x >． …………………3分 由 ()0f x '=得 x a =． …………………4分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,π)上单调递减； …………………5分 当πa ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,π)上单调递增； …………………6分 当0πa <<时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,π)上单调递减； 当πa ≥时，()f x 在(0,π)上单调递增；当0πa <<时，以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ．………9分 （Ⅱ）设 2()21g x x x =--．因为 2()(1)2g x x =--，当1x =时，()g x 有最小值为2-． …………………10分因为对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有 2122()21f x x x >--，所以 (0)2(π)2f f ≥-⎧⎨≥-⎩， 即2(π)2a a -≥-⎧⎨--≥-⎩． 所以π22a -≤≤，即a 的取值范围是[π2,2]-． …………………13分18. （海淀）已知函数()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a ∈R ．（1）求()f x 的零点．（2）当5a ≥-时，求证：()f x 在区间()1,+∞上为增函数． （1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ， 令()0f x =，得20x a +=，2x a =-． 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x = …………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为． （Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x++-=． 令32()g x x x ax a =++-(1)x >， 则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增． 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+． 当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数． …………………13分19. （顺义）若31log 2a =，3log 9.1b =，0.82c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．CA ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【解析】由指数函数和对数函数的性质可知，331log log 102a =<=，33log 9.1log 92b =>=，00.8112222=<<=，∴a c b <<，故选C ．20.（顺义）已知函数()e xf x mx =-（m 为常数）．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1-，求实数m 的值． （2）求函数()f x 的极值．（3）证明：当0x >时，2e x x >．【解析】（1）由()e x f x mx =-，得()e x f x m '=-，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1-，则()01f '=-，可得0e 1m -=-，解得2m =．（2）令()0f x '>，得ln x m >，令()0f x '<，得ln x m <，∴函数()f x 在(),ln m -∞上是减函数，在()ln ,m +∞上是增函数，∴()f x 的极小值为()ln ln f m m m m =-，无极大值．（3）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（2）可知，()min 22ln22ln40g x '=-=->， ∴()0g x '>恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∴()()010g x g >=>，即2e 0x x ->，故当0x >时，2e x x >．21（西城）．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 D（A ）1y x = （B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-22.（西城）函数1||2y x =+的最大值是____．1223.（西城）已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____． 1[2,)2-- 24.（西城）已知函数ln ()x f x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分 所以(1)1f a '=-．依题意，有(1)(1)112f a --=--， 即 1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x x f x x --'=． 当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增； 当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分 因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． ………………10分 则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分 所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分 故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分。
东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习二数学理科终稿
高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 5 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R ð(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 5 页）（5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(J)
2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共8小题，共8.0分）1.已知全集，集合，，则A. 或B. 或C. D.【答案】C【解析】解：，；；．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为A. 66B. 54C. 40D. 36【答案】B【解析】解：某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．在高一年级中抽取了60名学生，设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则，解得．在高二年级中应抽取的学生人数为54人．故选：B．设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则由分层抽样的性质得，由此能求出在高二年级中应抽取的学生人数．本题考查在高二年级中应抽取的学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，不满足条件，退出循环，，输出y的值为2．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x的值并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.若，则x的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：分别画出与的图象，如图所示：结合图象可得满足时x的取值范围是，故选：A．分别画出与的图象，如图所示，结合图象可得答案．本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，属于基础题5.已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值为A. B. 0 C. 2 D. 6【答案】B【解析】解：圆的圆心，半径，圆截直线所得弦的长度为，圆心到直线的距离，，解得．故选：B．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，从而，由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式、圆的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.设a，b，，则“”是“且”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：由“且”，不一定得出，反之也不成立，例如取，，．“”是“且”的既不充分也不必要条件．故选：D．由“且”，不一定得出，反之也不成立．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知m是平面的一条斜线，直线l过平面内一点A，那么下列选项中能成立的是A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】A【解析】解：由m是平面的一条斜线，直线l过平面内一点A，知：在A中，，且l与m相交或异面，有可能垂直，故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，l与m平行或相交，故D错误．故选：A．在A中，，且l与m相交或异面，有可能垂直；在B中，；在C中，；在D中，l与m平行或相交．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．8.已知函数，现给出如下命题：当时，；在区间上单调递增；在区间上有极大值；存在，使得对任意，都有．其中真命题的序号是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，，故为假命题；，当时，恒成立，故在区间上单调递增，故为真命题；，，且在在区间上连续，故存在，使时，，时，，故当时，取极大值，故为真命题；由函数不存在最大值和最小值，故不存在，使得对任意，都有故为假命题，故选：B．分析函数的图象和性质，进而逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共6.0分）9.若复数为纯虚数，则实数______．【答案】1【解析】解：为纯虚数，，即．故答案为：1．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，，，双曲线的离心率是．故答案为：．利用双曲线的一条渐近线方程为，可得，，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．11.若x，y满足，则的最小值为______．【答案】12【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令，则，显然直线过时，z最小，故z是最小值是12，故答案为：12．画出满足条件的平面区域，结合图象求出的最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，考查转化思想，是一道基础题．12.已知向量，满足，且，则与夹角的大小为______．【答案】【解析】解：根据题意，设向量与夹角为，向量，满足，若，则有，解可得，又由，则；故答案为：．根据题意，设向量与夹角为，结合向量数量积的计算公式可得，解可得，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．13.在中，，，则______；______．【答案】2；【解析】解：根据题意，设，则，则，则，则；则，则；故答案为：2，．根据题意，设，则，由余弦定理计算可得，即可得；据此由余弦定理可得的值，结合同角三角函数的基本关系式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是求出c与b的关系．14.血药浓度Drug是指药物吸收后在血浆内的总浓度单位：，通常用血药浓度来研究药物的作用强度如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间单位：，点的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值2，记为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则，，中最大的是______；记为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则，，中最大的是______．【答案】；【解析】解：由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大，则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度最大；服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长，则服用第3种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间最大．故答案为：；．根据图象，依据题意逐个判断得答案．本题考查了函数图象的性质和对新定义函数的理解，考查根据图象解决实际问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知是公差为2等差数列，数列满足，，且．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ求的前n项和．【答案】解：Ⅰ，时，，，，，解得．是公差为2等差数列，．Ⅱ由Ⅰ知：．．．．数列是首项为1，公比为的等比数列．，．【解析】Ⅰ由，时，，又，，可得，解得利用等差数列的通项公式可得．Ⅱ由Ⅰ知：而可得利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数．Ⅰ求曲线的对称轴方程；Ⅱ当时，恒成立，求实数m的最大值．【答案】解：Ⅰ函数，因为的对称轴方程为，，所以，，，即，所以，曲线的对称轴方程为，．Ⅱ当时，，所以当，即当时，取得最小值为0．根据恒成立，可得实数m的最大值为0．【解析】Ⅰ利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求出曲线的对称轴方程．Ⅱ当时，求得的最小值，再结合恒成立，求出实数m的最大值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.2017年北京市百项疏堵工程基本完成有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间单位：分钟的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．Ⅰ求a的值；Ⅱ该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；Ⅲ试比较A，B两组数据方差的大小不要求计算，并说明其实际意义．【答案】共13分解：Ⅰ因为B组数据的中位数为100，所以．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，所以．所以分Ⅱ从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共种；因此符合题意的取法共有种，而所有不同的取法共有种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率分Ⅲ组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障分【解析】Ⅰ由B组数据的中位数为100，得由从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，得到由此能求出a．Ⅱ从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共种；所有不同的取法共有种，由此能求出该路公交车至少有一次“正点运行”的概率．Ⅲ组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，E，F分别为，BC的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面；Ⅲ在棱上是否存在一点G，使得平面平面？说明理由．【答案】Ⅰ证明：在三棱柱中，侧棱垂直于底面，平面ABC，则．，，平面．平面，；Ⅱ证明：取的中点H，连结EH，FH．则，且，又，且，，且．四边形BEHF为平行四边形，则．又平面，平面，平面；Ⅲ解：在棱上存在点G，且G为的中点．证明：连接EG，．在正方形中，为BC中点， ≌ ．，则F.由Ⅰ可得平面，，平面C.平面，G.，平面F.平面，平面平面F.【解析】Ⅰ在三棱柱中，由侧棱垂直于底面，可得平面ABC，则，再由，结合线面垂直的判定可得平面从而得到；Ⅱ取的中点H，连结EH，可得，且则四边形BEHF为平行四边形，则再由线面平行的判定可得平面；Ⅲ在棱上存在点G，且G为的中点连接EG，首先证明 ≌ 可得，则F.由Ⅰ可得平面，得到平面C.即G.由线面垂直的判定可得平面F.进一步得到平面平面F.本题考查直线与平面、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．19.设函数．Ⅰ当时，求的单调区间和极值；Ⅱ若直线是曲线的切线，求a的值．【答案】解：函数，则的定义域为．Ⅰ当时，，所以．令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间有极大值，无极小值，Ⅱ因为，所以．设直线与曲线的切点为，所以，即．又因为，即所以．设，因为，所以在区间上单调递增．所以在区间上有且只有唯一的零点．所以，即．所以．【解析】Ⅰ根据题意，当时，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析函数的单调性，进而分析可得函数的极值；Ⅱ根据题意，取出函数的导数，设直线与曲线的切点为，由导数的几何意义求出切线的方程，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线方程．20.已知椭圆：的右焦点为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：的周长为定值．【答案】解：Ⅰ由题意得解得所以椭圆C的方程为，证明：Ⅱ当AB垂直于x轴时，AB方程为，，，，因为，所以．当AB不垂直于x轴时，设AB程为，原点O到直线AB的距离为，所以，即由得，即．设，，则，．所以因为A，B在y轴右侧，所以，所以．所以，所以，同理．所以．所以．综上，的周长为4【解析】Ⅰ由题意得，解得即可得到椭圆的方程，Ⅱ当AB垂直于x轴时，易求出．当AB不垂直于x轴时，设AB程为，根据原点O到直线AB的距离为，得到m与k的关系式，再根据韦达定理和弦长公式可得，再求出，，即可得到的周长为4，即可证明本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理，属于难题第11页，共11页。
北京市东城区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题含解析
北京市东城区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12，B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+4．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >5．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ）A ．max3a c-=B ．max3a c+=C ．min3a c-= D ．min3a c+=6．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>7．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．209．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,210．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定11．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞12．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练
东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2018.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4x B x =<，则A B = （ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 4．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A.96B. 120C.144D. 3005．已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） [ZA ． B. C. D.7．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 8．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点C. ()f x 在(1,0)-上恰有一个零点D. ()f x 在(1,0)-上恰有两个零点二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .11.如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O的半径为 .12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80, 之间的概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区 间上的最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点P到点)1,0(F的距离与点P到x轴的距离的差等于1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线,l l，设1l与轨迹C相交于点12,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求 的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ． (1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案2018.3一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中 R x ∈,0>ω. （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.解：（1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数)(x f 的值域为[]1,3- …………………………………………………7分（2）由2221πωπ=⋅得2=ω …………………………………………………9分所以1)62sin(2)(--=πx x f由πππππk x k 226222+≤-≤+-………………………………………11分得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]8472,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间的概率．解：(1) 77.5；………………………………………3分(2) 所求为：直线72⨯，=x之间的直方图的面积40x与直线84=因此，6(=..⨯.+⨯ (7)+⨯)⨯0403.194400450355分答：这40名学生的成绩在(]8472,之间的有20人．（答19人也算对）……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间为事件A，因为3.05)02.004.0(=⨯+ ……………………………………10分所以308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P ……………………………………12分答：这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，FG 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明： 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCDPC 平面⊂PC AD ⊥∴ …………………………………4分（2）证明：取H BP 中点，连接CH GH , 中点分别为DC AP F G ,,GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形，FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄FG∴//BCP 平面 ……………………………………8分(3) ABCD PD 平面⊥ ，以D 为坐标原点，以DP DC DA ,,所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD 上存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 设),,(00m R ，)3,0,0(),0,1,2(),0,1,0(P B C )0,0,2(= )3,1,2(-= )0,1,2(m RB -= )3,0,(m RP -= 设平面BCP 的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ， ⎩⎨⎧=-+=032021111z y x x ， 令 31=y ),,(1301=n设平面BPR 的法向量为),,(2222z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n RB ⎩⎨⎧=+-=+-030)2(2222z m x y x m 令12=x ),,(3212m m n -= 021=⋅n n 0323=+-∴m m )( ，解得 23=m ∴线段AD 上存在点R ，且当21=AR 时，使得平面⊥BPR 平面PCB . ……………13分18.设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112ax ++= ∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分 所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分19．已知平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．解析：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意得1)1(22=--+y y x ……………2分化简得y y x 222+=当0≥y 时y x 42=；当0<y 时0=x 所以动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=和0=x （0<y ） ………………………5分（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为 1+=kx y ． 由 044x 4122=-⎩⎨⎧-=+=kx y x kx y 得 设1122(,),(,),A x y B x y 则4,42121-==+x x k x x ，1,2421221=+=+y y k y y (7)分因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y (8)分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=∙y y y y FB FD FB AF EF FD EF AF1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙ 取最小值16． …………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列． 解： (1)由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． …………………………………………4分(2){}n a a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a n n ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=a n a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+由A 具有性质P 知，),,,(n k A a a k n 32=∈-又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()(故n n na a a a =+++)( 212n n a n a a a 221=+++∴ ……………………8分 (3)由(2)可知，),,,(n i a a a n i n i 211==+-+),,,(82189 ==+∴-i a a a i i …………………………① 由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A 3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ 638a a a =-∴077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =- 即),,,(72178 ==+-i a a a i i …………………………② 由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ),,,(821178 =-=-∴-i a a a a i i 故821a a a ,,, 构成等差数列． …………………………………13分。
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2018届北京东城区高三数学模拟试卷题目一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2.若复数满足 ( 为虚数单位)，则复数的虚部为 ( )A.1B.C.D.3. 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为 ( )A.单调递增B.单调递减C.在上递增，在上递减 D .在上递减，在上递增4.已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是 ( )A. B. C. D.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A.( ，0)B.(0， )C.( ， )D.( ， )6.设，则 ( )A. B. C. D.7.已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是( )A. B. C. D.8. 函数的部分图象大致为 ( )9.函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为 ( )A. B. C. D.10.在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中 .给出如下五个结论：① ; ② ;③ ;④ ;⑤“整数属于同一“类””的充要条件是“ ”。
其中，正确结论的个数是 ( )A.5B.4C.3D.211.已知是定义在上的偶函数，对于 ,都有 ,当时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是 ( )A.7B.8C.10D.1212.奇函数定义域是，，当 >0时，总有>2 成立，则不等式 >0的解集为A. B.C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数在点处切线的斜率为 .14.由抛物线，直线 =0， =2及轴围成的图形面积为 .15. 点是边上的一点，则的长为_____.16.已知函数则关于的不等式的解集为 .三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)设、，，。
2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案
2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案2018北京市各城区二模数学（文科）分类汇编之立体几何含答案【丰台二模】（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1A D ⊥平面ABC ，=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交于点E ．（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ；（Ⅲ）求证：1B B DE ∥．（17）（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以1A D ⊥AC． …………………1分因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点， 所以BD AC ⊥． (2)分EABCB 1C 1A 1D（Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB为平行四边形，所以11B B A A∥． (10)分因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分所以1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D 平面11A ACCDE=，………13分 所以1B B DE∥． …………………14分【朝阳二模】18.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PBC 是等腰三角形,且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形,//AB DC ,AD DC ⊥,5AB =,4AD =,3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积; （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB = 所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,2225BC CF BF =+=222PE PE CE =-= 因为()162ABCD AB DC S +==梯形 所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PEEBFCAB 1C 1A 1因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2352PE =-= 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则22345AC AB =+==,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥ 又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．EDCBAP（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CCAC⊥．因为AC BC ⊥，1CCBC C=，所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F⊥．………5分HEBFCAB 1C 1A 1G EBFC1C 1A 1（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =，所以EH ∥BF ，且EH BF =． 所以四边形BEHF 为平行四边形． 所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE∥平面11AC F． ………10分（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中， 因为F 为BC 中点，所以△11B C G≌△1C CF．所以11190C CF B GC∠+∠=︒．所以11B GC F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111ACB G⊥． 因为1111ACC F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F． (14)分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =． （Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为//CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ．……2分因为DF⊄平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB=，AD AB⊥，所以AD⊥平面ABEF，所以BF AD⊥．………………6分因为G为AB的中点，所以//=，EF BG，且EF BG=；//AG CD，且AG CD所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以//AD CG，所以⊥．………………7分BF CG因为EF EB=，所以四边形BEFG为菱形，所以BF EG⊥．………………8分所以BF⊥平面GCE．………………9分所以平面BCF⊥平面GCE．………………10分（Ⅲ）设BF GE O=．由（Ⅰ）得//DF平面GCE，DF CE，所以//由（Ⅱ）得//AD平面GCE，AD CG，所以//所以平面//AD F平面GCE，所以几何体AD F GCE-是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ． 所以多面体AFEBCD的体积ADF GCE B GCEV V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO∆∆=⋅+⋅4833GCE S FO ∆=⋅=．………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；CFM平面PEN？若（Ⅲ）在线段,M N，使得平面//PD BC上是否分别存在点,存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE⊥；所以折叠后，,⊥⊥, DE PF DE CF又,,=⊂平面PCF，PF CF F PF CF所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以//,DC AE DC AE=.又点E为AB的中点，所以//,DC EB DC EB=.所以四边形DEBC为平行四边形.所以//CB DE. 又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面. …PCF………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形，所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形. 所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点， 所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E=,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN. …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分） 如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ；（III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BE BD B=， 所以AC ⊥平面BDE.--------------------5分 （II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．则OG //BE ，且12OG BE=．FEBOADCGFEBOADC由已知AF //BE ，且12AF BE=，则//AF OG 且AF OG =， 所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ，即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF 平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.--------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】 （18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.（18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F∴⊥O又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D EF =∴四边形11E D OF 为菱形ADEF.O图1 图2 1EC1DA FOG11D F OE ∴⊥1OG OE =O11D F E OG∴⊥面…………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG⊥⊂∴⊥面，面OG FO O=11E M AGOF E M∴⊥∴面为1E -OFAG的高，12sin603E M=︒=133322OFAG S =(1+2)=四1332V Sh ∴==…………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴= 又111//,OE CD CDCH C=11D CH//E OG∴面面1111D H D CH D H//E OG⊂∴面面四边形OGHC为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分1EC1DAFOG MH。
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北京市东城区2018年高三年级综合练习（二）高三数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+2sin 2cos 2sin sin φθφθφθ-+=-2cos 2cos 2cos cos φθφθφθ-+=+2sin 2sin 2cos cos φθφθφθ-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式：h S S S S V )(31+'+'=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}2,1=M ,{}3,2=N ,集合P ⊂（M ∪N ）,则P 的个数是 (A)6 (B)7 (C)8 (D)5(2) 已知复数ai z R b a bi a z +-=∈+=1),,(21，若21z z <，则实数b 适合的条件是（A ）b<-1或b>1 （B ）-1<b<1 （C ）b>1 （D ）b>0 （3）命题甲：|x|≤2，命题乙：|x+1|≤1，则甲是乙的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）即非充分又非必要条件 （4）某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km （不含3km ），以后每1km 价为1.6元（不足1km ，按1km 计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y （元）与行驶的里程x （km ）之间的函数图象大致为（5）已知f(x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 （A ）x=-1 （B ）x=1 （C ）21-=x （D ）21=x (6)已知ΔABC 的三个内角为A ，B ，C ，所对的三边分别为a,b,c ，若三角形ABC 的面积为22)(c b a S --=，则2Atg等于 （A ）21 （B ）41 （C ）81（D ）1（7）在数列{}n a 中，1=n a ，当n ≥2时，111--+=n n n a aa ，且已知此数列有极限，则n n a ∞→lim 等于（A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）1（8）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．第Ⅱ共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）函数)32sin(2π-=x y 的周期是__________ ，振幅是_________. （10）A 、B 、C 、E 五位同学站成一排，其中A 不站在头也不站在尾的排法有__________种.（有数字作答）（11）过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cos θ的值是___________.（12）给出下面四个条件：①⎩⎨⎧<<<010x a ②⎩⎨⎧><<010x a ③⎩⎨⎧<>01x a ④⎩⎨⎧>>01x a能使函数2log -=x y a 为单调减函数的是__________.（填上使命题正确的所有条件的代号）（13）已知二直线08:1=++n y mx l 和012:2=-+my x l ，若21l l ⊥，1l 在y 轴上的截距为-1，则m=____________，n=__________.（14）边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为___________；推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和为___________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知关于x 的不等式2512mx m x -+>+. （Ⅰ）解这个不等式；（Ⅱ）当此不等式的解集为{x|x>5}时，求实数m 的值. （16）（本小题满分13分）已知cbx ax x f ++=1)(2（a,b ,c ∈Z ）是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3.（Ⅰ）求a,b,c 的值；（Ⅱ）当x ∈（-∞，-1]时，试判断 f(x)的单调性并加以证明. （17）（本小题满分13分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点.（Ⅰ）求证：AF//平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积.（18）（本小题满分14分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？（19）（本小题满分13分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 、为双曲线C 的左、右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.（20）（本小题满分13分）已知各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)2(031≥=+-n S S a n n n ，311=a . （Ⅰ）求证：}1{nS 是等差数列； （Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）若⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2( )1(31)1(1n a n n b n n 记n b n b n b T n n ++++++=11121 ， 求证：数列}{n T 是递增数列.北京市东城区2018年高三年级综合练习（二）高三数学参考答案（文史类）一、选择题（1）B （2）B （3）B （4）C （5）D （6）B （7）C （8）A 二、填空题（9）4π（3分）2（2分）（10）72 （11）31或66（答对一个3分，答对两个5分） （12）①、④（13）0（3分）8（2分） （14）a 23（2分）a 36（3分） 三、解答题（15）解：（Ⅰ）原不等式可化为52)1(2-->-m m x m ……………………2分①若m<1且m ≠0，则不等式的解为1522---<m m m x ； ……………………4分②若m>1，则不等式的解为1522--->m m m x ； ………………………………6分③若m=1，则不等式的解为x ∈R. ………………………………………………8分（Ⅱ）如果原不等式的解为x>5，则⎪⎩⎪⎨⎧=--->515212m m m m ………………………10分∴m=7.即原不等式解集为}5|{>x x 时，m 的值为7. …………………………………13分（16）解（Ⅰ）由于cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，则f(-x)=-f(x)，即cbx ax c bx ax ++-=+-+1122得 c=0 . …………………………………………………………………………………2分又f(1)=2，f(2)<3可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=+)2( 3214)1( 21b a ba由(1)a=2b-1代入 (2)得032<-bb 解得230<<b .由于b ∈Z ，所以b=1，进而求出a=1. ……………………………………………6分 （Ⅱ）当x ∈(-∞,-1)时，f(x)是单调递增函数. …………………………………7分 由（Ⅰ）知xx x f 1)(+=. 任取121-≤<x x ，)1(1)()(221121x x x x x f x f +-+=- )11()(2121x x x x -+-= 2121211)(x x x x x x --= 由21x x <，有021<-x x .又1.121-≤-≤x x ，则1||,1||21≥≥x x . 因为21x x <，所以1||21>x x .而1||2121>=x x x x ，∴0121>-x x∴0)()(21<-x f x f .也就是)()(21x f x f <.故f(x)在]1,(--∞上单调递增. ……………………………………………………13分（17）证（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有ABDEFM////21==.∴四边形AFMB是平行四边形.∴AF∥BM，∴⊂BM平面BCE，⊄AF平面BCE，∴AF∥平面BCE. ……………………………………………………………………5分（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，则DE⊥AF.又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE.又BM∥AF，则BM⊥平面CDE.BMABVVV CDEBACDBABCDE⋅⋅⋅⋅+⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=.……………………………………………………………9分（18）设BC=a，(a>1)，AB=c，AC=b，21=-cb.︒-+=60cos2222abbac.将21-=bc代入得abbab-+=-222)21(代简得41)1(2-=-aab.∵a>1∴a-1>0232)1(43)1(14322)1(14122+≥+-+-=-+-+-=--=aaaaaaab.………10分当且仅当)1(431-=-a a 时，取“=”号，………………………………………12分即231+=a 时，b 有最小值32+. 答：AC 最短为)32(+米，此时，BC 长为)231(+米. ………………………14分 （19）解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，即kx-y=0.∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x. ……………………………………………3分故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x .又双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴1,2222==a a .∴双曲线C 的方程为122=-y x .……………………………………………………7分 （Ⅱ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =.根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ① ……………………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(),,(T T y x T y x N . 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=222TT y y x x 即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222代入①并整理得点N 的轨迹方程为)22.(122-≠=+x y x ………………………13分 （20）（Ⅰ）∵13-=-n n n S S a . ∴113)(--=--n n n n S S S S .由于n a 均不为零，且13-=-n n n S S a ， 则有n S 不为零.∴)2(3111≥=--n S S n n . 又311,3111211=-==S S a S 且. ∴}1{nS 是以3为首项，3为公差的等差数列. ……………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n S n n S n n 31,33)1(31=∴=⨯-+=. 当n=1时，3111==a S .当2≥n 时，)1(31)1(31311--=--=-=-n n n n S S a n n n . ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(31)1( 31n n n n a n …………………………………………………………8分（Ⅲ）由于)1(,11==n b)2()]1(3[)1(31)1(31≥=---=-=n n n n n a n b n n所以n n n n T n 21312111+++++++= ① 2211212131211++++++++=+n n n n n T n ②11221221112211211+-+++>+-+++=-+n n n n n n T T n n01111=+-+=n n . ∴n n T T >+1.即n T T T T <<<< 321，数列}{n T 是递增数列. ……………………………13分。