高中数学必修二期末测试题一及答案
人教A版高中数学必修二第9章章末检测(含答案)
第九章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个样本量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名【答案】D 【解析】由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970(名)．故选D ．2．(2020年北京期末)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的中位数．故选A ．3．(2020年河北月考)已知某校高一、高二年级学生人数均为600人，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C 【解析】由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×32＋3＝27.故选C ．4．(2020年永州月考)在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本量是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】C 【解析】所有长方形的面积和为1，因为中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，所以中间的面积为14，又中间一组的频数为10，所以样本容量为10÷14＝40.故选C ．5．(2019年惠州期末)某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23【答案】A 【解析】由题意，六天最低气温的平均数x ＝16×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s 2＝16×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.故选A ．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 A ．455 068 047 447 B ．169 105 071 286 C ．050 358 074 439 D ．447 176 335 025【答案】B 【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169,105,071,286.7．(2020年阜阳期末)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250＋450＋100＝800(万元)，其中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为250800×20%＝6.25%.故选A ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 中也有可能；B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D 中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述正确的是( )A ．极差与方差都反映了数据的集中程度B ．方差是没有单位的统计量C ．标准差比较小时，数据比较分散D ．只有两个数据时，极差是标准差的2倍【答案】AD 【解析】由极差与方差的定义可知A 正确；方差是有单位的，其单位是原始数据单位的平方，B 错误；标准差较小时，数据比较集中，C 错误；只有两个数据x 1，x 2时，极差等于|x 2－x 1|，平均数为x 1＋x 22，所以方差s 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1＋x 222＝14(x 1－x 2)2，则标准差s 2＝12|x 2－x 1|，D 正确．故选AD ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元【答案】BC 【解析】A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；C 中，n ＝600.3＝200，故C 正确；D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC ．11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是()A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%·1.5x－28%·x＝8%·x＞0，故选项A正确；由(40%·1.5x－32%·x)÷32%·x ＝0.875，故选项B不正确；由8%·1.5x－8%·x＝4%·x＞0，故选项C不正确；由28%·1.5x －32%·x＝10%·x＞0，故选项D正确．故选AD．12．给出三幅统计图如图所示：A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】AC 【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿，故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12 【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12 【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________．【答案】19 【解析】因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770 【解析】由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18．(2020年辽宁学业考试)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5.(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B10810194105969397106(1)分别计算(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ，∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：组号 分组 频数 频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图，不具体计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50，即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5，则h 1h 2＝48＝12，h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度 非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的12，所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的14，所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。
【平煤高中检测必修二】高中数学必修二期末综合测试题
高一数学上学期期末综合测试题（人教版必修二）一、选择题1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线30l y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 3、棱长为a 正四面体的表面积是 （ ）A 、343a B 、3123a C 、243a D 、23a 。
4、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是（ ） A 、任意梯形 B 、直角梯形C 、任意四边形D 、平行四边形5、已知α//a ，α⊂b ，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、相交或异面 C 、异面 D 、平行或异面6、已知两条直线012:1=-+ay x l ，04:2=-y x l ，且21//l l ，则满足条件a 的值为（ ） A 、21- B 、21 C 、2- D 、27、在空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点。
若a BD AC ==， 且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ）A 、283aB 、243aC 、223a D 、23a 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A 、30°B 、45°C 、90°D 、60°9、下列叙述中错误的是 （ ）A 、若βα ∈P 且l =βα ，则l P ∈B 、三点C B A ,,确定一个平面；C 、若直线A b a = ，则直线a 与b 能够确定一个平面D 、若l A ∈，l B ∈且α∈A ，α∈B ，则α⊂l 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线B 、一点和一条直线C 、两条相交直线D 、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）A 、π25B 、π50C 、π125D 、都不对。
高中数学必修二期末考试试卷(含答案)
高中数学必修一期末考试试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.下面多面体中有12条棱的是()A.四棱柱B.四棱锥C.五棱锥D.五棱柱2.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是()A.22 B.1C. 2D.2 24.如图，正方形ABCD的边长为1，CE所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为()A.5πB.4πC.3πD.2π5.以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为()A.64π cm2B.36π cm2C.64π cm2或36π cm2D.48π cm26.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为()A.6 3 cmB.6 cmC.2318 cmD.3312 cm7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A.△ABC是钝角三角形B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C.△ABC 是等腰直角三角形D.△ABC 是等边三角形8.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.316 B.916 C.38 D.9329.如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为h 1，且h 1＝13h ，，若将圆锥形容器倒置，水面高为h 2，则h 2等于( )A.23hB.1927hC.363h D.3193h 10.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( ) A.23 B.16 C.56 D.1311.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A.3π B.6π C.18πD.24π12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若一个圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r 1，r 2，且满足2l ＝r 1＋r 2，其侧面积为8π，则l ＝________. 14.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点.记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.15.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．18.(12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.19.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.求纸篓的表面积.20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.(1)求圆柱的体积；(2)求溢出水的体积.21.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.22.(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为29.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC和NC的长.高中数学必修一期末考试试卷(一)答案(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.答案 A解析 ∵n 棱柱共有3n 条棱，n 棱锥共有2n 条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A. 2.答案 A解析 三棱锥的侧面和底面均为三角形. 3.答案 D解析 ∵Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′＝2， ∴直角三角形的直角边长是2， ∴直角三角形的面积是12×2×2＝1，∴原平面图形的面积是1×22＝2 2.故选D. 4.答案 A解析 由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱， ∵正方形ABCD 的边长为1，∠CDE ＝90°， ∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，∴形成的几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×1＋12×4π×12＝5π.5.答案 C解析 分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C 选项正确. 6.答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知 13πr 2×3r ＝π×22×6， 得r ＝23，∴水面的高度是3×23＝6(cm). 7.答案 C 8.答案 A解析 设球的半径为R ，所得的截面为圆M ，圆M 的半径为r . 画图可知(图略)，R 2＝14R 2＋r 2，∴34R 2＝r 2.∴S 球＝4πR 2，截面圆M 的面积为πr 2＝34πR 2，则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR 24πR 2＝316.故选A.9.答案 D解析 设圆锥形容器的底面积为S ， 则未倒置前液面的面积为49S ，∴水的体积V ＝13Sh －13×49S (h －h 1)＝1981Sh ，设倒置后液面面积为S ′，则S ′S ＝⎝⎛⎭⎫h 2h 2，∴S ′＝Sh 22h2.∴水的体积V ＝13S ′h 2＝Sh 323h 2，∴1981Sh ＝Sh 323h2， 解得h 2＝319h3，故选D. 10.答案 C解析 易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝56.11.答案 B解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 12.答案 B解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积， 设圆锥底面半径为r ，则14×2πr ＝8，得r ＝16π，所以米堆的体积为13×14πr 2×5≈3209(立方尺)，3209÷1.62≈22(斛). 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.答案 2解析 S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2πl 2＝8π，所以l ＝2. 14.答案 14解析 如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，则点E 到平面P AD 的距离为12h .∵S △DAB ＝12S △P AB ，∴V1V2＝13S△DAB·12h13S△PAB·h＝13×12S△P AB·12h13S△P AB·h＝14.15.答案15π3解析如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝14×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝l2－r2＝15，所以圆锥的容积为13πr2h＝15π3.16.答案48 3解析设球的半径为r，则43πr3＝323π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V＝34×(43)2×4＝48 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝12×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．18.解如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝⎝⎛⎭⎫13×12×24×2＋24×1＝23.19解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r ′＝15 cm ，上口的半径r ＝20 cm ，设母线长为l ， 则纸篓的表面积S ＝πr ′2＋(2πr ′＋2πr )l2＝π(r ′2＋r ′l ＋rl )＝π(152＋15×50＋20×50)＝1 975π(cm 2).20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.(1)求圆柱的体积； (2)求溢出水的体积.解 (1)∵内壁底面半径为5，高为2，∴圆柱体积V ＝π×52×2＝50π. (2)溢出水的体积为43×π×33＝36π.21解 由题图可知半球的半径为4 cm ， 所以V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)，V 圆锥＝13πR 2h ＝13π×42×12＝64π(cm 3).因为V 半球<V 圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子. 22.解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形， 所以对角线的长为42＋92＝97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如图所示. 设PC 的长为x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，所以x ＝2(负值舍去)，即PC 的长为2. 又因为NC ∥AM ，所以PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2，所以NC ＝45.。
【易错题】高中必修二数学下期末试题(含答案)
故选 D． 【点睛】 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想 象能力．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析： AB 2a, AC 2a b , AC AB b ,b AC AB BC ．
由题意知 b
2, a b
a b cos120
1
2
1 2
棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
2
3
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3 2x ，则不等式
f x 0 的解集为（ ）
A．
,
3 2
0,
3 2
B．
,
3 2
3 2
,
C．
3 2
,
3 2
【详解】
因为 b 在 a 上的投影（正射影的数量）为 2 ，
所以| b | cos a, b 2 ，
即
|
b
|
cos
2 a,
b
，而
1
cos
a,
b
0
，
所以| b | 2 ，
因为
a
2b
2
(a
2b)2
2
a
4a b
2
4b
|
a
|2
4
|
a
||
b|
cos
a, b
4
| b|2
=16 4 4 (2) 4 | b |2 48 4 | b |2
16．在四面体 ABCD中， AB=AD 2, BAD 60,BCD 90，二面角 A BD C 的大小为150 ，则四面体 ABCD 外接球的半径为__________．
高中数学必修二 北京市丰台区 — 学年度 高一下学期期末练习数学试题(含答案)
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
9.如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，同时复数 和平面向量 也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
高中数学必修二期末试卷及答案
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为中点的坐标为(()．A．(2，2)B．(1，1)C．(－2，－2)D．(－1，－1) 2．右面三视图所表示的几何体是．右面三视图所表示的几何体是(()．A．三棱锥．三棱锥B．四棱锥．四棱锥C．五棱锥．五棱锥D．六棱锥．六棱锥3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为的值为(()．A．2 B．21C．－2 D．－214．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为(()．A．1 B．2 C．3 D．4 5．下面图形中是正方体展开图的是．下面图形中是正方体展开图的是(()．6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是的圆心坐标是(()．A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为(()．A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1 8．已知两条相交直线a，b，a∥平面 a，则b与a 的位置关系是的位置关系是(()．A．bÌ平面a B．b⊥平面aC．b∥平面a D．b与平面a相交，或b∥平面a9．在空间中，a，b是不重合的直线，a，b是不重合的平面，则下列条件中可推出是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是的是(()．A．aÌa，bÌb，a∥b B．a∥a，bÌbC．a⊥a，b⊥a D．a⊥a，bÌa10．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是的位置关系是(()．正视图正视图 侧视图侧视图俯视图俯视图(第2题)11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成的角可以表示为所成的角可以表示为(( )． A ．∠D'DB B ．∠AD' C' C ．∠ADBD ．∠DBC'12． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于轴截得的弦长等于(( )． A ． 1 B ．23C ． 2 D ． 3 13．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是中点，则下列叙述正确的是(( )．A ．CC 1与B 1E 是异面直线是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 4 cm cm ，高为12 12 cm cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色个这种相同规格的笔筒涂色((笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计要涂色，笔筒厚度忽略不计))． 如果每0.5 kg 涂料可以涂1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．，那么为这批笔筒涂色约需涂料．A ．1.23 kg B ．1.76 kg C ．2.46 kg D ．3.52 kg 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．分．把答案填在题中横线上． 15．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为的距离为 ．16．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ．17．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．已知直线l 经过点经过点((0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．与两坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．的中点．(1)求证：DE ∥平面P AC ；CBAD A ¢ B ¢C ¢D ¢(第11题)A 1 B 1 C 1 ABEC(第13题)ABC DD1 C 1 B 1 A 1 (第17题)ACPE(2)求证：AB ⊥PB ；21．已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．相切． (1)求圆C 的方程；的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；的取值范围；(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．存在，请说明理由．22．为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)且圆心C 在直线L:x-y+1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程 23.知圆22:68210C x y x y +--+=和直线:430l kx y k --+=．⑴ 证明：不论证明：不论k 取何值，直线l 和圆C 总相交；总相交；⑵ 当当k 取何值时，圆C 被直线l 截得的弦长最短？并求最短的弦的长度截得的弦长最短？并求最短的弦的长度24知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切;②在直线y =x 上截得弦长为27;③圆心在直线x －3y =0上. 求圆C 的方程. 25，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证：(1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB.26．图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，的中点， （1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG.F EDCBAM FGE C1D1A1B1DC ABPD 1B 1D B。
高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)
2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学高中必修二数学下期末试题(附答案)
2020-2021西安高新第一中学初中校区东区初级中学高中必修二数学下期末试题(附答案)一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v的最小值是（） A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-4．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 26．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 7．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．269．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U11．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-二、填空题13．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．17．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为18．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)19．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 23．已知23()sin cos 32f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间. 24．已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示.（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 25．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 26．已知函数()f x =πsin (0,0)6A x A ωω⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求,A ω的值; (2)求()f x 的单调增区间; (3)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =-=---=--u u u r u u u r u u u r， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+u u u r u u u r u u u r222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r取得最小值为2(3)6⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列7．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=， 则()323266663213132?25a b a b a b a b a b ba b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
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高中数学必修二期末测试题一一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
）1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线:30l y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30；B 、60；C 、120；D 、150。
3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ）A、34a ； B、312a ； C、24a ； D2。
4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ）A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截距是3-。
5、已知,a b αα⊂//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ）A 、平行；B 、相交或异面；C 、异面；D 、平行或异面。
6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为 （ ）A 、12-； B 、12； C 、2-； D 、2。
7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。
若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ）A2； B2a ； C2； D2。
图（1）ABCD8、已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ）A 、圆心()1,3P ，半径10r =；B 、圆心()1,3P ，半径r =C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径r =。
9、下列叙述中错误的是 （ ）A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈；B 、三点,,A BC 确定一个平面；C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面；D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α⊂。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线；B 、一点和一条直线；C 、两条相交直线；D 、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）A 、25π；B 、50π；C 、125π；D 、都不对。
12、四面体P ABC -中，若PA PB PC ==，则点P 在平面ABC 内的射影点O 是ABC 的 （ ）A 、外心；B 、内心；C 、垂心；D 、重心。
二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。
）13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14、命题：一条直线与已知平面相交，则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。
用符号表示为 ；15、点()2,1M 直线0l y --=的距离是 ； 16、已知,a b 为直线，,,αβγ为平面，有下列三个命题：（1） a b αβ////,，则a b // （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α⊂//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//；其中正确命题是 。
三、解答题（本大题共6道小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为316m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2/元，池壁的造价为80m 2/元，求水池的总造价。
18、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点，求证：MN PAD //平面 。
2m2m图（2）BCADMNP图(3)19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）画出二面角11A B C C --的平面角； （2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C20、（本小题满分12分）光线自点()2,3M 射到点()1,0N 后被x 轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程。
（请用直线的一般方程表示解题结果）图1A1B1D1CCABD21、（本小题满分12分）已知三角形ABC 的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程。
22、（本小题满分14分）如下图（5），在三棱锥A BCD -中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==（1） 求证：AO ⊥平面BCD ；（2） 求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3） 求点E 到平面ACD 的距离。
E ABC图（5）DO2m2m图（2）高中数学必修2综合测试题一(答案卷)一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上）13、3a π或32a π； 14、 ,a P b αα=∀⊂，且P b ∉，则a 与b 互为异面直线；15、12； 16、（2）。
三、解答题（本大题共6道小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为316m ，深为2m ，宽为2m 的长方体无盖水池，如果池底的造价为120m 2/元，池壁的造价为80m 2/元，求水池的总造价。
解：分别设长、宽、高为,,am bm hm ；水池的总造价为y 元16,2,2V abh h b ====，4a m ∴=—————————————3分则有2428S m =⨯=底————————6分()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁（元）————————————12分18、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,M N 分别是,AB PC 的中点，求证：MN PAD //平面 。
证明：如图，取PD 中点为E ，连接,AE EN ———1分,E N 分别是,PD PC 的中点12EN DC ∴//———————————————4分 M 是AB 的中点 12AM DC ∴// ——————7分EN AM ∴// ∴四边形AMNE 为平行四边形 —9分AE MN ∴// ———————————————11分又AE APD ⊂面 MN APD ⊄面 ∴MN PAD //平面 。
————————12分19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）画出二面角11A B C C --的平面角； （2）求证：面11BB DD ⊥面1AB C解：（1）如图，取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。
11,,AC AB B C 分别为正方形的对角线11AC AB B C ∴==E 是1B C 的中点1AE B C ∴⊥ ——————————————2分又在正方形11BB C C 中11EC B C ∴⊥ ——————————————3分∴1AEC ∠为二面角11A B C C --的平面角。
—————————————————4分（2） 证明： 1D D ABCD ⊥面，AC ABCD ⊂面 1D D AC ∴⊥ —————6分又在正方形ABCD 中 AC BD ∴⊥ —————————————————8分BCA DM NP图(3)E图（4）1A1B1D1CCABD E(1D D BD D=11AC DD B B∴⊥面———————————————10分又1AC AB C⊂面∴面11BB DD⊥面1AB C——————————————12分20、（本小题满分12分）光线自点()2,3M射到点()1,0N后被x轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程。
（请用直线的一般方程表示解题结果）解：如图，设入射光线与反射光线分别为1l与2l，11,M l N l∈∈由直线的两点式方程可知：1030:121ylx--=--——3分化简得：1:330l x y--=——————4分其中13k=，由光的反射原理可知：12∠=∠213k k∴=-=-，又2N l∈—————8分由直线的点斜式方程可知：()2:031l y x-=--—————————————————————————10分化简得：2:330l x y+-=——————————————————————12分21、（本小题满分12分）已知三角形ABC的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程。
解：（1）如图，作直线AD BC⊥，垂足为点D。
781606BCk-==--—————2分BC AD⊥16ADBCkk∴=-= 4分由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：()064y x-=-化简得： 624y x =- ——6分（2）如图，取BC 的中点()00,E x y ，连接AE 。
由中点坐标公式得000632871522x y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即点153,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ———————————9分由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为：1502430y x --=-- ——————————11分 化简得：5102y x =- ——————————————————————————12分22、（本小题满分14分）如下图（5），在三棱锥A BCD -中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2CA CB CD BD ====,AB AD ==（1） 求证：AO ⊥平面BCD ； （2） 求异面直线AB 与BC 所成角的余弦值；（3） 求点E 到平面ACD 的距离。
（1）证明：连接OC,BO DO AB AD ==AO BD ∴⊥ ———————————1分,BO DO BC CD ==CO BD ∴⊥ —————————————2分在AOC中，由已知可得：1,AO CO ==而2222,AC AO CO AC =∴+=90AOC ∴∠=，即AO OC ⊥ ———————4分BD OC O =AO BCD ∴⊥平面——————————————————5分E ABC 图（5）DO（2）解：取AC 的中点M ，连接,,OM ME OE由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。
——————6分在OME 中, 122EM AB ==， 112OE DC ==OM 是Rt AOC 斜边AC 上的中线 112OM AC ∴== ——————————————————————————8分cos OEM ∴∠=———————————————————————————10分 （3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h 。