探索型问题一(开放性问题
数学专题复习探索开放性问题
初三数学专题复习---探索开放性问题知识要点：开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题.对于条件开放与探索问题,要善于从问题地结论出发,逆向追索,多途寻因；对于结论开放与探索问题,包括相应地结论地“存在性”问题,解决这类问题地关键是充分利用条件进行大胆而合理地推理、猜想,发现规律,得出结论,主要考查发散性思维和所学基础知识地应用能力；策略开放与探索问题,一般是指解题方法不唯一,或解题路径不明确,解答这类题要注意不能墨守成规,要善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程.注意：复习中要对各种题型进行针对性练习,优选各地中考试卷,强化训练.善于类比、联想、转化等数学思想方法地应用,提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作地能力.例题分析：1. 若a、b是无理数且a+b=2,则a,b地值可以是_____.(填上一组满足条件地值即可>分析与解答：这是一个条件开放题,由于题中只有一个关系式,因此只要先确定,其中一个无理数地大小,另一个也随之确定,本题答案不唯一,如.2. 如图：在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,需要补充地一个条件是_____.分析与解答：本题考查全等三角形地判定及分析问题能力和逻辑推理能力,已知一边一角对应相等,可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等.如：BC=EF(或∠A=∠D或∠C=∠F>3. 已知两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3,请至少写出三条它们地共同特点：分析与解答：本题是结论开放性问题,考查二次函数地图象、性质及发散思维、归纳探索地能力,所以可以从两函数图象特征(开口方向,对称轴,顶点>及两函数图象交点与坐标轴交点等方面入手.(1>开口方向都向上；(2>都过点(1,0>,(0,-3>；(3>对称轴都在y轴左侧；(4>都有最小值；(5>两函数图象地顶点都在第三象限等等.4. 如图,在四个正方形拼接成地图形中,以A1,A2,A3,……,A10过10个点中任意三点为顶点,其能组成______个等腰直角三角形？分析与解答：本题考查正方形地性质,等腰直角三角形定义,轴对称性质,图形计数规律及分析,归纳,探索能力.由图形地轴对称性,先计算出以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形地个数,然后将结果乘以2即为所求等腰直角三角形地个数.解：∵以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形有1+3+1+6+2=13(个>,由轴对称性可知,在整个图形中共有13×2=26个等腰直角三角形.5. 如图,正△ABC内接于⊙O,P是上任一点,PA交BC于点E,则以下结论：(1>PA=PB+BC；(2>；(3>PA·PE=PB·PC；其中正确结论地序号______分析与解答：本题考查三角形和圆地有关性质,延长BP到F,使BF=PA,易证：△BCF≌△ACP,从而△PCF是等边三角形,可证得结论(1>成立,则结论(2>不成立,再证：△PAB∽△PCE可知结论(3>成立,从而正确结论序号(1>,(3>6. 在平面内确定四个点,连结每两点,使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形>,且每两点之间地线段长只有两个数值,如图图中相等线段有：AB=BC=CD=AD,AC=BD请你再画出满足题目条件地三个图形,并指出每个图形中相等地线段.分析与解答：本题是一道以方案设计为背景地开放性问题,考查等腰三角形定义及动手操作,分析问题及创新能力.从题目地条件和要求上,可以从平面上地四点构成六条线段入手.分别设计五条、四条、三条、两条分别相等线段地情形.本题答案不唯一,如：其中(1>AB=BC=CD=AD=BD,AC=AC(2>AB=AC=AD=BD,BC=DC(3>AB=BC=AC,AD=BD=CD(4>AB=AD=CD,AC=BC=BD(5>AB=AC,AD=BC=BD=CD7. 如图1,在△ABC中(AB>AC>,若直线AD平分∠BAC且与△ABC地外接圆相交于点E,交BC边于点 D.(1>求证：AB·AC=AD·AE；(2>若把题中地条件“直线AD平分∠BAC”改为“直线AD平分∠BAC地外角”,如图2,那么(1>中结论是否仍成立？请说明理由.分析与解答：本题是存在性问题,考查直线和圆地有关知识及推理探索能力.可以从已知条件出发,结合定义、定理,对AB·AC与AD·AE地关系进行推理：要证等积式,需证比例式四条线段所在三角形是否相似.(1>连结BE则∠E=∠C,又∠BAE=∠DAC,∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AD·AE；(2>(1>中结论仍成立连结BE,∵四边形AEBC内接于⊙O∴∠E=∠ACD又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AE·AD.。
专题选讲探索性、开放性问题
专题选讲 探索性、开放性问题[窍门点击]探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注这类题型.探索性问题常见的几类题型有:①填空题中的开放题;②试验、猜想、归纳型；③条件探索型；④结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突出数学思想方法,如等价转化、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以检验才能下结论.[范例解剖]例1．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在说明理由. [点评]:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形,不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过C 点作两条倾斜角为450和1350的直线交椭圆于A,B 两点,则三 角形ABC 就是满足条件的三角形,探究的主要问题就变成是有几个这样的三角形,[略解]:假设存在A,B 使得ABC 是等腰直角三角形,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则CA CB ⋅=0, 即(x 1,y 1-1)⋅(x 2,y 2-1)=0, x 1x 2+y 1y 2-y 1-y 2+1=0.设CA 的直线方程是y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a 2k 2+1)x 2+2a 2kx=0所以x 1=2222a k a k 1-+, x 2=2222a k a k-+,又y 1y 2-y 1-y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1- k(x 1+x 2)-2= k 2x 1x 2-1, 代入得(k-1)[k 2-(a 2-1)k+1]=0(*)① 当,k=1, k 2-(a 2-1)k+1=0无实数解;②当时,解为k=1;③当时,方程(*)除了有k=1外,方程 k 2-(a 2-1)k+1=0有两个不等的实根,故方程(*)共有三个根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形.例2．已知{a n }满足：(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6,b n =n+a n (n N).（1）写出数列{b n }的前4项；（2）求出{b n }的通项公式（写出推理过程）；（3）是否存在非零常数p,q使数列{qpn a n +}成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理由.[略解](1)由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6得:a 1=1,a 2=6,a 3=15,a 4=28.b 1=2,b 2=8,b 3=18, b 4=32.(2) 猜想:b n =2n 2,a n =2n 2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数p,q 使数列{qpn a n +}成等差数列. 为了求出p,q,取数列的前三项即:321a 2a a 2p q p q 3p q=++++. 所以121152p q p q 3p q=++++,解得p+2q=0. 这里得到的仅仅是{q pn a n +}为等差数列的必要条件,要想说明{q pn a n +}是否等差数列,还需进一步验证这一条件是否是充分条件.当p=-2q 时, n 1a p(n 1)q +++-q pn a n +=-1q .这表明{q pn a n +}是一个以-1q为公差的等差数列. 所以存在非零常数p,q 使数列{q pn a n +}成等差数列.如p=-2,q=1就是其中的一个.[点评]:①一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.②此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. {qpn a n +}是等差数列⇔qpn a n +=kn+b ⇔a n =(kn+b)(pn+q) ⇔2n 2-n=pkn 2+(kq+bp)n+bq 对任意大于0的自然数恒成立⇔pk 2kq bp 1bq 0=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩解得p+2q=0.这个结果是充要条件,就不必验证.法二:第(2)问:求b n 的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出a n 的通项,再解出b n 的通项. 由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)得(n-1)[a n+1-(n+1)]=(n+1)(a n -n),设 c n =(a n -n),则(n-1)c n+1=(n+1)c n ,用逐项作商累乘的方法得:c n =2n 2-2n,则a n =2n 2-n.而b n =n+a n =2n 2.这样推理就不用数学归纳法证明了.例3.已知a,b,c,d ∈[0,1],M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较M,N 的大小,你能由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.[略解]:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b ≥1-a-b,当且仅当a,b 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c,当且仅当a,b,c 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) ≥(1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) ≥1-a-b-c-d,当且仅当a,b,c,d 中至少有一个为0时等号成立.可以猜想一般的结论是(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ) ≥1-a 1-a 2-…-a n ,可以用数学归纳法证明(略).[点评]:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体现了探索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例4．已知函数F(x)=kx 2∈R).（1）是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:①F(x)取最大值时x 的值与G(x)取最小值时x 的值相等;②k 为整数.(2)将满足条件①的实数对(m,k)的集合记为A,设B={222(m,k)k (m 1)r ,r 0+-≤>},求使A ⊆B 的r 的取值范围.[略解](1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当x=k,k<0时,F(x)取得最大值,当x=k 时, G(x)取最小值,所以k 0k k Z <⎧=⎪∈⎪⎩,又4+2m-m 2=5-(m-1)2,所以0≤k 2, 则k又k 为整数,k<0所以k=-1,所以满足条件的实数对有两个(-1,-1)和(-1,3).(2)由题意22(m 1)r -≤,则22max (m 1)]r -≤,22(m 1)(m 1)-=-,设θ,θ∈[0,π],则原式θ+5cos 2θ=-( sin θ-10)2+214, 所以,r 2≥214,r的取值范围是,)2+∞. [点评]:此题的关键是探索x 取何值时, F(x)取最大值且G(x)取最小值,这里隐含k 的正负号的考虑,另外在含有两个以上字母的方程、不等式的混合问题中,将变量分离,用其中的一个变量的范围(或其最值)确定另一个变量的范围,不等号的方向要明确. 例5.已知直线ax-y=1与双曲线x 2-2y 2=1相交于P 、Q 两点.(1)是否存在整数a,使得PQ =(2)是否存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[略解](1)假设存在整数a,使得PQ =设直线与双曲线的交点坐标分别为P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2), 联立22ax y 1x 2y 1-=⎧⎨-=⎩消去y 得：(1-2a 2)x 2+4ax-3=0. 则1221224a x x 12a 3x x 12a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩且△=4(3-2a 2)>0.所以PQ ==,所以212a =-,解得a=1或a=-1,两个都满足△>0, 所以存在整数a=1或-1,使得PQ =.(2) 以PQ 为直径的圆过原点O 等价于PQ 的中点M 到O 点的距离等于1PQ 2, 又M(222a 1,2a 12a 1--),则22222a 1()()2a 12a 1+=--222232a (1a )(12a )-+⋅-. 解得a 2=-2,所以不存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[点评]:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式,并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使用.此外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐心和毅力.[习题精选]1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面的大致图形是(A B C D2.如图,在三棱锥A-BCD,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使A E C F EB F D==λ(λ>0),设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则α+β的值是( ) CA.6πB.4πC.2π D.与λ有关的变量 3.已知函数y=f(x),x ∈R,f(0)≠0,且对于任意的实数x 1,x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(12x x 2+)f (⋅12x x 2-),则此函数为( )B A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定4.如图,圆锥高SO,AB 为底面圆O 的直径,A ’B 为弦,∠ASB=α,∠A ’SB=β,当α与β满足( )条件时,△A ’SB 的面积大于△ASB 的面积. DA. α>2π B. α+β>π C. α<2π且α+β<π D.α>2π且α+β>π 5. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m , n ，则n m mn +等于（ ）D A ．a 21 B ．a 41 C ．2a D ．4a 6. 函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么（ ）CA ．)(x f 是增函数B ．)(x f 没有单调减区间C ．)(x f 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D ．)(x f 没有单调增区间7.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,)+∞上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(a)-f(-b)> g(b)-g(-a); ③f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中正确的是是 .①②8.由下列各式1>12;1+12+13>1; 1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13…+115>2…,你能得出一般的结论吗?是 .1+12+13…+n 1n 212>-. A B CD E F9.已知椭圆22x y 143+=,F 1,F 2是焦点,问椭圆上是否存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项?解:若椭圆上存在满足条件的点,则有121212MF MF 4MF e dd MF MF ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⋅⎪⎩,解得d=85,但椭圆的左准线方程x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为2,而d=85<2,不可能. 不存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项.10. 某产品中有15只正品，5只次品，每次取1只测试，取后不放回，直到5只次品全部测出为止，求经过10次测试，5只次品全部被发现的概率。
开放性与探索性问题
探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC∽△BCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC；或∠A=∠DBC；或BC∶CD=AC∶BC；或BC 2=AC•CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB•DA=CD•BE；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是BD 的中点,∴AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D，∴△EAB∽△ACD，∴AB∶CD=EB∶AD， ∴AB•AD=CD•BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB∽△ACD，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要BF CD =即可.所以本题只要BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法. 例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE·DF？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可. 由∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE·DF，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF∽△DEA， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，图7.3.1图7.3.2H BAEP O CD F 图7.4∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.（2）当点D 是AC 的中点时，AD 2=DE·DF. 连结AE.∵AD CD =，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA，∴△DAF∽△DEA， ∴AD DF DE AD=，即AD 2=DE·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴ OD∥AC， 从而可得OD⊥DE，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt△AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF⊥AC，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3方法.例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE⊥AB，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？ 证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB，∴AC CE ，CG=EG.在Rt△COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30，∴∠COA=60. 又∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180-∠COA=120.（2）证明：∵∠COM=180-∠COA=120，∴∠COM=∠FDM. 在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME，∴∠OMC=∠DMF， ∴△FDM∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180-∠CDE， ∴∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA， ∴∠FDM=180-∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE⊥AB，∴在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME， ∴△FDM∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含15DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.20角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法，∠ABD和∠ACD都等于15；图7.7.2中，∠EFG=15.请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1）（2）3）（4）（5）（6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________.AB CD EFG图7.7.1 图7.7.1图7.8另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE=30；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________;（2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论， 组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题ABD C E第7题BAE成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题）8．如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）.（2002年江西省中考题）9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1. （1（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD （或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90，∠EBF=30，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=A D. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，A BCMN第10题ACBDEF第7题C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90. 又∠A=28，∴∠B=62.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN 于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD，即AB•CD=AC•BC.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
数学人教版九年级上册开放型探究型问题
探学
1 . 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需 添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组 条件是( C )
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩 形，请说明理由．
当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形
探学
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E 是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF的长为( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
PA+PB=PC
探学
1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的 k 边长为 2.写出一个函数 y＝x(k≠0)，使它的图象与正方形 OABC 有 公 共 点 ， 这 个 函 数 的 表 达 式 为 __ (答案不唯一)
存在开放型问题
导学
【例3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的 顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB 的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根(OA＞ OB)． (1)求点D的坐标．
专题复习课
开放探究型问题
引学
开放探究型问题
特点
（1）条件多余 需选择，条件不足 需补充。 （2）答案不固 定。 （3）问题一般 没有明确的结论， 没有固定的形式和 方法。
概念
所谓开放探究型 问题是指已知条件 、解题依据、解题 方法、问题结论这 四项要素中 ， 缺少 解题要素两个或两 个以上 ， 需要通过 观察、分析、比较 、概括、推理、判
北师大版数学课件中招数学开放探索问题一
典 例 · 解 题 攻 略
直线CD即为所求. ②猜想：∠A+∠B=90°, ③验证：如在△ABC中，∠A=30°, ∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此
时就能找到一条把△ABC恰好分割
于1 .
2
(3)分两种情况: 情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与D
典 例 · 解 题 攻 略
重合.
设MK=MD=x,则AM=5-x，
由勾股定理，得12+(5-x)2=x2.
解得,x=2.6.MD=ND=2.6.
S MNK 1 2.6 1.3. 2
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为K=CK=x，则DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6,
S MNK S ACK 1 2.6 1.3. 2
△MNK面积的最大值为1.3.
结论开放探索问题是指题目中的结论不确定或题目中的结论
典 例 · 解 题 攻 略
需类比、引申、拓广，或改变题目的条件，探究原有的结论
若选取②④,证明如下:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,又AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
典 例 · 解 题 攻 略
若选取③④,证明如下:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD. 又∠A=∠C,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行 四边形.
条件开放探索问题的特征是指问题的条件不完备或满足结论
∵∠1=70°.∴∠KNM=∠KMN=70°.∴∠MKN=40°.
(2)不能. 过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1. 由(1)知:∠KNM=∠KMN.
开放性和探索性问题50页PPT
当
x
a 2
时，三棱锥C1－CEF的体积最大，这时E、F分别 为
( 1 c o s) i s x n 2 2 1 c 2 s o 2 s is n i 2 s n i 4 1 n 1 c 2 s o s 2 i n i sn
由 s in 0 ,c o 0 s
可知 1 co ss i 0 n ,0 1 2 sin 1 2 2 co 2 ssin
结合原不等式对任意 x0,1 恒成立可知
sin0
cos0
可得 sin2 1
f(x)mi
nsin4(11c2ossins2in)
0
2
所以 2 k 2 k 5 (k Z )
12
12
解法二：
令x=0, x=1 由已知条件可知 sin 0 ,co 0 s
当 x0,1，原不等式变为 1x 2sin 1x co s0
为含有三个元素的集合。
评注：本题给出了两种探究方式，解法一的方式是从式子的 意义出发，联立方程组求解，运用了分类讨论的数学思想， 对思维的严谨性要求较高。解法二的方式是从直观图形出发， 找到了思维的依靠点，这样便于找到各种情况，很难出现遗 漏。
例3：在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF．
ax y 1
a1，则 AB a1则由 x2 y2 1 ，
得x ,y 1 ,1 a ,
当且仅当 a1时，1 2a a2,1 1 a a2 21,1a
综上所述可知， 当 a 2，或 a 2，或 a1时，(A B ) C为含有
两个元素的集合；
当 a 2，或 a0，或 a1时，(A B ) C
开放性和探索性问题
长郡中学高三数学组
中考专题复习：开放与探索性题
A B
检测1：8分钟 1在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F， G，H，构成一个新的四边形，请你对四边 形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成 为一个菱形．这个条件是 ． 解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它 答案也可以）
A H D E G B F C
2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到 如 下文字：已知二次函数 y=x2+bx+c的图象过 点（1，0）， 求证：这个二次函数 的图象关于直线x=2对称 根据现有信息，题中的二次函数的图象不具 有的性质是（ ） A 过点（3，0） B 顶点是（2，-2） C 在X轴上截得线段长度是2 D 与Y轴的交点是（0，3）
5 12 21 32
开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n 2 (n ( n 2) （n≥1）个数据是________或___．2) 2
n ( n 4)
(n 2) 4
2
5． 让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得 a 2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得 a3； ………… 依此类推，则a2008=_______________. 6． 观察下面的一列单项式: -x、2x2、-4x3、8x4、16x5、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是
例题1.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点 （0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符 合上述条件的函数关系式
例题2.如图2-1-8，AB是⊙O的直径，⊙O交BC 于D，过D作⊙O的切线DE交AC于E，且 DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论 有： . C
初三下学期数学市级示范课-开放探索型问题精选课件PPT
F，P为ED的延长线上一点.
⑴⑵当点D△在PC劣F弧满A足⌒C什的么什条么件位时置，时P，C才与能⊙使O相AD切2=？D为E.什DF么？？
为什么？
思路解析：⑴要使PC与⊙O相切,连OC 后有∠PCO=90º. 由∠OCA= ∠OAC,
P C
D
∠ PFC= ∠AFH，可得PC=PF. ⑵要使AD2=DE.DF，即AD:DE=DF:AD,
初三数学
专题十：开放探索型问题
专题概述
开放性问题：条件和结论中至少有一个没有 确定要求的问题.又可分为条件开放题（问 题的条件不完备）、结论开放题（问题的结 论不确定或不惟一）以及条件和结论开放题.
问题解决：经过探索确定结论或补全条件， 将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择 合适的解题途径完成最后的解答.
(2) 线段MN运动过程中，是否存在时刻t， 四边形MNQP是矩形？ 若存在，求出t的值；
C
Q
若不存在，请说明理由.
P
分析：假设四边形MNQP为矩形，
则PQ∥AB，且PQ=MN=1
AM N
B
C
在Rt△CPQ中， ∠CQP＝30º，∴CP=1/2 P Q
∴AP=3/2，AM=t矩形. A M N
分两种不同情况求出函数关系式.
A MHN
B
CP
Q
A
MN
B
典型例题
例4：如图，△ABC中， ∠C＝90º， ∠A＝60º，AC=2cm，
长为1cm线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速
度向点B运动（运动前点M与点A重合）. 过M、N分别作AB
的垂线交直角边于P、Q两点，线段MN运动的时间为t s.
F AH O
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2=AC •CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB •DA=CD •BE ；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是BD 的中点,∴AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D ，∴△EAB ∽△ACD ，∴AB ∶CD=EB ∶AD ， ∴AB •AD=CD •BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB ∽△ACD ，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB ∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D ，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要BF CD =即可.所以本题只要BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法. 例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC ，∠PFC=∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE ·DF ，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF ∽△DEA ， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC ，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC ，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.图7.3.1图7.3.2H BAEP O CD F 图7.4（2）当点D 是AC 的中点时，AD 2=DE ·DF. 连结AE.∵AD CD =，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ， ∴AD DFDE AD=，即AD 2=DE ·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB=∠C ，∴ OD ∥AC ， 从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt △AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM ∽△COM ；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？ 证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，∴AC CE ，CG=EG.在Rt △COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30，∴∠COA=60. 又∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180-∠COA=120.（2）证明：∵∠COM=180-∠COA=120，∴∠COM=∠FDM. 在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME ，∴∠OMC=∠DMF ， ∴△FDM ∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180-∠CDE ， ∴∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA ， ∴∠FDM=180-∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE ⊥AB ，∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME ， ∴△FDM ∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.2分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角. 解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法， ∠ABD 和∠ACD 都等于15；图7.7.2中，∠EFG=15.请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）.（1）不是正方形的菱形（一个）； （2）不是正方形的矩形（一个）； （3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1） （2）3）（4）（5） （6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下： （1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________. 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.AB C D E F G图7.7.1 图7.7.1图7.8解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD ⊥AB ；②BE ⊥AC ；③AE=CE ；④∠ABE=30；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________; （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组 成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题） 8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点.（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）. （2002年江西省中考题）图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题 A BD C E第7题 B A C D E第8题9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1.（1（2）1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD（或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90，∠EBF=30，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90. 又∠A=28，∴∠B=62.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD=，即AB•CD=AC•BC.A BCMN第10题ACBDEF第7题。