贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】

第6章　统计量及其抽样分布一、思考题
1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？
答：（1）设12n X X X ，，
…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此
样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。

（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。

为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。

（3）统计量是样本的一个函数。

由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。

2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？
1121021210310410()/10
min()
T X X X T X X X T X T X μ
μσ
=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。

3．什么是次序统计量？
答：设12n X X X ，，
…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本
12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序
(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。

4．什么是充分统计量？
答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。

统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。

5．什么是自由度？
答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。

6．简述2
χ分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系。

答：（1）随机变量X 1，X 2，… X n 相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和21
n i i X =∑服从自由度为n 的2
χ分布。

（2）随机变量X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的2
χ分布，且X 与Y 独立，
那么X
服从自由度为n的t分布。

Y
（3）随机变量Y和Z分别服从自由度为m和n的2χ分布并且相互独立，那么
Y m
服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布。

Z n
7．什么是抽样分布？
答：近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把抽样分布、参数估计和假设检验看做统计推断的三个中心内容。

研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质。

所以抽样分布的研究是统计学中的重要内容。

在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量
T=T（X1，X2，…，n X）的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。

精确的抽样分布大多是在正态总体下得到的。

在正态总体条件下，主要有2χ分布、t分布、F分布，常称之为统计三大分布。

8．简述中心极限定理的意义。

答：中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。

它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

二、练习题
1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。

随机抽取这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。

试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。

解：设每个瓶子的灌装量为X ，X 为样本，样本容量为n 。

由于总体X
服从正态分布，样本均值X
13==。

所以||0.3(||0.3)()2(0.9)11313
20.815910.6318
X P X P μμΦ--≤=≤=- =⨯-=2．在习题1中，如果我们希望Y 与μ的偏差在0.3盎司之内的概率达到0.95，应当
抽取多大的样本？
解：(||0.3)210.95P X P μΦ-≤=≤=-
≥，则0.975
Φ≥1.96=，所以n =43。

3．126,, L ，Z Z Z 表示从标准正态总体中随机抽取的容量n =6的一个样本，试确定常数b ，使得
6
21()0.95
i i P Z b =≤=∑
解：由于126,, L Z Z Z 为正态分布，并且相互独立，所以
621=∑i i Z 服从χ2（6）分布。

P （621=∑i i Z
>b ）=1-P （621=∑i i Z ≤b ）=1-0.95=0.05
查表得：b =12.5916。

4．在习题1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差σ2=1的标准正态分布。

假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差
22
211(())1n i i S S Y Y n ==--∑，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证S 2落入其中是有用的，试求b 1，b 2，使得P （b 1≤2
S ≤b 2）=0.90。

解：由于灌装量服从方差σ2=1的标准正态分布，故222(1)9-=n S S 服从χ2（9）。

要使P （b 1 ≤ S 2 ≤ b 2）=P （9b 1 ≤9S 2 ≤ 9b 2）=0.90，只要P （9S 2 ≥9b 2）= P （9S 2 ≤9b 1）=0.05。

查表得：9b 1=3.3251，9b 2=16.9190，解得：b 1=0.37，b 2=1.88。