随机事件的概率
随机事件的概率
随机事件的概率在日常生活中，有很多随机事件，比如掷硬币的结果、抽彩票的概率、汽车事故的发生率等等。
我们常常会用到概率这个概念来描述这些随机事件的可能性。
那么，什么是概率？如何计算概率？本文将就此问题展开讨论。
一、概率的定义与性质概率是一个描述随机事件发生可能性的数值，它一般用0到1之间的小数来表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生，其他值则表示事件发生的可能性大小。
例如，掷骰子得到1的概率是1/6，抽中特等奖的概率可能是几百万分之一。
概率有以下几个性质：1.非负性：任何事件的概率都是非负数，即P(A)≥0。
2.规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1。
3.可列可加性：对于任意两个不相交的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
二、概率的计算方法在实际应用中，概率的计算方法非常丰富，下面简单介绍几种常用的方法：1.古典概型如果一个随机试验有n个互不相同的基本事件，每个基本事件发生的可能性相等，且每个事件与试验的其他事件相互独立，那么这个试验就是一个古典概型。
例如，掷一枚硬币，得到正面或反面的概率都是1/2；从一副有5张红牌和5张黑牌的牌组中随机抽取一张牌，得到红牌或黑牌的概率都是1/2。
对于古典概型，可以采用排列组合的方法进行计算。
例如，从n个不同的元素中任选r个元素的方案数为C(n,r)，也称为组合数。
因此，在n个互不相同的元素中选取r个元素的概率为：P(r)=C(n,r)/C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)2.几何概率几何概率是指利用几何形状来求解概率的方法。
例如，将一个点均匀地撒在正方形区域中，落在某个子区域内的概率就是这个子区域的面积与正方形面积之比。
对于N个互不相同的点，如果每个点落在某个子区域内的可能性相等，且每个点与试验的其他点相互独立，那么这个试验就是一个几何概型。
3.条件概率条件概率指的是在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
例如，如果一个桶里有4个红球和3个蓝球，从中任取一个球，如果已知这个球是红球，那么再抽到红球的概率是多少？这个问题可以用条件概率来解答。
随机事件的概率
第一节 随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。
4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。
5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。
如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。
7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。
二、例题： 例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。
”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。
” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的． 例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。
随机事件的概率
0 P A 1．
例题讲解
例2、某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为 乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽 样检测，检查结果如表所示：
3.1.1 随机事件的概率
知识引入
概率论的生日：1654年7月29日 这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（De Mere） 向法国数学家、物理学家帕斯卡（Pascal）提出了一个 十分有趣的“分赌注”问题． 问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32 个金币．双方约定先胜三局者为胜, 取得全部64个金币. 赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了 一局．这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾， 赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这64个金币才 算合理呢?
象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数
足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
跟踪练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 进球次数
8
6
10 8 0.80
15
20 17
30
25
40
32
50 39
12 0.80
进球频率 0.75
0.85 0.83 0.80 0.78
思考1：那么如何才能获得随机事件发生的概率呢？
试验
第一步: 每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币试验，
记录正面向上的次数和比例,填入下表中:
姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
随机事件的概率
6 1 （3）所求的概率为P(B)= 216 36
答：在3次抛掷 中，向上的数之和为10的概率是
1 36
2.某人有5把钥匙，但忘记开房门的是哪能一把，逐把试开，
问：⒈恰好第三次打开房门锁的概率是多少？⒉三次内打 开房门锁的概率是多少？⒊如5把内有2把房门钥匙，三次 内打开的概率是多少？ 〔答：⒈ 1/5 ⒉ 3/5 ⒊ 9/10 〕 小结：求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果 的可能性认为是相等的；其次是通过一个比值的计算来确 定随机事件的概率，并不需要通过大量重复试验，因此， 从方法上来说这一节所提到的方法，要比上一节所提到方 法简便得多，并且具有实用价值。
（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是 等可能出现的,记“向上的数之和是5”为A事件，则
4 1 P ( A) 36 9
答：抛掷 玩具2次，向上的数之和为5的概率是1/9。
练 1
习
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1、2、3、 4、5、6。将这个玩具先后抛掷3次，计算：（1）一共有 多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有 多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？ 解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种 结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具掷 3次 一共有6×6×6=216 种不同的结果 答：先后抛掷 正方体玩具3次， 一共有216种不同的结果。 （2）在上面所有结果中，向上的数之和为5的结果有 (1,2,2,).(2,1,2),(2,2,1);(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3)这6种,
6 5· 4·
7 6
8 7
9 8
10 9 8
11 10 9 8 7 6
12 11
随机事件概率计算
随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。
本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。
当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。
概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。
2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。
该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。
概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。
该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。
三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。
1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。
该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。
2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。
如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。
进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。
如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。
随机事件的概率计算方法
随机事件的概率计算方法引言在数学中，概率是用于描述随机事件发生的可能性的工具。
随机事件是在相同的条件下可能发生或不发生的事件。
概率计算方法是解决随机事件的可能性问题的数学工具。
本文将介绍随机事件的概率计算方法，包括基本概率公式、条件概率、乘法原理和加法原理等。
基本概率公式基本概率公式是计算随机事件概率的基础方法。
假设有一个试验，结果有n个可能的等可能性事件（即每个事件发生的概率相等），那么某一事件发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。
条件概率条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
乘法原理乘法原理是用于计算多个事件同时发生的概率的方法。
假设事件A和事件B相互独立，即事件A的发生与事件B的发生没有关系，那么事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
加法原理加法原理是用于计算多个事件至少发生一个的概率的方法。
假设事件A和事件B相互独立，那么事件A或事件B发生的概率可以通过以下公式计算：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中，P(A ∪ B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A 和事件B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
示例应用下面通过一个简单的示例来说明随机事件的概率计算方法的应用。
假设有一个标准的扑克牌牌组，共有52张牌。
随机事件的概率
随机事件的概率一、知识概述1、随机事件的概率（1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件：在一定条件下必然要发生的事件．不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．（2）概率的定义及其理解事件A的概率的定义：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的出现的次数nA频率．在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近≤n，0≤≤1，摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)，由定义知，0≤nA0≤P(A)≤1．显然，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．注：①注意频率与概率的区别：频率总是在P（A）附近摆动，当n越大时，摆动幅度越小．②0≤P(A)≤1，不可能事件的概率为0，必然事件概率为1，随机事件的概率大于0而小于1．③大量重复进行同一试验时，随机事件呈现出规律性．2、概率的基本性质事件Ｂ包含事件A：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B 一定发生，记作（或）．并事件：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，记作．交事件：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，记作．互斥事件：若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，那么．对立事件：若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件通常用表示．3、古典概型古典概型需要满足的两个条件：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等．如果一次试验的等可能的基本事件的个数为n，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为．4、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：．二、重难点知识归纳重点：1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．2、理解古典概型及其概率计算公式．3、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率．3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．三、典型例题剖析例1、（1）计算表中优等品的各个频率？（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：（1）将值逐个代入公式进行计算.（2）观察各频率能否与一常数接近，且在它附近摆动.解答：（1）各次优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.954.（2）由以上数据可得优等品的概率为0.95.例2、将骰子先后抛掷2次，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？（3）向上的数之和是5的概率是多少？分析：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A发生的结果数，当n较小时，这种求事件概率的方法是常用的.解答：将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例3、如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM<AC的概率？分析：点M随机的落在线段AB上，故线段AB为构成试验的全部结果所构成的区域长度，当点M位于如图的内时AM<AC，故线段即为构成事件A的区域长度．解：在AB上截取=AC ，于是．答：AM<AC的概率为．例4、袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果：全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．解析：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为27，3只全是红球的概率为，3只颜色全相同的概率为，“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”，故“3只颜色不全相同”的概率为.例5、在50件产品中，有35件一级品，15件二级品．从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问：表示什么事件？解析：事件表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”．首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生．所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示．。
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5 球颜色不同有5种结果，故所求概率为6.
5．(2017· 湖南长沙长郡中学期末)同时掷3枚硬币，至少有1 枚正面向上的概率是( 7 A. 8 3 C.8 ) 5 B. 8 1 D.8
答案 A 解析 由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生 包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满 足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是背面向上，有1种结 1 7 果，所以至少一次正面向上的概率是1－8＝8，故选A.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．(课本习题改编)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给 甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是( ) A．对立事件 C．互斥但不对立事件
答案 C
B．不可能事件 D．不是互斥事件
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次 反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则P(M)＝________， P(N)＝________．
概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率为1． (3)不可能事件的概率为0． (4)互斥事件概率的加法公式： 若事件A与事件 B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 特别地，若事件B与事件 A互为对立事件，则P(A)＝1－ P(B)．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)“下周六会下雨”是随机事件． (2)事件发生的频率与概率是相同的． (3)随机事件和随机试验是一回事． (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生． (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立的．
课前自助餐
随机事件及其概率 (1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件． (2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件． (3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事 件． (4)事件A发生的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A m 发生的频率 n 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时把这个 常数叫做事件A的概率，记作P(A)．
【解析】 (1)互斥事件； (2)至少有1名男生包含2名男生，1男1女，至少有1名女生， 包含2名女生，1女1男，两事件不互斥； (3)不互斥； (4)对立事件． 【答案】 (1)互斥事件 (2)(3)不是互斥事件 (4)对立事件
★状元笔记★ 准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不 可能都不发生，即有且仅有一个发生．
1 3 答案 2，4 解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故 1 3 P(M)＝2，P(N)＝4.
4．(2015· 江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只 白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只 球颜色不同的概率为________．
题型二 随机事件间的关系 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； (3)至少有 1 名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生．
(2)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥 而不对立的事件有________．(填序号) ①至少有一个红球，都是红球 ②至少有一个红球，都是白球 ③至少有一个红球，至少有一个白球 ④恰有一个红球，恰有二个红球
【解析】 (1)根据互斥事件与对立事件的定义作答，A∩ B ＝{出现点数1或3}，事件 A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅， B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件． (2)由互斥与对立的关系及定义知，①不互斥，②对立，③ 不互斥，④互斥不对立． 【答案】 (1)D (2)④
随机事件的概率
…2018考纲下载… 1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 请注意 1．多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及 运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查． 2．互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解 答题中，多为应用问题．
★状元笔记★ 解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的 含义．判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依 据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出 现或可能出现、可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发 生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．
思考题1 (1)一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中 任意取出一个球， ①“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是什么？ ②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是什么？ ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是什 么？
(2)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1 号车站(首车站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站 下车是等可能的．约定用有序数对(x，y)表示“甲在x号车站下 车，乙在y号车站下车”． ①用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出 来； ②求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率．
(2)由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人 数为0.04×50＝2. 设第六组的人数为 m，则第七组的人数为9－2－ m＝7－ m， 由 m＋2＝2(7－m)，解得 m＝4， 即第六组的人数为4，第七组的人数为3，频率分别为0.08， 0.06.
频率除以组距分别等于0.016，0.012，补充完整的频率分布 直方图如图．
6．(2018· 沧州七校联考)如图，在A，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最 大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从 中任取3条且使每条网线通过最大信息 量，则选取的3条网线可以使由A到 B通过的信息总量为6的概率 是( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3
答案 A 解析 设这6条网线从上到下分别是a，b，c，d ，e，f，任 取3条有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c， d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)， (b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b， e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e， f)，共20种不 同的取法，选取的3条网线可以使得由A到 B通过的信息总量为6 的取法有：(a，b，f)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，e)，(b， d，e)，共5种不同的取法，所以选取的3条网线可以使得由A到B 1 通过的信息总量为6的概率是4.故选A.
13，因此此事件是不可能事件，其概率为 0. (2)由于点数之和最小是 2，最大是 12，在 2～13 范围之内， 它是必然事件，其概率为 1. (3)由(2)知， 和是 7 是有可能的， 此事件是随机事件， 事件“点 数和为 7”包含的基本事件有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5， 6 1 2)，(6，1)共 6 个，因此 P＝ ＝ . 6×6 6 【答案】 (1)不可能事件，0 (2)必然事件，1 1 (3)随机事件， 6
题型三
随机事件的频率与概率
(2018· 湖南长郡中学月考)从某学校高三年级共800名男 生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 155 cm～195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一 组[155，160)、第二组[160，165)、第三组[165，170)、……、 第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七 组、第八组人数依次构成等差数列．
授 人 以 渔
题型一 随机事件及概率 同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 范围之内”是什么事件？其概率是 多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
【思路】 依定义及概率公式解答．
【解析】
(1)由于点数最大是 6，和最大是 12 ，不可能得
【解析“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0. ②由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是 3 黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是 . 8 ③由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球 不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必 然事件，它的概率为1. 【答案】 ①0 3 ②8 ③1
(4)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此 事件为事件A事件 B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)． (5)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件 A与事件B互 斥，其含义是：事件A与事件 B在任一次试验中不会同时发生． (6)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与 事件B互为对立，其含义是：事件 A与事件B在任一次试验中有 且仅有一个发生．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 180 cm)的人数；
cm以上(含
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (3)若从身高在第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男 生，记他们的身高分别为x， y，求 |x－y|≤5的概率．
【解析】 (1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008 ＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9， 所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含 180 cm)的人数为800×0.18＝144.