北师大版高三数学题及答案
1.高三质量检测数学题（卷）实验中学：高小奇考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
所有答案直接写在答题纸上，写在试卷上无效。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷一、选择题（本题共有10个小题，每小题5分，满分50分；每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．已知集合M={y ∣y=x 2-2}，N ={x ∣y= x 2-2}，则有 （ ）A ．M N =B ．φ=NC M R C ． φ=M C N RD ．φ=M N2．若2+3z 3i i ⋅（=-，则复数z 对应的点在复平面内的 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(理)已知直二面角l αβ--，直线a α⊂，直线b β⊂，且a 、b 与l 均不垂直，那么 （ ）A ．a 与b 可以垂直，但不可以平行B ．a 与b 可以垂直，也可以平行C ．a 与b 不可以垂直，也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直，但可以平行（文）对于平面α和两条不同的直线m,n ，下列命题中真命题是 （ ） A ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//,n α则//m nD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n4．已知a 、b 均为非零向量，命题p ：a b ⋅＞0，命题q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数xx x f 2ln )(-=零点所在的大致区间是 （ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4）和 （1，e ）D ．（e ，+∞）6．(理)已知等差数列24147{},30,39,n n n a n S a a a a a S +=-++=-的前项和为且则使得达到最小值的n 是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11(文)等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是： （ ） A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 48 7．函数44()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数8．某几何体的三视图如下图，它的表面积为 （ ）A ．2B ．53C ．95+D ．105+9．阅读下面的程序框图，输出的结果为 （ ）D ．310.人们通过研究发现1，3，6，10，。
这些数能表示三角形，所以将其称为三角形数，类似地，1，4，9，16.。
这样的数称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378第II 卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．其中第11、12、13、14为必做题；15题是选做题，考生只选做一题，三题全答的，只计算第一题得分．） 11．3261(31)()x x x--的展开式中常数项为 。
12．（理）若曲线4()2f x x x =-+在点P 处的切线与直线310x y +-=垂直，则点P 的坐标是A=1，S=1S=S+9 A=A+1A ≤2输出S结束开始 是 否OBA C _____________。
（文）过曲线x x y 23+=上一点)3,1(的切线方程是___________________。
13．某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 。
14．在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9, 那么实数a的值为 。
15-1．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，定点),2(πA ，动点B 在直线22)4sin(=+πθρ上运动，则线段AB 的最短长度为15-2．(不等式选讲选做题)设函数21)(-+-=x x x f ,则)(x f 的最小值为 15-3．(几何证明选讲选做题) 如图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是________．三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos .3A = （I ）求2sincos 22B CA ++的值； （II ）若5,a bc =求的最大值。
17．（本小题满分12分）（理）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是215，求抽奖者获奖的概率； （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，其中一人抽后放回，另一个人再抽，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列及数学期望。
（文）将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？18．（本小题满分12分）（理）如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，P 为BC 边的中点，SB 与平面ABCD 所成的角为o45，且2AD =，1SA =。
（1）求证：PD ⊥平面SAP ；（2）求二面角A SD P --的余弦值。
（文）如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点。
（I ）求三棱锥D 1—ACE 的体积；（II ）求异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值； （III ）求二面角A —D 1E —C 的正弦值。
19．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，110,31,2,3nn n a a a n +==-+=,其中.…（1）求23,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求1nn a a +的最大值.20．（本小题满分13分） （理）设函数22()1x a f x x +=+，函数322()23g x x ax x =+-分别在x m =和x n =处取得极值，且m n <。
（1）求()()f m f n ⋅的值。
（2）求证：()f x 在区间[],m n 上是单调递增；（3）设()f x 在区间[],m n 上的最大值和最小值分别为M 和N ，试问当实数a 为何值时，M N -取得最小值？并求出最小值。
（文）已知函数2()2ln f x x x a x =++.(1)若4a =-,求函数()f x 的极值；(2)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围. 21. (本小题满分14分)（理）已知点M 2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，过点M 作直线MA 、MB 交椭圆C 于A ，B 两点，且斜率分别为12,.k k （1）若点A ，B 关于原点对称，求12k k ⋅的值；（2）若点M 的坐标为（0，1），且123k k +=，求证：直线AB 过定点；并求直线AB 的斜率k的取值范围。
（文）已知椭圆2222:1(0)x y abC a b +=>>经过点(2,1)P ,离心率2e =,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(,A B 均异于点P ),且有0PA PB ⋅=. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线l 过定点.高三质量检测数学题答案一，选择题2.B 2.C3.（理）D （文）D4.A5.B6.(理)C （文）B7.A8.C9.B 10.C二．填空题 11. -33.12. (理) (1,2)（文）5x-y-2=0 13. 140 14. 1 15-1.223; 15-2. 3; 15-3.3; 三、解答题 16．（本小题满分12分）解：（I ）221cos sincos 22cos 122B C AA A +++=+- ………………4分 2cos 112cos 229A A =+-=- ………………6分（II ）2222cos a b c bc A =+- ………………8分2222452333b c bc bc bc bc =+-≥-= …………11分15,4bc ≤当且仅当b=c 时取等号。
……………12分17.(理)（文）解：（1）共有3666=⨯种结果； ………………………………………………………4分（2）共有12种结果； ………………………………………………………8分 （3）313612==P ． ……………………………………………………12分 18．（本题满分12分）（文）解：（I ）111116233323D ACE A D CE V V --==⨯⨯⨯⨯= …………3分 （II ）取DD 1的中点F ，连结FC ， 则D 1E//FC ，∴∠FCA 即为异面直线D 1E 与AC 所成角或其补角。
…………5分,42,2510cos FCA AC AF FC FCA ∆===∴∠=在中∴异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为10.…………7分 （III ）过点D 作DG ⊥D 1E 于点G ，连接AG ，由AD ⊥面D 1DCC 1，∴AD ⊥D 2E又∵DG ⊥D 1E ，∴D 1E ⊥面ADG∴D 1E ⊥AG ，则∠AGD 为二面角A —D 1E —C 的平面角 …………9分 ∵D 1E ·DG=DD 1·CD ，855DG ∴=221255AG AD DG =+=5sin AGD ∴∠=， 二面角A —D 1E —C 的正弦值为5.…………12分 法二：（I ）同法一 ………………3分（II）如图建立空间右手直角坐标系。
111(4,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,2)(4,4,0),(0,4,2)cos,7A C D EAC D EAC D E=-=-<>==分（III）显然(4,0,0)DA =是平面D1DCE的法向量，(4,4,2),AE=-设平面D1AE的一个法向量为(,,)n x y z=10420,,2,442082(2,1,2),|cos,|4335sinD E n y zzx y zAE nn DA nDA n⎧⋅=-=⎧⎪=-⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩∴=---<>==⨯∴<⋅>=则即令则y=-1,x=-2二面角A—D1E—C的正弦值为3…………12分19.解（1）由,01=a且3,2,1(31=+-=+naa nnn…）得3312=+-=aa63223=+-=aa．……2分（2）由nnnaa31+-=+变形得)43(4311nnnnaa--=-++，}43{nna-∴是首项为43431-=-a公比为1-的等比数列1)1(4343---=-∴nnna即43)1(43⋅-+=∴nnna（3,2,1=n）……6分（3）①当n是偶数时33431333343_4343431111-+=-+=+=++++nnnnnnnaa∴1nnaa+随n增大而减少∴当n 为偶数时，1n n a a +最大值是12． ……9分错误！未找到引用源。
高考数学一轮复习统考 第7章 不等式 第4讲 基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学
第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________． 答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为()A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=()A.1B.16C.32D.653.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+e x+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13>f14>f12B.f14>f-13>f12C.f12>f-13>f14D.f12>f14>f -136.已知函数f (x )=x 2-2ax+a 在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a 的值为( ) A.-2 B.-2或115 C.-2或1D.±27.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f (x )满足f (4-x )=f (x ),且当x ∈[0,2]时的解析式为f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,则函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积是( ) A.2 B.2log 23 C.4D.4log 238.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f (x )=ln(x-2)+ln(4-x ),则( ) A.f (x )的图象关于直线x=3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A.y=x 3B.y=ln 1|x| C.y=2|x|D.y=cos x10.定义一种运算:a b={a,a ≥b,b,a <b,设f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于直线x=1对称B.f (x )的图象与直线y=5有三个公共点C.f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]D.f(x)的最小值是211.已知函数y=a x(a>0且a≠1)的图象如图,则下列四个函数图象与函数解析式对应错误的是()12.设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则下列说法错误的是()A.f(x)的最大值为43B.|f(x)|≤5|x|C.曲线y=f(x)存在对称轴D.曲线y=f(x)存在对称中心二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax >ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为.14.函数f(x)=a x+5-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为.15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21−x的图象与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和为.16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a=.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)={log14(x+3),−3<x≤1,(12)x+a,x>1,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=log a x+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数g(x)=f=log a x+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求f (x )在0,52上的最大值;(2)已知函数g (x )=f (x )+|x-a|-x+a-m ,若存在实数a ∈(-1,2],使得函数g (x )有三个零点,求实数m 的取值范围.22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f (x )=log a (a x+1)+bx (a>0且a ≠1,b ∈R )是偶函数,函数g (x )=a x(a>0且a ≠1). (1)求实数b 的值;(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,求实数a 的取值范围.单元质检卷二 函数与基本初等函数1.A 解析:由x+a ≠0得x ≠-a ,因此a=-2,所以f (x )=-2-4x -2,由于4x -2≠0,因此-2-4x -2≠-2,即函数f (x )的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A .2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log 26,b=log 36,因此1a =log 62,1b =log 63,则1a +1b =1,于是1a 2+1ab +1b =1a 1a+1b +1b =1a +1b =1,故选A . 3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x 1=2,x 2=1,故零点之和等于3.4.C 解析:若f (x )是R 上周期为5的奇函数,则f (-x )=-f (x ),f (x+5)=f (x ),所以f (-12)=-f (12)=-f (2)=-2,f (4)=f (-1)=-f (1)=-1,所以f (-12)-f (4)=-2-(-1)=-1,故选C .5.C 解析:由f (-x )=ln |-x|+e -x+e-(-x )=ln |x|+e x +e -x =f (x )且f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f (x )为偶函数,所以当x>0时,f (x )=ln x+e x +e -x ,则f'(x )=1x +e 2x -1e x>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f -13=f13,而14<13<12,故f14<f -13<f12,故选C .6.D 解析:函数f (x )=x 2-2ax+a=(x-a )2-a 2+a ,当a ≤0时,函数在区间[0,3]上单调递增,函数的最小值f (0)=a=-2,符合题意;当0<a<3时,函数在区间[0,3]上的最小值f (a )=-a 2+a=-2,解得a=-1(舍)或a=2,所以a=2;当a ≥3时,函数在区间[0,3]上单调递减,函数的最小值f (3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不合题意,综上可知a=±2,故选D .7.C 解析:由题意知f (x )关于直线x=2对称,而f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,且f (0)=f (4)=-1,f (2)=1,所以在[0,4]上函数f (x ),f (4-x )及y=-1的图象如图.将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域,可得到由x 轴,y 轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C .8.A 解析:f (x )的定义域为(2,4).对于A,因为f (x+3)=ln(x+1)+ln(1-x )=f (3-x ),所以f (x )的图象关于x=3对称,因此A 选项正确;对于B,由A 知f (x+3)≠-f (3-x ),所以f (x )的图象不关于点(3,0)对称,因此B 选项错误;对于C,f (x )=ln(x-2)+ln(4-x )=ln(-x 2+6x-8),函数y=-x 2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f (x )在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C 选项,D 选项错误,故选A .9.B 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln 1|-x|=ln 1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-ln x ,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2|-x|=2|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2x ,函数单调递增,不满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选B .10.B 解析:由题意,f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|={5+2x -x 2,-1≤x ≤3,|x -1|,x <−1或x >3,作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f (x )的图象关于直线x=1对称,故A 正确;函数f (x )的图象与直线y=5有四个公共点,故B 错误;函数f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C 正确;函数f (x )的最小值是2,故D 正确,故选B .11.C 解析:由图可得a 1=2,即a=2,y=a -x=12x单调递减且过点(-1,2),故A 正确;y=x -a =x -2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确;y=a |x|=2|x|={2x ,x ≥0,2-x ,x <0为偶函数,结合指数函数图象可知不符合题意,故C 错误;y=|log a x|=|log 2x|,根据“上不动、下翻上”可知D 正确,故选C .12.D 解析:对于选项A,因为sin πx ∈[-1,1],x 2-x+1=x-122+34≥34,所以f (x )=sin πx x 2-x+1≤134=43,故A 正确;对于选项B,由于f(x)x=sin πx πx·π(x -12) 2+34≤43π<5,所以|f (x )|≤5|x|,故B 正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sin πx 的对称轴,也是曲线y=x 2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f (x )的对称轴,故C 正确;对于选项D,因为f (a-x )+f (a+x )不可能为常数,所以曲线y=f (x )不存在对称中心,即D 错误,故选D .13.-1,1(答案不唯一) 解析:当a x >a y ,a<0时,可得1x <1y ,①当x ,y 同号时,可得x>y ;②当x ,y 异号时,y>0>x ,故取整数x ,y 满足y>0>x 即可.14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a 0-2=-1,即f (-5)=-1,故函数图象恒过定点(-5,-1),即点P 的坐标为(-5,-1).15.12 解析:设f (x )=21−x ,g (x )=4sin πx ,当x ≠1时,f (2-x )=21−(2−x)=2x -1=-f (x ),即f (2-x )+f (x )=0,所以函数f (x )=21−x 的图象关于点(1,0)中心对称,g (2-x )=4sin[π(2-x )]=4sin(2π-πx )=-4sin πx=-g (x ),即g (2-x )+g (x )=0,所以,函数g (x )=4sin πx 的图象也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21−x与函数y=4sin πx (-4≤x ≤6)的图象如图:由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.16.43 解析:∀x 1∈[1,3],∃x 2∈[1,3],使得f (x 1)f (x 2)=g (x 1)g (x 2)成立,即为g(x 1)f(x 1)=f(x 2)g(x 2),即ax 1-1=1ax 2-1成立.由于a>1,可得ax 1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax 2-1在[1,3]上的值域为13a -1,1a -1,由题意可得在[1,3]内,ax 1-1的值域为1ax 2-1的值域的子集,因此13a -1≤a-1<3a-1≤1a -1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去. 当m=0时,f (x )=x 2在(0,+∞)上单调递增,满足题意. 故m 的值为0.(2)由(1)知f (x )=x 2,在区间[1,2]上,f (x ),g (x )均单调递增, 所以A=[1,4],B=[2-k ,4-k ], 因为A ∪B=A ,得到B ⊆A , 所以{2−k ≥1,4−k ≤4,解得0≤k ≤1.故实数k 的取值范围为[0,1].18.解(1)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)单调递减,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a 单调递减.所以要使函数f (x )在定义域上是单调函数,应满足lo g 14(1+3)≥121+a ,即a+12≤-1,解得a ≤-32.故实数a 的取值范围是-∞,-32.(2)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)∈[-1,+∞),当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a ∈a ,a+12,由于函数f (x )的值域为[-1,+∞),所以a ,a+12⊆[-1,+∞), 因此a ≥-1,即实数a 的取值范围是[-1,+∞). 19.解由于f (x )=|x+2c|={x +2c,x ≥−2c,-x -2c,x <−2c,所以f (x )的单调递增区间是[-2c ,+∞).又因为f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c ≤-1, 解得c ≥12.即命题p 为真命题时,c 的取值范围是12,+∞.(1)当a=2时,g (x )=cxx 2+1-2有零点,所以方程cxx 2+1-2=0有实数根,即2x 2-cx+2=0有实数根,因此c 2-16≥0,解得c ≥4或c ≤-4.即命题q 为真命题时c 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 故当命题p 和q 均为真命题时,应有{c ≥12,c ≥4或c ≤−4,即c ≥4.故实数c 的取值范围是[4,+∞).(2)函数g (x )=cx x 2+1-a 有零点,则方程cxx 2+1-a=0有实数根, 即ax 2-cx+a=0有实数根,所以c 2-4a 2≥0,解得c ≥2a 或c ≤-2a. 由于“p 为真命题”是“q 为真命题”的充分不必要条件, 所以12>2a , 解得0<a<14.故实数a 的取值范围是0,14.20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0, 又因为x>1且b>1,解得x>b,所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).令t=x+bx-b(x>b),则f=log a t.因为t=x+bx-b =1+2bx-b,所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;又因为a>1,所以f=log a t在(0,+∞)上单调递增,故f=log a x+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15−b,所以3.15+b3.15−b =2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.故该地区的最低保障收入系数为1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),即1<log a x+bx-b<2.又因为a>1,所以a<x+bx-b<a2,即a-1<2bx-b<a2-1.又因为x>b,a>1,所以1a2-1<x-b2b<1a-1,解得a 2b+ba2-1<x<ab+ba-1.即该地区收入均值系数x的取值范围是a 2b+ba2-1,ab+ba-1.21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x ∈[0,2],则f (x )=-(x-1)(x-2)=-x-322+14, 所以f (x )max =f 32=14. 若x ∈2,52,则f (x )=(x-1)(x-2)=x-322-14,f (x )在区间内单调递增,所以f (x )max =f 52=34.综上f (x )在0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g (x )=x|x-a|-(x-a )-m=0.所以x|x-a|-(x-a )=m 在a ∈(-1,2]上有三个根, 即h (x )={x 2-(a +1)x +a,x ≥a,-x 2+(a -1)x +a,x <a 与y=m 有三个交点.当-1<a<1时,h (x )在-∞,a -12,a+12,+∞上单调递增,在a -12,a+12上单调递减,此时,h a+12<m<h a -12,可得-(a -1)24<m<(a+1)24,故-1<m<1;当1≤a ≤2时,h (x )在-∞,a -12,(a ,+∞)上单调递增,在a -12,a 上单调递减,此时,0<m<h a -12,可得0<m<(a+1)24∈1,94,故0<m<94.综上,实数m 的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f (x )为偶函数,所以∀x ∈R ,有f (-x )=f (x ). 即log a (a -x+1)-bx=log a (a x+1)+bx 在R 上恒成立.所以log a (a -x +1)-log a (a x+1)=2bx 在R 上恒成立.所以2bx=-x ,故b=-12.(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,所以log a (a x+1)-x=a 有解,即log a 1+1a x =a 有解.令p (x )=log a 1+1a x ,则函数y=p (x )图象与直线y=a 有交点.当0<a<1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x<0,所以log a1+1a x=a无解.当a>1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x>0,由log a1+1a x=a有解可知a>0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+∞).。
北师大版数学选修23练习12排列含答案
第一章§2一、选择题1．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种[答案] C[解析] 本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有A14A55＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于( )A．1543 B．2543C．3542 D．4532[答案] C[解析] 容易得到千位为1时组成四位数的个数为A34＝24，则千位为2,3,4,5时均有四位数24个，由于24×3＝72，四位数由小到大排列，可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3542，故选C.3．(2014·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析] 采用插空法．任两人隔1椅，共有2A33＝12，有两个隔2椅，共有A22·A33＝12，共有12＋12＝24(种)方法．二、填空题4．2014年南京青奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．[答案] 96[解析] 先安排最后一棒，有A12种方案；再安排第一棒，有A12种方案；最后安排中间四棒，有A44种方案．所以不同的传递方案共有A12·A12·A44＝96种．5．(2013·北京理，12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．[答案] 96[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96种．三、解答题6．书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原有顺序，问有多少种不同插法？[解析] 解法一：9本书按一定顺序排在一层，考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了A66次．所以有A99÷A66＝504(种)．解法二：把书架上的这一层欲排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入．则A39＝504(种)．解法三将新买来的3本书逐一插进去．空档中选1个，有7种选法，第2本书可从现在的7本书的8个空档中选1个，有8种选法，最后1本可从现在的8本书9个空档中选1个有9种选法；3本书都插进去，这件事才算做完，根据乘法原理，共有7×8×9＝504(种)不同的插入方法.一、选择题1．(2014·郑州网校期中联考)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析] 先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案，A14·A35＝240种．2．在由数字1,2,3,4,5组成的没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有( )A．56个B．57个C．58个D．60个[答案] C[解析] 首位为3时，有A44＝24；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5，千位4或5时，A12A33＝12；首位为4时，千位为1或2，则A12A33＝12，千位为3，则有A12A22＋1＝5，∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58.3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种[答案] B[解析] 分两类解决：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法．第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法．所以节目演出顺序的编排方案共有24＋18＝42种．4．(2012·全国大纲理，11)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种[答案] A[解析] 本题考查了分步计数原理的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有C13＝3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种．故选A.解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算．5．(2014·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种B．216种C．240种D．288种[答案] B[解析] 分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．解决排列问题，当有限制条件的问题要注意分类讨论，做到不重、不漏．二、填空题6．(2014·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．[答案] 36种[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A 44＝48种，其中甲乙相邻，且甲丁相邻的只能是甲乙丁看作一个整体，甲中间，有A 22A 33＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．7．(1)若A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝________； (2)若A 5n ＋A 4nA 3n＝4，则n ＝________.[答案] (1)7 (2)5[解析] (1)将A 2n ＝7A 2n －4按排列数公式展开得n (n －1)＝7(n －4)(n －5)(n ≥6，n 为正整数)，解得n ＝7.(2)将A 5n ＋A 4nA 3n＝4改写为阶乘形式为n ！n －5！＋n ！n －4！n ！n －3！＝n －3！n －5！＋n －3！n －4！＝(n －3)(n －4)＋(n －3)＝4(n ≥5，n 为正整数)，解得n ＝5.三、解答题8．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数：(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．[分析] 这是排列和体育项目的综合题目，应在理解4×100米接力方式的同时，合理运用排列知识确定安排的方法．[解析] (1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A25种方法，再从所有余下5人中安排首、末棒有A25种方法，故符合要求的共有A25·A25＝400(种)方法．(2)从7人中选4人安排到各接力区有A47种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的种数为A25·A22.即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A47－A25·A22＝800(种)方法．[点评] 本题主要考查了体育中4×100米接力的要求和排列知识，考查了应用数学知识的能力，解决此类问题的关键在于从题目情景中提炼出“序”的实质．9．由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不等于5的倍数的数有多少个？[分析] 依题意，有两个特殊元素，即数字“0”和“5”，不能放入两个特殊的盒子，即“首位”和“个位”，解题的基本策略有3种：(1)以元素即数字为主，先排特殊元素再排其他元素；(2)可以以盒子即数位为主，先排特殊位置，再排其他位置；(3)将全排列数减去不符合要求的数的个数．[解析] 解法一：因为0和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个位置上有A24种排法，再排其他4个数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法二：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A24种排法，再排中间4位数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法三：六个数字的全排列共有A66个，其中有0排在首位或个位上的有2A55个，还有5排在首位或个位上的也有2A55个，它们都不合要求应减去，但这种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A44种，所以有A66－4A55＋2A44＝288个符合要求的六位数．10．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？[分析] 第一问隐含的限制条件是a≠0，可转化为由0,1,3,5,7排成没有重复数字的三位数．第二问的限制条件等价于Δ≥0，即受不等式b2－4ac≥0的制约，需分类讨论．[解析] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b、c，有A24种，∴由分步乘法计数原理知，组成一元二次方程共有A14·A24＝48(个)．方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A24个；当c≠0时，分析判别式知，b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A22种．此时共有A22＋2A22个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A24＋A22＋2A22＝18(个)．[点评] 对于这类由数字组成方程(或函数或不等式)个数、直线、二次曲线条数等实际问题，可以转化为排数问题求解，但要搞清哪些是特殊元素(或位置)，再根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．。
北师大版高三数学题及答案
1.高三质量检测数学题（卷）实验中学：高小奇考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
所有答案直接写在答题纸上，写在试卷上无效。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷一、选择题（本题共有10个小题，每小题5分，满分50分；每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．已知集合M={y ∣y=x 2-2}，N ={x ∣y= x 2-2}，则有 （ ）A ．MN = B ．φ=N C M R IC ． φ=M C N R ID ．φ=M NI2．若3z 3i i ⋅（=-，则复数z 对应的点在复平面内的 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(理)已知直二面角l αβ--，直线a α⊂，直线b β⊂，且a 、b 与l 均不垂直，那么 （ ）A ．a 与b 可以垂直，但不可以平行B ．a 与b 可以垂直，也可以平行C ．a 与b 不可以垂直，也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直，但可以平行（文）对于平面α和两条不同的直线m,n ，下列命题中真命题是 （ ） A ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//,n α则//m nD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n4．已知a r 、b r 均为非零向量，命题p ：a b ⋅r r ＞0，命题q ：a r 与b r的夹角为锐角，则p 是q 成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数xx x f 2ln )(-=零点所在的大致区间是 （ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4）和 （1，e ）D ．（e ，+∞）6．(理)已知等差数列24147{},30,39,n n n a n S a a a a a S +=-++=-的前项和为且则使得达到最小值的n 是 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．11(文)等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是： （ ） A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 487．函数44()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数8．某几何体的三视图如下图，它的表面积为 （ ）A ．2B ．53C．9+D．10+9．阅读下面的程序框图，输出的结果为 （ ） A ．2B ．19C ．10D ．310.人们通过研究发现1，3，6，10，。
北师大版高中数学必修三单元测试题及答案全套
北师大版高中数学必修三单元测试题及答案全套阶段质量检测（一）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40B．30 C．20 D．122．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是()A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为() A．10组B．9组C．8组D．7组4．(陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12 C．13 D．145．某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为() A．80 B．40 C．60 D．206．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[60,70)的汽车辆数为()A．8 B．80 C．65 D．707．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归方程为()A．y＝1.23x＋4B．y＝1.23x＋5C．y＝1.23x＋0.08D．y＝0.08x＋1.238．某班的数学考试成绩的平均分为70分，方差为s2.后来发现成绩记录有误，同学甲得80分却误记为50分，同学乙得70分却误记为100分，更正后计算得方差为s21，则s2与s21的大小关系是() A．s2>s21B．s2＝s21C．s2<s21D．无法判断9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如图的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是()A．X甲<X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定D．X甲<X乙；甲比乙成绩稳定10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地：总体平均值为3，中位数为4B．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体平均值为2，总体方差为3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11．某社区对居民进行2013辽宁全运会知晓情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1 600人、1 400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是________．12．13．从某小区抽取10050至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．14.甲、乙两位同学某学科连续五次考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均数较高的是______，成绩较为稳定的是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)某车间有189名职工，现要按1∶21的比例选质量检查员，采用系统抽样的方式进行，写出抽样过程．16．(12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20乙：8,14,13,10,12,21.(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况． 17．(12分)为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下：[157,161)3人； [161,165)4人； [165,169)12人； [169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计总体在[165,177)间的比例．18．(14分)某学校高一(3)单位：分)统计如下：(1)(2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学中，哪位同学成绩较好； (3)又知同班同学丙的最近5分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩谁好谁坏，并说明理由．答 案1. 解析：选B 系统抽样也叫间隔抽样，抽多少个就分成多少组，总数÷组数＝间隔数，即k ＝1 20040＝30.2. 解析：选D 由抽样方法的概念知选D.3. 解析：选B 根据列频率分布表的步骤，极差组距＝140－5110＝8.9，所以分9组．4. 解析：选B 依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.5. 解析：选B 应抽取三年级的学生人数为200×210＝40.6. 解析：选B 时速在[60,70)的汽车频率为0.04×10＝0.4，时速在[60,70)的汽车大约有200×0.4＝80(辆)．7. 解析：选C 回归直线的斜率就是b ，则回归方程为y ＝1.23x ＋a ，将(4,5)代入方程得a ＝0.08.8. 解析：选A 根据方差的计算公式，s 2的算式中含有(50－70)2＋(100－70)2，s 21的算式中含有(80－70)2＋(70－70)2，而两算式的其他部分完全相同，故易知s 2>s 21.9. 解析：选A ∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， ∴X 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，X 乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X 甲<X 乙．从茎叶图中数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均数附近，这说明乙比甲成绩稳定． 10. 解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.11. 解析：抽取的比例为k ＝701 400＝120，故在中年人中应该抽取的人数为1 600×120＝80. 答案：8012. 解析：设回归方程为y ＝6.5x ＋a . 由已知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5.y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.∴a ＝y －－6.5x －＝50－6.5×5＝17.5. ∴y ＝6.5x ＋17.5. 答案：y ＝6.5x ＋17.513. 解析：(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.004 4；(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70. 答案：0.004 4 7014. 解析：甲的平均分为x －＝68＋69＋70＋71＋725＝70，乙的平均分为y －＝63＋68＋69＋69＋715＝68；甲的方差为：s 21＝(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)25＝2，同理乙的方差为s 22＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．答案：甲 甲15. 解：以随机方式对189名职工编号(比如可直接采用工资表上号码编号)，设其分别为1,2,3…，189， 由已知样本容量是总体个数的121，故样本容量为189×121＝9(个)，将1,2,3，…，189编9段，每段21个号．如1～21为第一段，22～42为第二段，…，169～189为第九段，在第一段1～21个号码中随机抽样产生一个号码，如设为l ，则l ，l ＋21，l ＋42，…，l ＋168就是所产生的9个样本号码，对应的就是质量检查员．16. 解：(1)茎叶图如图所示：(2)x －甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，x －乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，s 2甲≈13.67，s 2乙≈16.67.因为x －甲<x －乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲<s 2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐．17. 解：(1)列出频率分布表：(2)画出频率分布直方图如图：(3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74， 所以总体在[165,177)间的比例为74%.18. 解：(1)平均分：x －甲＝15×(65＋98＋94＋98＋95)＝90，x －乙＝15×(62＋98＋99＋100＋71)＝86.甲的中位数是95，乙的中位数是98.(2)从平均分看，甲的平均分高，甲的成绩较好；从中位数看，乙的中位数大，乙的成绩较好． (3)x －丙＝15×(80＋90＋86＋99＋95)＝90，丙的中位数为90.s 2丙＝15×[(80－90)2＋(90－90)2＋(86－90)2＋(99－90)2＋(95－90)2]＝44.4； s 2甲＝15×[(65－90)2＋(98－90)2＋(94－90)2＋(98－90)2＋(95－90)2]＝158.8. 由于两人的平均分相同，所以从平均分看，甲、丙成绩同样好；从中位数看，甲的中位数高，甲的成绩好；从方差看，丙的方差小，丙的成绩较稳定，所以丙的成绩好．阶段质量检测（二）(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面的叙述中，不是解决问题的算法的是( ) A ．从北京到海南岛旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B ．按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100C ．方程x 2－4＝0有两个实根D ．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15 2．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( ) A ．这个算法可以求所有的零点B．这个算法可以求任何方程的零点C．这个算法能求所有零点的近似解D．这个算法可以求变号零点近似解3．下列程序中的For语句终止循环时，S等于()S＝0For M＝1To10S＝S＋MNext输出SA．1 B．5 C．10 D．554．运行以下程序时，执行循环体的次数是()i＝1Doi＝i＋1i＝i*iLoop While i<10输出i.A．2 B．10 C．11 D．85．当a＝1，b＝3时，执行完下面的语句后x的值是()If a＜b Thenx＝a＋bElsex＝a－bEnd If输出x.A．1 B．3 C．4 D．－26．(福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10 C．0 D．－27．如图给出的是计算1＋2＋4＋…＋219的值的一个算法框图，则其中判断框内应填入的是()A ．i ＝19B ．i ≥20C ．i ≤19D ．i ≤208．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤－1，0， －1＜x ≤2，x 2， x ＞2的值的算法框图，则在①、②和③处应分别填入的是( )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－xD ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2 9．当a ＝16时，下面的算法输出的结果是( ) If a ＜10 Then y ＝2*a Else y =a *a End If 输出 y .A.9B.32C.10D.25610．(重庆高考)执行如下图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．下列程序运行后输出的结果为________．x＝5y＝－20If x＜0Thenx＝y－3Elsey＝y＋3End If输出x－y，y－x12．下面的程序运行后输出的结果是________．x＝1i＝1Dox＝x＋1i＝i＋1Loop While i<＝5输出x.13．已知函数f(x)＝|x－3|，下面算法框图表示的是输入x的值，求其相应函数值的算法，请将该算法框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．14．(湖南高考)如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如果直线l与直线l1：x＋y－1＝0关于y轴对称，设计求直线l的方程的算法．16．(12分)求两底半径分别为6和9，高为14的圆台的表面积，写出该问题的算法．17．(12分)根据下列算法语句画出相应的框图．S＝1n＝1DoS＝S*nn＝n＋1Loop While S<1 000输出n.18．(14分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出算法，画出算法框图，写出程序．答案1. 解析：选C 算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，C只描述了事实，没有解决问题的步骤．2.解析：选D 二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．3.解析：选D S＝0＋1＋2＋3＋…＋10＝55.4.解析：选A 第一次执行循环体：i＝1，i＝i＋1＝2，i＝i*i＝4，i＝4<10，成立第二次执行循环体：i＝4，i＝i＋1＝5i＝i*i＝25i＝25<10，不成立，退出循环体，共执行了2次．5. 解析：选C ∵1＜3，满足a ＜b ，∴x ＝1＋3＝4.6. 解析：选A 由程序框图可知，当k ＝1时，1<4，s ＝1，k ＝2；当k ＝2时，2<4，s ＝0，k ＝3；当k ＝3时，3<4，s ＝－3，k ＝4；当k ＝4时不满足条件，则输出s ＝－3.7. 解析：选B 计算S ＝1＋2＋4＋…＋219的值使用的是循环结构，当i ≥20时退出循环体，输出S . 8. 解析：选B 当x ＞－1不成立时，y ＝－x ，故①处应填“y ＝－x ”；当x ＞－1成立时，若x ＞2，则y ＝x 2，即②处应填“y ＝x 2”，否则y ＝0，即③处应填“y ＝0”．9. 解析：选D 该程序是求分段函数y ＝⎩⎨⎧2a a ＜10，a 2a ≥10.的函数值．10. 解析：选C 第一次运行得s ＝1＋(1－1)2＝1，k ＝2；第二次运行得s ＝1＋(2－1)2＝2，k ＝3；第三次运行得s ＝2＋(3－1)2＝6，k ＝4；第四次运行得s ＝6＋(4－1)2＝15，k ＝5；第五次运行 得s ＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k 的值是5.11. 解析：当x ＝5时，y ＝－20＋3＝－17所以最后输出的x －y ＝5－(－17)＝22，y －x ＝－17－5＝－22. 答案：22，－2212. 解析：每循环一次时，x 与i 均增加1，直到i >5时为止，所以输出结果为6. 答案：613. 解析：f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x <3.观察算法框图可知，当条件成立时，有y ＝3－x ，所以①处应填x <3.当条件不成立即x ≥3时，有y ＝x －3，所以②处应填y ＝x －3.答案：x <3 y ＝x －314. 解析：执行程序，i ，x 的取值依次为i ＝1，x ＝3.5；i ＝2，x ＝2.5；i ＝3，x ＝1.5；i ＝4，x ＝0.5；结束循环，输出i 的值为4.答案：415. 解：第一步，在l 上任取一点P (x ，y )． 第二步，写出P (x ，y )关于y 轴的对称点P 1(－x ，y )．第三步，由P 1(－x ，y )在直线l 1：x ＋y －1＝0上，知P 1的坐标适合l 1的方程，即－x ＋y －1＝0. 第四步，化简，得l 的方程为x －y ＋1＝0.16. 解：算法如下：1．令r 1＝6，r 2＝9，h ＝14(如图)．2．计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2.3．计算S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l .4．输出运算结果S 表． 17. 解：框图如下所示：18. 解：函数关系式如下y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， (0≤x ≤4)，8， (4＜x ≤8)，2(12－x )， (8＜x ≤12).算法如下： 1．输入x .2．如果0≤x ≤4，则使y ＝2x ；否则执行3. 3．如果4＜x ≤8，则使y ＝8；否则执行4. 4．如果8＜x ≤12，则使y ＝2(12－x )；否则结束． 5．输出y .算法框图如图所示：算法语句如下：输入x；If x＞＝0and x＜＝4Theny＝2*xElseIf x<=8 Theny=8ElseIf x<=12 Theny=2*（12-x）End IfEnd IfEnd If输出y.阶段质量检测（三）(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是()A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( ) A.310 B.112 C.4564 D.384．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.685．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( ) A.13 B.14 C.16 D.1126．(北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π47．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.598．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 9．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离正方形的中心不超过1 cm 的概率． 其中是几何概型的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.12．在区间[0,4]上任取一实数a，使方程x2＋2x＋a＝0有实根的概率是________．13．(福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．14．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(1)(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．16．(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．17．(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩((1)求a，b，c，d(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．18．(14分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．答 案1. 解析：选B 由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件．2. 解析：选C 由频率与概率关系知C 正确．3. 解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }．4. 解析：选C 其中质量小于4.85 g 包括质量小于4.8 g 和质量在[4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.32－0.3＝0.02.5. 解析：选D 由题意知(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为336＝112.6. 解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P ＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.7. 解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P ＝29.8. 解析：选B 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.9. 解析：选C ①是，因为区间[－10,10]内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；②是，因为区间[－10,10]和[－1,1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；③不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；④是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)．10. 解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.11. 解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH 的面积为(2)2＝2.又圆的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π12. 解析：当4－4a ≥0即a ≤1时方程有实根，故所求的概率为P ＝14.答案：1413. 解析：因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：2314. 解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (C )＝0.1，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.8， ∴P ＝1－0.8＝0.2. 答案：0.7 0.215. 解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80～71)，[70～61)内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.16. 解：记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2 3.∴P (A )＝34×(23)234×(43)2＝14.17. 解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310.18. 解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①设一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．所以P (B )＝615＝25.。
北京师范大学附属中学2025届数学高三第一学期期末考试试题含解析
北京师范大学附属中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+2．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．3．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π4．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C 10D ．25．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．26．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19258．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=9．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ）A B ．2C D ．210．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<11．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．7212．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京师范大学附属高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析
北京师范大学附属高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题中正确的是（）（A）若为真命题，则为真命题( B ) “，”是“”的充分必要条件(C) 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”(D) 命题，使得，则，使得参考答案：D对选项A，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，故选项A错误；对于选项B，的充分必要条件是同号，故选项B错误；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C 错误；故选D．2. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（）A． B． C． D．参考答案：D3. 则 ( )A．<< B．<< C． D．<<参考答案：C 4. 定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为()A．9 B．14 C．18 D．21参考答案：B5. 若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为A．B．C．D．参考答案：D6. 已知集合，，则A. B. C. D.参考答案：D略7. 程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入( )A．K＜10? B．K≤10? C．K＜9? D．K≤11?参考答案：A8. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，利用函数零点的定义进行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，当x≥0时，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，当x＜0时，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函数g（x）=f（x）+1的零点个数是2个，故选：B．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．9. 数列满足，并且，则数列的第2012项为(A) (B) (C) (D)参考答案：C10. 设向量,满足，，则=( )A.1B.2C.3D.5参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知全集，，如果，则．参考答案：212. 图中是一个算法流程图，则输出的n=________.参考答案：1113. （5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲．参考答案：。
2025届北京市北京师范大学附属中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届北京市北京师范大学附属中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ． 42．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．014．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b +的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．15．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈，则λ＋μ的值为（ ）A ．65B ．85C ．2D ．837．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-8．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->9．已知(1,2)a =，(,3)b m m =+，(2,1)c m =--，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．7-B ．3-C ．3D ．710．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C．2D．412．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24eD ．21e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新北师大版高中数学必修三测试题全套及答案
最新北师大版高中数学必修三测试题全套及答案章末综合测评(一)统计(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量【解析】每个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．【答案】 C2．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40B．30C．20D．12【解析】系统抽样也叫间隔抽样，抽多少就分成多少组，总数除以组数＝间隔数，即k＝1 20040＝30.【答案】 B3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组【解析】根据频率分布表的步骤，极差组距＝140－5110＝8.9，所以分成9组．【答案】 B4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12C．13 D．14【解析】依据系统抽样的特点分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽一个，则抽到的人数为12.【答案】 B5．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图1所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是()图1A．63 B．64C．65 D．66【解析】由茎叶图知甲比赛得分的中位数为36，乙比赛得分的中位数为27，故甲、乙两人得分的中位数之和为27＋36＝63.【答案】 A6．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1 B．2C．3 D．4【解析】因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确，故选D.【答案】 D7．某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，根据学号(001～056)，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知007号、021号、049号在样本中，那么样本中还有一个学生的学号为()A．014 B．028C．035 D．042【解析】由系统抽样的原理知，抽样的间隔为564＝14，故第一组的学号为001～014，所以007为第一组内抽取的学号，所以第二组抽取的学号为021；第三组抽取的学号为035；第四组抽取的学号为049.故选C.【答案】 C8．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001,002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是()844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．169 B．556C．671 D．105【解析】找到第8行第8列的数8，并开始向右读，每次读取三位，凡不在001～800中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的4件产品的编号依次是169,556,671,105.故抽取的第4件产品的编号是105.【答案】 D9．对具有线性相关关系的变量x，Y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是：y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则a＝()A.116 B.18C.14D.1116【解析】 因为x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝3，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝6， 所以x ＝38，y ＝34，所以样本中心点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，34，代入回归直线方程得34＝16×38＋a ，所以a ＝1116. 【答案】 D10．(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32【解析】 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.【答案】 C11．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 【答案】 B12．(2016·日照高一检测)样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定【解析】 由题意知，样本(x 1，…，x n ，y 1，…，y m )的平均数为z ＝nx ＋my m ＋n＝nn ＋m x ＋m n ＋m y ，且z ＝ax ＋(1－a )y ，所以a ＝n n ＋m ，1－a ＝m n ＋m .又因为0<a <12，所以0<n n ＋m<12，解得n <m . 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2015·江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为______． 【解析】 x －＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.【答案】 614．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)：【解析】 由题意，需比较s 2甲与s 2乙的大小．由于x 甲＝x 乙＝10，s 2甲＝0.02，s 2乙＝0.244，则s 2甲＜s 2乙，因此甲产量比较稳定． 【答案】 甲15．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图2所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．图2【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.【答案】(1)3(2)6 00016．(2016·潍坊高一检测)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，图3是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．图3【解析】因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×350.24∶0.36＝2∶3，所以第三组有12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.【答案】 12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高中三年级有503名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶10的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出抽样过程．【解】 (1)用简单随机抽样法从503名学生中剔除3名学生． (2)采用随机的方式将500名学生编号为1,2,3，…，500. (3)确定分段间隔，样本容量为500×110＝50， 分段间隔k ＝50050＝10，即将500名学生分成50部分，其中每一部分包括10名学生，即把1,2,3，…，500均分成50段．(4)在第一段用简单随机抽样法确定起始的个体编号l ，例如，l ＝8.(5)按照事先确定的规则抽取样本：从8号起，每隔10个抽取1个号码，这样得到一个容量为50的样本：8,18,28,38，…，488,498.编号为8,18,28，…，488,498的学生便作为抽取的一个样本参与试验．18．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2； 乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？ (2)哪台机床的生产状况比较稳定？ 【解】 (1)x甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x甲＞x乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s2甲＝110[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s2乙＝0.76，∵s2甲＞s2乙，∴乙车床的生产状况比较稳定．19．(本小题满分12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图4)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图4(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．【解】(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，∴x＝50.即参加这次测试的学生有50人．(3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，∴估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.20．(本小题满分12分)为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下：[157,161)3人；[161,165)4人；[165,169)12人；[169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计总体在[165,177)间的比例．【解】(1)列出频率分布表：分组频数频率频率组距[157,161)30.060.015[161,165)40.080.02[165,169)120.240.06[169,173)130.260.065[173,177)120.240.06[177,181]60.120.03合计50 1.00(2)画出频率分布直方图如图：(3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74，所以估计总体在[165,177)间的比例为74%.21．(本小题满分12分)(2014·全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门3 5 9440 4 4 89 75 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 99 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4 6 8 89 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 96 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 56 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6100 0 0(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解】(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图6.图6(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【解】(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝1 5，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．章末综合测评(二)算法初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面的叙述中，不是解决问题的算法的是()A．从北京到海南岛旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B．按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100C．方程x2－4＝0有两个实根D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15【解析】算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，C只是描述了事实，没有解决问题的步骤．【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构()A．顺序结构B．选择结构C．循环结构D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．下列程序中的For语句终止循环时，S等于()S＝0For M＝1To10S＝S＋MNext输出S.A．1B．5C．10D．55【解析】S＝0＋1＋2＋3＋…＋10＝55.【答案】 D4．下列给出的赋值语句中正确的是()A．0＝M B．x＝－xC．B＝A＝－3 D．x＋y＝0【解析】赋值语句不能计算，不能出现两个或两个以上的“＝”且变量在“＝”左边．【答案】 B5．当A＝1时，下列程序输入A；A＝A*2A＝A*3A＝A*4A＝A*5输出A.输出的结果A是()A．5 B．6C．15 D．120【解析】运行A＝A*2得A＝1×2＝2.运行A＝A*3得A＝2×3＝6.运行A＝A*4得A＝6×4＝24.运行A＝A*5得A＝24×5＝120.即A＝120.故选D.【答案】 D6．(2014·福建高考)阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1A．1 B．2C．3 D．4【解析】当n＝1时，21＞12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22＞22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.【答案】 B7．(2016·菏泽高一检测)执行如图2所示的算法框图，输出的S值为()图2A．2 B．4C．8 D．16【解析】运行如下：①k＝0，S＝1；②S＝1×20＝1，k＝1；③S＝1×21＝2，k＝2；④S ＝2×22＝8，k ＝3.此时输出S .【答案】 C8．(2015·福建高考)阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )图3A ．2B ．7C ．8D ．128【解析】 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8. 【答案】 C9．(2016·北京高考)执行如图4所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图4A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a＝－1，k＝1；2第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.【答案】 B10．阅读如图5所示的算法框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()图5A．i≥3 B．i≥4C．i≥5 D．i≥6【解析】此算法框图运行如下：①i＝1，s＝2；②s＝1，i＝3；③s＝－2，i＝5；④s ＝－7，i＝7此时应结束循环．所以i＝5时不满足循环条件，i＝7时满足循环条件．【答案】 D11．当a＝16时，下面的算法输出的结果是()If a＜10 Theny＝2*aElsey＝a *aEnd If输出y.A.9B.32 C ．10D ．256【解析】 该程序是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a (a ＜10)，a 2(a ≥10)的函数值，所以当a ＝16时y ＝162＝256.【答案】 D12．阅读如图6所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝( )图6A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 m ＝2，A ＝1，B ＝1，i ＝0. 第一次：i ＝0＋1＝1，A ＝1×2＝2， B ＝1×1＝1，A >B ；第二次：i ＝1＋1＝2，A ＝2×2＝4， B ＝1×2＝2，A >B ；第三次：i ＝2＋1＝3，A ＝4×2＝8， B ＝2×3＝6，A >B ；第四次：i ＝3＋1＝4，A ＝8×2＝16， B ＝6×4＝24，A <B . 终止循环，输出i ＝4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如图7是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.图7【解析】由题意知s＝12＋22＋32＋…＋1002，先计算s＝s＋i2，i再加1，故n＝100.【答案】10014．下面的程序运行后输出的结果是________．x＝1i＝1Dox＝x＋1i＝i＋1Loop While i＜＝5输出x.【解析】每循环一次时，x与i均增加1直到i＞5时为止，所以输出的结果为6.【答案】 615．如图8给出一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为________．图8【解析】这个程序框图对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5.当x ≤2时，由x 2＝x ，得x ＝0或1； 当2＜x ≤5时，由2x －3＝x ，得x ＝3；当x ＞5时，由1x ＝x ，得x ＝±1(舍)，故x ＝0或1或3.【答案】 {0,1,3} 16．已知程序：【解析】 由程序知，当x ＞0时， 3x2＋3＝6.解得x ＝2； 当x ＜0时，－3x 2＋5＝6，解得x ＝－23， 显然x ＝0不成立． 【答案】 2或－23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)下面给出了一个问题的算法： 1．输入x .2．若x ≥4，则y ＝2x －1；否则，y ＝x 2－2x ＋3.3．输出y .问题：(1)这个算法解决的问题是什么？ (2)当输入的x 值为多少时，输出的y 值最小？【解】 (1)这个算法解决的问题是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值．(2)当x ≥4时，y ＝2x －1≥7；当x ＜4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以y min ＝2，此时x ＝1.即当输入的x 值为1时，输出的y 值最小．18．(本小题满分12分)将某科成绩分为3个等级：85分～100分为“A”；60分～84分为“B”；60分以下为“C”．试用条件语句表示某个成绩等级的程序(分数为整数)．【解】 程序：19．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜0，1，x ＝0，x 2＋1，x ＞0.画出算法框图并编写算法语句，输入自变量x 的值，输出相应的函数值． 【解】 算法框图如图所示：算法语句如下：输入x；If x＜0 Theny＝2*x＋1ElseIf x＝0 Theny＝1Elsey＝x2＋1End IfEnd If输出y.20．(本小题满分12分)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了解决该问题的算法框图(如图9所示)，图9(1)请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据算法框图写出算法．【解】 (1)因为是求30个数的和．故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i 的，故应为i ＞30.算法中的变量p 实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i 个数比其前一个数大i －1，第i ＋1个数比其前一个数大i ，故应有p ＝p ＋i .故①处应填p ＝p ＋i ；②处应填i ＞30.(2)根据框图．写出算法如下： i ＝1 p ＝1 S ＝0 Do S ＝S ＋p p ＝p ＋i i ＝i ＋1Loop While i ＜＝30 输出S .21．(本小题满分12分)如图10所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．并写出算法，画出算法框图，写出程序．图10【解】 函数关系如下 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤4)，8(4＜x ≤8)，2(12－x )(8＜x ≤12).算法如下： 1．输入x .2．如果0≤x ≤4，则使y ＝2x ；否则执行3. 3．如果4＜x ≤8，则使y ＝8；否则执行4.4．如果8＜x≤12，则使y＝2(12－x)；否则结束．5．输出y.算法框图如图所示：算法语句：输入x；If x＞＝0And x＜＝4Theny＝2*xElseIf x＜＝8Theny＝8ElseIf x＜＝12Theny＝2*(12－x)End IfEnd IfEnd If输出y.22．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】算法框图如下所示：用语句描述为：n＝0S＝0Don＝n＋1S＝S＋n*(n＋1)Loop While S<1 000输出n－1.章末综合测评(三)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有() A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件．【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mn D.2mn【解析】分别确定n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)和m 个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值．因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.【答案】 C3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A.310 B.112C.4564 D.38【解析】所有子集共8个，其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}，所以概率为38.【答案】 D4．(2016·山东青岛一模)如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()图1A.2－32B.2＋32 C.1＋32D.1－32【解析】 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.【答案】 A5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，其中两数字之和为奇数的有(1,2)，(2,3)，(1,4)，(3,4)，所以概率为23.【答案】 C6．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S3的概率是( ) A.23 B.13 C.34D.14【解析】 如图，设点M 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S3，则点P 只能在AM 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率|AM ||AB |＝23|AB ||AB |＝23.【答案】 A7．(2016·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19 B.29 C.718D.49【解析】 任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①a ＝1，b ＝1,2；②a ＝2，b ＝1,2,3；③a ＝3，b ＝2,3,4；④a ＝4，b ＝3,4,5；⑤a ＝5，b ＝4,5,6；⑥a ＝6，b ＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.【答案】 D8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8【解析】 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2，取到的点到O 的距离大于1的概率为2－π22＝1－π4.【答案】 B9．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512【解析】 若方程有实根，则a 2－8>0.a 的所有取值情况共6种，满足a 2－8>0的有4种情况，故P ＝46＝23.【答案】 A10．(2016·石家庄高一检测)有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是( )A.12B.34C.47D.23【解析】 是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，∴P ＝60＋40－20120＝23.【答案】 D11．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2【解析】 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.【答案】 D12．如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，则∠APB ＞90°的概率为( )图2A.536B.556πC.18πD.18【解析】 由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 为区域Ω.要使得∠APB ＞90°，需满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域A .记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求∠APB ＞90°的概率转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意，得μA ＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π8，矩形ABCD 的面积μΩ＝35，故所求的概率为P (A )＝25π835＝5π56.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________，________.【解析】 由题意知出现一级品的概率是0.98－0.21＝0.77，又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是1－0.98＝0.02.【答案】 0.77 0.0214．如图3的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.图3【解析】 由题意得138300＝S 阴5×2，S 阴＝235.【答案】 23515．在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为________.【解析】 先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个．因为x ＋y 是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10个，故x ＋y 是10的倍数的概率为P ＝10100＝110.【答案】 11016．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【解析】 ∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5－0＝23.【答案】23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．【解】 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.18．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率； (2)求事件“|x －y |＝2”的概率．【解】 设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A 表示事件“x ＋y ≤3”，则A 的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件． ∴P (A )＝336＝112.即事件“x ＋y ≤3”的概率为112. (2)用B 表示事件“|x －y |＝2”，则B 的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)共8个基本事件． ∴P (B )＝836＝29.即事件“|x －y |＝2”的概率为29.19．(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率．【解】 设从甲、乙两个盒子中各取出1个球，编号分别为x ，y ，用(x ，y )表示抽取的结果，结果有以下25种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)．(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，故所求概率为P ＝825，即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为825.(2)标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，故所求概率为P ＝1725，故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是1725.20. (本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b .试就方程组⎩⎨⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解答下列各题： (1)求方程组只有一组解的概率；(2)求方程组只有正数解(x 与y 都为正)的概率．【解】 (1)当且仅当a b ≠12时，方程组只有一组解；a b ＝12的情况有三种：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6.而抛掷两次的所有情况有6×6＝36(种)，所以方程组只有一组解的概率为P ＝1－336＝1112.(2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b .当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＞0，6－2b ＞0，2a －3＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＜0，6－2b ＜0，2a －3＜0，且a ＞0，b ＞0，。
(北师大版)长春市高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(答案解析)
一、选择题1．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种B ．90种C ．120种D ．180种2．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150B ．240C ．360D ．5403．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−804．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．705．二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．306．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．2407．3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数是（ ）A ．351CB ．450C C ．451CD ．447C8．用6个字母,,,,,A B C a b c 编拟某种信号程序（大小写有区别），把这6个字母全部排列如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”的总数为( )A ．144B ．288C ．432D ．5769．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ） A ．116B ．100C ．124D ．9010．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60B ．66C ．72D ．12611．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．12012．41(1)x x++的展开式中常数项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 15．已知522()ax x-的展开式中1x -的系数为40-，则实数a =____ 16．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．17．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x 的组数为_________.18．某班共有40学生．某次考试中，甲、乙、丙3位同学的成绩都在班级前10名．甲的成绩比乙高，乙的成绩比丙高，全班没有并列名次．如果把甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x 、纵坐标y ，那么这样的点坐标(),x y 共有_________个． 19．计算2222223456C C C C C ++++=______. 20．已知2020200020190120192020(2)x a x a x a x a =++++，则()()2202420201352019a a a a a a a a -++++++++的值为________．三、解答题21．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答) （1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？ （2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？ 22．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？()1甲不在中间也不在两端； ()2甲、乙两人必须排在两端； ()3男女相间．23．已知数列{}n a 满足：11a =，2111n n na a a ++-=，*n N ∈.（1）化简：()55501kk k kC a =-∑（结果用5a 表示）.（2）求证：1tan2n n a π+=，*n N ∈. 24．某毕业班级中有6人要拍毕业照留念.（1）若分成两排合影，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法? （2）若排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，有多少种不同的排法? 25．六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？ （1） 甲不站在两端； （2） 甲 ，乙必须相邻； （3）甲 ，乙不相邻. (4) 甲 ，乙之间恰有两人 26．已知数列是等差数列，且，，是展开式的前三项的系数.（1）求的值； （2）求展开式的中间项； （3）当时，用数学归纳法证明：.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可. 【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有2215312215C C C A =种，再将三组分配到3个服务小组，共有221353132290C C C A A ⋅=种， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22A ，故有2215312215C C C A =种，再分配进而解决，是中档题.2．A解析：A 【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．3．D解析：D 【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C rr r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-，故选D .4．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解.【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．D解析：D 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式n的展开式中第13项1210121212313n n n n T C C x --⎛== ⎝， 令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.7．C解析：C 【分析】利用等比数列的求和公式，化简得5133450(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x+-+++++++=，再结合二项式定理，即可求解． 【详解】 由题意，可得3485133450(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x xx⎡⎤++-+-+⎣⎦++++++==， 所以3450(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中3x 的系数就是51(1)x +的展开式中4x 的系数，即为451C ．故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理，以及等比数列的前n 项和公式，考查考生分析问题、解决问题的能力、化归与转化能力、运算求解能力．8．B解析：B 【分析】根据题意，分三步进行分析：（1）先确定排到同一列的上下各位置的一对字母，由分步计数原理可得其放法数目；（2）确定好第一组数据，剩下两组数据对应四个表格，分析方法（1），则可确定第二组字母的放法数目；（3）剩最后一组字母放入最后两个位置，由排列公式即可得其放法数目.最后由分步计数原理计算即可得出答案. 【详解】根据题意分析，分三步进行：（1）先选定排列到同一列上下格位置的一对字母，有3种情况，再将其放入表格中，有3种情况，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序； （2）再分析第二对字母，假设（1）中选定的为,A a ，则剩下的两组字母中选一组有2种情况，再将其放入表格中有2种不同结果，再考虑这一对字母的顺序有2种不同的顺序； （3）最后一对字母放入最后两个位置有2种不同的排法. 所以共有3322222288⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个“微错号”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查计数原理，解题的关键是弄清题目中排列的方法.9．B解析：B 【分析】完成这件事情可分2步进行：第一步将5名医学专家分为3组；第二步将分好的3组分别派到三个医疗点，由分步计数原理计算即可得到答案．根据已知条件，完成这件事情可分2步进行： 第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法， 故有101525+=种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A 医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法， 再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法， 则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，同时考查分步计数原理，属于基础题．10．A解析：A 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法. 故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.11．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C.本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.12．B解析：B 【分析】 41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x +=+，(0r =，1，⋯，4)．1()r x x+的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，进而得出．【详解】 解：41(1)x x ++展开式的141()r r r T C x x+=+，(0r =，1，⋯，4)． 1()r x x +的通项公式：211()k r k k k r k k r r T C x C x x--+==，令2r k =，可得：0k =时，0r =；1k =时，2r ，2k =时，4r =．41(1)x x∴++展开式中常数项21424244119C C C C =+⨯+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组分2种情况分类讨论再将分好的三组全排列对应三个学校由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组由两种分组方法若分成3解析：150 【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案； 【详解】 解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法， 则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况， 则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150． 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．15．【分析】利用二项式定理写出二项展开式的通项公式令的幂指数为求出的值利用其系数为得到关于的方程解方程即可求解【详解】由二项式定理可得二项展开式的通项公式为令解得所以的展开式中的系数为解得故答案为：【点 解析：1-【分析】利用二项式定理写出522()ax x-二项展开式的通项公式，令x 的幂指数为1-，求出r 的值，利用其系数为40-得到关于a 的方程，解方程即可求解.【详解】由二项式定理可得，522()ax x-二项展开式的通项公式为()()5553155222rrr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令531r -=-，解得2r ，所以522()ax x-的展开式中1x -的系数为()2235240C a ⋅-⋅=-，解得1a =-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查利用二项式定理由二项展开式中某项的系数求参数；考查运算求解能力；利用二项式定理写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.16．36【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种四个位置有且仅有一种树苗重复有种选法；在四个位置上种植有种方法则由乘法解析：36 【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法， 则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．17．26【分析】满足的所有有序数组分为三个-1一个0两个-1两个0一个-1两个0一个2三个0一个2共四类情况分类求解【详解】所有有序数组中满足的所有有序数组分为三个-1一个0两个-1两个0一个-1两个0解析：26 【分析】满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x ，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况，分类求解. 【详解】{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，所有有序数组()1234,,,x x x x 中， 满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x ，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况， 不同的种数为321234443426C C C C C +++=故答案为：26 【点睛】此题考查计数原理的应用，涉及组合相关知识，关键在于准确进行分类处理.18．120【分析】设丙的成绩排名为则将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数最大那个数为最小那个数为即可【详解】设丙的成绩排名为由题意所求问题相当于从小于等于10的正整数中选取3个数最大那个数解析：120 【分析】设丙的成绩排名为z ，则110x y z ≤<<≤，将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为z ，最小那个数为x 即可. 【详解】设丙的成绩排名为z ，由题意，110x y z ≤<<≤，所求问题相当于从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为z ，最小那个数为x ，则共有3101120C ⋅=种，故甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x 、纵坐标y ，那么这样的点坐标(),x y 共有120个. 故答案为：120 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.19．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11m m mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.20．1【分析】令可得的值令可得的值相乘即可【详解】设令令故答案为:1【点睛】本题考查有关二项展开式项的系数和问题赋值法是解题的关键属于中档题解析：1 【分析】令1x =，可得()()02420201352019a a a a a a a a +++++++++的值，令1x =-，可得()()02420201352019a a a a a a a a ++++-++++的值，相乘即可.【详解】设02420201352019,A a a a a a a B a a +==+++++++，令20201,(1x A B ==+，令20201,(1x A B =-=-，()()2202420201352019a a a a a a a a -++++++++222020()()[(11A B A B A B =-=+-==.故答案为:1 【点睛】本题考查有关二项展开式项的系数和问题，赋值法是解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）24（2）12（3）60 【分析】（1）相邻问题利用捆绑法； （2）若男女相间，则用插空法；（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则利用间接法． 【详解】解：（1）利用捆绑法，可得共有22322324A A A =种不同的排法； （2）利用插空法，可得共有232312A A =种不同的排法； （3）利用间接法，可得共有54135423360A A C A -+=种不同的排法. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，涉及间接法和捆绑，插空等方法的应用，属于中档题．22．()1241920种；()210080种；()32880种. 【分析】()1先排甲，有6种，剩下的8个元素全排列有88A 种，根据分步计数原理得出结果； ()2先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得出结果；()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，再根据分步计数原理得出结果.【详解】解：()1先排甲有6种，其余有88A 种，∴共有886241920A ⋅=种排法．()2先排甲、乙，再排其余7人，共有272710080A A ⋅=种排法．()3先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插在男生形成的5个空上有55A 种方法，故共有45452880A A ⋅=种排法． 【点睛】本题考查排列组合问题，结合元素分析法（优先考虑特殊元素），位置分析法（优先考虑特殊位置），直接法，间接法（排除法），捆绑法，等机会法，插空法等常见的解题思路. 23．（1）()45551a a - （2）见解析【分析】（1）根据组合数公式可得1455k k kC C -=，代入整理即可得到结论；（2）利用数学归纳法证明，分别验证出1n =时成立后，假设()*n k k N =∈时成立，进而根据三角函数运算证得1n k =+时成立，从而得到结论. 【详解】（1）当*k N ∈时，()()()1455!4!55!5!1!41!k k kC k C k k k k -=⋅=⋅=-⎡⎤---⎣⎦，从而()()()()()555111455455455501115151151kkk kk k k k k kCa Ca a C a a a ---===-=⋅-=-⋅-=-∑∑∑.（2）证明：①当1n =时，1tan14a π==，结论成立；②假设当()*n k k N =∈时，1tan2k k a π+=成立；则当1n k =+时，1k ka +=1tan2k +=2222tan21tan 2k k π++=-22tan 2k +=222221tan 1tan 222tan 2k k k πππ+++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2tan 2k π+=，所以，结论对1n k =+时也成立， 由①②得：1tan 2n n a π+=，*n N ∈. 【点睛】本题考查组合数公式的应用、数学归纳法的证明问题；利用数学归纳法证明时需注意，所假设的结论必须在证明时进行应用，属于常考题型. 24．（1）720种（2）192种 【分析】（1）将分排的问题采用直排的方式进行全排列即可得到结果；（2）将甲乙捆绑后，当做一人与除丙外的人进行排序，将丙插空放入，根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】（1）前后两排相当于一排，共有666!720A ==种排法 （2）第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法∴共有：2244192⨯⨯=种排法【点睛】本题考查排列数的应用问题，涉及到分排问题直排法、相邻问题捆绑法、相离问题插空法、分步乘法计数原理的应用. 25．(1)480.(2)240(3)480(4)144. 【解析】 【分析】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，再其余的人任意排，即可求解； （2）把甲、乙看成一个整体，进行全排列，即可求解；（3）先把甲、乙二人单独挑出，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，即可求解；（4）先把甲、乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，最后把排好的这4个人看做一个整体进行排列，即可求解． 【详解】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种，其余的人任意排，方法有1545480A A =（种）；（2）把甲、乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列方法共有2525240A A =（种）；（3）先把甲、乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有4245480A A =（种）；（4）先把甲、乙排好，有22A 种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，方法有24A种.把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有33A种.根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有223243144A A A⋅⋅=（种）；【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类与分步是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．26．（1）（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，得到，，，根据数列是等差数列，列出等式，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定中间项为第5项，进而可求出结果；（3）根据数学归纳法的一般步骤，直接证明即可.【详解】解：（1）展开式的通项为，依题意，，，由可得（舍去）或.（2）所以展开式的中间项是第五项为：.（3）证：由（1），①当时，结论成立；当时，；②设当时，，则时，，由，可知，即.综上①②，当时，成立.【点睛】本题主要考查二项展开式以及数学归纳法，只需熟记二项式定理以及数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.。