初中数学例题：用树状图或表格求概率
北师版九年级初三上册数学《用树状图或表格求概率》同步练习题
3.1 用树状图或表格求概率第1课时 用树状图或表格求概率【基础练习】 一、选择题：同时掷两颗均匀的骰子，下列说法中正确的是（ ）.（1）“两颗的点数都是3”的概率比“两颗的点数都是6”的概率大；（2）“两颗的点数相同”的概率是16 ； （3）“两颗的点数都是1”的概率最大；（4）“两颗的点数之和为奇数”与“两颗的点数之和为偶数”的概率相同.A. (1)、(2)B. (3)、(4)C. (1)、(3)D. (2)、(4)二、填空题：用列表的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.1.从1、2、3、4、5这五个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的四个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是 ；2.有五条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，以这三条线段为边能够成一个三角形的概率是 ；3.现有10个型号相同的杯子，其中一等品7个，二等品2个，三等品1个，从中任取两个杯子都是一等品的概率是 .用画树状图的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.4．在两个布袋中分别装有三个小球，这三个小球的颜色分别为红色、白色、绿色，其他没有区别．把两袋小球都搅匀后，再分别从两袋中各取出一个小球，求取出两个相同颜色．．．．小球的概率是_______.5．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．妞妞和爸爸出相同手势的概率是___________.6．三个袋中各装有2个球，其中第一个袋和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中各摸出一个球，则摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的概率为_________．三、解答题：有两组卡片，第一组卡片共3张，分别写着2、2、3；第二组卡片共5张，分别写着1、2、2、3、3. 试用列表的方法求从每组中各抽取一张卡片，两张都是2的概率.【综合练习】有两个质量均匀、大小相同的正四面体，其中一个的四个面上分别写着数字1、2、3、4，另一个的四个面上分别写着数字5、6、7、8. 将这两个正四面体同时投掷到桌面上，并以它们底面上的数字之和来计分，问：（1）共能组成多少种不同的计分？（2）底面上的数字之和为素数的概率是多少？（3）底面上的数字之和为偶数的概率是多少？【探究练习】中国队和韩国队等9支球队参加奥运会足球预选赛亚洲区决赛，把9支球队任意地分成3组，试求中、韩两队恰好分在同一组的概率.答案：【基础练习】一、D.二、1. 25 ； 2. 310 ； 3. 715 ； 4．13 ；5．13； 6．14. 三、415. 【综合练习】（1）7；（2）14 ；（3）12. 【探究练习】14.课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。
初中数学北师大版九年级上册1 用树状图或表格求概率
在一个双人游 戏中，你是怎样 理解游戏对双方
公平的？
新问题：
小明、小凡和小颖都想去看
周末电影，但只有一张电影票。
三人决定一起做游戏，谁获胜谁
就去看电影。游戏规则如下：
如果不公平，猜
连续抛掷两枚均匀的硬币， 猜谁获胜的可能
如果两枚正面朝上，则小明获胜； 性更大？
如果两枚反面朝上，则小颖获胜；
如果一枚正面朝上、一枚反面朝
上，则小凡获胜。
你认为这个游戏公平吗？
请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反 面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这 三个事件的概率。
由此，一枚硬币可能出现哪些结果？ 它们发生的可能性是否一样？
谁所选数字相同，那么谁就获胜． （1）列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的 结果：
（2）小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如 果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获 胜的概率比他们大？请说明理由．
2、九年级（3）班将竞选出正、副班长各1名 ,现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加 竞选．
（1）男生当选班长的概率是_______； （2）请用列表或画树状图的方法求出两位 女生同时当选正、副班长的概率．
求：两次都摸到红球的概率；
解：列表得
第一次 第二次
红
红 （红，红）
白 （白，红）
白
（红，白）
（白，白）
共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，
两次都摸到红球有1种结果（红，红）， 所以P（两次都摸到红球）= 1
4
1、小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下： ① 游戏前，每人选一个数字： ② 每次同时掷两枚均匀骰子； ③ 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与
3.1用树状图或表格求概率+第1课时+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
课 [本课时认知逻辑]
堂
小
结 与 检
实际 试验 问题 操作
频率估 计概率
理论 分析
等可能事件
测
解决
计算 概率
应用
画树状 图法
列表法
课 [检测]
堂
小 1.一个布袋内装有1个红球和1个黄球,这些球除颜色不同外
结 与 检 测
其余都相同,随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀,再随机
1
摸出一个球,则两次摸出的球都是黄球的概率是 4第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是
与 否一样?
应
用 解:掷第二枚硬币可能出现正面朝上或反面朝上两种结果,它们
发生的可能性一样.
探 究
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪
与 些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面
应
用 朝上呢?
件发生的概率.
探 知 方法 究 频率估计概率的普遍性
与
应 当遇到较复杂的事件无法求得试验的理论概率时,我们可以 用 借用试验频率的稳定值估计事件发生的概率.
探
应用 用树状图或表格求某些事件发生的概率
究 与
例 现有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里装有1个红球,1
应 个黄球;乙袋子里装有1个红球,1个白球,这些球除颜色外其
测 其中,甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的结果有3种,
∴P(甲、乙两人选择的检票通道相同)=39 = 13.
谢 谢 观 看！
应
用 上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率
相同吗?先分组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计
算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发
3.1用树状图或表格求概率(放回型或独立型)课件++2023—2024学年北师大版数学九年级上册
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率 .
片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是__.
5.(2022·珠海市一模)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用 ， ， 依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是__;
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.（用树状图或列表的方法求解）.
解：树状图如下：
由上可得，一共有12种等可能性，其中一定有乙的可能性有6种，故一定有乙的概率是 .
10.如图，正方形的边长为2，中心为 ，从 ， ， ， ， 五点中任取两点.
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
解：从 ， ， ， ， 五点中任取两点，所有等可能出现的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有10种，满足两点间的距离为2的结果有 ， ， ， 这4种，则 两点间的距离为 .
（2）求取到的两点间的距离为 的概率；
共有6种等可能的结果，它们为 ， ， ， ， ， .
（2）求点 在 轴上的概率.
[答案] 点 在 轴上的结果数为3， 点 在 轴上的概率 .第2课 用树状图或表格求概率 （不放回型）
用树状图或表格求概率
用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。
用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。
例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。
初中数学北师大版九年级上册《3.1 用树状图或表格求概率(1)》课件
课堂练习
1．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一 次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是( A )
A ．1 3
B. 2 3
C. 1 6
D. 1 9
课堂练习
2．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机 取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后， 再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组 成的两位数是3的倍数的概率为( B )
新知讲解
做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三 人决定一起做连续抛掷两枚均匀的硬币游戏，谁获胜谁就去看电影.
两枚正面朝上，我 获胜
你认为这个游戏公平吗？
一枚正面朝上、 一枚反面朝上，
我获胜
两枚反面朝上，我 获胜
新知讲解
连续掷两枚均匀的硬币总共有4种结果，每种结果出现的可能性相 同. 其中：
做一做：连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”、
“两枚反面朝上”、“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件
发生的概率相同吗？
（1）独立实验，并完成下表：
掷硬币的结果
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上、 一枚反面朝上
频数
频率
新知讲解
（2）小组活动：4个同学为一个小组，把4个人的试验数据汇 总，得到小组试验（200次）结果.
掷硬币的结果 频数
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上、 一枚反面朝上
频率
新知讲解
（2）小组活动：4个同学为一个小组，把4个人的试验数据汇
总，得到小组试验（200次）结果.
1
事件“两枚正面朝上”的概率为： 4 事件“两枚反面朝上”的概率为： 1 事件“一枚正面朝上、一枚反面朝上4”的概率为：2 1
初中数学北师大版九年级上册《3.1 用树状图或表格求概率(2)》课件
4
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种； (2)这个游戏对双方公平，理由如下：由列表法可知，在16种可能出
现的结果中，它们出现的可能性相等. ∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝
8 16
1, 2
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ 8 1 ,
红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（ B ）
A．小晶赢的机会大
B．小红赢的机会大
C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定
拓展提高
有三张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他 均相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张， 并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式y=kx+b中的k，第二次从 中随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.
布)，所以小颖获胜的概率为 3 1 93
因此，这个游戏对三人是公平的.
新知讲解
做一做：小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下： 每人从1、2、…、12中任意选择 一个数，然后两人各掷一次质地均匀 的骰子，谁事先选择的数等于两人掷 得的点数之和谁就获胜；如果两人选 择的数都不等于掷得的点数之和，就 再做一次上述游戏，直至决出胜负。 如果你是游戏者，你会选择哪个数？
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x， y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
中考链接
1
2
3
4
1 解：(1)列表如下： 2
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3
用树状图或表格求概率 (3)
一种常用方法.
用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?
用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结 果出现的可能性务必相同.
典型例题
一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球， 这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。求两次 摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、 白2.则列表格如下：
黄 (红,黄)
蓝 (红,蓝)
白
(白,黄) (白,蓝)
绿
(红,绿) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 5
“配紫色”游戏的变异
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 蓝
小颖制作了下图,并据此求出游戏者
获胜的概率是1
1200
红
2
红
红
(红,红)
红白 A盘
蓝 黄
绿 B盘
议一议 3
“配紫色”游戏
树状图可以是:
黄
红
蓝
绿 开始
黄
白
蓝
绿
(红,黄) (红,蓝) (红,绿) (白,黄) (白,蓝) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同， 所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 4
“配紫色”游戏
表格可以是：
第二个 转盘
第一个 转盘
红
种结果出现的可能性务必相同. “配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它 启示我们:概率是对随机现象的一种数学描 述,它可以帮助我们更好地认识随机现象, 并对生活中的一些不确定情况作出自己的 决策.
下课了!
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个 “变数”.
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初中数学例题：用树状图或表格求概率
1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B.
【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4
种，正面都同时向上的占1种，所以概率为. 【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少. 举一反三：
【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C.
【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）.
A ． B
C
D
【答案】D.
2. （2016•大庆）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）
13141234
141312143413
A ．
B ．
C ．
D ．
【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【答案】C.
【解析】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：
=． 故选C ．
【总结升华】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 举一反三：
【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D.
【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳
去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是19182913
_____.
【答案】P （停在阴影部分）=.
23。