2020届上海各区初三数学二模25题汇编---Thr
上海市2020届中考数学二模试题
中考数学二模试题（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．下列实数中，有理数是ABC ．π；D ．0．2．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．1k <；B ．10k k <≠且；C ．1k >；D ．10k k >≠且.3．如果将抛物线2y x =向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．21y x =+；B ．21y x =-；C ．2(1)y x =+；D ．2(1)y x =-.4．如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为A ．0.4；B ．0.36；C ．0.3；D ．0.24.5．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB （OA <OB ）边OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使得OD=OE ；（2）分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径作弧，两弧交于△AOB 内的一点C ；（3）作射线OC 交AB 边于点P ． 那么小明所求作的线段OP 是△AOB 的第4题图AO BDEC P第5题图第6题图EA ．一条中线；B ．一条高；C ．一条角平分线；D ．不确定．6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果AB =6，BC =4，那么分别以AD 、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是 A ．外离；B ．外切；C ．相交；D ．内切．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：26a a ÷= .8. 某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 毫米.9．不等式组1,2 4.x x ->⎧⎨<⎩的解集是 .10x =的解为 ． 11．已知反比例函数3ay x-=，如果当0x >时，y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 ．12．请写出一个图像的对称轴为y 轴，开口向下，且经过点（1，-2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ．13. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ．14. 在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是 株．16．如图，在中，对角线与相交于点，如果AC a =，BD b =，那么用向量a 、b 表示向量AB 是 ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB=10，sin A =35，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．如果⊙B 与中线CD 有且只有一个公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围为 ．①②18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC=8，tan B 32=，点D 是AB 的中点，如果把△BCD 沿直 线CD 翻折，使得点B 落在同一平面内的B ′处，联结A B ′，那么A B ′的长为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2344(1)11a a a a a -+--÷++，其中a =20．（本题满分10分）解方程组：22444,2 6.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，4sin 5B =，点F 在BC 上，AB=AF=5，过点F 作EF ⊥CB 交AC 于点E ，且:3:5AE E C =，求BF 的长与sin C 的值．22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）ACD第17题图B第21题图ABC第18题图D第16题图Dy （千米）第22题图EGCABDF甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达． （1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y （千米）与时间x （小时） 的不完整函数图像，那么点A 的坐标为 ， 点B 的坐标为 ，4小时后的y 与x 的函数关 系式为 （不要求写定义域）．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1如图，在平面直角坐标系xOy y 轴上的B 、C （1）求抛物线的解析式以及点D （2）求tan ∠BCD ；（3）点P 在直线BC 上，若∠25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC= x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留 ）初三数学评分参考建议说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．4a8．56.810-⨯9．1x <- 10．1x =11．3a > 12． 21y x =-- 等（答案不唯一） 13．1214．615．2 16．1122a b - 17． 56r <≤或245r =18三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22131144a a a a a --+⋅+-+ ………………………………………………………（3分） 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=⋅+- ………………………………………………………（3分）22a a +=-…………………………………………………………………………… （2分）当a =, 原式7=--…………………………………………… （2分） ．20．解：由①得， 22x y -=或22x y -=-……………………………………………（2分）将它们与方程②分别组成方程组，得：,262;2x x y y ⎧⎨+=-=⎩ 22,2 6.y y x x ⎧⎨+=-=-⎩……………………………………………………（4分） 分别解这两个方程组，得原方程组的解为114,1;x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）（代入消元法参照给分）21．解：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B = ……………………………………………………（1分） 在Rt△ABD 中，3cos 535BD AB B =⋅=⨯= …………………………………（2分）∵AB=AF AD ⊥CB ∴BF =2BD =6 ………………………………………（1分） ∵EF ⊥CB AD ⊥CB ∴EF ∥AD ∴DF AECF EC= …………………（2分） ∵:3:5AE EC = DF=BD=3 ∴CF=5 ∴CD=8………………………（1分） 在Rt△ABD 中，4sin 545AD AB B =⋅=⨯= ……………………………………（1分） 在Rt△ACD中，AC =……………………………………（1分）∴sin AD C AC ==………………………………………………………………（1分）22．解：（1）设甲车原计划的速度为x 千米/小时由题意得600600210x x-=-…………………………………………………………（3分） 解得150x =- 260x =经检验，150x =- 260x =都是原方程的解，但150x =-不符合题意，舍去∴60x = ……………………………………………………………………………（2分） 答：甲车原计划的速度为60千米/小时．………………………………………（1分） （2）（4，240） （12，600） …………………………………………………（1分，1分）4560y x =+…………………………………………………………………………（2分）23．（1）证明：联结BD …………………………………………………………………（1分）∵EB =ED ∴∠EBD =∠EDB …………………………………………………（2分） ∵∠ABE =∠ADE ∴∠ABD =∠ADB …………………………………………（1分）∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是矩形 ∴四边形ABCD 是正方形………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴EF ECDE EA=………………………………………………（2分） 同理DC ECAG EA= ……………………………………………………………（2分） ∵DE=BE∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=DC …………………………………………（1分） ∴EF BCBE AG= ∴EF AG BC BE ⋅=⋅ ……………………………………………………………（1分）24．解：（1）由题意得B （6，0） C （0，3） ………………………………………（1分）把B （6，0） C （0，3）代入22y ax x c =-+得03612,3.a c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,43.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴21234y x x =-+……………………………………………………………（2分） ∴D （4，-1） ………………………………………………………………（1分）（2）可得点E （3,0） ………………………………………………………………（1分）OE=OC=3，∠OEC =45°过点B 作BF ⊥CD ，垂足为点F 在Rt △OEC中，cos OEEC CEO==∠在Rt △BEF中，sin BF BE BEF =∠=……………………………………（1分）同理，EF =CF ==1分） 在Rt △CBF 中，1tan 3BF BCD CF ∠== …………………………………………（1分） （3）设点P （m ，132m -+）∵∠PEB=∠BCD ∴tan ∠PEB= tan ∠BCD 13= ①点P 在x 轴上方∴131233m m -+=- 解得245m = ………………………………………………（1分） ∴点P 243(,)55………………………………………………………………………（1分） ②点P 在x 轴下方∴131233m m -=- 解得12m = …………………………………………………（1分） ∴点P (12,3)- ………………………………………………………………………（1分） 综上所述，点P 243(,)55或(12,3)-25．（1）联结DM在Rt △DCM中，DM ==…………………………………（2分） ∵AD ∥BC BM =AD ∴四边形ABMD 为平行四边形……………………（1分） ∴AB= DM=即⊙B的半径为1分） （2）过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H在Rt △BCD中，BD =∴sin DBC ∠可得∠DCH =∠DBC∴sin DCH ∠=在Rt △DCH中，sin DH DC DCH =⋅∠=1分）∵CH ⊥BD∴2DE DH ==1分）∴2BE ==………………………………………（1分）∵⊙C 与⊙B 相交于点E 、F ∴EF=2EG BC ⊥EF在Rt △EBG 中，225125sin 25x EG BE DBC x -=⋅∠=+ …………………………（1分）∴221025025x y x -=+（x >1分，1分）（3）254π或(29π-或π ………………………………………（做对一个得2分，其余1分一。
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题04 统计与概率(解析版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题04 统计与概率1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是（ ） A. 其平均数为5 B. 其众数为5 C. 其方差为5 D. 其中位数为5【答案】C 【分析】直接根据平均数，方差，中位数的求法和众数的概念逐一判断即可． 【详解】A. 其平均数为5375645558+++++++=，故该选项正确；B. 5出现的次数最多，所以其众数为5，故该选项正确；C. 其方差为22222222(55)(35)(75)(55)(65)(45)(55)(55)584-+-+-+-+-+-+-+-=，故该选项错误； D. 其中位数为5552+=，故该选项正确； 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．2.（2020松江二模）某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．方差B ．极差C ．中位数D ．平均数【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【解答】解：13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选：C ．3.（2020宝山二模）为备战奥运会，甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是10.3秒，但他们成绩的方差分别是0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒²）则这四人中发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【分析】利用方差越小，表明这组数据分布越稳定解答即可． 【详解】解：∵0.019<0.020<0.021<0.022， ∴乙的方差最小， ∴这四人中乙发挥最稳定， 故选：B ．【点睛】本题考查了方差意义，掌握方差是来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据越稳定． 4.（2020奉贤二模）甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S 2（秒2）如表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（ ）甲 乙 丙丁7 77.5 7.5 S 2 2.11.921.8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 解：∵乙的平均分最好，方差最小，最稳定， ∴应选乙． 故选：B ．5.（2020金山二模）某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为（ ）的A．1.2万B．1.5万C．7.5万D．66万【分析】用总人数乘以样本中对创建全国文明城区工作不满意的居民人数所对应的百分比可得．解：估计全区75万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为75×2%＝1.5（万人），故选：B．6.（2020静安二模）体育课上，甲同学练习双手头上前掷实心球，测得他5次投掷的成绩为：8，8.5，9.2，8.5，8.8（单位：米），那么这组数据的平均数、中位数分别是（）A．8.5，8.6B．8.5，8.5C．8.6，9.2D．8.6，8.5【分析】直接根据平均数和中位数的概念求解可得．【解答】解：这组数据的平均数为×（8+8.5+9.2+8.5+8.8）＝8.6，将数据重新排列为8、8.5、8.5、8.8、9.2，所以这组数据的中位数为8.5，故选：D．7.（2020嘉定二模）一组数据：3、4、4、5，如果再添加一个数字4，那么会发生变化的统计量是（）（A）平均数；（B）中位数；（C）众数；（D）方差．【考查内容】数据的分布，统计量的概念【评析】简单【解析】添加一个数字4后，平均数，中位数及众数都还是4，方差会产生变化，所以D选项错误。
上海2020届九年级数学 模拟考试二模试题
∴四边形BCEF是菱形……………………………………1分
(2)∵四边形BCEF是菱形,
∴BC=BF
∵
∴AB=2BC………………………………………………1分
∵AB∥CD
∴∠DEA=∠EAB
∵∠D=∠AEB
∴△EDA∽△AEB………………………………………2分
∴ …………………………………………1分
∴BE·AE=AD·AB
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
∴ …………………………………1分
24．（本题满分12分，每小题各4分）
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1， ）
∴ …………………………………2分
解得： …………………………………1分
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P的纵坐标为：m2-2m……………………………1分
解：由① 得 ．………………………………………………………………（2分）
由② 得 …………………………………………………………（2分）
…………………………………………………………（1分）
解得 ．………………………………………………………………（2分）
所以，原不等式组的解集是 ．…………………………………………（1分）
4．关于反比例函数 ，下列说法中错误的是（）
2020年上海市宝山区初三二模数学试卷(含答案和解析)
宝山区2019学年第二学期期中初三年级数学学科教学质量监测试卷考生注憲：1.本试卷共25题.2.试卷满分150分，考弑时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答題纸规定的位置上作客，在卓稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一、二犬题外，其余各题如无暮殊说明.都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.-、选择题（本大题共6题，每題4分，满分24分）1.下列计算正确的是（▲）A. ab-b = aB.+2•关于兀的方程x—2x-k = 0有实数根，则《的值的范围是（▲ >A. k>iB. ^>-1C. Rv-1D.仁一13•为备战宾运会，甲.乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是10.3秒，但他们咸绩的•方差分别是0.020、0.019、0. 021、0.022 （单位：秒巧则这四人中发挥最稳定的是（▲）A.甲B.乙C.丙D. T4.下列四边形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（▲）A.矩形B.等腰梯形C.正方形D.平行四边形5.如右图，矩形EFGII内接于ZXABC,且边FG落在BC ±,如果 AD丄BC.BO3,AD=2, EF：EH=2：3,那么 E1I 的长为（▲）A. —B. —C・— D ■ 22 2 136•如右图，点A的坐标为（0,1人点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角AABC,使ZBAC=90° ,如果点B的横坐标为禺点C的纵坐标为*那么表示y与X的函数关系的图像大致是（▲）二、填空题（本大题共12題，每題4分，满分48分）7.计算：2020的相反数是▲.&计算；（加一川）（加十M ）▲ ,9•分解因式：宀4° + 4=▲・10.方程"”二1的解是一▲ ---------- •11.数据3、12、8、12、20、9的众数为▲・12•—个不透明的盒子中裝有9个大小相同的乒乓球，其中3个是黄球，6个是白球，从该盒子中任意摸出一A球，摸到白球的概率是▲.13•如果抛物线y = （x-w）2 + （/n + l）的顶点在第二象限，那么加的取值范團为▲. 14•如图1,点A的坐标是（2,0）, AABO是等边三角形，点B在第一象限•若反比例函k数y=±的图X像经过点B,则k的值是▲・15.如果在平行四边形ABCD中，如果乔“，乔二乩那么向旨疋为▲.（用厶和E表示）16.如图2,点D是△ABC的边AB上一点，如果ZACD=ZB.并且4D:AC = \:爲,那么AD:BD =▲____ .17•将矩形妖片ABCD折更，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=4, BC=2,那么线段EF的长为▲____ .18.如图3,在ZXABC中，AB=AC=5, tan5=-,将AABC绕点B逆时针旅转，得到4AJQC,当点G在线段CA延长线上时MBC｛的而狽为▲_•三、解答题（共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）21・（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分〉已知：如图几00与OP 相切于点右如果过点力的直线交00于点交OP 于点C, 01）丄佃 于点0, PE 丄AC 于点E.求：＜1＞求匹的值：BCAll（2）如果OO 和OP 的半径比为3:5求靠的值。
上海市普陀区2020年初三中考数学二模试卷(逐题详解版)
2020年上海市普陀区中考数学二模试卷2020.05 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列计算中，正确的是(A) –22 = 4(B) 1612 = 8(C) 3–1 = –3(D)（12)–2 = 42. 下列二次根式中，与√2a (a> 0)属同类二次根式的是(A)√2a2(B) √4a(C)√8a3(D)√4a23. 关于函数y =–2x，下列说法中错误的(A)函数的图像在第二、四象限;(B) y的值随x的值增大而增大;(C) 函数的图像与坐标轴没有交点; (D)函数的图像关于原点对称.4. 如图1，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB=4，∠AOB=60°，那么矩形ABCD的面积等于(A) 8(B) 16(C) 8 √3(D) 16√35. 一个事件的概率不可能是(A) 1.5(B) 1(C) 0.5(D) 06. 如图2，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，在下列四个说法中，①⌒AC=2⌒CD；②AC=2CD；③OC⊥BD；④∠AOD=3∠BOC，正确的个数是(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个二、填空题7. 计算: a (3a)2 = __________8. 函数y = 1x+1的定义域是__________9. 方程√5x= –x的解是__________.10. 已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x =__________.11. 如果把二次方程x2–xy–2y2 = 0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是__________12. 已知一件商品的进价为 a 元，超市标价 b 元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利__________元。
上海市青浦区2020年初三中考数学二模试卷(逐题详解版)
2020年上海市青浦区中考数学二模试卷2020.05一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1． (0)a a ≠的倒数是（ ▲ ）（A ）a ；（B ）a -；（C ）1a； （D ）1a-． 2．计算2(2)x -的结果，正确的是（ ▲ ）（A ）22x ； （B ）22x -；（C ）24x ；（D ）24x -．3．如果反比例函数ky x=的图像分布在第二、四象限，那么k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）0k >；（B ）0k <；（C ）0k ≥；（D ）0k ≤．4．下列方程中，没有实数根的是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）；（D ）．5． 为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）400名学生中每位学生是个体； （B ）400名学生是总体；（C ）被抽取的50名学生是总体的一个样本； （D ）样本的容量是50．6．如图1，点G 是ABC ∆的重心，联结AG 并延长交BC 边于点D ．设a AB =，b GD =，那么向量BC 用向量a 、b 表示为（ ▲ ）（A ）32BC b a =-； （B ）32BC b a =+；（C ）62BC b a =-； （D ）62BC b a =+．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）220x x -=2210x x --=2210x x -+=2220x x -+=图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7． 计算：3a a ÷= ▲ ．8． 在实数范围内因式分解：22m -= ▲ ． 9．函数y 的定义域是 ▲ ．10．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的解集是 ▲ ．11．如果将直线3y x =平移，使其经过点（0,-1），那么平移后的直线表达式是 ▲ ． 12．从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 ▲ ． 13．如果点D 、E 分别是ABC ∆的AB 、AC 边的中点，那么ADE ∆与ABC ∆的周长之比是 ▲ ．14．已知点C 在线段AB 上，且012AC AB <<．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是 ▲ ．15．随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如右表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为 ▲ 天．16．在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，如果点A 落在射线BC 上的点A '处．那么=AA ' ▲ ．17．在Rt ABC ∆中，90o ACB ∠=，3AC =，4BC =．分别以A 、B 为圆心画圆，如果⊙A 经过点C ，⊙B 与⊙A 相交，那么⊙B 的半径r 的取值范围是 ▲ ．18．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似．．分．割线．．．如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt ABC ∆ 和Rt DEF ∆的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于 点G 、 H ，如果BCG ∆与DFH ∆相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG = ▲ ．G CA图2HFED图3三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）计算：2121182-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程： 24211422x x x x -=---+.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，4AC BC ==，点D 在边BC 上，且3BD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE .（1）求线段AE 的长； （2）求ACE ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发的时间x （分）之间的关系如图5中OAABCDE图4图5—AB 折线所示．（1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值．23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分） 如图6，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条角平分线于点E 、F ．（1）求证：ABE ∆∽FDA ∆；（2）联结BD 、EF ，如果2DF AD AB =⋅，求证：BD EF =．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图7，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数243y a x a x =-+ 的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，且tan 3∠=CAO ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP ，交对称轴于点F ，当图6GFEDCB A H:2:3CDFFDPSS=时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将△PCD 沿直线MN 翻折，当点P 恰好与点O 重合时，折痕MN 交轴于点M ，交轴于点N ，求 OM ON的值．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图8，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C 在半圆O 上.过点A 作AD ⊙OC ，垂足为点D ，AD 的延长线与弦BC 交于点E ，与半圆O 交于点F （点F 不与点B 重合）.（1）当点F 为BC 的中点时，求弦BC 的长； （2）设OD x =，DE AEy =，求与的函数关系式；（3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段OD 的长.x y y x OABCDEFOABCDE F图7备用图2020年上海市青浦区中考数学二模试卷答案解析版一、选择题1.a（a≠0）的倒数是（）A. aB. ﹣aC. 1aD.1a-【答案】C 【解析】分析】一般地，11(0)a aa•=≠，就说a（a≠0）的倒数是1a．据此即可得出答案．【详解】解：11(0) a aa•=≠，∴a（a≠0）的倒数是1a，故选：C．【点睛】本题考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．2.计算（﹣2x）2的结果是（）A. 2x2B. ﹣2x2C. 4x2D. ﹣4x2【答案】C【解析】【分析】根据积的乘方法则计算即可．【【详解】解：（﹣2x）2＝4x2．故选：C．【点睛】本题考查积的乘方计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．3.如果反比例函数y＝kx的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（）A. k＞0B. k＜0C. k≥0D. k≤0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．【详解】解：⊙图象在二、四象限，⊙k＜0．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．4.下列方程中，没有实数根的是（）A. x2﹣2x=0B. x2﹣2x﹣1=0C. x2﹣2x+1 =0D. x2﹣2x+2=0【答案】D【解析】【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【详解】A、⊙=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、⊙=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、⊙=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、⊙=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选D．5.为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（）A. 400名学生中每位学生是个体B. 400名学生是总体C. 被抽取的50名学生是总体的一个样本D. 样本的容量是50【答案】D【解析】【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；所抽查对象的数量；个体是每一个调查的对象．【详解】解：A.400名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；B.400名学生的体重是总体，故本选项不合题意；C．被抽取的50名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；D．样本的容量是50，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了统计的有关知识，解决此题的关键是掌握总体、样本、样本容量、个体的定义．6.如图，点G是⊙ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设AB a=，GD b=，那么向量BC用向量a、b表示为（）A. 32BC b a=+=- D. 62 =- B. 32BC b aBC b a=+ C. 62BC b a【答案】C【解析】【分析】G是⊙ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出BD即可解决问题．的【详解】解：⊙G是⊙ABC重心，⊙AG＝2DG，⊙AD＝3DG，⊙AD＝3GD＝3b，⊙BD＝BA+AD＝﹣a+3b，DB＝BD，⊙BC＝2BD＝6b﹣2a，故选：C．【点睛】此题考查三角形的重心，平面向量，三角形法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题7.计算：3a a÷=__________．【答案】2a．【解析】【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减【详解】解：原式＝312-=．a a故答案为2a．8.在实数范围内分解因式x2-2=__________________.【答案】)(x【解析】分析：把2写成2，然后运用平方差公式分解即可.详解：原式= x2-2=x2-2+.=(x x+.故答案为(x x点睛：本题考查实数范围内的因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.9.函数y =________.【答案】x≥-3 【解析】分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围． 详解：根据题意得：x +3≥0，解得：x ≥﹣3． 故答案为x ≥﹣3．点睛：考查了函数的定义域，函数的定义域一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，定义域可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.不等式组1020x x +≥⎧⎨->⎩的整数解是_____．【答案】﹣1、0、1 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】1020x x +≥⎧⎨->⎩，解不等式10x +≥得：1x ≥-， 解不等式20x ->得：2x <，∴不等式组的解集为12x -≤<，不等式组的整数解为-1,0，1.故答案为-1,0，1.【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解，解题关键是注意解集范围从而得出整数解.11.如果将直线y＝3x平移，使其经过点(0，﹣1)，那么平移后的直线表达式是_____．【答案】y＝3x﹣1【解析】【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y＝3x+b，然后将点（0，﹣1）代入即可得出直线的函数解析式．【详解】解：设平移后直线的解析式为y＝3x+b，把（0，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝b，解得b＝﹣1．所以平移后直线的解析式为y＝3x﹣1．故答案为：y＝3x﹣1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b（k≠0）平移时k的值不变是解题的关键．12.从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是_____．【答案】3 5【解析】【分析】这五个数中任选一个数共有5种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有2、3、5这3种结果，根据概率公式求解可得．【详解】解：从2，3，4，5，6这五个数中任选一个数共有5种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有2、3、5这3种结果， 所以选出的这个数是素数的概率是35， 故答案为：35． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.如果点D 、E 分别是⊙ABC AB 、AC 边的中点，那么⊙ADE 与⊙ABC 的周长之比是_____． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据中位线的定理即可求出答案．【详解】解：⊙点D 、E 分别是⊙ABC 的AB 、AC 边的中点， ⊙DE 是⊙ABC 的中位线， ⊙12DE AD AE BC AB AC ===， ⊙ADE ABCL L＝DE AD AE BC AB AC++++＝12 故答案为：1：2．【点睛】本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型． 14.已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置的关系是_____．【答案】点B在⊙C外【解析】【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：如图，⊙点C在线段AB上，且0＜AC＜1AB，2⊙BC＞AC，⊙点B在⊙C外，故答案为：点B在⊙C外．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当d＞r时点P在圆外；当d＜r时点P在圆内是解答此题的关键．15.随机选取50粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为_____天．【答案】1.8【解析】【分析】利用加权平均数的公式计算可得．【详解】估计该作物种子发芽的天数的平均数约为115230351.850⨯+⨯+⨯=（天）故答案为：1.8．【点睛】本题考查了加权平均数的公式，熟记公式是解题关键．16.在⊙ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，将⊙ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处．那么AA'＝_____．【答案】【解析】【分析】作AH⊙BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝12BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．【详解】解：作AH⊙BC于H，如图，⊙AB＝AC＝3，BC＝2，⊙BH＝CH＝12BC＝1，⊙AH⊙⊙ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，⊙BA′＝BA＝3，⊙HA′＝2，在Rt⊙AHA′中，AA′故答案为【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17.在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以A、B为圆心画圆，如果⊙A经过点C，⊙B与⊙A相交，那么⊙B的半径r的取值范围是_____．【答案】2＜r＜8【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据⊙A经过点C求出⊙A的半径为3，再求出⊙B的半径范围即可．【详解】解：在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，⊙⊙A经过点C，⊙AD＝AC＝3，⊙BD＝2，⊙⊙B与⊙A相交，⊙⊙B的半径r的取值范围是2＜r＜8，故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出BD的长是解此题的关键．18.小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt⊙ABC和Rt⊙DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果⊙BCG与⊙DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝_____．【答案】3【解析】【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由⊙BCG⊙⊙DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，⊙AGC⊙⊙DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．【详解】解：⊙Rt⊙ABC，AC＝3，AB＝5，⊙由勾股定理得：BC＝4，⊙⊙BCG⊙⊙DFH，⊙BGDH＝BCDF，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，⊙5 xDH＝48，⊙DH＝10﹣2x，⊙⊙BCG⊙⊙DFH，⊙⊙B＝⊙FDH，⊙BGC＝⊙CHF，⊙⊙AGC＝⊙DHE，⊙⊙A+⊙B＝90°，⊙EDH+⊙FDH＝90°，⊙⊙A ＝⊙EDH ， ⊙⊙AGC⊙⊙DHE ，⊙AG DH ＝ACDE， 又DE ＝4，⊙102-xx ＝34，解得：x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解，且符合题意． ⊙AG ＝3． 故答案为：3．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 三、解答题19.计算：2121|1|82-⎛⎫- ⎪⎝⎭．【答案】3 【解析】 【分析】直接利用绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂分别化简得出答案．2121182-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14=-+14=-3=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键，体现了数学运算的核心素养．20.解方程：24211422xx x x．【答案】x＝1．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：4x﹣2x﹣4＝x2﹣4﹣x+2，即x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，经检验x＝2是增根，所以，分式方程的解为x＝1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21.如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊙AB，垂足为点E，联结CE．（1）求线段AE长；（2）求⊙ACE的余切值．【答案】（1（2）3 5【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；（2）过点E作EH⊙AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出⊙ACE的余切值．【详解】解：（1）⊙BC＝4，BD＝3CD，⊙BD＝3．⊙AB＝BC，⊙ACB＝90°，⊙⊙A＝⊙B＝45°．⊙DE⊙AB，⊙在Rt⊙DEB中，cosB＝BEBD．⊙BE在Rt⊙ACB中，AB，⊙AE的（2）如图，过点E 作EH⊙AC 于点H ．⊙在Rt⊙AHE 中，cosA ＝2AH AE ＝， AH=AE•cos45°=52， ⊙CH ＝AC−AH ＝4−52＝32， ⊙EH=AH=52， ⊙在Rt⊙CHE 中，cot⊙ECB=35CH EH ＝， 即⊙ECB 的余切值是35． 【点睛】此题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．22.某湖边健身步道全长1500米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与出发的时间x （分）之间的关系如图中OA ﹣AB 折线所示． （1）用文字语言描述点A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时x 的值．【答案】（1）20分钟时，甲乙两人相距500米；（2）甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x的值为24【解析】【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；（2）根据图象分别求出两人的速度，再根据题意列方程解答即可．【详解】解：（1）点A的实际意义为：20分钟时，甲乙两人相距500米．（2）根据题意得，1500==7520V甲（米/分），1000==5020V乙（米/分），依题意，可列方程：75（x﹣20）+50（x﹣20）＝500，解这个方程，得x＝24，答：甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟50米，两人相遇时x的值为24．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，⊙EAF ＝12⊙BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．（1）求证：⊙ABE⊙⊙FDA；（2）联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到⊙HDF＝12⊙HDC．根据平行四边形的性质得到AB⊙CD．求得⊙BAD＝⊙CDH．等量代换得到⊙BAE＝⊙F，同理⊙DAF＝⊙E，于是得到结论；（2）作AP平分⊙DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到⊙DAP＝12⊙BAD，求得⊙HDF ＝⊙DAP，推出DF⊙AP，同理BE⊙AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）⊙⊙EAF＝12⊙BAD，⊙⊙DAF+⊙BAE＝12⊙BAD，⊙DF平分⊙HDC，⊙⊙HDF＝12⊙HDC，又⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙AB⊙CD，⊙⊙BAD＝⊙CDH，⊙⊙HDF＝⊙EAF，⊙⊙HDF ＝⊙DAF+⊙BAE ， 又⊙⊙HDF ＝⊙DAF+⊙F ， ⊙⊙BAE ＝⊙F ， 同理：⊙DAF ＝⊙E ， ⊙⊙ABE⊙⊙FDA ；（2）作AP 平分⊙DAB 交CD 于点P ，⊙⊙DAP ＝12⊙BAD ， ⊙⊙HDF ＝12⊙CDH ，且⊙BAD ＝⊙CDH ⊙⊙HDF ＝⊙DAP ， ⊙DF⊙AP ， 同理：BE⊙AP ， ⊙DF⊙BE ， ⊙⊙ABE⊙⊙FDA ， ⊙=AD DFBE AB， 即BE•DF ＝AD•AB ， 又⊙DF 2＝AD•AB ，⊙BE＝DF，⊙四边形DFEB是平行四边形，⊙BD＝EF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan⊙CAO＝3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是对称轴右侧抛物线上点，联结CP，交对称轴于点F，当S⊙CDF：S⊙FDP＝2：3时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将⊙PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求OMON的值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3）8 5【解析】【分析】的（1）在Rt⊙AOC 中，tan⊙CAO ＝OCOA＝3，求出点A 的坐标，即可求解； （2）利用2=3CDF FDPS CG SPQ =，即可求解； （3）证明⊙ONM ＝⊙POH ，则8tan tan 5OM PH ONM POM ON OH ∠=∠===． 【详解】解：（1）⊙二次函数y ＝ax 2﹣4ax+3的图象与y 轴交于点C ， ⊙点C 的坐标为（0，3）， ⊙OC ＝3，连接AC ，在Rt⊙AOC 中，tan⊙CAO ＝OCOA＝3， ⊙OA ＝1，将点A （1，0）代入y ＝ax 2﹣4ax+3，得a ﹣4a+3＝0， 解得：a ＝1．所以，这个二次函数的解析式为 y ＝x 2﹣4x+3；（2）过点C 作CG⊙DF，过点P 作PQ⊙DF ，垂足分别为点G 、Q ．⊙抛物线y ＝x 2﹣4x+3的对称轴为直线x ＝2， ⊙CG ＝2，⊙2=3CDF FDPS CG SPQ ， ⊙PQ ＝3，⊙点P 的横坐标为5，⊙把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x+3，得 y ＝8， ⊙点P 的坐标为（5，8）；（3）过点P 作PH⊙OM ，垂足分别为点H ，⊙点P 的坐标为（5，8），⊙OH＝5，PH＝8，⊙将⊙PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合，⊙MN⊙OP，⊙⊙ONM+⊙NOP＝90°，又⊙⊙POH+⊙NOP＝90°，⊙⊙ONM＝⊙POH，⊙OM PH8 tan ONII tan POMON OH5∠==∠==．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的翻折、面积的计算等，具有一定的综合性，难度适中．25.如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊙OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，DEAE＝y，求y与x的函数关系式；（3）当⊙AOD与⊙CDE相似时，求线段OD的长．【答案】（1）（2）y＝36x-；（3）32【解析】【分析】（1）连结OF，交BC于点H．得出⊙BOF＝⊙COF．则⊙AOC＝⊙COF＝⊙BOF＝60°，可求出BH，BC的长；（2）连结BF．证得OD⊙BF，则33DE xDF x-=+，即33DE xAD x-=+，得出36DE xAE-=，则得出结论；（3）分两种情况：⊙当⊙DCE＝⊙DOA时，AB⊙CB，不符合题意，舍去，⊙当⊙DCE＝⊙DAO时，连结OF，证得⊙OAF＝30°，得出OD＝1322OA=，则答案得出．【详解】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点H．⊙F是BC中点，⊙OF⊙BC，BC＝2BH．⊙⊙BOF＝⊙COF．⊙OA＝OF，OC⊙AF，⊙⊙AOC＝⊙COF，⊙⊙AOC＝⊙COF＝⊙BOF＝60°，在Rt⊙BOH中，sin⊙BOH＝BHOB=⊙AB＝6，⊙OB＝3，⊙BH⊙BC＝2BH＝（2）如图2，连结BF．⊙AF⊙OC，垂足为点D，⊙AD＝DF．又⊙OA＝OB，⊙OD⊙BF，BF＝2OD＝2x．⊙32DE CD x EF BF x-==，⊙33DE x DF x-=+，即33DE x AD x-=+，⊙36 DE x AE-=，⊙y＝36x -．（3）⊙AOD和⊙CDE相似，分两种情况：⊙当⊙DCE＝⊙DOA时，AB⊙CB，不符合题意，舍去．⊙当⊙DCE＝⊙DAO时，连结OF．⊙OA＝OF，OB＝OC，⊙⊙OAF＝⊙OFA，⊙OCB＝⊙OBC．⊙⊙DCE＝⊙DAO，⊙⊙OAF＝⊙OFA＝⊙OCB＝⊙OBC．⊙⊙AOD＝⊙OCB+⊙OBC＝2⊙OAF，⊙⊙OAF＝30°，⊙OD＝13 22 OA ．即线段OD的长为32．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．备用图图8。
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷含答案解析
上海市浦东新区2020年中考数学二模试卷(解析版)一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．20202．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣14．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，156．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．8．不等式x﹣1＜2的解集是．9．分解因式：8﹣2x2=．10．计算：3（）+2（﹣2）=．11．方程的根是．12．已知函数f（x）=，那么f（）=．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为米．14．正八边形的中心角等于度．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．24．（12分）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．2020年上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．2020的相反数是（）A．B．﹣2020 C．﹣D．2020【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：2020的相反数是﹣2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．已知一元二次方程x2+3x+2=0，下列判断正确的是（）A．该方程无实数解B．该方程有两个相等的实数解C．该方程有两个不相等的实数解D．该方程解的情况不确定【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=3，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．下列函数的图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（）A．y=﹣B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x﹣1【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数y=﹣的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；B、y=x2﹣1中a=1＞0，∴函数y=x2﹣1的图象在第二、三象限内y随着x的增大而减小，在第一、四象限内y随着x的增大而增大；C、y=﹣中k=1＞0，∴函数y=的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；D、y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0，b=﹣1＜0，∴函数y=﹣x﹣1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是逐项分析四个选项的增减性．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各函数的性质及各函数的图象是解题的关键．4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况，∴这个两位数是素数的概率为：=．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：这七天最高气温的众数和中位数是（）A．15，17 B．14，17 C．17，14 D．17，15【考点】众数；折线统计图；中位数．【分析】根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；17℃出现的次最多，为众数．【解答】解：17℃出现了2次，最多，故众数为17℃；共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，故中位数为14℃．故选C．【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．6．如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】延长AM交BC于点D，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设AM=2x，则DM=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：延长AM交BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC．设AM=2x，则DM=x，∴AD=3x，∴AB===2x．∵△ABC和△AMN都是等边三角形，∴△ABC∽△AMN，∴=（）2=（）2=．故选B．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：|﹣1|=．【考点】有理数的减法；绝对值．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|=|﹣|=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a 是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．不等式x﹣1＜2的解集是x＜3．【考点】解一元一次不等式．【分析】解不等式x﹣1＜2，即可得到不等式x﹣1＜2的解集，本题得以解决．【解答】解：x﹣1＜2两边同时加1，得x﹣1+1＜2+1x＜3，故答案为：x＜3．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是会解一元一次不等式的方法．9．分解因式：8﹣2x2=2（2+x）（2﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x）（2﹣x）．故答案为：2（2+x）（2﹣x）．【点评】本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．10．计算：3（）+2（﹣2）=﹣﹣．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：3（）+2（﹣2）=3﹣3+2﹣4=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．11．方程的根是x=﹣4．【考点】无理方程．【分析】9的算术平方根是3，故5﹣x=9，x=﹣4．【解答】解：因为算术平方根的被开方数是非负数，根据题意可得，5﹣x=9，解得：x=﹣4．故本题答案为：x=﹣4．【点评】记准算术平方根的被开方数是非负数这一要求，是解决这类问题的关键．12．已知函数f（x）=，那么f（）=3．【考点】函数值．【分析】将x=代入计算即可．【解答】解：f（）====3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为18米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡角的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：∵传送带和地面所成的斜坡的坡度为1：，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，∴可得：BC=9m，则=，解得：AC=9，则AB===18（m）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了坡角的定义，根据题意得出AC的长是解题关键．14．正八边形的中心角等于45度．【考点】正多边形和圆．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是720．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】用所有学生数乘以样本中课外阅读时间不少于6小时的人数所占的百分比即可．【解答】解：估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于6小时的人数是：1200×=720（人），故答案为：720．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于6小时的人数所占的百分比．16．已知：⊙O1、⊙O2的半径长分别为2和R，如果⊙O1与⊙O2相切，且两圆的圆心距d=3，则R的值为1或5．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由于⊙O1与⊙O2相切，则分两圆内切和外切讨论得到R+2=3或R﹣2=3，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵⊙O1与⊙O2相切，∴R+2=3或R﹣2=3，∴R=1或R=5．故答案为1或5．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R ﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．定义运算“﹡”：规定x﹡y=ax+by（其中a、b为常数），若1﹡1=3，1﹡（﹣1）=1，则1﹡2=4．【考点】解二元一次方程组；有理数的混合运算．【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b 的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，则1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE沿直线DE翻折，翻折后点A的对应点为点P，当∠CPD为直角时，AD的长是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AD=x，再根据折叠的性质得∠PDE=∠ADE=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，于是可判断点P在边AC上，所以PC=20﹣2x，然后利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则∠A=∠3，则可判断Rt△BCP∽Rt△ABC，利用相似比可计算出x．【解答】解：如图，设AD=x，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB=25，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠ACB=90°，∵△ADE沿DE翻折得到△PDE，∴∠PED=∠AED=90°，∠1=∠A，PD=AD=x，∴CD=20﹣x，∵∠CPD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，∴∠2=∠B，∴PC=BC=15，∵CD2=CP2+PD2，即（20﹣x）2=152+x2，∴x=，∴AD=．故答案为：．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2020•浦东新区二模）计算：2sin45°﹣20200++（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣1+2+2=1+3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2020•浦东新区二模）解方程：．【考点】解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）2=8，x2﹣2x+x2+4x+4=8，整理得x2+x﹣2=0．解得x1=﹣2，x2=1．经检验，x2=1为原方程的根，x1=﹣2是增根（舍去）．∴原方程的根是x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．21．（10分）（2020•浦东新区二模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC=90°，OA=4，OC=3，求弦AB的长．【考点】垂径定理．【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，应用直角三角形的性质和三角函数的求法，求出AD 的长度是多少；然后应用垂径定理，求出弦AB的长是多少即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于D，，∵OA2+OC2=AC2，∴AC2=42+32=25，∴AC=5．在Rt△AOC中，cos∠OAC==，在Rt△ADO中，cos∠OAD=，∴==，∴AD=×4=．∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2×=．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，直角三角形的性质和三角函数的求法，要熟练掌握．22．（10分）（2020•浦东新区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量不超过40吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示：（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为210万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【考点】一次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接利用每吨的成本×生产吨数=总成本为210万元，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为：y=kx+b，将（0，10），（40，6）分别代入y=kx+b 得：，解得：，所以y=﹣x+10（0≤x≤40）；（2）由（﹣x+10）x=210，解得：x1=30，x2=70，由于0≤x≤40，所以x=30，答：该产品的生产数量是30吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确利用待定系数法求出一次函数解析式是解题关键．23．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D（1）求证：△EAC∽△ECB；（2）若DF=AF，求AC：BC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形、∠ECA=∠D可得∠ECA=∠B，∠E为公共角可得△EAC∽△ECB；（2）由CD∥AE、DF=AF可得CD=AE，进而有BE=2AE，根据△EAC∽△ECB得，即：=，可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECA=∠D，∴∠ECA=∠B，∵∠E=∠E，∴△EAC∽△ECB；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，即：CD∥AE∴，∵DF=AF∴CD=AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AE=AB，∴BE=2AE，∵△EAC∽△ECB，∴，∴，即：=，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似形的对应边成比例和平行四边形的性质是关键．24．（12分）（2020•浦东新区二模）如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把B（3，6）代入y=ax2﹣4ax+2，求出a的值，得到二次函数的解析式，进而求出点A的坐标；（2）先求出抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC=2，AB=5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，再求出CH=，AH=，根据正切函数定义即可求出∠CAB 的正切值；（3）由AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7），设P（x，0）根据PB=PB1，分B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）两种情况利用勾股定理求得x值．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象过点B（3，6），∴6=9a﹣12a+2，解得a=﹣，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2，∵二次函数y=﹣x2+x+2的图象与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣2）2+，∴对称轴为直线x=2，∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC=2，AB==5，tan∠CBA=，过点C作CH⊥AB于点H，则CH=，BH=，AH=，∴tan∠CAB==；（3）由题意，AB=AB1=5，从而点B1的坐标为（0，﹣3）或（0，7）．设P（x，0）．①如果点B1（0，7），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+72，解得x=﹣，即P（﹣，0）；②如果点B1′（0，﹣3），∵点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，∴PB=PB1，即（x﹣3）2+62=x2+32，解得x=6，即P（6，0）；综上所述，所求点P的坐标为（﹣，0）或（6，0）．【点评】本题主要考查待定系数求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等，求二次函数解析式是基础，构建直角三角形求三角函数值是基本做法，通过勾股定理得出点坐标间联系是关键．25．（14分）（2020•浦东新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD=5，∵DEFG为矩形，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得，DE=，∵△ADE∽△FGB，∴=，则BG=，∴EF=DG=AB﹣AD﹣BG=；（2）如图2，作DH⊥AC于H，∴DH∥BC，又AD=DB，∴DH=BC=3，∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，∴△DHE∽△ECF，∴==，∴EC=2DH=6，EH=x﹣6，∴DE2=32+（x﹣6）2=x2﹣6x+45，∴y=DE•EF=2DE2=x2﹣12x+90，（3）如图3，当点G在边BC上时，∵，DE=3，∴EF=，∴AC=9，如图4，当点G在边AB上时，设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，∵△ADE∽△FGB，∴=，即=，整理得，a2﹣3ab﹣4b2=0，解得，a=4b，a=﹣b（舍去），∴AD=2DE，∵△ADE∽△ACB，∴AC=2BC=12，综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．【点评】本题的是矩形的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的求法以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．。
上海市杨浦区2020年初三中考数学二模试卷(逐题详解版)
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷2020.05一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．2020的相反数是（A ）2020；（B ）2020-；（C ）12020； （D ）12020-． 2．下列计算中，正确的是（A ）248a a a ⋅=； （B ）347=a a （）；（C ）44=ab ab （）； （D ）633=a a a ÷.3．如果将一张长方形纸片折成如图的形状，那么图中∠1与∠2的数量关系是（A ）∠1=2∠2； （B ）∠1=3∠2；（C ）∠1＋∠2=180°；（D ）∠1＋2∠2=180°．4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（A ）03d <<；（B ）07d <<； （C ）37d <<；（D ）03d <≤．5．如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（A ）sin36a︒； （B ）cos36a︒；（C ）2sin18a︒；（D ）2cos18a︒．6．已知在四边形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是 （A ）AD =BC ，AC=BD ； （B ）AC=BD ，∠BAD =∠BCD ； （C ）AO=CO ，AB=BC ； （D ）AO=OB ，AC=BD ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．分解因式：2mx －6my ＝ ▲ ． 8．函数y中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是 ▲ ． 10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是 ▲ ．第3题图1211．不等式组21021x x -+<⎧⎨-⎩≤的解集是 ▲ ． 12x =的解是 ▲ ．13．已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．14．在ABC △中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，DE 经过ABC △的重心，如果AB m =，AC n =，那么DE = ▲ ．（用m 、n 表示） 15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是 ▲ ．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数xky =的图像经过OAB △的顶点B 和边AB 的中点C ，如果OAB △的面积为6，那么k 的值是 ▲ ．17．定义：对于函数y=f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n -m ＝k （b -a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝-3x ，当1≤x ≤3时，-9≤y ≤-3，则-3-（-9）＝k （3-1），求得k ＝3，所以函数y ＝-3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x -1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是 ▲ ． 18．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是 ▲ ．三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：21232++22+2a a a a a+÷-（），其中15+=a ． ABC D第18题图第15题图ABC第16题图①②20．（本题满分10分）解方程组：22+2123+20.x y x xy y =⎧⎨-=⎩，21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB （弧所对的弦的长）为8米，拱高CD （弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB 上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角为α，且3cot =α，求水面上升的高度．22．（本题满分10分）某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95第21题图ABCDFE75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分析数据（1）填空：a = ▲ ，b = ▲ ，c = ▲ ，d = ▲ ； （2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在 ▲ （分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为 ▲ 人．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON=OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN .（1）如果EN //BD ，求证：四边形DMNE 是菱形； （2）如果EN ⊥DC ，求证：2AN NC AC =⋅.（分） 100频率第22题图第22题表第23题图ADCH MONE B24．（本题满分12分，每小题4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（-3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C.（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D 恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在第（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ = 2CP ，联结NQ .（1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP =x ，线段NQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长.备用图ACB第25题图QP A C MBN2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷答案解析版一．选择题（共6小题）1.2020的相反数是（）A. 2020B. ﹣2020C.12020D.12020【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【详解】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.下列计算中，正确的是（）A. a2•a4＝a8B. （a3）4＝a7C. （ab）4＝ab4D. a6÷a3＝a3【答案】D【解析】【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】A．a2•a4＝a2+4=a6，故此选项计算错误，B．（a3）4＝a3×4=a12，故此选项计算错误，C．（ab）4＝a4b4，故此选项计算错误，D．a6÷a3＝a6-3=a3，故此选项计算正确．故选D．【点睛】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A. ∠1＝2∠2B. ∠1＝3∠2C. ∠1+∠2＝180°D. ∠1+2∠2＝180°【答案】A【解析】【分析】由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．【详解】解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，又∠2+∠ABC=∠ABD，即：∠ABD=2∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠ABD（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠ABD=2∠2故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A. 0＜d＜3B. 0＜d＜7C. 3＜d＜7D. 0≤d＜3【答案】D【解析】【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0≤d ＜3， 故选：D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d ＞R+r ；②外切，则d=R+r ；③相交，则R-r ＜d ＜R+r ；④内切，则d=R-r ；⑤内含，则d ＜R-r ． 5.如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（ ）A.sin 36a︒B.cos36a︒C.2sin18a︒D.2cos18a︒【答案】C 【解析】 【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA. 【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a ∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ； ∴OA=AM sin OAM ∠=218asin ︒故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键. 6.已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（ ）A. AD ＝BC ，AC ＝BDB. AC ＝BD ，∠BAD ＝∠BCDC. AO ＝CO ，AB ＝BCD. AO ＝OB ，AC ＝BD【答案】B 【解析】【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【详解】解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ABC＝∠ADC＋∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．二．填空题（共12小题）7.分解因式：2mx－6my＝__________．【答案】2m(x－3y)【解析】试题分析：对于因式分解的题目．如果有公因式，我们首先都需要提取公因式，然后利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=2m（x－3y）.考点：因式分解.8.函数x的取值范围是____________________．【答案】x＞1【解析】【分析】根据被开方数不能为负数，以及分母不能为零，列出不等式解不等式即可.【详解】根据题意得：x-1≥0，且x-1≠0解得x＞1故填x＞1【点睛】本题考查自变量的取值范围，正确列出不等式是解题关键.9.从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是_____．【答案】4 7【解析】【分析】根据素数定义，先找到素数的个数，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7；∴抽到素数的概率是47．故答案为：47．【点睛】本题考查的是概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn；找到素数的个数为易错点．10.一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是_____．【答案】14 5【解析】【分析】根据题意先求出这组数的平均数是4，再根据方差公式求解即可【详解】解：∵x＝15（2+2+5+5+6）＝4，∴S2＝1n[（x1−x）2＋（x2−x）2＋…＋（x n−x）2]=15[（4﹣2）2+（4﹣2）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣6）2]＝145，故答案为：145．【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差S2＝1n[（x1−x）2＋（x2−x）2＋…＋（x n−x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．11.不等式组21021xx-+<⎧⎨-⎩的解集是_____．【答案】132x <【解析】【分析】先求出各个不等式的解集，再求它们的公共解集即为不等式组得解集．【详解】解：21021xx-+<⎧⎨-⎩①②，解不等式①，得12 x>；解不等式②，得x≤3；所以原不等式组的解集为：13 2x<≤，故答案为：132x <． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 12.x =的根是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题可先对方程两边平方，得到x+2=x 2，再对方程进行因式分解即可解出本题． 【详解】原方程变形为：x+2=x 2即x 2−x−2=0 ∴(x−2)(x+1)=0 ∴x=2或x=−1 ∵x=−1时不满足题意. ∴x=2. 故答案为2.【点睛】此题考查解无理方程，解题关键在于掌握方程解法.13.已知关于x 的一元二次方程 2210mx x -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是___．【答案】1m <且0m ≠ 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴()20240m m ≠⎧⎪⎨--⎪⎩＝＞， 解得：m ＜1且m≠0． 故答案为1m <且0m ≠．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0列出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．14.在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DE 经过△ABC 的重心，如果AB ＝π，AC n =，那么DE ＝_____．（用π、n 表示） 【答案】2233n π-【解析】 【分析】由DE ∥BC 推出AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3，推出DE ＝23BC ，求出 BC 即可解决问题．【详解】解：如图设G 是重心，作中线AF ．∵DE ∥BC ，∴AD ：AB ＝AG ：AF ＝DE ：BC ＝2：3， ∴DE ＝23BC ， ∵BC BA AC =+ ∴BC n π=-， ∴()222333DE n n ππ=-=- 故答案为：2233n π-． 【点睛】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是_____．【答案】355【解析】 【分析】根据题意，连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，由每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC 、CD 、AD 的长，然后即可得到△ACD 的形状，再利用等积法，即可求得CE 的长．【详解】解：连接AD 、AC ，作CE ⊥AD 于点E ，∵小正方形的边长都为1， ∵AD=224225+=,AC=223332+=,CD=22112+=∵()()()22225322=+，即AD 2=AC 2+CD 2∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°， ∴22AC CD AD CE⋅⋅=， 即32225=22CE⨯⨯， 解得，CE ＝35， 即点C 到线段AB 所在直线的距离是35， 故答案为：355．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16.如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝kx的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．【答案】4【解析】【分析】过B作BD⊥OA于点D，设点B（m，n），根据△OAB的面积为6，可以求得A点坐标，而点C是AB的中点，即可表示出C点坐标，再将点B、C坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．【详解】解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数kyx=的图象上，∴设B（m，n），∵△OAB的面积为6，∴12 OAn=，∴A（12n，0），∵点C是AB的中点，∴C（122mnn+，2n），∵点C在反比例函数kyx=的图象上，∴12=22mn nmnn+⋅，∴4mn=，∴4k=．故答案为4．【点睛】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B的坐标，是顺利解题的关键．17.定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是_____．【答案】2【解析】【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即可．【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5，∴1≤y≤9，∵一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，∴9－1=k（5－1），解得：k＝2；故答案为：2．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对“k级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解“k级函数”的概念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键．18.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝43，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【解析】【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝4 3＝FQDF，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝43，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝BEAE＝43，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝BEAE＝43，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan ∠FDQ ＝tan A ＝43＝FQ DF， ∴1xx ＝43， ∴x ＝4， ∴PE ＝4， ∴AP ＝6+4＝10；如图2，当点Q 落在AD 上时，∵将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ， ∴∠BPQ ＝90°， ∴∠APB ＝∠BPQ ＝90°， 在Rt △APB 中，∵tan A ＝AP BP ＝43，AB ＝10， ∴AP ＝6；如图3中，当点Q 落在直线BC 上时，作BE ⊥AD 于E ，PF ⊥BC 于F ．则四边形BEPF 是矩形．在Rt △AEB 中，∵tan A ＝BE AE ＝43，AB ＝10， ∴BE ＝8，AE ＝6， ∴PF ＝BE ＝8，∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF ⊥BQ ， ∴PF ＝BF ＝FQ ＝8，∴PB ＝PQ ＝2，BQ 2＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或10， 故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.三．解答题（共7小题） 19.先化简，再求值：（1222a a ++-）÷2322a a a++，其中a． 【答案】2a a -【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：原式＝()()()()22232222a a a a a a a -+++÷+-+ ＝()()()2322232a a a a a a ++⨯+-+＝2aa -． 当a【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的除法运算，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题关键． 20.解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】 【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x−y＝0或x−2y＝0，原方程组可化为212x yx y+=⎧⎨-=⎩，21220x yx y+=⎧⎨-=⎩，解这两个方程组，得原方程组的解为：114 4x y =⎧⎨=⎩，2263xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．21.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．【答案】（1）桥拱所在圆的半径长为5米；（2）水面上升的高度为1米【解析】【分析】（1）根据点D是AB中点，DC AB⊥知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径．（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可．【详解】解：（1）∵点D是AB中点，DC AB⊥，∴AC＝BC，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，∵AB＝8，∴AC＝BC＝4，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，∵OD ⊥AB ， ∴∠ACO ＝90°，在Rt △ACO 中，∵OA 2＝AC 2+OC 2， ∴R 2＝（R ﹣2）2+42， 解之得R ＝5．答：桥拱所在圆的半径长为5米． （2）设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ， ∵EF ∥AB ，OD ⊥AB ， ∴OD ⊥EF ，∴∠EGD ＝∠EGO ＝90°， 在Rt △EGD 中，cot 3EGDGα== ， ∴EG ＝3DG ，设水面上升的高度为x 米，即CG ＝x ，则DG ＝2﹣x ， ∴EG ＝6﹣3x ，在Rt △EGO 中，∵EG 2+OG 2＝OE 2， ∴（6﹣3x ）2+（3+x ）2＝52，化简得 x 2﹣3x +2＝0，解得 x 1＝2（舍去），x 2＝1， 答：水面上升的高度为1米．【点睛】此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度．22.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下： 收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 8580 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～70 4 0.170～80 a b80～90 10 0.2590～100 c d100～110 8 0.2分析数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．【答案】（1）6，0.15，12，0.3；（2）见解析；（3）：90～100；（4）400【解析】【分析】（1）根据数据找出a，c再求出相应的b，d．（2）根据（1）画图即可．（3）从直方图中直接找出频率最高者即为所求．（4）总数乘以频率即可．【详解】解：（1）由题意可知：第二组的频数a＝6，第四组的频数c＝12，∴第二组的频率为：6÷40＝0.15，第四组的频率为：12÷40＝0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3；（2）如下图即为补全的频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多．故答案为：90～100；（4）800×（0.3+0.2）＝400（人）．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．【点睛】此题考查数据的收集，包含频率的计算，画直方图等，难度一般．23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；（2）根据MN∥CD得到AN AMNC ME=，再由EN⊥DC得到EN∥AD，AC DCAN DE=，再由AB∥DC，得到AM ABME DE=，即可得到AN ACNC AN=，即为所求．【详解】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴ON OM OC OD=，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴AN AM NC ME=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴AC DC AN DE=，∵AB∥DC，∴AM AB ME DE=，∴AN AC NC AN=，∴AN2＝NC•AC．【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x 轴上，求直线AP 的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E 是y 轴正半轴上一点，点F 是直线AP 上一点．当△EAO 与△EAF 全等时，求点E 的纵坐标．【答案】（1）211433y x x =-++；（2）32；（3）3352+或5﹣6【解析】 【分析】（1）把(3,0)A -和点(3,2)B 代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；（2）如图1，根据对称的性质得5AD AC ==，可得2OD =，设OH a =，则4HC HD a ==-，在Rt HOD ∆中，根据勾股定理得222HD OH OD =+，列方程可得结论；（3）分两种情况：先说明AOE ∆是直角三角形，所以EAF ∆也是直角三角形，根据90EFA ∠=︒，画图，由勾股定理列方程可解答．【详解】解：（1）抛物线24y ax bx =++过点(3,0)A -和点(3,2)B ，∴93409342a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴211433y x x =-++；（2）如图1，连接AC ，DH ， 点C 关于直线AP 的对称点D ，AD AC =∴，211433y x x =-++与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点(3,0)A -，5AC ∴=， 5AD ∴=，∴点(2,0)D ，设直线AP 与y 轴交于点H ，则HC HD =，设OH a =，则4HC HD a ==-， 在Rt HOD ∆中，222HD OH OD =+，222(4)2a a ∴-=+，∴32a =， ∴直线AP 的截距为32； （3）点E 是y 轴正半轴上一点，AOE ∴∆是直角三角形，且90AOE ∠=︒当EAO ∆与EAF ∆全等时，存在两种情况：①如图2，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA AOE ∆≅∆，EF OA ∴=，AHO EHF ∠=∠，90AOH EFH ∠=∠=︒，()AOH EFH AAS ∴∆≅∆，AH EH ∴=，由（2）知：32OH =， 32EH AH OE ∴==-， Rt AHO ∆中，222AH AO OH =+，22233()3()22OE ∴-=+，解得：335OE +=或335-（舍)， ∴点E 的纵坐标是3352+；②如图3，当90EFA AOE ∠=∠=︒，EFA EOA ∆≅∆，3AF AO ∴==，EF OE =，Rt AHO ∆中，223353()2AH =+=，353FH ∴=-，32EH OE =-，Rt EFH ∆中，由勾股定理得：222EH FH EF =+，222335()(3)2OE OE ∴-=-+， 解得：356OE =-，∴点E 的纵坐标是356-；综上，点E 的纵坐标是335+或356-． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进一步分情况讨论．25.如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，点P 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），过P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，以M 为圆心，MA 长为半径的⊙M 与边AB 相交的另一个交点为点N ，点Q 是边BC 上一点，且CQ ＝2CP ，联结NQ ． （1）如果⊙M 与直线BC 相切，求⊙M 的半径长；（2）如果点P 在线段AC 上，设线段AP ＝x ，线段NQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，求线段AP 的长．【答案】（1）55-；（2）2221220y x x =-+（0＜x ＜4）；（3）52或112． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得45AB =，设⊙M 的半径长为R ，则45BM R =-，过M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，根据相似三角形的对应边成比例得到MB MH AB AC =，最后根据⊙M 与直线BC 相切，即MA ＝MH ，即可求解；（2）设AP ＝x ，得到CP ＝4﹣x ，CQ ＝8﹣2x ，BQ ＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，根据三角函数可得4525BG QG x x ==，，根据PM ⊥AB ，5cosA AM AC AP AB ===，得到52565MA AN NG 45x x x ===-，，，最后在Rt △QNG 中，根据勾股定理即可求解；（3）当点P 在线段AC 上，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，根据以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，PM ⊥AB ，MA ＝MN ，得到PN ＝P A ，∠P AN ＝∠ANE ，再根据∠ACB ＝90°，得到∠P AN +∠B ＝90°，∠NMO ＝∠B ，连接AQ ，根据 M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，得到MO ∥AQ ，∠NMO ＝∠BAQ ，∠BAQ ＝∠B ， QA ＝QB ，在Rt △QAC 中，根据勾股定理得，QA 2＝AC 2+QC 2即可求解；当点P 在线段AC 的延长112上，即11x 2=． 【详解】（1）解：如图1，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，∴22AB 4845=+=设⊙M 半径长为R ，则BM 45R =过M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，∴MH ∥AC ，∴△BHM ∽△BCA ， ∴MB MH AB AC = ∵⊙M 与直线BC 相切，∴MA ＝MH ，∴45445R R -= ∴R 55=-，即M 的半径长为55-；（2）如图2，∵AP ＝x ，∴CP ＝4﹣x ，∵CQ ＝2CP ，∴CQ ＝8﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝8﹣（8﹣2x ）＝2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，∵cos BG BC B BQ AB==， ∴245BG x =， ∴5BG 5x =同理：25 QG x =∴∠AMP ＝90°，∴cosA AM AC AP AB ===∵AP ＝x ，∴MA AN x x ==，∴NG 5x = 在Rt △QNG 中，根据勾股定理得，QN 2＝NG 2+QG 2，∴222y ⎛⎫⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭∴y =0＜x ＜4）；（3）当点P 在线段AC 上，如图3，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，∴∠NMO +∠ANE ＝90°，∵以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，即P 、E 、N 在同一直线上，又∵PM ⊥AB ，MA ＝MN ，∴PN ＝P A ，∴∠P AN ＝∠ANE ，∵∠ACB ＝90°，∴∠P AN +∠B ＝90°，∴∠NMO ＝∠B ，连接AQ ，∵M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，∴MO ∥AQ ，∴∠NMO ＝∠BAQ ，∴∠BAQ ＝∠B ，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，∴5 x2 =同理：当点P在线段AC的延长112上，11x2=即线段AP的长为52或112．【点睛】此题考查圆的综合题，涉及到相似三角形的判定和性质、解直角三角形，还涉及到了分类讨论的思想，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键．。
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【2020二模汇编】25题【1闵行区】25. 如图，已知圆O 是正六边形ABCDEF 外接圆，直径8BE =，点G 、H 分别在射线CD 、EF 上（点G 不与点C 、D 重合），且60GBH ∠=︒，设CG x =，EH y =.（1）如图1，当直线BG 经过弧CD 的中点Q 时，求CBG ∠的度数；（2）如图2，当点G 在边CD 上时，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AH 、EG ，如果△AFH 与△DEG 相似，求CG 的长.【参考答案】25.（1）15CBG ∠=︒；（2）84x y x =+（04x <<）；（3）12CG =.【2宝山区】25. 如图，已知在直角△ABC 中，90ABC ∠=︒，点M 在边BC 上，且12AB =，4BM =，如果将△ABM 沿AM 所在的直线翻折，点B 恰好落在边AC 上的点D 处，点O 为AC 边上的一个动点，联结OB ，以O 圆心，OB 为半径作O e ，交线段AB 于点B 和点E ，作BOF BAC ∠=∠交O e 于点F ，OF 交线段AB 于点G .（1）求点D 到点B 和直线AB 的距离；（2）如果点F 平分劣弧BE ，求此时线段AE 的长度；（3）如果△AOE 为等腰三角形，以A 为圆心的A e 与此时的O e 相切，求A e 的半径.【参考答案】25.（1）12105DB =，点D 到直线AB 的距离为365；（2）8425AE =；（3）20或6013.【3崇明区】25. 如图，已知正方形ABCD 中，4BC =，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ⊥AC ，点E 是射线AM 上一动点，联结OE 交AB 边于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH .（1）求证：△HDO ≌△EAO ；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG ，当△AEG 是等腰三角形时，求BF 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）y x =（04x <<）；（3）2或43.【4金山区】25. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，P 是线段BC 上任意一点，以点P 为圆心PB 为半径的圆与线段AB 相交于点Q （点Q 与点A 、B 不重合），CPQ ∠的角平分线与AC 相交于点D .（1）如果DQ PB =，求证：四边形BQDP 是平行四边形；（2）设PB x =，△DPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，求PB 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）23253(0)84y x x x =-+<<；（3）4或40089.【5长宁区】25. 已知AB 是O e 的一条弦，点C 在O e 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =.（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：弧AB =弧BC ；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果△EOB 是等腰三角形，且O e 的半径长等于2，求弦BC 的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）:3AD DB =；（3）1BC =或【6浦东区】25. 已知，如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒，点E 为BC 边上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ，设CE x =，EG y =.（1）求证：△AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO =时，求x 的值.【参考答案】25.（1）证明略；（2）224(02)x x x y x -+=<<；（3）2x =.【7徐汇区】25. 如图，在梯形ABCD Y 中，AD ∥BC ，5AB CD AD ===，4cos 5B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O e 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作CMN BAM ∠=∠，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N .（1）当点为E 边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN ∥MD 时，求MN 的长；（3）将O e 绕着点M 旋转180°得到O 'e ，如果以点N 为圆心的N e 与O e 和O 'e 都内切，求O e 的半径长.【参考答案】25.（1）158DF =；（2）5MN =；（3）258.【8嘉定区】25. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，5AB cm =，4cos 5B =，动点D 从点A 出发沿着射线AC 的方向以每秒1cm 的速度移动，动点E 从点B 出发沿着射线BA 的方向以每秒2cm 的速度移动，已知点D 和点E 同时出发，设它们运动的时间为t 秒，联结BD .（1）当AD AB =时，求tan ABD ∠的值；（2）以A 为圆心、AD 为半径画A e ，以点B 为圆心、BE 为半径画B e ，讨论A e 与B e 的位置关系，并写出相对应的t 的值；（3）当△BDE 为直角三角形时，直接写出tan CBD ∠的值.【参考答案】25.（1）tan 2ABD ∠=；（2）当53t =时；外切；当503t ≤<时，外离；当5t =时，内切；当553t <<时，相交；当5t >时，内含；（3）当90DEB ∠=︒时，2513t =，7tan 26CBD ∠=；当90EBD ∠=︒时，①E 在线段AB 上时，2511t =，2tan 11CBD ∠=；②E 在BA 延长线上时，5t =，1tan 2CBD ∠=；当90DBE ∠=︒时，253t =，4tan 3CBD ∠=.【9静安区】25. 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，15AC =，4sin 5BAC ∠=，点D 在边AB 上（不与点A 、重B 合），以AD 为半径的A e 与射线AC 相交于点E ，射线DE 与射线BC 相交于点F ，射线AF 与A e 交于点G .（1）如图，设AD x =，用x 的代数式表示DE 的长；（2）如果点E 是弧DG 的中点，求DFA ∠的余切值；（3）如果△AFD 为直角三角形，求DE 的长.【参考答案】25.（1）25DE x =；（2）11cot 2DFA ∠=；（3）1554DE =或1552.【10青浦区】25. 如图，已知AB 时半圆O 的直径，6AB =，点C 在半圆O 上，过点A 作AD OC ⊥ ，垂足为点D ，AD 的延长线与弦BC 交于点E ，与半圆O 交于大F （点F 与点B 不重合）.（1）当点F 为BC 的中点时，求弦BC 的长；（2）设OD x =，DE y AE =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段OD 的长.【参考答案】25.（1）33；（2）36x y -=；（3）32. 【11奉贤区】25. 如图，已知半圆⊙O 的直径10AB =，弦CD ∥AB ，且8CD =，E 为弧CD 的中点，点P 在弦CD 上，联结PE ，过点E 作PE 的垂线交弦CD 于点G ，交射线OB 于点F .（1）当点F 与点B 重合时，求CP 的长；（2）设CP x =，OF y =，求y 与x 的函数关系式及定义域；（3）如果GP GF =，求△EPF 的面积.【参考答案】25.（1）2CP CH PH =-=；（2）104y x =-(03)x ≤<；（3）11322EPF S PE EF ∆=⋅⋅=⨯⨯=.【12松江区】25. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＜BC ，AB = BC = 1，E 是边AB 上一点，联结CE .（1）如图，如果CE = CD ，求证：AD = AE ；（2）联结DE ，如果存在点E ，使得△ADE 、△BCE 和△CDE 两两相似，求AD 的长；（3）设点E 关于直线CD 的对称点为M ，点D 关于直线CE 的对称点为N ，如果AD =23，且M 在直线AD 上时，求DNEM 的值.【参考答案】25.（1）证明略；（2）14；（3. 【13黄浦区】25. 在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG EF⊥，EH EF⊥.（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当12BGGC=时，求FGEH的值；（3）当5cos13D∠=，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长.【参考答案】25.（1）证明略；（2）23FGEH=；（3）313AF=.【14虹口区】25. 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ︒∠=，3cos 5C =，5DC =，6BC =，以点B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边CD 、BC 于点E 、F .（1）求sin BDC ∠的值； （2）联结BE ，设点G 为射线DB 上一动点，如果ADG BEC V :V ，求DG 的长；（3）如图2，点P 、Q 分别为点AD 、BC 上动点，将扇形DBF 沿着直线PQ 折叠，折叠后的弧D F ''经过点B 与AB 上一点H （点D 、F 分别为对应点D '，F '），设BH x =，BQ y =，求y 关于x 的函数关系式（不需要写定义域）【参考答案】25.（1）24sin 25BDC ∠=；（2）1110DG =；（3）y =。