2020届上海市年上学期进才中学高一数学月月考试题
上海市进才中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析
进才中学高一月考数学卷一、填空题1.设集合{}220x x x a -+=是单元素集合，则实数a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意得知0∆=，即可求出实数a 的值.【详解】由题意可知，方程220x x a -+=有且只有一个实根，则440a ∆=-=，解得1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用集合元素的个数求参数的值，考查二次方程根的个数问题，考查运算求解能力，属于基础题.2.若α、β是一元二次函数2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=______.【答案】4- 【解析】 【分析】利用韦达定理得出αβ+、αβ的值，然后将代数式通分代值计算即可. 【详解】由韦达定理可得4αβ+=-，1αβ=，因此，11441βααβαβ+-+===-. 故答案为：4-.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题. 3.满足{}{},M a a b ⊆U 的集合M 的个数是______个. 【答案】4 【解析】 【分析】把符合条件的集合M 列举出来，即可得出符合条件的集合M 的个数.【详解】由题意可知，满足{}{},M a a b ⊆U 的集合M 有：∅、{}a 、{}b 、{},a b ，共4个. 故答案为：4.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的求解，一般将符合条件集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4.用列举法表示方程组2212x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩______.【答案】22,22⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭【解析】 【分析】解出方程组2212x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.【详解】解出方程组2212x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2x y ==，因此，方程组2212x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩2222⎧⎫⎛⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为；2222⎧⎫⎛⎪⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 【点睛】本题考查二元方程组的解集的求解，在求出方程组的解之后，表示解集时需注意解集中的元素应表示为有序实数对，考查计算能力，属于基础题.5.已知命题:2P x >，命题2:230Q x x --=，则命题“P 或Q ”为真的运算结果为______. 【答案】2x >-或1x =- 【解析】 【分析】解方程2230x x --=，将P 、Q 中x 取值或取值范围合并可得出命题“P 或Q ”为真的运算结果.【详解】解方程2230x x --=，得1x =-或3x =， 因此，命题“P 或Q ”为真的运算结果为2x >-或1x =-. 故答案为：2x >-或1x =-.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，解题时要结合复合命题的真假得出简单命题的真假，从而得出参数的取值范围，考查计算能力，属于基础题.6.若关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R ，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(]1,0- 【解析】 【分析】分两种情况0a =和0a <⎧⎨∆<⎩，可求出实数a 的取值范围.【详解】Q 关于x 的不等式2210ax ax +-<的解集为R . 当0a =时，原不等式为10-<，该不等式在R 上恒成立； 当0a ≠时，则有2440a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得10a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(]1,0-. 故答案为：(]1,0-.【点睛】本题考查二次不等式在实数集上恒成立问题，一般要对首项系数的符号和判别式的符号进行讨论，由此列出不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7.若集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =I ______.【答案】{}21x x -<< 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B I .【详解】{}20211x A x x x x ⎧⎫+=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭Q ，{}{}222B x x x x =<=-<<，因此，{}21A B x x ⋂=-<<. 故答案为：{}21x x -<<.【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题.8.已知集合{}41,A x x k k Z ==±∈，U Z =，则U A =ð______ . 【答案】{}2,x x k k Z =∈ 【解析】 【分析】将集合A 表示为{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈，并进行化简，再利用补集的定义可得出集合U A ð.【详解】由题意可得{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈，{}{}41,221,x x k k Z x x k k Z =+∈==⨯+∈，{}(){}41,2211,x x k k Z x x k k Z =-∈==⨯-+∈，所以，{}{}{}41,41,21,A x x k k Z x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈==+∈， 因此，{}2,U A x x k k Z ==∈ð. 故答案为：{}2,x x k k Z =∈.【点睛】本题考查补集的运算，解题的关键就是弄清楚题中集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.设关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式06ax bx ->-的解集为______.【答案】{1x x <-或}6x > 【解析】 【分析】由题意得出1为关于0ax b +=的根，且0a >，然后将分式不等式化为106x x +>-，解出该不等式即可.【详解】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是()1,+∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a >，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x ->-即为06ax a x +>-，即106x x +>-， 解该不等式得1x <-或6x >.故答案为：{1x x <-或}6x >.【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求解，解题的关键就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题. 10.a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄由小到大依次为______. 【答案】c a b << 【解析】 【分析】若命题A 为真命题，可得出a b c <<或c a b <<，若命题B 为真命题，可得出b c a <<或c a b <<，进而得出结论.【详解】若命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”是真命题，则a 是最小，b 不是最大，即c 最大，或a 不是最小，b 最大，c 最小，即a b c <<或c a b <<；若命题B ：“如果c 的年龄不是最小，那么a 的年龄最大”是真命题，则c 不是最小，a 最大，b 最小，或a 不是最大，c 最小，b 最大，即b c a <<或c a b <<.若两个命题均为真命题，则c a b <<. 故答案为：c a b <<.【点睛】本题考查了命题真假性的判断与应用，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题的真假性相同，考查推理能力，属于中等题.11.Q 是有理数集，集合{}2,,,0M x x a b a b Q x ==∈≠，在下列集合中：①{}2x x M ∈；②1x M x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③{}1212,x x x M x M +∈∈；④{}1212,x x x M x M ∈∈.与集合M 相等的集合序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.【详解】对于①中的集合，x M ∈Q ，设2x a b =，a Q ∈，b Q Î， )22222x a b b a ==，则2b Q ∈，①中的集合与集合M 相等；对于②中的集合，x M ∈Q ，设2x a b =，a Q ∈，b Q Î，且a 、b 不同时为零.则()()222212222222b a b x a b a b a b a b a b ===--++-，其中222a Q a b∈-，222bQ a b-∈-，②中的集合与集合M 相等； 对于③中的集合，取12x a b =，22x a b =-，a Q ∈，b Q Î，则120x x M +=∉，③中的集合与集合M 不相等；对于④中的集合，设1112x a b =，2222x a b =，其中1a 、2a 、1b 、2b Q ∈，则()()()(121122121212212222x x a b a b a a b b a b a b =+=+++，12122a a b b Q +∈，1221a b a b Q +∈，④中的集合与集合M 相等.因此，集合M 相等的集合序号是①②④. 故答案为：①②④.【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.12.设集合{}1,2,3,4,5I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②()min A A ≤（其中A 表示A 中元素的个数，()min A 表示集合A 中最小元素），称集合A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为______. 【答案】12 【解析】 【分析】对()min A 的取值为1、2、3、4、5进行分类讨论，列举出在()min A 在对应取值下集合A ，由此得出符合条件的集合A 的个数.【详解】由题意可知，()min A 的取值为1、2、3、4、5.（1）当()min 1A =时，1A ≤，则{}1A =；（2）当()min 2A =时，2A ≤，则符合条件的集合A 有：{}2、{}2,3、{}2,4、{}2,5，共4个；（3）当()min 3A =时，3A ≤，则符合条件的集合A 有：{}3、{}3,4、{}3,5、{}3,4,5，共4个；（4）当()min 4A =时，4A ≤，则符合条件的集合A 有：{}4、{}4,5，共2个； （5）当()min 5A =时，5A ≤，则符合条件的集合A 为{}5. 综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=. 故答案为：12.【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 二、选择题13.已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（） A. 1a < B. 1a ≤ C. 2a > D. 2a ≥【答案】D 【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<，,A B B B A ⋂=∴⊆Q ，则2a ≥，故选D.14.已知实数a 、b 、c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ a b ac >”成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由0ac <，可得出0c a <<，由ab ac >可知0a >，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系.【详解】c b a <<Q ，若0ac <，则必有0c a <<，由b c >，可得出 a b ac >，则0ac ab ac <⇒>；另一方面，若 a b ac >，且c b a <<，则0a >，事实上，若0c b a <<<，则ab ac <. 则0ab ac ac >⇒</.因此，“0ac <”是“ a b ac >”成立的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.15.以下结论错误的是（ ）A. 命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”B. 命题“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C. 命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D. 命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠” 【答案】C 【解析】 【分析】利用逆否命题、否命题与原命题之间的关系可判断A 、D 选项的正误；解方程2340x x --=，可得出B 选项的正误；写出命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题，再判断出其逆命题的正误，可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，命题“若2340x x --=，则4x =”逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”，A 选项中的结论正确；对于B 选项，解方程2340x x --=，得1x =-或4x =，所以，“4x =”是“2340x x --=”的充分条件，B 选项中的结论正确；对于C 选项，命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根，则0m >”，由140m ∆=+≥，得14m ≥-，逆命题为假命题，C 选项中的结论错误；对于D 选项，命题“220m n +=，则0m =或0n =”的否命题是“220m n +≠，则0m ≠且0n ≠”，D 选项中的结论正确.故选：C.【点睛】本题考查四种命题以及充分条件的判断，要熟悉命题之间的关系，以及真假性之间的关系，考查推理能力，属于基础题.16.已知不等式()()120a x x x x -->的解集为A ，不等式()()120b x x x x --≥的解集为B ，其中a 、b 是非零常数，则“0ab <”是“A B R =U ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】对a 、b 的符号以及1x 、2x 是否相等分情况讨论，得出A B R =U 的充要条件，即可判断出“0ab <”是“A B R =U ”的充要条件关系. 【详解】（1）若0a >，0b >.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≥，得B R =，A B ⊆，A B B R ==U ；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞U ，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≥，得(][)12,,B x x =-∞+∞U ，A B ⊆，则A B B R =≠U ；（2）同理可知，当0a <，0b <时，A B ⊆，A B B ⋃=不一定为R ； （3）若0a >，0b <.①若12x x =，不等式()()120a x x x x -->即为()210x x ->，则{}1A x x x =≠，不等式()()120b x x x x --≥即为()210x x -≤，则{}1B x =，此时，A B R =U ；②若12x x ≠，不妨设12x x <，不等式()()120a x x x x -->即为()()120x x x x -->，则()()12,,A x x =-∞+∞U ，不等式()()120b x x x x --≥即为()()120x x x x --≤，则[]12,B x x =，此时，A B R =U ；（4）同理，当0a <，0b >时，A B R =U . 综上所述，“0ab <”是“A B R =U ”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题. 三、解答题17.解不等式：2024x x <+-<. 【答案】()()3,21,2--U 【解析】 【分析】分别解出不等式220x x +->和224x x +-<，然后将两个解集取交集即可得出原不等式的解集.【详解】解不等式220x x +->，得2x <-或1x >. 解不等式224x x +-<，即260x x +-<，解得32x -<<. 因此，不等式2024x x <+-<的解集为()()3,21,2--U .【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18.设0m n >>，试比较2222m n m n -+与m nm n -+的大小关系. 【答案】2222m n m nm n m n-->++ 【解析】 【分析】由()()()()2222m n m n m n m n m n m n m n -+--==+++，再利用不等式的性质可得出2222m n m n -+与m n m n-+的大小关系.【详解】()()()()222222222m n m n m n m n m n m n m mn n m n m n -+---===+++++， 0m n >>Q ，222202m n m mn n ∴<+<++且220m n ->， 2222112m n m mn n ∴>+++，因此，222222222m n m n m n m mn n -->+++，即2222m n m n m n m n-->++. 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较代数式的大小，常用的比较大小方法有：作差法、作商法、不等式的性质、函数单调性法、中间值法以及图象法等，可以结合代数式的结构选择合适的方法来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.设函数()f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--；（2）若()1f x ≤解集为[]0,2，求a 的值.【答案】（1）(][),25,-∞-+∞U ；（2）1a =.【解析】【分析】（1）将2a =代入不等式()71f x x ≥--，得出127x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三种情况来解不等式()71f x x ≥--，即可得出该不等式的解集； （2）解出不等式()1f x ≤得出11a x a -≤≤+，由题意得出[][]0,21,1a a =-+，然后列出方程组求出实数a 的值.【详解】（1）当2a =时，由()71f x x ≥--，得271x x -≥--，即127x x -+-≥. 当1x ≤时，则有12327x x x -+-=-≥，解得2x -≤，此时，2x -≤；当12x <<时，则有1217x x -+-=>，该不等式不成立；当2x ≥时，则有12237x x x -+-=-≥，解得5x ≥，此时，5x ≥.综上所述，当2a =时，不等式()71f x x ≥--的解集为(][),25,-∞-+∞U ；（2）解不等式()1f x ≤，即1x a -≤，即11x a -≤-≤，解得11a x a -≤≤+.由题意可得[][]0,21,1a a =-+，所以，1012a a -=⎧⎨+=⎩，因此，1a =.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值不等式的解集求参数，对于绝对值不等式的求法，一般利用零点分段法与绝对值的几何意义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.已知集合()4,6A =-，集合()(){}30,B x x a x a x R =--≤∈.（1）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）423,⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(][),46,-∞-+∞U 【解析】【分析】（1）由A B A ⋃=得出B A ⊆，然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件B A ⊆列关于a 的不等式组，即可求出实数a 的取值范围；（2）然后对a 与3a 的大小分三种情况讨论，结合条件A B =∅I ，列出关于a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）A B A =Q U ，B A ∴⊆.当0a =时，{}0B A =⊆成立；当0a <时，3a a <，则[]3,B a a =，由B A ⊆，得346a a >-⎧⎨<⎩，解得463a -<<，此时，403a -<<； 当0a >时，3a a >，则[],3B a a =，由B A ⊆，得436a a >-⎧⎨<⎩，解得42a -<<，此时，02a <<.综上所述，实数a 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）当0a =时，{}0B A =⊆，此时，{}0A B =≠∅I ，舍去；当0a <时，30a a <<，此时，[]3,B a a =，由A B =∅I ，得4a ≤-；当0a >时，30a a >>，此时，[],3B a a =，由A B =∅I ，得6a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][),46,-∞-+∞U .【点睛】本题考查利用集合包含关系、集合运算的结果求参数，解题时要对参数的符号进行分类讨论，并求出相应的集合，结合数轴来得出不等关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.已知数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：11a =且1211112n n na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+； （3）证明：当5m =时，53424321a a a a a a a a ===. 【答案】（1）{}1,3,4不具有性质P ，{}1,2,3,6具有性质P ，理由详见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由定义直接判断集合{}1,3,4和{}1,2,3,6是否具有性质P ；（2）由已知得n n a a 和n n a a 中至少有一个属于A ，从而得到11a =，再由121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，得到()2,3,,k n a a A k n ∉=L ，由A 具有性质P 可知()1,2,3,,n k a A k n a ∈=L ，由此能证明1211112n n na a a a a a a ---++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+； （3）当5n =时，25243a a a a ==，从而34a a A ∈，43a A a ∈，由此能证明53424321a a a a a a a a ===. 【详解】（1）由于34⨯和43均不属于数集{}1,3,4，所以，数集{}1,3,4不具有性质P . 由于12⨯、13⨯、16⨯、23⨯、62、63、11、22、33、66都属于数集{}1,2,3,6，所以，数集{}1,2,3,6具有性质P ；（2）Q 数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥具有性质P ，所以，n n a a 和n na a 中至少有一个属于A ，121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<Q ，所以n n n a a a >，则n n a a A ∉，从而1n n a A a =∈，故11a =. 121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<Q ，所以，k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=L .因为，数集A 具有性质P 可知，()1,2,3,,n ka A k n a ∈=L . 又因为121n n n n n n a a a a a a a a -<<<<L ，1n n a a a ∴=，21n n a a a -=，L ，12n n a a a -=，1n n a a a =. 所以，1212n n n n na a a a a a a a a +++=+++L L . 因此，()111121212111111111121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+===++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+L ； （3）由（2）知，542a a a =，533a a a =，即25243a a a a ==， 因为123451a a a a a =<<<<，所以，34245a a a a a >=，则34a a A ∉，由于数集A 具有性质P ，43a A a ∴∈. 由2243a a a =，可得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，所以，34232a a a a a ==， 故534224321a a a a a a a a a ====，因此，53424321a a a a a a a a ===. 【点睛】本题考查集合中的新定义，考查等式的证明，考查了运算求解能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想的应用，能较好地考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于难题.。
2021-2022学年上海市进才中学高一年级上册学期10月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．己知a 、b 、R c ∈，那么下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >，则a b > D ．若22a b >，则a b >C【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.【详解】对于A ，若ac bc >，0c <，则a b <，故A 错误； 对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若()()()2233223+024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，此时223+024b b a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴a b >，故C 正确；对于D ，若22a b >取3a =-，2b =-，则a b <，故D 错误． 故选：C ．2．用反证法证明：“a 、b 、c 、R d ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则a 、b 、c 、d 中至少有一个负数”时的假设为（ ）A ．a 、b 、c 、d 中至少有一个正数B ．a 、b 、c 、d 全为正数C ．a 、b 、c 、d 中至多有一个负数D ．a 、b 、c 、d 全都大于或等于0D【分析】利用反证法的定义即可得出答案.【详解】反证法的假设为结论的否定，即应假设“a 、b 、c 、d 全都大于或等于0”. 故选：D ．3．设a 、b 、c 是非零实数，式子ab bc acab bc ac++所有可能取的值组成的集合记为P ；满足{}{}2|10|3210x mx x x x -=⊆+-=的实数m 所有可能取的值组成的集合记为Q ；己知:x P α∈，:x Q β∈，则α是β的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件D【分析】讨论a 、b 、c 的符号可求集合P ，根据子集的概念可求集合Q ，再根据充分、必要条件理解判断.【详解】对于集合P ，则有：当a ，b ，c 全正时，3ab bc ac ab bc ac++=， 当a ，b ，c 两正一负时，1ab bc ac ab bc ac ++=-， 当a ，b ，c 一正两负时，1ab bc ac ab bc ac ++=-， 当a ，b ，c 全负时，3ab bc acab bc ac++=-，所以{}3,1,3P =--， 对集合Q ，则有：因为{}{}21|10|32101,3x mx x x x ⎧⎫-=⊆+-==-⎨⎬⎩⎭，当Q =∅，则0a =当{}1Q =-，则10m --=，即1m =- 当13Q ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则1103m -=，即3m =所以{}0,1,3Q =-∵3,3P Q -∈-∉，且0,0Q P ∈∉ 则α是β的非充分非必要条件， 故选：D ．4．设数集M 同时满足条件：①M 中不含元素1-，0，1，②若a M ∈，则11aM a+∈-．则下列结论正确的是（ ） A ．集合M 中至多有2个元素； B ．集合M 中至多有3个元素； C ．集合M 中至少有4个元素； D ．集合M 中有无穷多个元素．C【分析】根据条件分别进行推理即可得到结论 【详解】由a x M =∈，则11xM x+∈-， 所以1111111xx M x x x++-=-∈+--，所以111111x x M x x--=∈++， 所以111111x x x M x x -++=∈--+， 若11xx x+=-，则21x =-无解， 因为1,0,1x ≠-，所以111,,11x x x x x x ++---，互不相等，此时集合M 中含4个元素， 所以集合M 中至少有4个元素， 故选：C二、填空题5．用描述法表示被3除余2的整数集为__________．{}|32,Z x x n n =+∈【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3的整数倍再加2． 【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为{}|32,Z x x n n =+∈．故{}|32,Z x x n n =+∈．6．若全集{}{}|3,13U x x A x x =<=<<，则UA =__________．{}|1x x ≤【分析】根据集合的补集运算求解. 【详解】∵{}{}|3,13U x x A x x =<=<< ∴{}U|1A x x =≤故答案为.{}|1x x ≤7．用列举法表示方程组24x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集 ___．(){}3,1【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合．【详解】解方程组24x y x y -=⎧⎨+=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，故方程组解的集合为：(){}3,1．故(){}3,18．设a 、R b ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b =__________．1【分析】根据A B =列方程组，由此求得b 的值.【详解】因为a 、b ∈R ，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，A B =，0a ≠，所以01a b b +=⎧⎨=⎩，解得1a =-，1b =．故19．关于x 的不等式组231x x a ≥⎧⎨≤+⎩的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意得231a >+，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：231a >+，所以13a <．故答案为.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知a ，b 为常数，若0ax b -<的解集是(),2-∞，则0bx a +>的解集是__________． 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由不等式的解集可得0a >且2b a =，代入不等式0bx a +>中求解即可. 【详解】由题意，不等式ax b <解得2x <，∴0a >，2ba=，即20b a =>， 则0bx a +>即210x +>，解得12x >-，所以解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．集合(){}21330A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________．1或14【分析】根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得a 的值.【详解】集合(){}21330A x a x x =-+-=中有且仅有一个元素，即方程()21330a x x -+-=有且仅有一个根．当1a =时，方程有一根1x =符合要求；当1a ≠时，()()234130a ∆=-⨯-⨯-=，解得14a =， 故满足要求的a 的值为1或14． 故1或1412．已知全集{}10,N U x x x =≤∈，集合A ，B 满足{}2,4,6A B =，{}5,7,9A B =，{}1,10A B =，则集合A =__________．{}2,3,4,6,8【分析】根据集合间的关系及运算结合题意即可求解集合,A B . 【详解】已知{}10,U x x x =≤∈N ，{}2,4,6A B ⋂=， 所以集合A 中至少有2，4，6，集合B 中没有2，4，6， 因为{}5,7,9A B =，{}1,10A B ⋂=，所以集合A 中没有5，7，9，集合B 中有5，7，9， 集合A 、B 中没有0，1，10，综上，集合A 中没有5，7，9，1，10，集合B 中没有2，4，6，1，10， 所以{}2,3,4,6,8A =． 故答案为.{}2,3,4,6,813．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（N x ∈且0x >），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为__________人．75【分析】根据题干列不等式，解不等式即可.【详解】由题意得()()()10014%1000x x a a a -+≥>⎡⎤⎣⎦， 解得075x ≤≤， 又N x ∈且0x >，所以调整后的技术人员的人数最多75人， 故答案为.7514．己知R a ∈，设集合2{|10}=--≥A x ax ax 不为空集，则a 的取值范围为__________．(](),40,-∞-⋃+∞【分析】对参数分类讨论不等式的解集问题. 【详解】当0a =时，10-≥，舍去；当0a >时，由210ax ax --≥，对应方程的240a a ∆=+>，满足题意，当0a <时，若集合2{|10}=--≥A x ax ax 不为空集,240a a ∆=+≥，所以4a ≤-，或0a ≥（舍去）综上，a 的取值范围为(](),40,-∞-⋃+∞． 故答案为.(](),40,-∞-⋃+∞15．对于集合{}22,Z,Z M a a x y x y ==-∈∈，给出如下结论，其中正确的结论的序号是__________．（1）如果{}21,N B b b n n ==+∈，那么B M ∈ （2）如果{}2,N C c c n n ==∈，那么c M ∈ （3）如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈ （4）如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ （3）【分析】根据集合M 满足的条件，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于（1），21b n =+，Z n ∈，恒有()22211n n n +=+-， 所以21n M +∈，所以B M ⊂，故（1）错误；对于（2），2c n =，Z n ∈，若2n M ∈，则存在x 、y Z ∈使得222x y n -=， 所以()()2n x y x y =+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而2n 是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而2n 不一定能被4整除， 所以2n M ∉，即c M ∉，故（2）错误；对于（3），1a M ∈，2a M ∈，设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则()()()()()()2222222212112212121221a a x y x y x x y y x y x y =--=+--()()2212121221x x y y x y x y M =+-+∈，那么12a a M ∈，故（3）正确；对于（4），1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则()()()()222222221211221212a a x y x y x x y y M +=-+-=+-+∉，故（4）错误．故正确的是（3）． 故（3）．16．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，集合B A ⊆，且B 中有四个元素，则元素和能被3整除的集合B 的个数为__________． 42【分析】根据题意结合子集的概念分析求解.【详解】把集合A 中按元素除以3的余数分成三个集合{}1,4,7C =，{}2,5,8D =，{}3,6,9E =，则集合B 有如下可能：由C 中的所有元素和E 一个元素组成，则有3个； 由D 中的所有元素和E 一个元素组成，则有3个； 由C 中的两个元素和D 中的两个元素组成，C 中的两个元素有三种可能：{}1,4，{}1,7，{}4,7D 中的两个元素有三种可能：{}2,5，{}2,8，{}5,8则有339⨯=个由C 中的一个元素、D 中的一个元素和E 的两个元素组成，E 中的两个元素有三种可能：{}3,6，{}3,9，{}6,9则有33327⨯⨯=个所以集合B 的个数为3392742+++= 故42三、解答题17．已知方程20x ax a -+=的两个实根为1x ，2x . （1）用含a 的代数式表示1211x x +和12x x -； （2）若该方程的两个实数根都大于0，求实数a 的取值范围.（1））12111x x +=，12x x -；（2）4a ≥.【分析】（1）用韦达定理即可求解；（2）结合根的判别式和韦达定理即可解出来. 【详解】（1）121212111x x ax x x x a++===⋅，12x x -= （2）方程的两个实数根都大于0，121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，2400a a a ⎧-≥⎨>⎩解得4a ≥ 所以实数a 的取值范围是4a ≥18．关于x 的不等式21ax a x +<+的解集为A ． (1)求解集A ；(2)集合{}2560B x x x =--<，若2a >，求A B ⋂．(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）不等式可化为()211a x a -<-，根据a 与1的关系分类讨论得出解集；（2）根据已知条件求出,A B ，然后根据解集端点的大小关系讨论得出结果．【详解】(1)由21ax a x +<+得()211a x a -<-，当1a >时，解集为(),1A a =-∞+； 当1a =时，解集为A =∅； 当1a <时，解集为()1,A a =++∞； (2)若2a >，则(),1A a =-∞+，{}()(){}2560160(1,6)B x x x x x x =--<=+-<=-，当5a ≥时，16a +≥，()1,6A B =-； 当25a <<时，316a <+<，()1,1A B a =-+． 19．（1）实数0a b >>，比较1a b +与1b a+的大小；（2是无理数． （1）11a b b a+<+；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用反证法证明即可 【详解】（1）因为0a b >>，所以()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以11a b b a+<+；（2mn=，其中,m n 是互质的整数，则m =，两边平方得26m n =，所以m 为偶数， 设2,Z m k k =∈，则246k n =即223k n =， 所以n 为偶函数，与“,m n 是互质的整数”矛盾，所以假设不成立.是无理数．20．定义区间(),m n 、[],m n 、(],m n 、[),m n 的长度均为n m -，其中n m >． (1)求不等式2280x x --+>的解集区间的长度；(2)如果数集5,6A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，31,B b b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦都是集合[]0,1的子集，那么集合A B ⋂，A B⋃的长度的最小值和最大值分别是多少(3)已知不等式组223217211150x x x kx k ≤-≤+⎧⎨-+≥⎩的解集构成的各区间的长度和等于6，求实数k 的范围． (1)6(2)A B ⋂长度的最大值为13，最小值为16；A B ⋃长度的最大值为1，最小值为56；(3)216,5,3⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案；（2）由A ，B 得到A ，B 的长度，结合A ，B 都是集合[]0,1的子集即可求解； （3）设22211150x kx k -+≥的解集为C ，由于3217x x ≤-≤+的解集为[]28,，长度为6，结合题意可得[]2,8C ⊆，然后分0k =，0k >和0k <讨论22211150x kx k -+≥的解集情况，列出不等式即可求解【详解】(1)由2280x x --+>得42x -<<，所以2280x x --+>的解集为()4,2-，故解集区间的长度为()246--=；(2)由5,6A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，31,B b b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦可得到A 的长度为56，B 的长度为13，因为A ，B 都是集合[]0,1的子集，所以A B ⋂长度的最大值为13，最小值为5111636+-=；A B ⋃长度的最大值为1，最小值为56；(3)由3217x x ≤-≤+即321217x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩得28x ≤≤，此不等式解集长度为6，又不等式组223217211150x x x kx k ≤-≤+⎧⎨-+≥⎩的解集构成的各区间的长度和等于6， 设22211150x kx k -+≥的解集为C ，则[]2,8C ⊆， 由22211150x kx k -+≥得()()2530x k x k --≥， 当0k =时，C =R ，[]2,8C ⊆显然成立； 当0k >时，[)5,3,2k C k ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，由[]2,8C ⊆得582k≤或32k ≤， 所以165k ≥或203k <≤；当0k <时，(]5,3,2k C k ⎡⎫=-∞+∞⎪⎢⎣⎭，由[]2,8C ⊆得522k≤即45≤k ， 所以0k <；综上，实数k 的范围是216,5,3⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭21．符号[]x 表示不大于x 的最大整数（R x ∈），例如：[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-． (1)解下列两个方程：[]3x =，[]23x =-；(2)分别研究当0x >，0x <时，不等式[][]()2221x x x ≤<+是否成立，并说明理由；(3)求方程[]2440510x x -+=的实数解．(1)[)3,4x ∈，3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析 (3)答案见解析【分析】（1）结合题目所给定义解方程即可；（2）由所给定义得到[][]1x x x ≤<+，结合不等式的性质即可求得不等式是否成立； （3）由[][]1x x x ≤<+，将问题转化为关于[]x 的不等式组，解出[]x 代入方程求解即可.【详解】(1)因为[]3x =，所以[)3,4x ∈，因为[]23x =-，所以[)23,2x ∈--，所以3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭． (2)对任意x ，有[][]1x x x ≤<+，当0x >时，[][]()2221x x x ≤<+成立，因为[][]01x x x ≤≤<+故[][]()2221x x x ≤<+ 当0x <时，[][]()2221x x x ≤<+不成立，因为[][]10x x x ≤<+≤故[]()[]2221x x x +<≤ (3)因为[][]1x x x ≤<+，又[]0x <不是解，所以[]()[][][]224140510440510x x x x ⎧+-+>⎪⎨⎪-+≤⎩，所以[]()[]()[]()[]()252110232170x x x x ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩， 解得[][][]5232172x x x ⎧<⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩或[][][]11232172x x x ⎧>⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得[]2x =或[]6x =或7或8， 分别代入方程得24290x -=，解得x =241890x -=，x == 242290x -=，x =242690x -=，x = 经检验，这四个值都是原方程的解．。
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一(上)10月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）设集合{x|x2﹣2x+a＝0}是单元素集合，则实数a＝．2．（3分）若α、β是一元二次方程x2+4x+1＝0的两个实数根，则＝．3．（3分）满足M∪{a}⊆{a，b}的集合M的个数是个．4．（3分）用列举法表示方程的解集．5．（3分）已知命题P：x＞2，命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，则命题“P或Q”为真的运算结果为．6．（3分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是．7．（3分）若集合，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝．8．（3分）已知集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，U＝Z，则∁U A＝．9．（3分）设关于x的不等式ax+b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解为．10．（3分）a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄由小到大依次为．11．（3分）Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；与集合M相等的集合序号是．12．（3分）设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为二.选择题13．（3分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）14．（3分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”16．（3分）已知不等式a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0的解集为A，不等式b（x﹣x1）（x﹣x2）≥0的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件三.解答题17．解不等式：0＜x2+x﹣2＜4．18．设m＞n＞0，试比较与的大小关系．19．设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1解集为[0，2]，求a的值．20．已知集合A＝（﹣4，6），集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0，x∈R}．（1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．21．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝1，且＝a n；（3）当n＝5时，证明：＝＝＝．2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合{x|x2﹣2x+a＝0}是单元素集合，则实数a＝1．【分析】由题意可得，x2﹣2x+a＝0有一个解，结合二次方程根的存在条件可求．【解答】解：由题意可得，x2﹣2x+a＝0有一个解，∴△＝4﹣4a＝0，解可得a＝1，故答案为：1【点评】本题主要考查了集合基本概念的简单应用，属于基础试题．2．（3分）若α、β是一元二次方程x2+4x+1＝0的两个实数根，则＝﹣4．【分析】由根与系数的关系可得答案【解答】解：由根与系数的关系可得：α+β＝﹣4，αβ＝1，所以＝﹣4故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查根与系数的关系，属于基础题．3．（3分）满足M∪{a}⊆{a，b}的集合M的个数是4个．【分析】由题意可知M⊆{a，b}，再利用子集的个数规律2n，即可算出结果．【解答】解：∵M∪{a}⊆{a，b}，M⊆{a，b}，故集合M的个数为22＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了集合的基本关系，以及集合子集的个数，是基础题．4．（3分）用列举法表示方程的解集．【分析】联立方程可求方程的解，再结合集合的表示方法即可求解．【解答】解：联立程可得，，解可得，x＝，y＝，故答案为：{（，）}【点评】本题主要考查了集合的基本表示方法，属于基础试题．5．（3分）已知命题P：x＞2，命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，则命题“P或Q”为真的运算结果为x＞2或x＝﹣1．【分析】根据题意，分析两个命题P、Q都是假命题时x的取值范围，由复合命题的判断方法分析“P或Q”为假时x的取值范围，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题P：x＞2，当x≤2时，P为假命题；命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，解可得x＝﹣1或x＝3，当x≠﹣1且x≠3时，Q为假命题；若命题“P或Q”为假，即命题P、Q都是假命题，则有，即x≤2且x ≠﹣1，若命题“P或Q”为真，则a的取值范围为x＞2或x＝﹣1；故答案为：x＞2或x＝﹣1．【点评】本题考查复合命题真假的判断，注意复合命题真假的判断方法，属于基础题．6．（3分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是﹣1＜a≤0．【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为﹣1＜0，解集为R；a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，应满足，解得﹣1＜a＜0；所以实数a的取值范围是﹣1＜a≤0．故答案为：﹣1＜a≤0．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．7．（3分）若集合，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．【分析】利用不等式的性质先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（3分）已知集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，U＝Z，则∁U A＝{x|x＝2k，k∈Z}．【分析】推导出集合A＝{奇数}，U＝Z，由此能求出∁U A．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}＝{奇数}，U＝Z，∴∁U A＝{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}．故答案为：{x|x＝2k，k∈Z}．【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（3分）设关于x的不等式ax+b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解为{x|x＜﹣1或x＞6}．【分析】由题意，可得a＞0，且﹣＝1，然后将不等式转化为（ax﹣b）（x﹣6）＞0，再求出解集．【解答】解：因为关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），所以a＞0，且﹣＝1．由＞0，得（ax﹣b）（x﹣6）＞0，用穿根法求得不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞6}，故答案为：{x|x＜﹣1或x＞6}．【点评】本题主要考查一次不等式和分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．10．（3分）a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄由小到大依次为c＜a＜b．【分析】由命题A为真命题时，得出a＜b＜c或c＜a＜b；由命题B为真命题时，得出a ＜c＜b或c＜a＜b，从而得出结论．【解答】解：若命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”为真命题；则a最小，b不是最大，即c最大，或a不是最小，b最大，c最小，即a＜b＜c或c＜a＜b；若命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”为真命题；则c不是最小，a最大，b最小，或a不是最大，c最小，b最大，即a＜c＜b或c＜a＜b；若两个命题均为真命题，则c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题真假性相同，是基础题目．11．（3分）Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；与集合M相等的集合序号是①②④．【分析】利用集合的定义，元素与集合的关系，集合相等的定义进行逐一判断即可．【解答】解：①是有理数，2b也是有理数，故与集合M相等；②，因为都是有理数，符合集合M的形式，故与集合M相等；③，则x 1+x2＝0∉M；④令，则，，因为ac+2bd，ad+bc都是有理数，符合集合M的形式，与集合M相等；故答案为：①②④．【点评】考查了集合的新定义，学生对概念的理解，属基础题．12．（3分）设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为12【分析】根据好子集的定义可以得出，I的好子集A的元素个数小于等于1，从而得出A 的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，共5个．【解答】解：当|A|＝1（即集合A中元素的个数为1）时，A的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，当|A|＝2（即集合A中元素的个数为2）时，A的可能情况为：{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，当|A|＝3（即集合A中元素的个数为3）时，A的可能情况为：{3，4，5}，∴I的所有好子集的个数为12．故答案为：12．【点评】考查对好子集定义的理解，以及子集的定义．二.选择题13．（3分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】化简集合B，根据A∩B＝B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14．（3分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质，及充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵实数a，b，c满足c＜b＜a，若“ac＜0”，则a＞0，“ab＞ac”成立，若“ab＞ac”，则a＞0，但“ac＜0”不一定成立，故“ac＜0”是“ab＞ac”成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．15．（3分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【分析】命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x＝4”⇒“x2﹣3x﹣4＝0”，“x2﹣3x﹣4＝0”⇒“x＝4，或x＝﹣1”，∴“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m＝0有实根，则△＝1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（3分）已知不等式a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0的解集为A，不等式b（x﹣x1）（x﹣x2）≥0的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解答】解：“ab＜0”能推导出“A∪B＝R”，而“A∪B＝R”可得ab≥0，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题．三.解答题17．解不等式：0＜x2+x﹣2＜4．【分析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式0＜x2+x﹣2＜4可化为，即，解得；所以不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（1，2）．【点评】本题考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题．18．设m＞n＞0，试比较与的大小关系．【分析】通过作差，通分，提取公因式即可得出，然后根据m＞n＞0说明即可得出与的大小关系．【解答】解：＝＝＝，∵m＞n＞0，∴m﹣n＞0，mn＞0，（m2+n2）（m+n）＞0，∴，∴．【点评】本题考查了作差比较法比较两个式子大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．19．设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1解集为[0，2]，求a的值．【分析】（1）将a＝2代入，分类讨论去绝对值直接求解后取并集即可；（2）由绝对值不等式的解法直接可以得解．【解答】解：（1）当a＝2时，原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≤1时，原不等式等价于﹣x+2﹣x+1≥7，解得x≤﹣2；当1＜x＜2时，原不等式等价于﹣x+2+x﹣1≥7，此时无解；当x≥2时，原不等式等价于x﹣2+x﹣1≥7，解得x≥5；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）；（2）依题意，|x﹣a|≤1，即a﹣1≤x≤a+1，又f（x）≤1解集为[0，2]，∴a﹣1＝0，a+1＝2，∴a＝1．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．20．已知集合A＝（﹣4，6），集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0，x∈R}．（1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）由B⊆A，分a＞0，a＝0，a＜0三种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围．（2）由集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，A∩B＝∅，列出不等式组能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0}．由于若A∪B＝A，所以B⊆A，∴当a＞0时，B＝{x|a≤x≤3a}，要使得B⊆A，，解得a∈∅；当a＝0时，B＝{0}不满足B⊆A；当a＜0时，B＝{x|3a≤x≤a}，要使得B⊆A，，解得a∈∅；∴实数a的取值范围为∅．（2）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0}，A∩B＝∅，或或或，或a＝0，解得a≤，或a≥4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．21．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝1，且＝a n；（3）当n＝5时，证明：＝＝＝．【分析】（1）由定义直接判断．（2）由已知得a n a n与中至少有一个属于A，从而得到a1＝1；再由1＝a1＜a2＜…＜a n，得到a k a n∉A（k＝2，3，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），由此能证明a1＝1，且＝a n．（3）当n＝5时，，从而a3a4∈A，∈A，由此能证明＝＝＝．【解答】解：（1）由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以数集{1，3，4}不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，所以数集{1，2，3，6}具有性质P．证明：（2）因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n a n与中至少有一个属于A．由于1≤a1＜a2＜…＜a n，所以a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1＝∈A，故a1＝1；因为1＝a1＜a2＜…＜a n，所以a k a n＞a n，故a k a n∉A（k＝2，3，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），又因为＜＜…＜，所以＝a1，，…，，，从而＝a1+a2+…+a n﹣1+a n，故a1＝1，且＝a n．证明：（3）由（2）知，当n＝5时，有＝a2，，即，因为1＝a1＜a2＜…＜a5，所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4∈A，由A具有性质P，可知∈A，由，得＝∈A，且1＜＜a3，所以＝＝a2，故，所以：＝＝＝．【点评】本题考查数集是否具有性质P的判断，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意性质P的合理运用．。
上海市进才中学2020届高三数学上学期第一次月考试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市进才中学2020届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、填空题1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω . 2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x xB ，则=B A . 3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x .4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f = .5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 . 6.若集合C B A 、、满足AB BC =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 .（填写你认为正确的命题序号）7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是 .8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是 . 9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xa x x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是 .11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为 . 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立；②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min . 令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β. 记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+=...21,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷一、填空题 1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω 2 . 【解析】：2||T πω=2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x x B ，则=B A ()2,1-.【解析】：(1,3)(4,2)A B =-=-3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x 2 .【解析】：0(3)10x x x >⎧⎨+=⎩4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f =21-x.【解析】：11111()9(9)93332f f αα-=⇒=⇒=⇒=-5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 56π.【解析】：min 52(21),,0326k k Z πππϕϕϕ⨯+=-∈>⇒=6.若集合C B A 、、满足A B B C =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 ① .（填写你认为正确的命题序号） 【解析】：,A A B A B AA AB BC C A C⇒⊆⇒⊆⊆⊆⊆⊆7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛32,31. 【解析】：111|21|21333x x -<⇒-<-< 8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是)3,1(-. 【解析】：22222(1)01||x x a x a x a x x x x x x<≤⇒-<⇒-<-<⇒-<<+ max min 222201()11,()1311x x x x x <≤⇒-=-=-+=+=或图像法(2)0||2x x x a =⇒-<成立9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 4对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xax x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是{}0. 【解析】：1b x+ 能取到-∞0c ⇒= 或图像法11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为97,44--.【解析】：1123223131(1)224n n x n Z x n ++-=∈⇒+=⨯+=++ 117102331452142n n x n o n r +<+>=⇒+-<≤⇒-<≤-⇒=-- 179245244x or x or ⇒-=--⇒=-- 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 3,1- .【解析】：(1)0[,1][4,9]t y x t t t t t xλ>⇒=∈++++ 递减941(1)(4)(9)1149t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥+⎪+⇒⇒++=+⇒=⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥+⎩11(2)104(1)(4)(9)39449t t t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥⎪++<<+⇒+=++⇒=-⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥++⎩(3)90t +<⇒同一，无解二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ D ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y【解析】：21()22x D y x -=⇒压缩了14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ D ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】：sin()sin()44A B A B or A B ππ+=+⇒=+=(2),,A B B C or A C ===15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”；②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ A ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【解析】：(3)()3f x =(4)()sin (2)sin ,(4)sin f x x f x x f x x ππ=-=-=-16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ D ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f 【解析】：()(0)(sin0)sin00(0)(sin )sin12A f f f f NO ππ======⇒2()(0)(sin0)000(0)(sin )()22B f f f f NO πππ==+===+⇒2()(2)(11)|11|2,(2)((1)1)|11|0C f f f f NO =+=+==-+=-+=⇒21221112221122()()(2)|1|()(2)|21||1|D f t f x x x f t f x x x x x x t x x =+=+=+=-+=⇒++==-+-三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立； ②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立. 【解析】：（1）0,9==b a ；（2）[][]0,16,9---∈ a .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【解析】：（1）依题意，函数)(x f 的图象过点)2,1(和)2,1(--.所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-=++=011212211)2(211)1(b a b a b a b a f b a f ，故x x x f 1)(2+=. （2）不等式)4()2()(-+->t x t x f x 可化为t x x x )1(522+>++.即1522+++<x x x t 对一切的),0(∞+∈x 恒成立.因为41411522≥+++=+++x x x x x ，当且仅当1=x 时等号成立，所以4<t .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值． 【解析】：（1）,,a b c 成等差，且公差为2，∴a =1cos 2C =-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 2914c c -+又∴7c =（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sinsin 33ACBC πθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin AC θ=，2sin BC =∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2θθ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值220.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min .令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围. 【解析】：（1）0=m 时，()122+=x x x f 是奇函数；0≠m 时，()122+-=x mx x f 是非奇非偶函数.证明：当0=m 时，()()()x f x xx f -=+--=-12，故()x f 是奇函数； 当0≠m 时，举反例说明. （2）()0112=--⇒=mx x xx f ，由042>+=∆m ，所以方程必有两个不等实根. m =+βα，1-=αβ，()()()()[]()()112212122222+++-+-=+--+-=-βααββααβααββαβm m m f f ()44442222+=+++=m m m m .11()()f f αββαβαβααβ--=-==-=（3）首先证明函数()x f 在[]βα,∈x 上是单调递增函数. 设任意的21,x x 满足βα<<<21x x ，()()()()[]()()11221212212221211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x m x x x m x x m x x f x f ，因为()02010121221222121<-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--<--x x m x x mx x mx x x ， 所以()()012>-x f x f ，故()x f 在[]βα,∈x 内单调递增，可得，()42+=m m g ，1422+≤+m m λ恒成立13114222++=++≥⇒m m m λ恒成立 所以，2≥λ【说明】单调性不证明，只是说明单调性不扣分.不说明单调性直接给出结论扣2分.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn ,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β.记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+= (2)1,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.【解析】：（1）()0,1,1=α，()1,1,0=β，()2,=ααM ，()1,=βαM ；（2）设，()B x x x x ∈=4321,,,α，则()4321,x x x x M +++=αα，由题意知，{}1,0,,,4321∈x x x x ，且()αα,M 为奇数，所以，4321,,,x x x x 中1的个数为1或3，所以，()()()()()()()(){}0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1⊆B ， 将上述集合中的元素分成如下四组：()()0,1,1,1,0,0,0,1；()()1,0,1,1,0,0,1,0；()()1,1,0,1,0,1,0,0；()()1,1,1,0,1,0,0,0，经验证，对于每组中两个元素βα,，均有()1,=βαM ，所以每组中的两个元素不可能同时是集合是集合B 的元素，所以集合B 中元素的个数不超过4，又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.（3）设()(){}0...,1,,...,,,...,,1212121=====∈=-k k k k k x x x x A x x x x x x S ，n k ,...,2,1= (){}0...,...,,21211=====+n n n x x x x x x S ，则121...+=n S S S A ，对于()1,...,2,1-=n k S k 中的不同元素βα,，经验证，()1,≥βαM ，所以，()1,...,2,1-=n k S k 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素，所以，B 中元素的个数不超过1+n ，取()k n k S x x x e ∈=,...,,21且0...1===+n k x x （1,...,2,1-=n k ）.令()1121,...,,+-=n n n S S e e e B ，则集合B 的元素个数为1+n ，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期月月考数学试题理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期12月月考数学试题理科一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1.设不等式02≤-x x 的解集为M ，函数()x x f -=1lg )(的定义域为N，则=⋂N MA.(]0,1-B.[)1,0C.()1,0D.[]1,0【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】B解析：由02≤-x x 得0≤x ≤1，所以M=[0，1],由10x ->得-1＜x ＜1，所以N=(-1，1),则[)0,1M N =，所以选B.【思路点拨】可先解不等式得M ，求函数的定义域得N ，再求交集即可.2.若复数z 满足()i z i 21-2+=，则z 的虚部位 A.55 B.i 55C.1D.i 【知识点】复数的运算L4 【答案】【解析】A解析：因为)1222555i z i i i +==+=+-，所以虚部为5，则选 A.【思路点拨】可先由已知条件计算出复数z 再判断其虚部，即可解答.3.命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是A.若b a +不是偶数，则b a ,都不是偶数B.若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数C.若b a ,都不是偶数，则b a +不是偶数D.若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数【知识点】命题及其关系A2 【答案】【解析】B解析：由命题的逆否命题的含义可知选B.【思路点拨】写一个命题的逆否命题，可先写出其否命题，再对条件和结论同时否定即可.4.已知等差数列{}n a 且()()48231310753=++++a a a a a ，则数列{}n a 的前13项和为A.24B.39C.52D.104【知识点】等差数列的性质D2 【答案】【解析】C解析：因为()()3571013410732661248a a a a a a a a ++++=+==，所以74a =，则1371352S a ==，所以选C.【思路点拨】一般遇到等差数列时，可先观察项的项数是否有性质特征，有性质特征的可用性质转化求解. 5.若抛物线2ax y =的焦点坐标是（0,1），则=a A.1 B.21 C.2D.41 【知识点】抛物线的性质H7 【答案】【解析】D解析：因为抛物线方程为21x y a=，所以其焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有111,44a a ==，所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是抛物线的性质，由抛物线的方程求其焦点坐标时应先把方程化成标准方程再进行求值. 6.已知函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 4π是A.偶函数且它的图像关于点()0，π对称 B.偶函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称C.奇函数且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称D.奇函数且它的图像关于点()0，π对称 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】【解析】B解析：因为函数),0(cos sin )(R x ab x b x a x f ∈≠-=在4π=x 处取得最大值，所以22a -=，b=-a，所以()()sin cos sin cos sin 4f x a x b x a x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭(a ＞0)，则sin cos 42y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以为偶函数，且它的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛023，π对称，则选B.【思路点拨】可先结合最大值点得出a,b 关系，再把函数f(x)化成一个角的三角函数进行解答判断即可.7.执行如图所示的程序框图，若13)(2-=x x f ，取101=ε，则输出的值为A.3219 B.169 C.85 D.43【知识点】程序框图 二分法求方程近似解B9 L1 【答案】【解析】A解析：因为()()010,120f f =-<=>,第一次执行循环体时13110244f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，，12a =,11112210b a -=-=>；第二次执行循环体327111041616f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，311,4410b b a =-=>；第三次执行循环体5751151110,,864648810f b b a ⎛⎫=-=>=-=> ⎪⎝⎭，第四次执行循环体9139110.,16256161610f a b a ⎛⎫=-<=-=< ⎪⎝⎭，所以输出9519168232+=，则选A.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图时，可依次执行循环体，直到跳出循环再进行判断即可.8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 【知识点】三视图G2 【答案】【解析】D解析：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥；A 与C 中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A ，C 表示同一棱锥；设A 中观察的正方向为标准正方向，以C 表示从后面观察该棱锥；B 与D 中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B ，D 中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B 中正视图与A 中侧视图相同，侧视图与C 中正视图相同，可判断B 是从左边观察该棱锥，综上可知选D.【思路点拨】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A 与C 中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A ，C 均正确，而根据AC 可判断B 正确，D 错误.9.已知A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中30,24,18===AC BC AB ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A.π1200B.π1400C.π1600D.π1800 【知识点】球的截面性质G8 【答案】【解析】A解析：因为222AB BC AC +=,所以三角形ABC 外接圆圆心在AC 中点处，半径为15，设球半径为R ，由球的截面性质得222152R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得2300R =,所以该球的表面积为241200R ππ=,则选A.【思路点拨】一般遇到球的截面问题时，通常利用球的截面性质寻求截面与球半径的关系进行解答.10.已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-1012x y ax y x 表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数x e y =的图像上，那么实数a 的取值范围为A.[)4,eB.[)+∞,eC.[)3,1D.[)∞+，2 【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】B解析：由题意作出其平面区域及函数y=e x的图象，结合函数图象知，当x=1时，y=e x=e；故实数a 的取值范围为[e ，+∞），所以选B..【思路点拨】可先作出指数函数x e y =的图象，再由不等式表示的平面区域数形结合得出实数a 满足的条件即可. 11.已知函数xx x g kx x f ln )(,)(==，若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是 A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 1,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210e ， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 【知识点】函数与方程B9 【答案】【解析】A 解析：由)()(x g x f =得2ln x k x =，令()2ln x t x x =，由()312ln '0xt x x-==得x e =t(x)在1e e ⎡⎢⎣上单调递增，在,e e ⎤⎦上单调递减，又()22111,,2t e t e t e e e e⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以若关于x 的方程)()(x g x f =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1内有两个实数解，则实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e 21,12，则选A. 【思路点拨】一般遇到方程的解的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k 与函数h （x ）的极值的大小关系的讨论得到结论.12.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， C.⎪⎭⎫⎝⎛132， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，， 【知识点】椭圆的几何性质H5 【答案】【解析】D解析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称。
2020届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届上海市进才中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()2log 2y x =C ．()2log 1y x =+D ．212x y -=【答案】D【解析】试题分析：A 选项12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭关于y x =对称的函数是12log y x =.B 选项()22log 21log y x x ==+，先向下平移一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.C 选项先向右移动一个单位得到2log y x =图象，然后关于x 轴对称翻折，得到12log y x =.故选D.【考点】函数图象变换.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换，考查指数函数和对数函数互为反函数.选择题采用逐一排除法.首先考查A 选项，选项中的函数和12log y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以翻折后可以重合.接着考查B 选项，首先利用对数运算化简()22log 21log y x x ==+，然后通过先下平移，再关于x 对称，得到12log y x =图象.C 也是同样的做法，先平移然后对称变换得到12log y x =.2．ABC △中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】先判断是否充分：化简cos sin cos sin A A B B +=+后能否得到结论：等腰三角形；再判断是否必要：由等腰三角形是否能得到cos sin cos sin A A B B +=+，据此得到条件类型. 【详解】因为cos sin cos sin A A B B +=+，所以1sin 21sin 2A B +=+，所以A B =或2A B π+=，所以三角形是等腰或者直角三角形，所以不充分；又因为当三角形是等腰三角形时，取,42A CB ππ===，此时cos sin cos sin A A B B +≠+，所以也不必要，故为：既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】充分、必要条件的判断要从两方面入手：充分性和必要性.充分性是条件能否推出结论的过程，必要性是结论能否推出条件的过程，判断时两者缺一不可. 3．已知实数0a >，0b >，对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①“()f x 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称”； ②“()f x 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ，都有()()f x a f x -=-”；④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =”其中正确命题的序号是（ ） A.①② B.②③C.①④D.③④【答案】A【解析】①根据奇函数的定义判断；②根据偶函数的定义判断；③根据周期性的定义判断；④根据对称性定义判断. 【详解】①：因为()y f x a =-图象是由()y f x =向右平移a 个单位得到的，所以()f x 是奇函数⇔()f x 图像关于原点对称⇔函数()f x a -的图像关于点(),0A a 对称，故正确；②：由①同理可知:()f x 是偶函数⇔()f x 图像关于y 轴对称⇔函数()f x a -的图像关于直线x a =对称，故正确；③：设()2f x =，2a 是()f x 的一个周期，所以()()2,2f x a f x -=-=-，所以()()f x a f x -=-不成立，故错误；④：设()0f x =，所以()0f x a -=，()0f b x -=，此时()f x a - 与()f b x -的图象关于y 轴对称，但是a b =不一定成立，故错误； 所以正确命题序号为：①②. 故选：A. 【点睛】常见的函数对称轴和对称中心的判断：（1）若()()2f a x f x -=，则()f x 的一条对称轴为x a =； （2）若()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 的一个对称中心为：,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭.4．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念二、填空题5．函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π，则ω=______. 【答案】2【解析】根据周期的计算公式2T ωπ=，代入周期即可得到ω的值.【详解】因为2T ωπ=，所以222T ππωπ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.2T ωπ=知道其中一个量即可求解另一个量.6．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 【答案】()1,2-【解析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果. 【详解】因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集. 7．方程lg lg(3)1x x ++=的解x =______. 【答案】2【解析】首先根据对数的真数大于零得到：030x x >⎧⎨+>⎩，然后根据对数运算法则可知：()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，据此求解出x 的值.【详解】因为030x x >⎧⎨+>⎩，所以()0,x ∈+∞；又因为()lg lg(3)lg 3x x x x ++=+⎡⎤⎣⎦，所以()lg 31x x +=⎡⎤⎣⎦，所以()310x x +=，解得：2x =或5x =-，又因为()0,x ∈+∞，所以2x =. 故答案为：2. 【点睛】解对数方程时，第一步应该根据对数式的真数大于零先确定未知数的范围，然后再利用对数的运算性质对方程进行化简，最后完成求解.8．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的解析式()f x =______. 【答案】()120xx ->【解析】设出幂函数解析式，由于点1,93⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以可知19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()f x 图像上，由此可求解出()f x . 【详解】设()f x x α=，因为点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以()f x 图像经过19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=，解得：12α=-，所以()()120f x x x -=>.故答案为：()120x x ->.【点睛】本题主要考查反函数与原函数的关系，难度较易.互为反函数的两个函数的图像关于y x =对称.9．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______. 【答案】56π 【解析】先通过平移变换得到新的函数解析式，然后根据新函数为奇函数得到关于ϕ的等式，由此确定ϕ的最小正值. 【详解】因为()f x 向左平移3π单位后得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭且()g x 为奇函数， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=-∈，又因为0ϕ>，所以当1k =时有min 56πϕ=.故答案为：56π.【点睛】本题考查根据三角函数的奇偶性求解参数的最值，难度一般.若()()sin f x x ωϕ=+为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()()sin f x x ωϕ=+为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.10．若集合A 、B 、C 满足A B B C ⋃=⋂，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ¹；④A =∅中一定成立的有______.（填写你认为正确的命题序号） 【答案】①【解析】通过A B B C ⋃=⋂发现等式的两边都有集合B ，根据交、并集运算特点可知A B B C B ⋃=⋂=，由此利用集合间运算的性质判断出各结论是否一定成立 【详解】因为A B B C ⋃=⋂，所以A B B C B ⋃=⋂=， 由A B B ⋃=可知A B ⊆；由B C B =I 可知B C ⊆， 因此可得：A B C ⊆⊆，故①一定成立，②不一定成立；A C ¹不一定成立，A =∅也不一定成立，所以③④不一定成立；故一定成立的只有：①. 故答案为：①. 【点睛】本题考查根据集合间的运算结果判定集合间的关系，难度一般.交、并集运算的性质：若A B A ⋃=，则B A ⊆；若A B A =I ，则A B ⊆11．偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是_____． 【答案】1233x << 【解析】因为函数f （x ）为偶函数，所以f （|x|）=f （x ），所以要求 f(2x-1)＜f(13)的解集，等价于求解：f （|2x-1|）＜f （|13|）的解集，等价于：|2x-1|＜13，解得：13＜x ＜23，故答案为1233x <<。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一次月考数学试题卷理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次月考数学试题卷理科一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知全集U =R ，集合{23}A x x =-≤<,1{2,0}xB y y x-==≥，则U A B =A ．B ．C ．D ．{}|03x x ≤<2. 由观测的样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程0.60.5y x =-，已知样本平均数5x =，则样本平均数y 的值为 A.0.5 B.1.5 C.2.5D.3.53．已知向量(1,2)a =，(3,2)b =-，且向量ka b +与2a b -平行，则实数k 的值为A.12-B.12C.2-D.24．已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝⌝∧D ．p q ⌝∧5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，686a a +=-，则n S 取最大值时，n 的6题图俯视图侧视图正视图22423422S S k =+0,1S k ==1k k =+7题图值为A.3B.4C.5D.6 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．1683+．1643+C ．4883+．483+7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤8．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻， 则不同排法的种数是 A ．408 B ．480 C ．552 D ．8169．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，点,A B分别在双曲线的两条渐近线上，AF x ⊥轴，BF ∥OA ，0AB OB ⋅=，则该双曲线的离心率为 A 23C 32D 2310．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．已知1sin sin sin 3A B C-=，32b a =，2218a ac ≤+≤，设ABC ∆的面积为S ，14题图PDCBAp S =-，则p 的最小值是ABC．8二、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．复数4212ii+-+的虚部为.12．圆22(1)5x y ++=上的点到直线290x y -+=的最大距离为．13．设常数1a >，实数,x y 满足log 2log log 3a x x x a y ++=-，若y的最大值为x 的值为．考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，PA =4PB =，则线段AB 的长为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的方程为2,2x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）,直线l 的方程为cos sin 0k k ρθρθ--=（k 为实数） ，若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，F 为曲线C 的焦点，则11AF BF+的值为_________.16．设函数()12f x x x a =-+-，若关于x 的不等式21()14f x a ≥+对x R ∈恒三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 设函数21()cos()cos sin ()22f x x x x ππ=----．(Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (Ⅱ)若()1f α=-，且3(,)88ππα∈，求()8f πα-的值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）某居民小区有,,A B C 三个相互独立的消防通道，通道,,A B C 在任意时刻畅通的概率分别为495,,5106． (Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；(Ⅱ) 在对消防通道A 的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC AB ⊥，AD DC ⊥，60DAC ∠=，2PA AC ==，1AB =，点E 在棱PC 上，且DE PB ⊥.(Ⅰ) 求CE 的长；(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值.20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 已知0a >，函数1()ln(1)2x a f x a x =-++．(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ) 当函数)(x f 存在极值时，设所有极值之和为()g a ，求()g a 的取值范围．19题图E DCBPA21题图21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图所示，已知椭圆C 的方程为2212x y +=，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，直线:(0)AB y kx m k =+<与椭圆C 交于不同的,A B 两点．(Ⅰ) 若1k =-，2m =，点P 在直线AB 上，求12PF PF +的最小值；(Ⅱ) 若以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线AB 25．(1)求直线AB 的方程；(2)在椭圆C 上求点Q 的坐标，使得ABQ ∆的面积最大．22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=( )n N *∈．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设2n n nS P a =，11n n nP T P -=+135212n n n P P P P T T -⋅⋅⋅⋅⋅<<． 参考答案一、选择题：1-5 BCABC ； 6-10 CBADB. 二、填空题：11、2-； 12、3513、18； 14、2315、1；16、[2,0]-.三、解答题：17、解：(Ⅰ)21()sin cos sin 2f x x x x =--……………………2分1(sin 2cos 2)12x x =+-)124x π=+-， ……………………4分()f x ∴的最小正周期为22T ππ==． ……………………5分由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-+∈． …………………7分(Ⅱ)())112410f παα=+-=-，3sin(2)45πα∴+=． ……………8分由3(,)88ππα∈知2(,)42ππαπ+∈，4cos(2)45πα∴+=-． ……………10分)cos cos(2)sin ]124444ππππαα=+-+- (12)分34()125252=⨯+⨯-310=-． ……………………13分18、解:(Ⅰ)由已知通道,,A B C 畅通的概率分别为495(),(),()5106P A P B P C ===，设“至少有两个消防通道畅通”为事件D ，()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC ∴=+++ (4)分4914151954955106510651065106=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯281300=． …………6分 (Ⅱ)ξ的所有可能为0,1,2,3，03311(0)()5125P C ξ∴===，1234112(1)()55125P C ξ==⨯=， 2234148(2)()55125P C ξ==⨯=，333464(3)()5125P C ξ===． …………10分 为：ξ∴的分布列………………11分数学期望11248641201231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………13分 19、解：(Ⅰ) 如图，以,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 1(0,2,0),(,,0)22C D -． …2分过E 作EF AC ⊥于F ，由已知，得EF ∥PA ， 设EF h=，则(0,2,)E h h -． …………3分 33(,,),(1,0,2)2DE h h PB ∴=-=-． DE PB ⊥，3202DE PB h ∴⋅=-=，4h =， ………5分Fz yxEDCBPA4CE∴==……………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,2,2),(1,0,2)PC PB=-=-，设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=，则0,n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．220,20y zx z-=⎧∴⎨-=⎩，取1z=，得(2,1,1)n =．……………………9分易知(0,2,0)AC =是平面PAB的法向量，……………………10分6cos,n ACn ACn AC⋅∴==⋅……………………12分则二面角A PB C--的正弦值为30sin,6n AC=……………………13分20、解：(Ⅰ)()f x的定义域为(,)a+∞，2/2211()()1x x aaf xx x x x aa-+=-=--．……………2分方程20x x a-+=的判别式14a∆=-．（1）若0∆≤，即14a≥时，在)(xf的定义域(,)a+∞内，有/()0f x≥，()f x∴在定义域(,)a+∞上为增函数；…………………3分（2）若0∆>，即14a<<时，方程20x x a-+=有两个不同的实数根为：121122x x -==，且12a x x <<．()f x ∴在1(,2a -和1()2+∞上为增函数； ………………5分在11(22-+上为减函数． …………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当函数)(x f 存在极值时，104a <<，且)(x f 在12,x x x x ==处取得极值．…………………8分12121,x x x x a +==，()f x ∴的所有极值之和为：121212212ln(1)x x x x x x a a a x x ++=-+++211ln(1)a a a a a =-+++1a a=+. ……10分 当104a <<时，1()g a a a=+为减函数，()g a ∴的取值范围是17(,)4+∞． …12分 21、解：(Ⅰ)由椭圆方程可得，焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ． …………1分当1k =-，m =时，直线AB的方程为y x =-+． (2)分则可得2(1,0)F 关于直线AB的对称点为/21)F ． ……………3分12PF PF ∴+的最小值为：/12F F ==． …………4分(Ⅱ)(1)设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ．由原点O 到直线AB 的距离为，得5=，即224(1)5m k =+．①…5分将y kx m =+代入2212x y +=，得222(12)4220k x kmx m +++-=，222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∴∆=-+-=-+>，2121222422,1212km m x x x x k k -∴+=-=++． …………………6分由已知，得220AF BF ⋅=，即1212(1)(1)0x x y y --+=． …………………7分1212(1)(1)()()0x x kx m kx m ∴--+++=，即221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，22222224(1)(1)101212m kmk km m k k--∴+⋅+-⋅++=++， 化简，得23410m km +-=．②…………………8分 由①②，得222413[1()]54m m m-=+，即42111010m m --=，21m ∴=．0k <，1,12m k =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，满足228(21)0k m ∆=-+>．AB ∴的方程为112y x =-+． …………9分（2）由（1）可知，AB 是定值，当椭圆C 上的点Q 使得ABQ ∆的面积最大时，点Q 到直线AB的距离为最大，即点Q 为在直线AB 的下方平行于AB 且与椭圆C 相切的切点．设平行于AB且与椭圆C 相切的切线方程为1(0)2y x n n =-+<，由221,212y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22322202x nx n -+-=，28120n ∴∆=-+=，2n ∴=-，（2n =舍去），……11分从而，可得Q的坐标为(Q ． ………………………12分 22、解：(Ⅰ)12a =，1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=，1(1)12(2)n nn a n a ++∴=+，即1221n n a an n +=⋅++， ……………………2分 1n a n ⎧⎫∴⎨⎬+⎩⎭是以首项为112a =，公比为2的等比数列． …………………3分121n na n -∴=+，即1(1)2n n a n -=+⋅． (4)分(Ⅱ)1(1)2n n a n -=+⋅，2123242(1)2n n S n -∴=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，23122232422(1)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+++⋅．两式相减，得 2n n =-⋅，2n n S n ∴=⋅． …………………6分2n n nS P a=，n T =122(1)21nn n n n P n n -⋅∴==⋅+⋅+，n T ==．① 先证明：13521n n P P P P T -⋅⋅⋅⋅⋅<．方法一：13521135212462n n P P P P n--⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 1352113572121n n n -<⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=++， …………………8分13521n P P P P -∴⋅⋅⋅⋅⋅<13521n n P P P P T -⋅⋅⋅⋅⋅<． ………………9分方法二：用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，左边112P ==，右边1T ===， 123<，∴左边<右边，即不等式成立． …………………7分（2）假设当n k =时，不等式成立，即13521k P P P P -⋅⋅⋅⋅⋅<那么，当1n k =+时，左边1352121135212122k k k k P P P P P P P P P k -+-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1k T +==右边，∴左边<右边．∴当1n k =+时，不等式也成立． (9)分13521n n P P P P T -∴⋅⋅⋅⋅⋅<对n N *∈都成立．② 再证明：n n T T << 设函数()f x x x =，则导函数/()1f x x =．令/()0f x =，得cos 2x =，∴在(0,)4π上有/()0f x <，即()f x 在(0,)4π上单调递减．()(0)0f x f ∴<=，即x x<在(0,)4π上恒成立． ………………11分又1024n π<≤<，<，即n n T T <． …………………12分综上可得：13521n n n P P P P T T -⋅⋅⋅⋅⋅<<．。
上海市浦东新区进才中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
上海市浦东新区进才中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值()g a ；（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数()g a 在每段上的最大值从而得出()g a 的最大值．【详解】（1）由题意可得：()()[]222222,1,1f x x ax x a a x =-+=-+-Î-，当1a ³时，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，最小值()()132g a f a ==-；当11a -<<时，()f x 在区间[]1,a -上单调递减，在区间(],1a 上单调递增，最小值()()22g a f a a ==-；当1a £-时，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，最小值()()132g a f a =-=+；综上所述：()232,12,1132,1a a g a a a a a -³ìï=--<<íï+£-î.（2）由（1）可知：当1a ³时，()32g a a =-在[)1,+¥单调递减，所以()g a 的最大值为()11g =；当11a -<<时，()22g a a =-在区间()1,0-上单调递增，在区间[)0,1上单调递减，所以()g a 的最大值为()02g =；当1a £-时，()32g a a =+在(],1-¥-单调递增，所以()g a 的最大值为()11g -=；综上所述：()g a 的最大值()02g =.18．（1）a ＝－1；（2）函数f (x )在定义域R 上单调递增，详见解析答案第161页，共22页。