随机过程第3章习题

w 不符合泊松分布。 第7题 设 {N 1 (t ), t ≥ 0} 和 {N 2 (t ), t ≥ 0} 是相互统计独立的泊松过程，其参数分别为 λ1 和 λ2 。若
N 0 (t ) = N 1 (t ) − N 2 (t ) 问 {N 0 (t ), t ≥ 0} 是否为泊松过程？
解：
φN (v) = exp{λt (e jv − 1)}
φξ ( z ) = ∑ P(ξ = k ) z k
k =0 ∞
∞
= =
k =0 n=0 ∞ ∞
∑ (∑ P(ξ = k , η = n)) z ∑ ∑ P(ξ = k , η = n)z
k
∞
k
⋅1n
⋅1n
k =0 n=0
= φξη ( z1 = z, z 2 = 1)
解（2） ：
φ ξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1 k z 2 n P{ξ = k , η = n}
⎛1⎞ 1 =⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 9
解（2） ：
P = 1 − P{N (20) = 0 / N (60) = 2} ⎛ 20 ⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 0
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2
⎛2⎞ 5 = 1− ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 9
1
第3题 设 {N (t ), t ≥ 0} 为泊松过程，其参数为 λ 。设ψ N ( t ) ( s ) 是随机变量 N(t)的母函数，证明 （1）ψ N ( t + Δt ) ( s ) = ψ N ( t ) ( s )ψ N ( Δt ) ( s )
0
φN (v) = E{exp{ jvN0 (t )}
0
= E{exp{ jv( N1 (t ) − N 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t ) ⋅ exp{− jvN 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t )}E{exp{− jvN 2 (t )} = φN1 (v)φN2 (−v) = exp{λ1t (e jv − 1)}exp{λ2t (e− jv − 1)} = exp{λ1te jv + λ2te− jv + (λ1 + λ2 )t}
= exp(− a1 − a 2 − b + a1 z + a 2 + bz ) = exp[( z − 1)(a1 + b)]
ξ
符合泊松分布。
φ η ( z ) = φ ξη ( z1 = 1, z 2 = z )
= exp( − a1 − a 2 − b + a1 + a 2 z + bz ) = exp[( z − 1)( a 2 + b)]
= e −λt ⋅ e λst =e
− λt
(λst ) k ∑ k! k =0
∞
(λt ) k −λt k =∑ e s k! k =0
∞
解（2） ：
(λt ) k −λt P{N (t ) = k} = e k!
第5题 设有非齐次泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ，它的均值函数 m(t)可以表示为 m(t ) = t 2 + 2t, t ≥ 0 ，求
n
第6题 设 ξ ,η 是两个非负整值随机变量，定义二元离散随机变量的母函数为
φξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1k z 2 n P{ξ = k ,η = n}
k = 0 n =0
∞
∞
k、n 均为非负整数。
（1）求 φξ ( z ) ，用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之； （2）若 ξ ,η 是彼此统计独立的随机变量，试证明 φξη ( z1 , z 2 ) = φξ ( z1 )φη ( z 2 ) （3）设有随机变量 w = ξ + η ，求随机变量 w 的母函数，用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之； （4）设有二元随机变量 ξ ,η ，其母函数为 φξη ( z1 , z 2 ) = exp{−a1 − a 2 − b + a1 z1 + a 2 z 2 + bz1 z 2 } 其 中 a1,a2,b>0,问 ξ 的分布是否符合泊松分布？ η 的分布是否符合泊松分布？ ξ ,η 是否统计独 立？若 w = ξ + η ，问 w 是否符合泊松分布？ 解（1） ：
解（3） ：
ψ N (t ) ( s) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
Δt →0
第4题 利用习题 3 得到的偏微分方程式求： （1）泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} 的母函数ψ N ( t ) ( s ) 的表示式； （2）P{N(t)=k},k=0,1,2,….的表示式。 解（1） ：
解：
k
n −k
其中 k=0,1,2,…,n
P{N ( s) = k / N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t ) = n} / P{N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t − s ) = n − k} / P{N (t ) = n} = (λs ) k −λs [λ (t − s)]n − k −λ (t − s ) e ⋅ e k! (n − k )!
Δt
= ψ N ( t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
Δt →0
2
方法（2b） ：
Δt →0
lim
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
Δt
e λ ( t + Δt )( s −1) − e λt ( s −1) Δt →0 Δt λΔt ( s −1) e −1 = e λt ( s −1) lim Δt →0 Δt ψ N ( Δt ) ( s ) − 1 = ψ N ( t ) ( s ) lim Δt →0 Δt = lim e λΔt ( s −1) − 1 Δt →0 Δt λΔt ( s − 1) + 0(Δt ) = e λt ( s −1) lim Δt →0 Δt λt ( s −1) =e ⋅ λ ( s − 1) = e λt ( s −1) lim
k =0 n =0 ∞ ∞
∞
∞
= ∑∑ z1 z 2 P{ξ = k}P{η = n}
k n k =0 n =0
= φ ξ ( z1 )φη ( z 2 )
解（3） ：
4
φ w ( z ) = ∑ P(ξ + η = k ) z k
k =0 ∞
∞
= ∑ [∑ P(ξ = n, η = k − n)]z k
P{N ( s ) = k / N (t ) = n} = P{N (20) = 2 / N (60) = 2} ⎛ n⎞⎛ s ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ k ⎠⎝ t ⎠ ⎛ 20 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 2 k
⎛ s⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ t⎠
n−k
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2− 2
η
符合泊松分布
φ w ( z ) = φ ξη ( z1 = z, z 2 = z )
= exp(−a1 − a 2 − b + a1 z + a 2 z + bzz ) = exp[( z − 1)(a1 + a 2 + b) + bz ( z − 1)] = exp[( z − 1)(a1 + a 2 + b + bz )]
ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt
Δt → 0
= λ ( s − 1) 或
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
（在证明过程中运用泊松过程的四个假设） 解（1） ：
ψ N ( t ) ( s) = ∑ P{N (t = n)} ⋅ s n
n=0 ∞
∞
=∑
(λt ) n − λt n e s n! n=0 (λts) n n! n =0
λt ( s −1)
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
Δt
Δt →0
ψ N (t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
λΔt ( s − 1) + 0(Δt )
Δt
Δt →0
Δt →0
⋅ λ ( s − 1)
Δt →0
lim
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
（2）
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
= lim
ψ N ( t + Δt ) ( s ) − ψ N ( t ) ( s )
Δt
Δt → 0
= ψ N ( t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt = λ ( s − 1)ψ N ( t ) (<1 时 lim
无法写成泊松过程特征函数的形式
exp{λ t (e jv − 1)}
5
由于特征函数与概率有相同的特性
∴ N 0 (t ) = N1 (t ) − N 2 (t )不符合泊松过程的分布规律.
第8题 有复合泊松过程 { X (t ) =
N (t ) n =1
∑Y , t ≥ 0} ，其中 Y , n = 1,2,3,L 是彼此统计独立、同分布的随
∂ψ N ( t ) ( s ) 1 ∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t ∂t
= λ ( s − 1)ψ N ( t ) ( s ) = λ ( s − 1)
ψ N (t ) ( s)
lnψ N ( t ) ( s ) = λ ( s − 1)t