随机过程第3章习题

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随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)

随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)




- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2:一般情况下,互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳,则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0,则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足: 互协方差函数满足: XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
(3)互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量,定义Z=X+jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数: mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z=E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]

第3章 随机过程及答案

第3章 随机过程及答案
若a(t1) = 0或a(t2)=0,则B(t1, t2) = R(t1, t2)

互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12

数字特征:
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见,(1)其均值与t 无关,为常数a ; (2)自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )

这与R()的实偶性相对应。
23
例题

[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中,我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程,并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )

n (t )
0
t
3
角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。

在一个固定时刻t1上,不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量,记为 (t1)。

样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t

T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )

随机过程第3章习题

随机过程第3章习题

ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt
Δt → 0
= λ ( s − 1) 或
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
(在证明过程中运用泊松过程的四个假设) 解(1) :
ψ N ( t ) ( s) = ∑ P{N (t = n)} ⋅ s n
n=0 ∞

=∑
(λt ) n − λt n e s n! n=0 (λts) n n! n =0
⎛1⎞ 1 =⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 9
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) :
P = 1 − P{N (20) = 0 / N (60) = 2} ⎛ 20 ⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 0
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2
⎛2⎞ 5 = 1− ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 9
1
第3题 设 {N (t ), t ≥ 0} 为泊松过程,其参数为 λ 。设ψ N ( t ) ( s ) 是随机变量 N(t)的母函数,证明 (1)ψ N ( t + Δt ) ( s ) = ψ N ( t ) ( s )ψ N ( Δt ) ( s )
无法写成泊松过程特征函数的形式
exp{λ t (e jv − 1)}
5
由于特征函数与概率有相同的特性
∴ N 0 (t ) = N1 (t ) − N 2 (t )不符合泊松过程的分布规律.
第8题 有复合泊松过程 { X (t ) =
N (t ) n =1
∑Y , t ≥ 0} ,其中 Y , n = 1,2,3,L 是彼此统计独立、同分布的随
0
φN (v) = E{exp{ jvN0 (t )}
0
= E{exp{ jv( N1 (t ) − N 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t ) ⋅ exp{− jvN 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t )}E{exp{− jvN 2 (t )} = φN1 (v)φN2 (−v) = exp{λ1t (e jv − 1)}exp{λ2t (e− jv − 1)} = exp{λ1te jv + λ2te− jv + (λ1 + λ2 )t}

樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(随机过程)【圣才出品】

樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(随机过程)【圣才出品】

第3章随机过程思考题3-1 何谓随机过程?它具有什么特点?答:(1)随机过程是指一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述。

随机过程可以从两个不同的角度来说明。

一个角度是把随机过程看成对应不同随机试验结果的时间过程的集合。

从另外一个角度来看,随机过程是随机变量概念的延伸,它在任意时刻的值是一个随机变量(2)随机过程的特点:①随机过程具有不可预知性。

因为根据随机过程的定义,随机过程相当于任意时刻的一个随机变量,随机也就意味着不可预知性。

②随机过程具有集合性。

集合性是指随机过程相当于由许多个随机变量聚合而成的,不仅仅是一个数量的叠加。

3-2 随机过程的数字特征主要有哪些?分别表征随机过程的什么特性?答:(1)随机过程的数字特征主要包括均值,方差和相关函数(2)三个数字特征分别表现了以下特性:①均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。

②方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。

③相关函数衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

3-3 何谓严平稳?何谓广义平稳?它们之间的关系如何?答:(1)严平稳随机过程:若一个随机过程的统计特性与时间起点无关,即时间平移不影响其任何统计特性,则称该随机过程为严平稳随机过程。

(2)广义平稳随机过程:若一个随机过程的数学期望与时间无关,而自相关函数仅与时间间隔相关,则称该随机过程为广义平稳随机过程。

(3)严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不然。

因此严平稳随机过程的限制条件要高于广义平稳随机过程。

3-4 平稳过程的自相关函数有哪些性质?它与功率谱密度的关系如何?答:(1)平稳过程的自相关函数R(τ)的性质:①R(0)=E[ξ2(t)],表示平稳过程ξ(t)的平均功率。

②它是偶函数。

③它的最大值为R(0)。

④,表示平稳过程ξ(t)的直流功率。

⑤,σ2是方差,表示平稳过程ξ(t)的交流功率。

(2)它与功率谱密度是一对傅立叶变换对。

3-5 什么是高斯过程?其主要性质有哪些?答:(1)定义:如果随机过程的任意n维(n=1,2,·)分布均服从正态分布,则称它为高斯过程。

(解答)《随机过程》第三章习题

(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ,且令: pn (t) P{Z (t) n}。
(1)试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ;

(2)试证明: pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!

lim
h0
Pt
2

h 2

S2

t2

h 2 ,t5 h2

h 2

S5

t5

h
2


5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
(2)由于{N (t) 1} {S1 t} ,由泊松过程与指数分布的关系可知,在{S1 t} 条件 下, S1 的分布密度函数为
(3)由于{N (t) 1} {S1 t S2} ,令: 0 t1 t t2 ,取充分小的 h1, h2 0 ,
使得: t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ,由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 .若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ,问: (1) {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程,请说明理由; (2) {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程,请说明理由。 解:(1)由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ,因此 N 0 (t) 不是计数过程,更

随机过程课后题答案

随机过程课后题答案

第一章习题解答1. 设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数,EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=(其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、(1) 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩(2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

解 (1)设X 服从(,)p b Γ分布,则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ (2)'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===(4) 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得:()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量,()F x 是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。

随机过程习题及部分解答【直接打印】

随机过程习题及部分解答【直接打印】

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为,式中A 为(0,1)上均匀分布的随机变量,求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈,其中振幅A 及角频率ω均为常数,相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量,求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞,式中A 为(0,1)上均匀分布的随机变量,求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ,试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数,试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数,试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+,其中A ,B 是相互独立且服从同一高斯(正态)分布2(0,)N σ的随机变量,a 为常数,试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明:若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微,a ,b 为任意常数,则()()aX t bY t +也是均方可微,且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明:若(),X t t T ∈均方可微,()f t 是普通的可微函数,则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明:设()[,]X t a b 在上均方可微,且()[,]X t a b '在上均方连续,则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明,设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程,且在T 上均方可积,αβ和为常数,则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

随机过程-习题-第3章

随机过程-习题-第3章

随机过程习题第3章3-1 3.1 设有一泊松过程{}0,)(³t t N P ,若有两个时刻s 、t ,且s<t ,试证明{}k n k t s t s k n n t N k s N P -÷øöçèæ-÷øöçèæ÷÷øöççèæ===1)(/)(其中,n k ,,2,1,0 =。

证明:依条件概率定义和泊松过程为独立增量过程的性质可得{}{}{}kn k tn s t k n s k t s t s k n n e t k n e s t k e s n t N P k n s N t N k s N P n t N k s N P ------÷øöçèæ-÷øöçèæ÷÷øöççèæ=--==-=-====1!)()!()]([!)()()()(,)()(/)()(l l l l l l 从另一个角度考虑,泊松事件到达时间分布是[0,t ]内的均匀分布。

定义事件A 为一个泊松事件出现在[t ,s ]内,事件A 发生的概率为t s,不发生的概率为ts -1。

于是{}kn k t s t s k nk P n t N k s N P -÷øöçèæ-÷øöçèæ÷øöçèæ====1}{A )(/)(次事件发生3.2设顾客以泊松分布抵达银行,其到达速率为l 。

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w 不符合泊松分布。 第7题 设 {N 1 (t ), t ≥ 0} 和 {N 2 (t ), t ≥ 0} 是相互统计独立的泊松过程,其参数分别为 λ1 和 λ2 。若
N 0 (t ) = N 1 (t ) − N 2 (t ) 问 {N 0 (t ), t ≥ 0} 是否为泊松过程?
解:
φN (v) = exp{λt (e jv − 1)}
φξ ( z ) = ∑ P(ξ = k ) z k
k =0 ∞

= =
k =0 n=0 ∞ ∞
∑ (∑ P(ξ = k , η = n)) z ∑ ∑ P(ξ = k , η = n)z
k

k
⋅1n
⋅1n
k =0 n=0
= φξη ( z1 = z, z 2 = 1)
解(2) :
φ ξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1 k z 2 n P{ξ = k , η = n}
⎛1⎞ 1 =⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 9
解(2) :
P = 1 − P{N (20) = 0 / N (60) = 2} ⎛ 20 ⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 0
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2
⎛2⎞ 5 = 1− ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 9
1
第3题 设 {N (t ), t ≥ 0} 为泊松过程,其参数为 λ 。设ψ N ( t ) ( s ) 是随机变量 N(t)的母函数,证明 (1)ψ N ( t + Δt ) ( s ) = ψ N ( t ) ( s )ψ N ( Δt ) ( s )
0
φN (v) = E{exp{ jvN0 (t )}
0
= E{exp{ jv( N1 (t ) − N 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t ) ⋅ exp{− jvN 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t )}E{exp{− jvN 2 (t )} = φN1 (v)φN2 (−v) = exp{λ1t (e jv − 1)}exp{λ2t (e− jv − 1)} = exp{λ1te jv + λ2te− jv + (λ1 + λ2 )t}
= exp(− a1 − a 2 − b + a1 z + a 2 + bz ) = exp[( z − 1)(a1 + b)]
ξ
符合泊松分布。
φ η ( z ) = φ ξη ( z1 = 1, z 2 = z )
= exp( − a1 − a 2 − b + a1 + a 2 z + bz ) = exp[( z − 1)( a 2 + b)]
= e −λt ⋅ e λst =e
− λt
(λst ) k ∑ k! k =0

(λt ) k −λt k =∑ e s k! k =0

解(2) :
(λt ) k −λt P{N (t ) = k} = e k!
第5题 设有非齐次泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ,它的均值函数 m(t)可以表示为 m(t ) = t 2 + 2t, t ≥ 0 ,求
n
第6题 设 ξ ,η 是两个非负整值随机变量,定义二元离散随机变量的母函数为
φξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1k z 2 n P{ξ = k ,η = n}
k = 0 n =0


k、n 均为非负整数。
(1)求 φξ ( z ) ,用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之; (2)若 ξ ,η 是彼此统计独立的随机变量,试证明 φξη ( z1 , z 2 ) = φξ ( z1 )φη ( z 2 ) (3)设有随机变量 w = ξ + η ,求随机变量 w 的母函数,用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之; (4)设有二元随机变量 ξ ,η ,其母函数为 φξη ( z1 , z 2 ) = exp{−a1 − a 2 − b + a1 z1 + a 2 z 2 + bz1 z 2 } 其 中 a1,a2,b>0,问 ξ 的分布是否符合泊松分布? η 的分布是否符合泊松分布? ξ ,η 是否统计独 立?若 w = ξ + η ,问 w 是否符合泊松分布? 解(1) :
解(3) :
ψ N (t ) ( s) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
Δt →0
第4题 利用习题 3 得到的偏微分方程式求: (1)泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} 的母函数ψ N ( t ) ( s ) 的表示式; (2)P{N(t)=k},k=0,1,2,….的表示式。 解(1) :
解:
k
n −k
其中 k=0,1,2,…,n
P{N ( s) = k / N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t ) = n} / P{N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t − s ) = n − k} / P{N (t ) = n} = (λs ) k −λs [λ (t − s)]n − k −λ (t − s ) e ⋅ e k! (n − k )!
Δt
= ψ N ( t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
Δt →0
2
方法(2b) :
Δt →0
lim
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
Δt
e λ ( t + Δt )( s −1) − e λt ( s −1) Δt →0 Δt λΔt ( s −1) e −1 = e λt ( s −1) lim Δt →0 Δt ψ N ( Δt ) ( s ) − 1 = ψ N ( t ) ( s ) lim Δt →0 Δt = lim e λΔt ( s −1) − 1 Δt →0 Δt λΔt ( s − 1) + 0(Δt ) = e λt ( s −1) lim Δt →0 Δt λt ( s −1) =e ⋅ λ ( s − 1) = e λt ( s −1) lim
k =0 n =0 ∞ ∞


= ∑∑ z1 z 2 P{ξ = k}P{η = n}
k n k =0 n =0
= φ ξ ( z1 )φη ( z 2 )
解(3) :
4
φ w ( z ) = ∑ P(ξ + η = k ) z k
k =0 ∞

= ∑ [∑ P(ξ = n, η = k − n)]z k
P{N ( s ) = k / N (t ) = n} = P{N (20) = 2 / N (60) = 2} ⎛ n⎞⎛ s ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ k ⎠⎝ t ⎠ ⎛ 20 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
2 2 k
⎛ s⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ t⎠
n−k
⎛ 20 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 60 ⎠
2− 2
η
符合泊松分布
φ w ( z ) = φ ξη ( z1 = z, z 2 = z )
= exp(−a1 − a 2 − b + a1 z + a 2 z + bzz ) = exp[( z − 1)(a1 + a 2 + b) + bz ( z − 1)] = exp[( z − 1)(a1 + a 2 + b + bz )]
ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt
Δt → 0
= λ ( s − 1) 或
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
(在证明过程中运用泊松过程的四个假设) 解(1) :
ψ N ( t ) ( s) = ∑ P{N (t = n)} ⋅ s n
n=0 ∞

=∑
(λt ) n − λt n e s n! n=0 (λts) n n! n =0
λt ( s −1)
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
Δt
Δt →0
ψ N (t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s) − 1
Δt
λΔt ( s − 1) + 0(Δt )
Δt
Δt →0
Δt →0
⋅ λ ( s − 1)
Δt →0
lim
ψ N (t + Δt ) ( s) − ψ N (t ) ( s)
(2)
∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t
= lim
ψ N ( t + Δt ) ( s ) − ψ N ( t ) ( s )
Δt
Δt → 0
= ψ N ( t ) ( s ) lim
ψ N ( Δt ) ( s ) − 1
Δt = λ ( s − 1)ψ N ( t ) (<1 时 lim
无法写成泊松过程特征函数的形式
exp{λ t (e jv − 1)}
5
由于特征函数与概率有相同的特性
∴ N 0 (t ) = N1 (t ) − N 2 (t )不符合泊松过程的分布规律.
第8题 有复合泊松过程 { X (t ) =
N (t ) n =1
∑Y , t ≥ 0} ,其中 Y , n = 1,2,3,L 是彼此统计独立、同分布的随
∂ψ N ( t ) ( s ) 1 ∂ψ N ( t ) ( s ) ∂t ∂t
= λ ( s − 1)ψ N ( t ) ( s ) = λ ( s − 1)
ψ N (t ) ( s)
lnψ N ( t ) ( s ) = λ ( s − 1)t
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