高数(1)-13-14-2(B)答案

广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期 《 高 等 数 学 》课程试题答案及评分标准 课程号： 19221101x2 □√ 考试 □ A 卷 □√ 闭卷 □ 考查 □√ B 卷 □ 开卷
一 . 填空（3×7=21分） 1. 设,{}{}1,1,1,1,0,1a b ==r r ，则a b ⋅=r r 2 2. 过点()2,1,1且与y 轴垂直相交的直线方程为 1,2y x z == 3. 过()1,1,1与x 轴垂直的平面方程为 1x = 4. 函数222z x y x =+-的驻点为 (0,1) 5. 幂级数15n n i x n =∑的收敛半径为 1 6. 曲线22,0z x y y z =++=在xoy 面上的投影曲线的方程为 230,0x y z +== 7. 微分方程y y '=满足(0)1y =的特解为 x y e = 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设cos x z y =，求dz . 解：21
sin ,sin z
x
z
x x
x y y y y y ∂∂=-=∂∂…………………………（4分）
2
1sin sin x x
x
dz dx dy y y y y =-+…………………………（3分）
班
级
：
姓名： 学号： 试题共
5
页
加
白纸
3
张
密
封
线
GDOU-B-11-302
2.设),(y x f z =是由方程0z e y xz --+=所确定的具有连续偏导数的函数，求,z z x y
∂∂∂∂. 解：两边对x 求偏导，得…………………………………………（1分）
0z z z z z z e z x x x x e x
--∂∂∂-++=⇒=∂∂∂-………………………………（3分） 两边对y 求偏导，得
110z z z z z e x y y y e x
--∂∂∂---+=⇒=∂∂∂- ………………………………（3分）
三 .计算下列积分（7×4=28分）
1.()D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由x 轴y 轴以及直线22x y +=所围成的闭区域。

解：积分区域D 可表示为101202
y x x ⎧≤≤-⎪⎨⎪≤≤⎩…………………………（2分）
()D x y d σ+⎰⎰=121200()x dx x y dy -+⎰⎰ ……………………………………（3分）
=1 ……………………………………………………（2分）
2.证明曲线积分(1,2)
(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++⎰在整个xoy 平面内与路径无关，
并计算积分值。

解：设2,2P x y Q x y =+=+，则1Q P x y ∂∂==∂∂…………………………（2分） 故曲线积分与路径无关。

…………………………………（2分） (1,2)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy +++⎰=12
002(12)7xdx y dy ++=⎰⎰ ………………（3分）
3. 计算72xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰Ò,其中∑是某半径为2的球体的整个
边界曲面的外侧。

解：设V 是由∑围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得 72xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò=(7)(2)(
)V x y z dv x y z
∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰………………（3分） =10V
dv ⎰⎰⎰ ………………（1分）
=10V ……………………（2分） =3432010233
ππ⋅⋅=
……………………（1分）
4.计算22x y D e d σ--⎰⎰，其中D 是由229x y +≤围成的闭区域。

解：积分区域D 在极坐标下可表示为0203r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩ ……………（2分） 22x y D e d σ--⎰⎰
=22300r d e rdr πθ-⎰⎰ …………………………………（3分） =9(1)e π-- ……………………………………（2分）
四 .计算题（8×4=32分）
1. 判别级数 16n
n n ∞=∑ 是否收敛。

解：因为11
116lim lim 166
6
n n n n n n n n +→∞→∞++==< ……………………………（4分） 所以级数16n
n n ∞=∑收敛。

……………………………………（3分）
2. 将函数3()x f x e -= 展开为x 的幂级数。

解：0!n x n x e n ∞
==∑ （x -∞<+∞）………………………………（4分）
3()x f x e -==00(3)(3),()!!n n
n n n x x x n n ∞
∞==--=-∞<<+∞∑∑………………（4分）
3. 求微分方程2y y x '-=的通解。

解：20y y '-=的通解为2x y ce = ………………（2分） 设原方程的通解为2()x y c x e =，代入方程得
2()x c x xe -'=，得211()()22
x c x x e c -=-++ ……………………（4分） 故原方程的通解为：21124
x y x ce =--+ ……………………（2分）
4.求微分方程544y y y '''-+=的通解。

解：特征方程为2540λλ-+=，得特征根为121,4λλ== ……（2分） 对应的齐次方程的通解为：412x x y c e c e =+………………（2分） 1y =是原方程的一个特解。

……………………………（2分） 原方程的通解为：4121x x y c e c e =++ ………………（2分）
五.证明 ()000cos cos y x x dy e xdx x e xdx ππ
πππ--=-⎰⎰⎰（5分） 证明：设积分区域D 为00y x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩，则D 可表示为0x x y ππ
≤≤⎧⎨≤≤⎩……（2分） 000cos cos y x x x dy e xdx dx e xdy π
ππ
ππ--=⎰⎰⎰⎰ =0()cos x x e xdx π
ππ--⎰……………………………………（3分）。