1.1 探索勾股定理 课件(北师大版上册)7
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北师大数学八上课件1.1《探索勾股定理》教学课件
我实践,我验证 方法一
证明： S= a b2
b S=S小正方形 S4直角三角形
c2 4 1 ab
a c
2
a b2 c2 4 1 ab
2b c
a2 b2 c2
a
灿若寒星
a
b c
c a
b
我实践,我验证 方法二
a bc
c a
b
S梯形
1 2
a
b
灿若寒星
我观察,我猜想
观察所得到的数据，你有什么发现？ SA+SB=SC
B 4b c5
a3 A
32+42=52 a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
灿若寒星
我实践,我验证
命题：如果直角三角形的两直角 边长分别为a、b，斜边长为c，那 么 a2+b2=c2.
c a
b 灿若寒星
灿若寒星
我会用,我挑战
1.求下列直角三角形中未知边的长:
比
一
5
比
看8
17
看
x
12
谁
x
算
得
快 ！
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
灿若寒星
我自信,我挑战
已知:R△t△ABACB的C的两两边直为边角3为和边34和为，43，和4， 求:第三边c. 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边c的平方等于25 即：c=5
A
? 8
灿若寒星
B 24 E
C 10 D
灿若寒星
1. 课本4页，第１、２题； 2.查阅有关勾股定理的历史资料, 关注 验证勾股定理的方法.
北师大版八年级上册探索勾股定理课件
为股，斜边称为弦。“勾股定理
”因此而得名．（在西方文献中
股
又称为毕达哥拉斯定理）
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x 解：由勾股定理可得：
82+ x2=172 即: x2=172-82
x=15
12 5
x 解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2 即： x2=52+122
x=13
当堂练习 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为 36 cm² .
讲教授学新目知
标
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方.
几何语言 表示：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若在Rt△ABC中，∠C=90°
b
c
那么 a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
C
a
B
讲教授学新目知
标
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中，较短
弦
的边称为勾，较长的直角边称之 勾
SA=16 SB=9 SC=?
方法一：补
C
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积.
方法三：拼
C
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色） 可拼成一个小正方形.
方法二：割
C
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
数学知识
图为2002年在我 国北京召开的世 界数学家大会的 会标。
（3）试试猜想SA，SB，SC的数量关系？
SA=16 SB=9 SC=25
猜想：SA+SB=SC
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件
c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
探索勾股定理北师大版数学课件
4组织学生自主完成教 材中的P2页的第（3） 问。总结出直角三角 形的三边上的三个正 方形面积之间的关系 关系。A+B=C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1归纳出直角三角形 的三边上的三个正 方形面积之间的关 系关系。
2有条理的表达出来 所获的结论。
♣教师活动
5出示教材P3中的做一做 进一步巩固探究过程。 6 出示教材3页的议一议
指导并小结完成的情况。
巩固所学知识。
检查学生的掌握情况。 培养学生的动手操作 能力。
10引导学生对本节内 容作出总结。
组员之间互相补充切磋 得到本节 所学主要内容。
提高学生的归纳能 力和语言表达能力， 合作能力。
教学重点和难点
● ○ 重点
1 利用观察归纳猜想方法 :即由特殊到一般的探索 定理的过程. 2 体会数形结合的 思想. 3 掌握勾股定理的内容. 4 会利用勾股定理解决一些实际问题.
● ○ 难点
1勾股定理的发现
我国著名的数学家华罗庚教 授曾建议“发射”一种勾股 定理图形作为与“外星人” 联系的信号。
81
B
& 教学设计
♣教师活动
1 出示投影图文 p1，教师 介绍我国古代在勾股定理研 究方面的贡献，并结合课本 p5谈一谈，讲述我国是最早 了解勾股定理的国家之一， 介绍商高(三千多年前周期的 数学家)在勾股定理方面的贡 献.
☺ 学生活动
1了解勾股定理的重要 性. 2勾股定理悠久的历史, 以及古代人民的聪明 才智.
7出示勾股定理的内容
熟悉并记忆
并介绍勾股弦的含义。
♣教师活动
11 出示 错例辨析： 直角△ABC的两边为3和4，求第 三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足=25 即：c=5
第1章第1课时 探索勾股定理PPT课件(北师大版)
2．(2018·山东滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股
为 4，则弦为( A )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．在一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，
下列说法正确的是( C )
A．斜边长为 25
B．该三角形的周长为 25
C．斜边长为 5
D．该三角形的面积为 20
4．如图，在由边长均为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长为( A )
1．下列说法正确的是( D ) A．若 a，b，c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 C．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠A＝90°， 则 a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2
变式 3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方 3 km 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩 头顶 5 km(如图)．这一过程中飞机飞行的速度是每秒多 少千米？
解：在 Rt△ABC 中，BC2＝52－32＝16. 因为 BC＞0，所以 BC＝4(km)． 4÷20＝0.2(km/s)． 答：这一过程中飞机飞行的速度是每秒 0.2 千米．
A．5 C．7
B．6 D．25
5．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对应边分别为 a，b，c.
(1)若 a＝3，b＝4，则 c＝____5____； (2)若 a＝40，b＝9，则 c＝___4_1____； (3)若 a＝6，c＝10，则 b＝____8____； (4)若 c＝25，b＝15，则 a＝___2_0____．
北师大版七年级上册第一章勾股定理1.1.2 探索勾股定理(共30张PPT)
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿 的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美 景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上， 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声 争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两 个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只 见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直 角三角形……
b c
∴a2+b2=c2
方法二
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为c2 + 2ab. a a2+2ab+b2 = c2 +2ab b a b ∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
a a
b
c
c
c
b c
∴a2+b2=c2
方法三 c b 大正方形的面积等于
a
c
2
大正方形面积 也可以表示为
1 4 ab (b a ) 2 2 2ab b 2 a 2 2ab a 2 b2 .
∴a2+b2=c2
方法四
b a c a2
c2
b2
∴ a 2 + b 2 = c2
方法五
④
c
③
⑤
b
a
① ②
∴ c2 = b2 + a2
方法六
a
b
S梯形
c c b
1 a b a b 2
2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM-2002）在北京召开，这 届大会会标 的中央图案正是经 过艺术处理的弦图，这既标志 着中国古代的数学成就 ，又像 一只转动的风车，欢迎来自世 界各地的数学家们！
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
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6m
课堂小结
通过本节课的学习你有何收获呢？
布置作业
（1）习题1.2 1 ，2，3题． （2）上网或查阅有关书籍，搜集至少1种 勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理 的应用问题，一周后进行展评．
1 1
？
趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都 华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣 赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附 近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会 神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声 探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走 去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见 一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一 个直角三角形……
a
验证方法一
a b b a
c c
a
c c a
b
b
图1 方法小结：我们利用拼图的方法，将 形的问题与数的问题结合起来，再进行整 式运算，从理论上验证了勾股定理． 你还能用图2进行验证吗？
1 2 c ab 4 (a b) 2 2 2 2 a b c
2 a) c 2
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．
1876年4月1日，他在《新英格兰教育 日志》上发表了他对勾股定理的这一证 法．
1881年，这位中年人 —伽菲尔德就任 美国第二十任总统．后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明，就把这一证法称为“总统”证法．
第一章
勾股定理
1. 探索勾股定理（第2课时）
问题情境
1．上节课我们已经通过探索得到了 勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 2．如何验证勾股定理呢 ？ 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你想得到自己的方 法吗？
合作探究
小组活动：请你利用自己准备的四个全等的 直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
a b c
2 2 2
图2
延伸拓展
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判 断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两 直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
Zxx、k
追溯历史
国内调查组报告 用图 2 验证勾股定理的方 法，据载最早是 三国时期数学 家赵爽在为《周髀算经》作注 时给出的，我国历史上将图 2 弦上的正方形称为弦图． 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ICM-2002）在北京召开，这 届大会会标 的中央图案正是经 过艺术处理的弦图，这既标志 着中国古代的数学成就 ，又像 一只转动的风车，欢迎来自世 界各地的数学家们！
O
M
30km
N 40km
50km
P
Q
120km
2．如图，一个25 m长的梯子 AB ， 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时的 AO 距 离为 24 m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m，那么梯子底端B也外移4 m吗？
A C
O
B
D
3．如图，受台风麦莎影响，一棵 高18米的大树断裂，树的顶部落在离树 根底部6 m处，这棵树折断后有多高？
勾股定理与第一次数学危机
约公元前 500 年，毕达哥拉斯学派的
弟子希帕索斯 (Hippasus) 发现了一个惊人
的事实，一个正方形的对角线的长度是不 可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)， 若正方形边长是 1 ，则对角线的长不是一 个有理数，它不能表示成两个整数之比，
1 1
？
这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相
美国总统证法
D c C c a
b A
a
b
B
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻 刚好飞到一个男孩子头顶上方4000 m处， 过了20 s，飞机距离这个男孩子头顶5000m， 飞机每小时飞行多少千米？
C B
4km
A
拓展练习
1．如图是某沿江地区交通平面图， 为了加快经济发展，该地区拟修建一条 连接M，O，Q三城市的沿江高速，已 知沿江高速的建设成本是100万元/ km， 该沿江高速的造价预计是多少？
径庭，而且建立在任何线段都可公度基础 上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数 学危机由此爆发． •
勾股定理与第一次数学危机
据说，毕达哥拉斯学派对希帕索 斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守 秘密，最后将希帕索斯投入大海．不 能表示成两个整数之比的数，15世纪 意大利著名画家达.芬奇称之为“无理 的数”，无理数的英文“irrational”原 义就是“不可比”．第一次数学危机 一直持续到19世纪实数的基础建立以 后才圆满解决．我们将在下一章学习 有关实数的知识 ．
zxxk
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
自主探究
b
a
c b 1. 如图，你能表示大正方形 c 的面积吗？能用两种方法表 c 示吗？ c 2 ( a b ) （ 1） a b 1 2 （2） c 4 ab a 图1 b 2 1 2 2 2. (a b) 与 c 4 ab 有什么关系？为什么？ 2 你能验证勾股定理了吗？