离散数学期末考试题答案
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末考试试题(配答案)
广东技术师范学院模拟试题科 目：离散数学考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号：一．填空题（每小题2分，共10分）1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是__ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y) __________。
2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__，=A _{4,5}____，=B A __ {1,3,4,5} _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________，=-)()(A B ρρ_____Φ_______。
4. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有 _1___ 有逆元。
5．如果连通平面图G 有n 个顶点，e 条边，则G 有___e+2-n ____个面。
二．选择题（每小题2分，共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>=<E V G ,中,结点总度数与边数的关系是( ) (A)E v i 2)deg(= (B) E v i =)deg((C)∑∈=Vv iE v 2)deg((D) ∑∈=Vv iE v )deg(4. 设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( ) (A))1(-n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(-n n5. 无向图G 是欧拉图,当且仅当( )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。
12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案1.选择题（每题3分，共30分）1. 下列命题中，属于复合命题的是：A. 3是一个奇数，且2是一个偶数B. 如果2是一个素数，那么4也是一个素数C. 不是所有奇数都是素数D. 存在一个整数x，使得x>5且x是一个偶数答案：D2. 已知命题p：草地是绿的，命题q：天空是蓝的。
下列表述可以表示p ∧ ¬q 的是：A. 草地是绿的，天空是蓝的B. 草地不是绿的，天空是蓝的C. 草地是绿的，天空不是蓝的D. 草地不是绿的，天空不是蓝的答案：B3. 设命题p表示“这个数是偶数”，q表示“这个数大于10”。
那么“这个数既是偶数又大于10”可以表示为：A. p ∧ qB. p ∨ qC. ¬p ∧ qD. ¬p ∨ q答案：A4. 下列以下列集合的方式描述，其中哪个是空集∅：A. {x | 0 ≤ x ≤ 1}B. {x | x是一个自然数，x > 10}C. {x | x是一个正偶数，x < 2}D. {x | x是一个负整数，x < -1}答案：C5. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，C = {a, c, e}。
则(A ∪ B) ∩ C等于：A. {a, b, c, d, e}B. {a, c, e}C. {c}D. 空集∅答案：B6. 假设U是全集，A、B、C是U的子集。
则(A ∪ B) ∩ C 的补集是：A. A ∩ B ∩ C的补集B. (A ∪ B) ∩ C的补集C. A ∪ (B ∩ C)的补集D. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)的补集答案：D7. 若关系R为集合A到集合B的一种映射，且|A| = 7，|B| = 4，则R包含的有序对数目为：A. 4B. 7C. 11D. 28答案：D8. 设A={1,2,3}，B={4,5,6}，则从A到B的映射总数为：A. 3B. 9C. 6D. 18答案：C9. 设A={a,b,c,d,e}，则集合A的幂集的元素个数是：A. 2B. 5C. 10D. 32答案：D10. 若f：A→B为满射且g：B→C为单射，则(g ∘ f)：A→C为：A. 双射B. 满射C. 单射D. 非单射且非满射答案：A2.简答题（每题10分，共20分）1. 请简要解释什么是关系R的自反性、对称性和传递性。
离散数学期末考试复习题及参考答案
参考答案： B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案： 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，空集表示为：A. {0}B. {1}C. {}D. Ø答案：D2. 命题逻辑中，下列哪个是合取命题的真值表？A. P | Q | P ∧ QB. P | Q | P ∨ QC. P ∧ Q | P ∨ QD. P ∧ Q | ¬(P ∨ Q)答案：A3. 函数f: A → B是单射的，那么f的逆函数：A. 一定存在B. 一定不存在C. 可能存在D. 以上都不对答案：C4. 关系R是自反的，那么对于所有a∈A，以下哪个命题一定为真？A. (a, a) ∈ RB. (a, a) ∉ RC. (a, a) ∈ R或(a, a) ∉ RD. (a, a) ∈ R且(a, a) ∉ R答案：A5. 在图论中，下列哪个不是图的基本术语？A. 顶点B. 边C. 子集D. 路径答案：C6. 命题p: “如果x是偶数，则x能被4整除”的否定是：A. 如果x是偶数，则x不能被4整除B. 如果x不是偶数，则x不能被4整除C. 如果x不是偶数，则x能被4整除D. 如果x是偶数，则x不能被4整除或x不是偶数答案：A7. 有向图G中，如果存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称v是u 的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B8. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P ∧ ¬P) ∨ (P ∨ ¬P)B. (P ∧ ¬P) ∧ (P ∨ ¬P)C. (P ∨ ¬P) ∧ (¬P ∨ P)D. (P ∧ ¬P) ∧ (¬P ∧ P)答案：C9. 以下哪个选项是等价命题？A. P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)B. P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)C. P ∨ ¬P ≡ ¬P ∧ PD. P ∧ ¬P ≡ ¬P ∨ P答案：A10. 树是无环连通图，以下哪个是树的属性？A. 至少有一个环B. 至少有两个顶点C. 至少有一个顶点D. 至少有一个边答案：B二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集含有__个元素。
离散数学期末试卷(4套附答案)
一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ） A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ 2．下列句子不是命题的是（ ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的D ．太好了！3．对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元C ．(∃x )的辖域是R(x , y )D ．(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )4．7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（ ）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的 5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001 C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101017. 下列运算不满足．．．交换律的是（ ） A ．a *b =a+2bB ．a *b =min(a ,b )C ．a *b =|a -b |D ．a *b =2ab8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A.<A ，+> B.<A ，-> C.<A ，×> D.<A ，÷> 9. 右图的最大入度是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3第9题图拟题学院（系）： 高密校区 适用专业： 学年 2学期 离散数学 （Ｂ卷） 试题标准答案10. 设有向图D 的节点数大于1，D=（V ,E ）是强连通图，当且仅当（ ） A. D 中至少有一条通路 B. D 中至少有一条回路C. D 中有通过每个结点至少一次的通路D. D 中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(每空3分，共30分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)
一、填空2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图如下，则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注：偏序满足自反性，反对称性，传递性8．图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注：二元运算为x*y=max{x,y}，x,y ∈A 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。
//（注：什么是格？即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序）二、选择题1、下列是真命题的有（ C 、D ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ； D ．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ B 、C ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
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北京交通大学2007-2008学年第二学期《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）学院：____________ _专业：___________________ 班级____________姓名：学号：□选修□必修一、填空题（共10分，每空1分）1.在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以引入推导过程中，这一推理规则叫做（T规则）。
2.设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}}；3.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系。
4.既是满射，又是单射的映射称为1-1映射（双射）。
5.设S为非空有限集,代数系统<P(S),∪>的单位元和零元分别为S和φ。
6.具有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。
7.简单图是指无环、无重边的图。
8.k-正则图是指所有顶点的度数均为k的的图。
9.Hamilton通路是指通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。
10.设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。
11.命题公式(P→Q) ∧ (P→R)的主析取范式中包含极小项（ A ）A．P∧Q∧R；B．P∧Q∧⌝R；C ．P ∧⌝Q ∧R ；D ．P ∧⌝Q ∧⌝R12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。
A ．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； B ．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)；C ．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)；D ．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ；13. 设S = {2，a ，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法中正确的是（ D ）（A ）R=S ； （B ）{a,3}⊆S ； （C ）{a}⊆R ；（D ）φ⊆R ；14. 下列命题公式不是重言式的是 C 。
A. Q →(P ∨Q)；B.(P ∧Q)→P ；C.⌝（P ∧⌝Q ）；D.⌝（⌝P ∧0）。
15. 下列谓词公式中（ ）不正确。
(A) (∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； (B) (∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)； (C) (∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)； (D) (∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ； 16. 下列命题中正确的是（ B ）。
(A) φ∪{φ}=φ； (B) {φ,{φ}}-{{φ}}={φ}；(C) {φ,{φ}}-{φ}={φ，{φ}}； (D) {φ,{φ}}-φ={{φ}}； 17. 设A,B,C 为任意三个集合，下列各命题中正确的是（ A ）。
(A) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ∈C ； (B) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ⊆C ；(C) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ∈C ； (D) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ⊆C 。
18. ⎩⎨⎧<-≥=→3 ,23,)( ,: 2x x x x f R R f 设,则,2)(,:+=→x x g R R g =))((x g f A 。
（A ）⎩⎨⎧<-≥+121 )2(2x x x ;（B ）⎩⎨⎧<-≥+323 )2(x x x ;（C ）⎩⎨⎧<-≥+1 21 )2(2x x x ;（D ）⎩⎨⎧<≥+303 )2(2x x x .19. 设R 1，R 2是集合A={a ，b ，c ，d}上的两个关系，其中R 1={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（d ，d ）}，R 2={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，b ），（d ，d ）}，则R 2是R 1的（ B ）闭包。
(A) 自反 (B) 对称(C) 传递 (D) 以上都不是20.设偏序关系R是集合A={1，2，3，4，5，6}中数的“整除”关系，则A的极大元、极小元的个数分别是（ C ）。
(A) 2，1 (B) 2，2 (C) 3，1 (D) 3，2二、计算题（共40分，每小题10分）1.求命题公式（P∧Q）∨（⌝P∧R）的主合取范式。
2.在一个班级的50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A。
假如有17人两次考试都没有得到A，问有多少学生两次考试中都得到了A？3.设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54}是A上的整除关系。
（1）画出的哈斯图；（2）求R关于A的极大元；（3）求B={4,6,9}的最小上界和最大下界。
4.用逻辑推理方法证明：{P→Q，R→S，P∨R }蕴涵Q∨S。
5.将公式P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))化为主析取范式和主合取范式：解：P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)⇔⌝P∨(Q∧P)⇔ (⌝P ∧(Q∨⌝Q)) ∨(Q∧P)⇔ (⌝P ∧Q) ∨(⌝P∧⌝Q) ∨(Q∧P) （主析取范式）P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)⇔⌝P∨(Q∧P)⇔(⌝P∨Q) ∧(⌝P∨P)⇔⌝P∨Q （主合取范式）6.化简（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）解：（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）=（A⋂~B⋂~C）⋃（A⋂~B⋂C）⋃（A⋂B⋂~C）⋃（A⋂B⋂C）=（（A⋂~B）⋂（~C⋃C））⋃（（A⋂B）⋂（~C⋃C））=（（A⋂~B）⋂E）⋃（（A⋂B）⋂E）E为全集=（A⋂~B）⋃（A⋂B）= A⋂（~B⋃B）= A⋂E= A7.写出下面有向图（关系图）所表示的关系R的关系矩阵，并求出R的自反闭包和对称闭包。
解：1{,,,,,,,}110001010(){,,,,,,,,,,,}(){,,,,,,,,,}R AR a a a b b c c b M r R R I a a b b c c a b b c c b s R R R a a a b b a b c c b -=<><><><>⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⋃=<><><><><><>=⋃=<><><><><>8. 设图G 中各点的度都是3，且点数n 与边数m 满足2n-3=m 。
问：G 中点数n 和边数m各为多少？ 解：由图G 中各点的度都是3知，)()(v G P v Gd∑∈=3n ，而)()(v G P v Gd∑∈=2m ，故，3n=2m 。
再由已知2n-3=m ，解得n=6，m=9。
9. 张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎。
问张三、李四、王五三人到底谁说真话，谁说假话？解：10. 对102名学生调查表明,有35人学日语,20人学法语,45人学英语,15人既学日语又学英语,8人既学日语又学法语,10人既学法语又学英语,28人不学这三门中的任何一门。
(1) 求三门语言都学的人数； (2) 求至少两门语言的人数；(3) 求只学英语,只学法语,只学日语的人数。
解：REFx15 -x10 -x8-x2+x12+x20+x(1) 45+20+2+x+18=102,1).x=7 (2) 至少学两门的人数为15+4=19,(3) 只学英语27人, 只学法语9人, 只学日语19人,11. 设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54}是A 上的整除关系。
（1）画出的哈斯图；（2）求R 关于A 的极大元；（3）求B={4,6,9}的最小上界和最大下界。
12. 设A = {0,1}，B ={1,2}，试确定下列集合： (1) A ×{1}×B ； (2) A 2×B ； (3) (B ×A)2。
解：13. 画出K4的所有非同构的生成子图，其中有几个是连通图？非同构的生成子图有11个,其中六个连通图. 三、 证明题（共28分）1. 用逻辑推理方法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。
证明：（1） P ∨R 规则P （2） ⌝R →P 规则Q ，根据（1） （3） P →Q 规则P （4） ⌝R →Q 规则Q ，根据（2）（3） （5） ⌝Q →R 规则Q ，根据（4） （6） R →S 规则P （7） ⌝Q →S 规则Q ，根据（5）（6） （8）Q ∨S 规则Q ，根据（7）2. 证明集合等式（A-B ）∪（B-A ）=（A ∪B ）-（A ∩B ）.3. 设R 是一个关系，用R -1表示R 的逆关系，s(R)表示S 的对称闭包，证明 s(R)=R ∪R -1。
证明：①任取(x,y)∈ R ∪R -1 ，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R -1，若(x,y)∈ R ，则有(y,x)∈R -1，所以(y,x)∈ R ∪R -1；若(x,y)∈ R -1 ，则有(y,x)∈R ，所以(y,x)∈ R ∪R -1 ， R ∪R -1具有对称性；②显然，R ⊆ R ∪R -1③对A 上任意关系R ''， 若R ⊆ R ''，且R ''是对称的，往证R ∪R -1⊆R ''。
任取(x,y)∈R∪R -1，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R -1，若(x,y)∈ R ，因为R ⊆ R ''，则(x,y)∈ R '' ；若(x,y)∈ R -1，则有(y,x)∈R ，则(y,x)∈R ''，因为R ''是对称的，所以(x,y)∈R '' ， 因此，R ∪R -1⊆R ''。
4. 设R 是一个二元关系，证明：(1) 若R 是自反的，则s (R )和t (R )是自反的； (2) 若R 是对称的，则r (R )和t (R )是对称的；5.在半群<G,*>中，若对∀a,b∈G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则关于运算*存在单位元。
证明：任意取定a∈G，记方程a*x=a的惟一解为e R。
即a*e R=a。
下证e R为关于运算*的右单位元。
对∀b∈G，记方程y*a=b的惟一解为y。
因为<G,*>是半群，所以运算*满足结合律。
从而b*e R=(y*a)*e R=y*(a*e R)=y*a=b。
故e R 为关于运算*的右单位元。