离散数学期末考试题答案

北京交通大学

2007-2008学年第二学期

《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）

学院：____________ _专业：___________________ 班级____________

姓名：学号：□选修□必修

一、填空题（共10分，每空1分）

1.在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以

引入推导过程中，这一推理规则叫做（T规则）。

2.设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}}；

3.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则

称R是A上的一个偏序关系。

4.既是满射，又是单射的映射称为1-1映射（双射）。

5.设S为非空有限集,代数系统的单位元和零元分别为S和φ。

6.具有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。

7.简单图是指无环、无重边的图。

8.k-正则图是指所有顶点的度数均为k的的图。

9.Hamilton通路是指通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。

10.设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。

11.命题公式(P→Q) ∧ (P→R)的主析取范式中包含极小项（ A ）

A．P∧Q∧R；B．P∧Q∧⌝R；

C ．P ∧⌝Q ∧R ；

D ．P ∧⌝Q ∧⌝R

12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。

A ．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →

B ； B ．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)；

C ．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)；

D ．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ；

13. 设S = {2，a ，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法中正确的是（ D ）

（A ）R=S ； （B ）{a,3}⊆S ； （C ）{a}⊆R ；

（D ）φ⊆R ；

14. 下列命题公式不是重言式的是 C 。

A. Q →(P ∨Q)；

B.(P ∧Q)→P ；

C.⌝（P ∧⌝Q ）；

D.⌝（⌝P ∧0）。 15. 下列谓词公式中（ ）不正确。

(A) (∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； (B) (∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)； (C) (∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)； (D) (∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ； 16. 下列命题中正确的是（ B ）。

(A) φ∪{φ}=φ； (B) {φ,{φ}}-{{φ}}={φ}；

(C) {φ,{φ}}-{φ}={φ，{φ}}； (D) {φ,{φ}}-φ={{φ}}； 17. 设A,B,C 为任意三个集合，下列各命题中正确的是（ A ）。

(A) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ∈C ； (B) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ⊆C ；

(C) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ∈C ； (D) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ⊆C 。

18. ⎩⎨⎧<-≥=→

3 ,23

,)( ,: 2x x x x f R R f 设,则,2)(,:+=→x x g R R g =))((x g f A 。

（A ）⎩⎨⎧<-≥+1

21 )2(2x x x ;

（B ）⎩⎨⎧<-≥+3

23 )2(x x x ;

（C ）⎩⎨⎧<-≥+1 21 )2(2x x x ;

（D ）⎩⎨⎧<≥+3

03 )2(2x x x .

19. 设R 1，R 2是集合A={a ，b ，c ，d}上的两个关系，其中R 1={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），

（d ，d ）}，R 2={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，b ），（d ，d ）}，则R 2是R 1的（ B ）闭包。

(A) 自反 (B) 对称

(C) 传递 (D) 以上都不是

20.设偏序关系R是集合A={1，2，3，4，5，6}中数的“整除”关系，则A的极大元、极小

元的个数分别是（ C ）。

(A) 2，1 (B) 2，2 (C) 3，1 (D) 3，2

二、计算题（共40分，每小题10分）

1.求命题公式（P∧Q）∨（⌝P∧R）的主合取范式。

2.在一个班级的50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得

到A。假如有17人两次考试都没有得到A，问有多少学生两次考试中都得到了A？3.设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54}是A上的整除关系。

（1）画出的哈斯图；

（2）求R关于A的极大元；

（3）求B={4,6,9}的最小上界和最大下界。

4.用逻辑推理方法证明：{P→Q，R→S，P∨R }蕴涵Q∨S。

5.将公式P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))化为主析取范式和主合取范式：

解：

P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))

⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)

⇔⌝P∨(Q∧P)

⇔ (⌝P ∧(Q∨⌝Q)) ∨(Q∧P)

⇔ (⌝P ∧Q) ∨(⌝P∧⌝Q) ∨(Q∧P) （主析取范式）

P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))

⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)

⇔⌝P∨(Q∧P)

⇔(⌝P∨Q) ∧(⌝P∨P)

⇔⌝P∨Q （主合取范式）

6.化简（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）

解：

（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）

=（A⋂~B⋂~C）⋃（A⋂~B⋂C）⋃（A⋂B⋂~C）⋃（A⋂B⋂C）

=（（A⋂~B）⋂（~C⋃C））⋃（（A⋂B）⋂（~C⋃C））

=（（A⋂~B）⋂E）⋃（（A⋂B）⋂E）E为全集

=（A⋂~B）⋃（A⋂B）

= A⋂（~B⋃B）

= A⋂E

= A

7.写出下面有向图（关系图）所表示的关系R的关系矩阵，并求出R的自反闭包和对称

闭包。