(完整版)完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。
根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。
所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。
例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。
解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。
将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。
所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。
解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。
无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。
在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。
因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
(完整版)实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)
其中 x=1.5
1．平方差公式（ a+b）（a－ b） =a2－ b2 中字母 a， b 表示（ ）
A ．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式 D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
(3) (2a b) 2
(2a b)(a b) 2(a
2b )( a
2b) ，其中 a
2、已知 (a b)2 16, ab 4, 求 a2 b2 与 (a b)2 的值。 3
- 3-
练一练 1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2) 的值。 2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。
3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b 2 与 (a b)2 的值。
2．利用平方差公式计算： (1)2009 ×2007－ 20082．
2007
20072
．
2008 2006
20072
．
2008 2006 1
502 49 2 48 2 47 2
2 2 12ຫໍສະໝຸດ 3．解方程： x （x+2） +（2x+1 ）（ 2x－ 1） =5（ x2+3）．
三、实际应用题
4．广场内有一块边长为 2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短
4a2
b2 （
）（ 2）
1 x
1
1 x1
2
2
1 x2 1 （ ） 2
（ 3） 3x y 3x y 9x 2 y 2 （ ）（ 4） 2x y 2x y 4x 2 y 2 （ ）
（ 5） a 2 a 3 a2 6 （ ） （ 6） x 3 y 3 xy 9 （ ）
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2z222⑦连用公式变化，x y x y x y2222x y x y44x y⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz完整平方公式活用: 把公式自己适合变形后再用于解题。
这里以完整平方公式为例，经过变形或从头组合，可得以下几个比较实用的派生公式：1. a22ab a2b2 b2. a22ab a2b2 b3. a2a22 a 2b2b b4. a2a24ab b b灵巧运用这些公式，常常能够办理一些特别的计算问题，培育综合运用知识的能力。
例 1．已知a b 2 ， ab 1，求a2b2的值。
例 2．已知a b 8， ab2，求 (a b)2的值。
解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3已知 a b4， ab5，求 a2b2的值。
解：2222a ab ab425262三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特色，认清公式中的“两数”．例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)剖析：本题两个因式中“-5 ”同样，“2x2”符号相反，因此“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b．例 2 计算 (- a2+4b) 2剖析：运用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b．（解略）（二）、注意为使用公式创建条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) ．剖析：粗看不可以运用公式计算，但注意察看，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因此，可运用添括号的技巧使原式变形为切合平方差公式的形式．例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) ．剖析：本题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推行计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推行获得：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y．（四）、注意公式的变换，灵巧运用变形公式例 7 已知：x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2的值．例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2剖析：本题能够利用乘法公式和多项式的乘法睁开后计算，但逆用完整平方公式，则运算更为简易．四、如何娴熟运用公式：熟习常有的几种变化有些题目常常与公式的标准形式不相一致或不可以直接用公式计算，此时要依据公式特色，合理调整变化，使其知足公式特色．常有的几种变化是：1、地点变化如（3x+5y）（5y－3x）互换3x和5y的地点后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变成－（2m+7n）（2m －7n）后即可用平方差公式求解了（思虑：不变或不这样变，能够吗？）3、数字变化如 98×102，992，912平分别变成（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后即可以用乘法公式加以解答了．4、系数变化如（ 4m+ n）（2m－n）变成2（2m+ n）（2m－n）2444后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵巧运用有些题目常常可用不一样的公式来解，此时要选择最适合的公式以使计算更简易．如计算（ a2+1）2·（a2－1）2，若分别睁开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法例后再进一步计算，则特别简易．即原式 =[ （a2+1）（a2－1）]2=（a4－1） 2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－1）（1－1）（1－1）（ 1223242－192）（1－1102），若分别算出各因式的值后再行相乘，不单计算繁难，并且简单犯错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则碰巧解本题．即原式 =（1－1）（1+1）（1－1）（1+ 1）× ×（ 1－1）（1+ 1）22331010 = 1× 3× 2× 4× × 9×11= 1× 11= 11．2233101021020有时有些问题不可以直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有： a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解相关问题常能收到事半功倍之效．2222如已知 m+n=7，mn=－18，求 m+n，m－mn+ n 的值．面对这样的问题即可用上述变式来解，2222即 m+n =（m+n）－2mn=7－2×（－ 18）=49+36=85，2222m－mn+ n= （m+n）－3mn=7－3×（－ 18） =103．以下各题，难不倒你吧？！1、若a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12，（2）（a－1）2的值．a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案： 1. （1）23；（2） 21．2. 6）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a ＋b)(a －b)=a 2－b2，(a ±b)=a 2±2ab＋b2，(a ±b)(a 2±ab＋b2)=a 3±b3．第一层次──正用即依据所求式的特色，模拟公式进行直接、简单的套用．例1计算( － 2x－y)(2x －y) ．．第二层次──逆用，马上这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：依据待求式的构造特色，探访规律，连续频频使用乘法公式；有时依据需要创建条件，灵巧应用公式．例 3 化简： (2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1．剖析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，假如再增加一个因式“ 2－1”即可连续应用平方差公式，从而问题水到渠成．解原式 =(2 －1)(2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=(2 2－1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能娴熟地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a ＋b) 2－2ab，a3＋b3=(a ＋b) 3－3ab(a ＋b) 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a＋b=9，ab=14，求 2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴ 2a2＋2b2 =2[(a ＋b) 2－2ab]=2(9 2－2·14)=106 ，第五层次──综合后用：将 (a ＋ b) 2=a2＋ 2ab＋ b2和(a －b) 2 =a2－2ab＋ b2综合，可得 (a ＋b) 2＋(a － b) 2=2(a 2＋b2 ) ；(a ＋b) 2－(a －b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式办理某些问题显得新奇、简捷．例 6 计算： (2x ＋y－z＋5)(2x －y＋z＋5) ．解：原式= 1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x ＋5) 2－(y － z) 2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz －z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：关于含负号许多的因式，往常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。
(完整版)完全平方公式专项练习题有答案
完全平方公式专项练习 知识点：完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2专项练习：1．（a ＋2b ）22．（3a －5）23.．（－2m －3n ）24. （a 2－1）2－（a 2＋1）25.（－2a ＋5b ）26.（－21ab 2－32c ）27.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）8.（2a ＋3）2＋（3a －2）29.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．12. 972；13. 20022；14. 992－98×100；15. 49×51－2499．16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）217.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）18.（２a ＋１）2－（１－２a ）219.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）20.先化简。
再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝41. 22.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.23.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求222b a +－ab 的值.24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．25.已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．26.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．27.已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
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“完全平方公式变形的应用”培优题 姓名：
完全平方式常见的变形有:
（1）ab b a b a 2)(222-+=+ （2） ab b a b a 2)(2
22+-=+ （3）ab b a b a 4)(22=--+）（（4）bc ac ab c b a c b a 222)(2
222---++=++ 1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
练一练 A 组：
1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
B 组：
5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2x xy --的值。
7．已知1
6x x -=，求221
x x +的值。
8、0132=++x x ，求（1）221
x x +（2）441x x +
C 组:
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c
满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B 卷)
综合运用题 姓名：
一、请准确填空
1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________.
2、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________.
3、5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________.
4.要使式子0.36x 2+4
1y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________.
6.29×31×(302+1)=________.
7.已知x 2－5x +1=0,则x 2+21x
=________. 8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2=________.
二、相信你的选择
9.若x 2－x －m =(x －m )(x +1)且x ≠0,则m 等于
A.－1
B.0
C.1
D.2
10.(x +a)与(x +5
1)的积不含x 的一次项，猜测a 应是 A.5 B.51 C.－5
1 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷4
1xy =xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ;③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ; ④(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，其中正确的有
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
12.设(x m －1y n +2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为
A.1
B.－1
C.3
D.－3
13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于
A.a 4－2a 2b 2+b 4
B.a 6+2a 4b 4+b 6
C.a 6－2a 4b 4+b 6
D.a 8－2a 4b 4+b 8
14.已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是
A.11
B.3
C.5
D.19
15.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 A.27y 2 B.249y 2 C.4
49y 2 D.49y 2 16.若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是
A.x n 、y n 一定是互为相反数
B.(x
1)n 、(y 1)n 一定是互为相反数
C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数
D.x 2n －1、－y 2n －1一定相等
三、考查你的基本功
17.计算
(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;
(2)［ab (3－b )－2a (b －2
1b 2)］(－3a 2b 3);
(3)－2100×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5;
(4)［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x .
18.(6分)解方程
x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知2083
-=x a ，1883
-=x b ，1683
-=x c ，求：
代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式 835-++cx bx ax 的值
5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N
试比较M 与N 的大小
6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.。