平衡二叉树的公式
平衡二叉树10.3.2
11
28
96 98
25
(1) LL型调整 型调整 p A 1 2
调整方法: 调整方法: 单向右旋平衡,即将 的左孩子 单向右旋平衡,即将A的左孩子 B 向右上旋转代替 成为根结点, 向右上旋转代替A成为根结点 成为根结点, 结点向右下旋转成为B的右 将A结点向右下旋转成为 的右 结点向右下旋转成为 子树的根结点, 子树的根结点,而B的原右子树 的原右子树 则作为A结点的左子树 结点的左子树. 则作为 结点的左子树. h d e B
1 38 -1 24 88
0 -1 -2
0
11
28 1
96
0
-1 0
25
0
98
1,平衡二叉树插入结点的调整方法
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性, 若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性, 首先从根结点到该新插入结点的路径之逆向根结点方向找第一个失去平 衡的结点, 衡的结点,然后以该失衡结点和它相邻的刚查找过的两个结点构成调整 子树(最小不平衡子树 即调整子树是指以离插入结点最近,且平衡因子 最小不平衡子树), 子树 最小不平衡子树 ,即调整子树是指以离插入结点最近 且平衡因子 绝对值大于1的结点为根结点的子树 使之成为新的平衡子树. 的结点为根结点的子树,使之成为新的平衡子树 绝对值大于 的结点为根结点的子树 使之成为新的平衡子树. 38 24 88 -2
(2)RR型调整 型调整 p A -1 -2
调整方法: 调整方法: 单向左旋平衡:即将 的右孩子 的右孩子B向 单向左旋平衡:即将A的右孩子 向 左上旋转代替A成为根结点 成为根结点, 左上旋转代替 成为根结点,将A结 结 点向左下旋转成为B的左子树的根 点向左下旋转成为 的左子树的根 结点, 的原左子树则作为A结点 结点,而B的原左子树则作为 结点 的原左子树则作为 的右子树. 的右子树. B
平衡二叉树 平衡因子
平衡二叉树平衡因子
平衡二叉树，也称为 AVL 树，是一种自平衡二叉搜索树。
它是通过在每个节点处存储平衡因子来实现自平衡的。
平衡因子是指左子树高度与右子树高度之差。
在 AVL 树中，每个节点的平衡因子必须在{-1, 0, 1}这个范围内。
如果一个节点的平衡因子超出了这个范围，它就不再是 AVL 树，需要通过旋转操作来重新平衡。
对于一个节点的左右子树高度差为 k，其平衡因子即为 k。
当左子树高度大于右子树高度时，其平衡因子为正数；当右子树高度大于左子树高度时，其平衡因子为负数。
平衡二叉树的平衡因子是实现它自平衡的关键。
它能够使 AVL 树在插入和删除节点时，自动地调整树的结构，使其保持平衡。
通过保持 AVL 树的平衡，可以保证树的搜索、插入和删除操作的时间复杂度都是 O(log n)。
总之，平衡二叉树通过存储平衡因子来实现自平衡，使其在插入和删除节点时自动调整树的结构，保持平衡。
平衡因子是 AVL 树实现自平衡的关键，通过它可以保证搜索、插入和删除操作的时间复杂度都是 O(log n)。
- 1 -。
平衡二叉树高度计算公式
平衡二叉树高度计算公式
平衡二叉树的高度可以使用以下公式计算：
H = log2(N+1) - 1
其中，N为平衡二叉树中节点的个数，H为平衡二叉树的高度。
公式的基本思想是，对于一棵高度为H的平衡二叉树，它的节点数N最小值是2^H - 1，最大值是2^(H+1) - 1。
因此，根据节点数N 可以推导得到平衡二叉树的高度H。
需要注意的是，此公式适用于普通的平衡二叉树，例如AVL树、红黑树等，但对于某些特殊的平衡二叉树，可能无法直接使用此公式计算高度。
例如，B树、B+树等平衡树的高度计算方法是不同的。
此外，需要注意在实际编写代码时，为了避免精度问题，可以将公式转化为H = ceil(log(N+1)/log(2)) - 1，其中ceil函数表示向上取整。
王道数据结构 第七章 查找思维导图-高清脑图模板
每次调整的对象都是“最小不平衡子树”
插入操作
在插入操作，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡
在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增
至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。
LL
将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根节点 将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点
RR平衡旋转（左单旋转）
而B的原左子树则作为A结点的右子树
在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子（L）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由1增
LR
至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要两次旋转操作，先左旋转再右旋转。
将A的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升至B结点的位置
本质：永远保证 子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<...
当左兄弟很宽裕时，用当前结点的前驱、前驱的前驱来填补空缺 当右兄弟很宽裕时，用当前结点的后继、后继的后继来填补空缺
兄弟够借。若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限，且与此结点 右（或左）兄弟结点的关键字还很宽裕，则需要调整该结点、右（或左）兄弟结 点及其双亲结点及其双亲结点（父子换位法）
LL平衡旋转（右单旋转）
而B的原右子树则作为A结点的左子树
在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1
减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。
RR
将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根节点 将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点
平衡二叉树
2 -1 0 0 0
-1
-2 0 0 1
0 0
1
(b) 不平衡二叉树 图9.6 平衡与不平衡二叉树及结点的平衡因子
平衡二叉树是二叉排序树的另一种形式. 平衡二叉树 我们希望由任何初始序列构成的二叉排序 树都是平衡二叉树 平衡二叉树.因为平衡二叉树 平衡二叉树上任 平衡二叉树 平衡二叉树 1 何结点的左右子树的深度之差都不超过1, 则可以证明它的深度和logN是同数量级的 (其中N是结点的个数).由此,它的平 均查找长度也和logN同数量级.
typedef structBSTNode { ElemType data; int bf; //结点的平衡因子 结点的平衡因子 struct BSTNode *lchild, *rchild; //左,右孩子指针 左 } BSTNode, * BSTree;
算法9.7如下: 算法 如下: 如下 void R_Rotate (BSTree &p) { //对以 为根的二叉排序树作右旋处理,处理之后p指向新的树根结点, 对以*p为根的二叉排序树作右旋处理,处理之后 指向新的树根结点, 对以 为根的二叉排序树作右旋处理 指向新的树根结点 //即旋转处理之前的左子树的根结点 即旋转处理之前的左子树的根结点 lc = p->lchild; //lc指向的 的左子树根结点 指向的*p的左子树根结点 - 指向的 p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为 的左子树 的右子树挂接为*p的左子树 - - 的右子树挂接为 lc->rchild = p; - p = lc; //p指向新的根结点 指向新的根结点 } // R_Rotate
平衡二叉树
#define RH -1 //右高
//平衡二叉树的类型
struct AVLNode
{
int data;
int bf; //bf结点的平衡因子,只能够取0，-1，1，为左子树的深度减去右子树的深度
struct AVLNode *lchild,*rchild; //左、右孩子指针
{
AVLNode *rc,*rd;
rc=T->rchild;
switch(rc->bf)
{
case RH:
T->bf=rc->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
rd=rc->lchild;
switch(rd->bf)
{
case RH:
T->bf=LH;
rc->bf=EH;
};
2.右旋操作：
void R_Rotate(AVLNode *&p)//LL型算法
{
AVLNode *lc=p->lchild; // lc指向p的左子树根结点
p->lchild=lc->rchild; // lc的右子树挂接为p（之前跟节点）的左子树
lc->rchild=p;
p=lc; // p指向新的根结点
插入和删除：
插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后，在删除掉结点后，再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：
平衡二叉树
构造二叉平衡（查找）树的方法是：
在插入过程中，采用平衡旋转技术。
例如:依次插入的关键字为5, 4, 2, 8, 6, 9
5 4 2
向右旋转 一次
4 2 5 8 2
4 6 5
先向右旋转 再向左旋转
8
6
向左旋转一次
4 2 5 6 8 9 4 6 8 5 9
继续插入关键字 9
2
④平衡调整 假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树 根结点的指针为a（即a是离插入结点最近，且平衡因子绝对值 超过1的祖先结点)，则失去平衡后进行调整的规律可归纳为下 列4种情况： 1．单向右旋平衡处理： 由于在*a的左子树根结点的左子树上插入结点，*a的平衡 因子由1增至2，致使以*a为根的子树失去平衡，则需进行一次 向右的顺时针旋转操作。如图9.6(a)所示。
0 C
RL
0 A AL CL CR
-1 B BR
插入结点
⑤插入算法 算法思想： 在平衡二叉排序树BBST上插入一个新的数据元素e的递归算法 可描述如下： 1．若BBST为空树，则插入一个数据元素为e的新结点作为 BBST的根结 点，树的深度增1； 2．若e的关键字和BBST的根结点的关键字相等，则不进行插入； 3．若e的关键字小于BBST的根结点的关键字，而且在BBST的 左子树中不存在和e有相同关键字的结点，则将e插入在BBST的 左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加（＋1）时，分别 就下列不同情况处理之：
p
lc
算法9.10如下：
#define #define #define
LH EH RH
+1 0 -1
//左高 //等高 //右高
Status InsertAVL (BSTree &T, ElemType e, Boolean &taller) { //若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入 //一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二 //叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高 //与否。
数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf
以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。
常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。
若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。
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平衡二叉树的公式
平衡二叉树是一种基于AVL树的数据结构，它保证了每个节点的左右子树高度差不超过1。
这种平衡性保证了平衡二叉树的查找、插入和删除操作都能在O(log n)的时间内完成。
平衡二叉树的公式如下：
- 对于任意节点N，其左子树高度为hL，右子树高度为hR，则
该节点的平衡因子BF = hL - hR。
- 对于一棵平衡二叉树，其每个节点的平衡因子都应该在[-1, 0, 1]范围内。
- 在插入和删除节点时，需要对其所在路径上的所有节点重新计算平衡因子，并进行旋转操作。
- 旋转操作分为左旋和右旋两种，具体实现可参考AVL树的旋转操作。
平衡二叉树是一种非常重要的数据结构，在实际应用中广泛使用。
了解平衡二叉树的公式和实现原理，对于提高程序性能和减少BUG都有很大的帮助。
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