二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分>
1．A 是n 阶方阵，
R ，则有
A A
。 < ）
2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则1
11
)
(A B AB 。 < ）
3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。( >
4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。 ( >
5．n 维向量组
4
3
2
1
,
,
,
线性相关，则
3
2
1
,
,
也线性相关。 < ）
三、填空题<每小题4分，共20分）
1．01
2
1
n n
。
2．A 为3阶矩阵，且满足A
3,则
1
A
=______，
*
3A
。
3．向量组1
1
11，2
25，3
2
47
，4
1
20
是线性 <填相关或
无关）的，它的一个极大线性无关组是
。fgMAHkwHrE
4．已知
1
2
3
,
,
是四元方程组Ax
b 的三个解，其中A 的秩()R A =3，
1
12
34，
23
44
4
4，则方程组Ax
b 的通解
为
。fgMAHkwHrE
5．设
231115
3
A
a ，且秩(A>=2，则a=。
四、计算下列各题<每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且1213421
2
2
A
，求矩阵B 。
2.设
(1,1,1,1),
(1,1,1,1)，而T
A
，求n
A 。
3.已知方程组1123211232
12
3
x x ax x x x x ax x a 有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
3
2312123
22
21
32184422)
,,(x x x x x x x x x x x x f 5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E-A|=0。<1）
求矩阵A 的特征值；<2）A 是否可相似对角化？为什么？；<3）求
|A+3E|。fgMAHkwHrE
五．证明题<每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB
BA 是否为对称矩阵？证明你的结
论。
2．设A 为m n 矩阵，且的秩()R A 为n ，判断
T
A A 是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试题解答
一、
1．）
2．3．100010000A
，
000010001B
。
4．1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然
A 线性相关；
B 中的向量组与
1
，
2
，
3
等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量
