线性代数期末试题及参考答案
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
线性代数期末试卷及答案1
2 线性代数（必修） A 卷（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. .已知行列式12121a a b b =，12123a a c c =，则121122a abc b c --=______.2. 设A 为2阶矩阵，且3=A ,则13--A =______.3. 齐次线性方程组123230x x x ++=的基础解系所含解向量的个数为______.4. 设3阶矩阵A 的特征值为－1，0，2，则|A |=______．5. 设向量α=(3，－4)T ，则α的长度||α||=______． 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设a ,b 为实数，且000101abb a -=--，则必有( )（A ）a =0,b =0 (B) a =1,b =0 (C) a =0,b =1 (D) a =1,b =1 2. 设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )= ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）.4 3. 设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ）A. r =m 时，Ax =0必有非零解B. r =n 时，Ax =0必有非零解C. r <m 时，Ax =0必有非零解D. r <n 时，Ax =0必有非零解 4. 下列命题中错误．．的是（ ） （A ）只含一个零向量的向量组线性相关；（B ）由3个2维向量组成的向量组线性相关； （C ）由一个非零向量组成的向量组线性相关； （D ）两个成比例的向量组成的向量组线性相关5. 若向量α=（1，1，t ）与β=(1，1，1)正交，则t =（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 三、 计算题（本题60分）1.（10分）计算4阶行列式1234234134124123D =。
课程考试试题学期 学年拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:2.（10分）已知矩阵112012435A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，112210B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求1A -；（2）解矩阵方程XA B =。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末试题(武汉大学)附答案
《线性代数》 （A 卷，工科54学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分) 已知1234567891011121010*******11000011001011A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，，求行列式T AA 及秩()r B 。
二、(15分) 已知矩阵方程11)2(--=-CA B C E T，求矩阵A .其中1232120*********,.0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、（15分）已知向量组123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，1）求a λ，；2）求方程组Ax b =的通解.五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]TTA E αααα=-，1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数；2）计算2A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；3）给出2TE αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。
六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵, C 为n 阶可逆矩阵,令=TB C AC ，证明以下命题:1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。
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线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。
<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。
<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。
则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。
<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。
< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。
( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。
< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。
2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。
3．向量组1111，225，3247，4120是线性 <填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。
fgMAHkwHrE4．已知123,,是四元方程组Axb 的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234，234444，则方程组Axb 的通解为。
fgMAHkwHrE5．设2311153Aa ，且秩(A>=2，则a=。
四、计算下列各题<每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且121342122A，求矩阵B 。
2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而TA，求nA 。
3.已知方程组1123211232123x x ax x x x x ax x a 有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f 5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E-A|=0。
<1）求矩阵A 的特征值；<2）A 是否可相似对角化？为什么？；<3）求|A+3E|。
fgMAHkwHrE五．证明题<每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，ABBA 是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设A 为m n 矩阵，且的秩()R A 为n ，判断TA A 是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试题解答一、1．<F ）<A A n）2．<T ）3．<F ）。
如反例：100010000A，000010001B。
4．<T ）<相似矩阵行列式值相同）5．<F ）二、1．选B 。
初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。
A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关；B 中的向量组与1，2，3等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
fgMAHkwHrE3．选C 。
由052E A A2232()3AA E E A E A E E ，112()3AEAE >。
4．选D 。
A 错误，因为n m ，不能保证()(|)R A R A b ；B 错误，0Ax的基础解系含有A R n个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A nR A b n ，b Ax无解；D 正确，因为()R A n 。
fgMAHkwHrE5．选A 。
A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得1112(,,,)nPAPdiag QBQ ，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1．!11n n <按第一列展开）2．31；53<A3=233A）3．相关<因为向量个数大于向量维数）。
124,,。
因为3122，124||0A 。
4．TTk 42024321。
因为3AR ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
fgMAHkwHrE5．6a <)02A AR 四、1．解法一：ABBA1()A E B A BA E A 。
将A E 与A 组成一个矩阵(|)A E A ，用初等行变换求1(|())E A E A 。
|A E A=221121243233121120)(31r r 22112124323310000121313,r r r r 12112014323010000123r r 121120222110100001322r r 1000010112220013253r 10000101122200132523r r 5231030101100001。
故523301100B。
解法二：ABBA1()A E B A BA E A 。
1021101()332113121326A E ，因此101()103325BA E A。
2．解：1111111111111111TA，A A 42，11()()()()()()44n n nTTTTTTTTAA 。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b ，因此其系数行列式11||112011aA a。
即1a或4a。
当1a时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b 110123010200于是()(|)23R A R A b ，方程组有无穷多解。
分别求出其导出组的一个基础解系13122T，原方程组的一个特解100T，故1a 时，方程组有无穷多解，其通解为13100122TTk ，fgMAHkwHrE当4a时增广矩阵1141(|)112114116A b 11410220015，()2(|)3R A R A b ，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
222111111111(|)112102222111111(1)(4)12a a a Ab aaaaa aaa a a由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b 。
因此21(1)(4)102aa a ，即1a 。
求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。
二次型的矩阵122224242A，2122||224(2)(7)242AE 因此得到其特征值为122，37。
再求特征值的特征向量。
解方程组(2)0A E x ，得对应于特征值为122的两个线性无关的特征向量1210T，2201T。
解方程组(7)0AE x得对应于特征值为37的一个特征向量3122T。
再将121T，2201T正交化为1210Tp ，224155Tp 。
最后将1210Tp ，224155Tp ，3122T单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵3235032155455311552552，其标准形为232221722y y y f 。
5．解：<1）由02AEAE知-1，2为A 的特征值。
2BAB02BE A ，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。
fgMAHkwHrE<2）能相似对角化。
因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。
fgMAHkwHrE<3）E A 3的特征值为2，5，1，1。
故E A 3=10。
五、1．BA AB 为对称矩阵。
证明：TTTBAABBAAB=TT TT B A AB =B ABA =BA AB，所以BA AB为对称矩阵。
2．A A T为正定矩阵。
证明：由A A A A TTT知A A T 为对称矩阵。
对任意的n 维向量0，由n AR 得0A，AA TT=2A0，由定义知A A T是正定矩阵。
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