3.6李代数
数学中的李群与李代数
数学中的李群与李代数李群与李代数在数学中扮演着重要的角色。
本文将对李群与李代数的基本概念进行介绍，并讨论它们之间的关系。
一、李群（Lie Group）李群是一种同时具有群结构和流形结构的数学对象。
群结构指的是李群上定义了乘法运算，同时存在单位元、逆元等性质。
而流形结构则是指李群在每个点附近都具有局部同胚于欧几里得空间的性质。
举个简单的例子，旋转矩阵群SO(3)就是一个李群。
它由所有的旋转矩阵组成，而旋转矩阵的乘法运算便构成了群运算。
此外，SO(3)也是一个三维实流形，因为它在每个点附近都可以通过欧几里得空间进行局部的描述。
李群的定义使得我们可以在其上定义微分结构，进而研究其微分几何性质。
比如，我们可以定义李群上的切空间和切丛，进而研究其在每个点上的切向量和切空间的结构。
二、李代数（Lie Algebra）李代数是李群的切空间上的代数结构。
它通常用于描述李群的局部性质。
李代数由向量空间和李括号这两个部分构成。
向量空间是李代数的基础，它的元素被称为李代数的生成元或向量场。
李代数的生成元通常用一组基向量来表示，这些向量之间通过线性组合构成一个线性空间。
李括号则定义了李代数中向量场之间的运算。
对于两个向量场X和Y，李括号[X, Y]被定义为它们的Lie导数的对易子。
李代数的一个经典例子是三维旋转群的李代数so(3)。
它由三个无限小旋转生成元构成，通常记作J₁, J₂和J₃。
它们之间的李括号满足以下关系：[J₁, J₂] = J₃, [J₂, J₃] = J₁, [J₃, J₁] = J₂。
三、李群与李代数的关系李群与李代数之间存在着密切的联系。
事实上，对于任意一个李群，都可以构造出与之对应的李代数。
这个李代数被称为李群的切代数，它反映了李群局部性质的信息。
具体地，李群的切代数可以通过计算李群上的左不变矢量场的李括号来得到。
左不变矢量场在李群的每个点上都是不变的，因此它在整个李群上构成了一个矢量场。
反过来，给定一个李代数，也可以构造出与之对应的李群。
李代数与表示论
李代数与表示论
李代数是一种数学概念，是代数几何和理论物理中广泛使用的数学结构。
它与表示论有密切的联系，表示论是研究数学对象（如群、环、模、代数）的表示的数学分支。
在表示论中，人们通过研究对象的表示来研究该对象。
对于李代数来说，表示论主要关注的是李代数的不同表示形式，即李代数在向量空间上的线性映射。
李代数有两种主要的表示形式：有限维表示和无限维表示。
有限维表示主要研究的是李代数在有限维向量空间上的表示，这种表示可以用矩阵或线性变换来描述。
无限维表示则研究的是李代数在无限维向量空间上的表示，这种表示可以用于描述无穷多个自由度的系统的行为。
在有限维表示中，人们主要关注的是找到所有可能的基底和对应的系数，以描述李代数在向量空间上的作用。
基底的选择和系数的大小决定了李代数在向量空间上的具体作用方式。
通过找到所有可能的基底和系数，人们可以完全确定李代数的表示。
在无限维表示中，由于向量空间是无限维的，所以需要采用不同的方法来描述李代数的作用。
人们通常会寻找一些特殊的函数或分布来描述李代数的作用，这些函数或分布在无穷远处的行为需要满足一定的条件。
李代数的表示论在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，李代数的表示论可以用于研究群论、几何学和拓扑学等领域。
在物理中，李代数的表示论可以用于描述基本粒子的行为、量子场论和广义相对论等领域。
通过对李代数的不同表示形式的研究，人们可以更好地理解这些数学和物理概念的本质和结构。
3.6李代数
李代数线性表示或模：若李代数L '的元素是矩阵，且 L ' ≈L 或 L '~L，则 L '称为L 的线性表示或模 局域意义上，李群和李代数，实李代数和复李代数有共 同的线性表示 李代数的等价表示：两个表示的基（生成元）可通过同 一相似变换联系 李代数的不可约表示：李代数表示空间对此李代数不存 在非平庸不变子空间 李代数的伴随表示：表示的基（生成元）满足
3.6
一、几组概念
生成元定义
g
李代数
D(A) j
D(A) 1 i jI j , I j i
j1
0
其中引入虚数单位，是为了使幺正表示生成元厄米
[I j , I k ] i Clj kIl 相应的代价是生成元对易关系中出现系数i
l
在数学文献中，通常取(-iIj)作为生成元
高于一阶的单纯李群：都半单李群，相应的李代数为半 单李代数 李群是单纯李群，李代数是单纯李代数的充要条件： 李群的伴随表示是不可约表示 如：SU(2)，SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示，不可约， 因此SU(2)，SO(3)是单纯李群，相应李代数是单纯李代数 子代数的直和：若在李代数中，两个子代数L1和L2满足： L1+L2=L，L1∩L2=Ф，[L1,L2]=0，则L 称为两个子代数的直 和L =L1 + L2，显然L1，L2都是L 的理想
T2(λ )与C2(λ )是什么关系？
将 Tjk Tr (I I ) jk T2 () 取j=k，并对j求和 j k
Tr(I I ) T2 () g jj
j
不可约表示Dλ 的维数
将 I I C2 () I 取迹 j j
j
李代数
设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g,定义 k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵 型在研究李代数的结构中起重要的作用。
表示
令g是域F上一个李代数，V是F上一个线性空间。李代数的一个同态ρ: g→g{(V)，称为g在V上的一个线性表 示，简称表示。用(ρ,V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g{(V)与 g{(n,F)看成一样,于是就得到一个代数同态ρ: g→g{(n,F)，仍记作ρ，称为g的一个矩阵表示。如果g的一个 表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实 表示。
抽象定义
设F是特征为0的域，L是F上的线性空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件， 则称L是一个李代数。
（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。 （2）[x,x]=0，对任意x∈L。 （3）雅可比恒等式：[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z∈L。 首两个条件蕴含反对称性[x,y]=-[y,x]。
第4章李群李代数
第4章李群李代数⼀、概述1. 李群和李代数的核⼼思想封结⼳逆法则；法则；可以理解为专门⽤于矩阵旋转的东西，符合封结⼳逆1. 可以理解为专门⽤于矩阵旋转的东西，符合，李代数可以理解为旋转向量旋转向量；；李群可以理解为旋转矩阵旋转矩阵，李代数可以理解为2. 李群可以理解为3. 李群是连续群，李代数可以表出李群的导数，所以李代数表⽰的是李群的局部性质；4. 进⽽我们可以理解为：旋转向量表达了旋转矩阵的局部（旋转发⽣那⼀瞬间的领域内）性质；5. 由拉格朗⽇中值定理可知：导数控制函数。
李代数控制李群，\phi控制R；【1】也就是说想要估计出函数值，我们可以研究该函数的导数，⽤来描述某个点领域内性质。
故⽽我们需要建⽴对李群的求导模型，通过分析导数的性质来估计出相机在这⼀时刻（领域内）的位姿。
但是我们知道群是指只有⼀个运算的集合（我们选择矩阵乘法），所以李群不对加法封闭【2】，但是我们知道李代数是建⽴在向量空间上的，⽀持加法运算。
所以我们需要⼀种让李群映射到李代数的机制，然后通过对李代数求导，求出李群的导数。
不过，对李代数求导后的结果⾮常复杂，所以我们需要寻找另外⼀种求导⽅式【3】，这就是我们接下来所要介绍的内容。
【注】【1】：某个名牌⼤学考研的复试题——你知道导数的作⽤是什么吗？【2】：李群也是⼀种群。
甭跟我扯什么鳄鱼不是鱼、⽇本⼈不是⼈。
【3】：对谁求导不重要，因为我们总可以通过这个导数控制相同的函数。
2. 李群的两种求导模型（都是映射到了李代数空间）1. BCH公式线性化（将李群的变化与李代数的变化联系起来）；；（复杂）求导模型；（复杂）2. 对李代数求导的对李代数求导的求导模型1. 需要求出左右雅可⽐矩阵的逆；扰动模型；（精简）；（精简）对微扰动求导的扰动模型3. 对微扰动求导的1. 不需要求出左右雅可⽐矩阵的逆；3. 这两种求导模型都是会有误差存在的4. 李群和李代数的基础符号1. 特殊正交群SO(3)，特殊欧式群SE(3)；2. 特殊正交群上的李代数\mathfrak{so}(3)，这⾥我们具象化为三维\phi向量或者反对称阵\widehat{\phi}；3. 特殊欧式群上的李代数\mathfrak{se}(3)，这⾥我们具象化为六维\xi向量或者四维⽅阵\widehat{\xi}；\rho表⽰三维空间中的平移，\phi表⽰三维空间中的旋转。
数学中的李代数学
数学中的李代数学李代数学是一门数学分支，它研究李代数的性质和结构。
李代数是一种代数结构，它由一个实或复数域上的向量空间以及一个二元运算所组成。
李代数的研究对于数学和物理学的发展都具有重要意义。
本文将介绍李代数的基本概念、性质及其在数学和物理学中的应用。
一、李代数的基本概念李代数是由域K上的向量空间L和一个满足以下条件的二元运算所组成：1. 加法运算：对于所有的a,b∈L，有a+b∈L；2. 标量乘法：对于所有的a∈L，k∈K，有ka∈L；3. 李括号运算：对于所有的a,b∈L，有[a,b]∈L。
李括号运算是李代数的核心运算，它满足以下条件：1. 反对称性：对于任意的a,b∈L，有[a,b]=-[b,a]；2. 李-雅可比恒等式：对于任意的a,b,c∈L，有[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0。
二、李代数的性质1. 零元素：李代数中存在一个元素0，对于任意的a∈L，有a+0=a。
2. 负元素：对于任意的a∈L，存在一个元素-b使得a+b=0。
3. 不可约性：李代数中不存在非平凡的不变子空间。
三、李代数在数学中的应用李代数在数学中有许多应用，其中最为著名的是在李群的研究中。
李群是一种具有连续群结构和光滑结构的数学对象。
李群和李代数之间存在紧密的联系，通过李代数的结构可以揭示李群的性质。
另外，李代数还在微分几何、代数几何和数学物理等领域有广泛的应用。
比如在微分几何中，李代数用于研究流形的切空间；在代数几何中，李代数可以用于研究代数簇的切矢量场；在数学物理中，李代数是描述对称性和守恒量的重要工具。
四、李代数在物理学中的应用李代数在物理学中也有着广泛的应用。
物理学家利用李代数的表示理论来研究物理系统的对称性和守恒量。
例如，角动量代数、洛伦兹代数和超对称代数都是李代数的例子，它们在量子力学和粒子物理学中发挥着重要的作用。
此外，李代数还在统计物理学、弦论和凝聚态物理学等领域中得到广泛应用。
李群和李代数 通俗解释
李群和李代数通俗解释李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）是数学中重要的概念，与对称性、变换和连续性有关。
下面将对李群和李代数进行通俗解释，以便更好地理解这两个概念。
1.李群（Lie Group）李群是一种特殊的集合，它同时具备了群和流形的结构。
在数学上，群指的是一组元素，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
而流形则可以理解为局部上与欧几里得空间相似的空间。
所以，李群就是一个既具备群结构又具备流形结构的集合。
在物理学和几何学中，李群用于描述对称性和变换。
例如，旋转矩阵、平移矩阵和伸缩矩阵都可以构成李群。
李群的研究有助于我们理解空间的对称性和变换规律，并在物理学和几何学中有广泛的应用。
2.李代数（Lie Algebra）李代数是与李群相关联的一种代数结构。
简单来说，李代数是一个向量空间，其中定义了一种特殊的二元运算——李括号。
李括号运算可以将两个向量相乘得到另一个向量。
在李代数中，我们不再关注具体的变换和对称性，而是研究变换和对称性所满足的代数关系。
通过研究李代数，我们可以揭示李群的结构和性质。
李代数的研究在物理学、几何学和数学中都有广泛的应用，尤其在对称性和变换的研究中发挥重要作用。
3.李群与李代数的关系李群和李代数是密切相关的。
李群可以通过李代数来描述，而李代数可以通过李群来构造。
具体来说，李群的切空间（Tangent Space）上的李代数就是李群的切矢量（Tangent Vector）。
反过来，给定一个李代数，我们可以通过指数映射（Exponential Mapping）构造出一个对应的李群。
总之，李群和李代数是数学中重要的概念，它们在对称性、变换和连续性的研究中起着重要作用。
李群描述了具有群和流形结构的集合，而李代数则研究了与李群相关联的代数结构。
通过对李群和李代数的研究，我们可以深入理解空间的对称性、变换规律和代数关系。
希望这个通俗的解释能够帮助你更好地理解李群和李代数。
4、李代数
我们所学的连续群知识小结——清理思路
1、关于李群： （1）李群是参数群—参数化； （2）李群的局域性质完全由生成元决定； （3）生成元的性质由结构常数决定； （4）对紧致李群，有限群的主要定理有效。 （5）将一般理论用于讨论SO（3）和SU（2）。 2、关于李代数： （1）从李群性质由其生成元代数性质决定出发，引入李代数相关概念； （2）集中研究半单李代数—用基林形式判断半单（包括紧致性）； （3）采用根方法讨论李代数的结构和分类—引入邓金图和嘉当矩阵； （4）采用权方法讨论李代数的不可约表示—用最高权确定李代数的不可 约表示，用卡斯米尔算符的本征值标记不可约表示； （5）将一般理论用于讨论so（3）。
1
A −1 =
1 ⎛ A22 ⎜ dБайду номын сангаасt A ⎜ ⎝ − A21
− A12 ⎞ ⎟ A11 ⎟ ⎠
最高权 Λ = n1Λ 1 + n2 Λ 2
仿照角动量理论的讨论可得
H α1 → J z Eα 1 → J + E −α 1 → J −
量子力学中的许多方法和结果 可以在半李代数理论中找到对应
半单李代数对易关系的标准形式
（陶瑞宝《物理学中的群论》）
（也称为素根） 定理：秩为l的半单李代数有l个线性无关的单根。
由邓金图分析可以得到所有可能的单李代数
高于一维的单纯李代数共有四个李代数系列：
Al Bl Cl Dl
它们称为典型李代数。还有五个例外： G2 F4
E6
E7
E8
SU ( l + 1) 群的李代数是 Al SO ( 2l + 1) 群的李代数是 Bl 酉辛群 USp( 2l ) 的李代数是 C l SO ( 2l）群的李代数是 Dl
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则 gT2 () m C2 () C 2 ()
g T2 () T2(λ )也常被称作二 9 m 阶卡西米尔不变量
SO(3)群
二阶卡西米尔算子就是轨道角动量平方算符
[L , L z ] 0
2
二阶卡西米尔不变量
C2 () l (l 1)
练 习
10
[(iI j ), (iI k )] Clj k (iIl )
l
实李代数：在李群的真实表示中，(-iIj)生成元是线性无 关的，以它们作为基构成实线性空间，以生成元对易关系 为矢量乘积的定义，此实线性空间对矢量乘积封闭，构成 1 代数，称实李代数
紧致实李代数：紧致李群的实李代数
复李代数：生成元所有的复线性组合构成的线性空间关 于矢量乘积也封闭，构成的代数，简称李代数 复李代数称为相应实李代数的复化 实李代数称为相应复李代数的实化 （同一复李代数的实形不唯一） 利用这一点，有些紧致李群与相应非紧致李群的实李代 数不同，但复李代数相同，这样可以根据紧致李群来寻找 非紧致李群的不等价不可约表示
理想：设李群G有子群H，它们的李代数分别记作LG和LH， 则LH LG LH称为子代数；进一步，若对任意X∈LG， ， 2 Y∈LH，必有[X,Y]∈LH，则称LH是LG的理想
平庸理想：零和全体LG是李代数的两个平庸理想
阿贝尔理想：理想中的任意矢量乘积(生成元的对易关系) 可对易，即X,Y属于LH 且 [X,Y]=0
[I A , I B ] I D (Iad ) DB A
D
I
ad A DB
iC D AB
6
二、卡西米尔算子（符）
对紧致李群，选取适当参数，可以使结构常数完全反对 称，则可证明：生成元的平方和可与每一生成元对易
j
[I j I j , I k ] 0
生成元的平方和在不可约表示中常取常数矩阵，此常数 矩阵可以用来标记李群的不可约表示，由此引入 n阶卡西米尔算子 由生成元的n次齐次多项式（n次方之和）构成，可与 所有生成元对易的算符 n阶卡西米尔不变量 n阶卡西米尔算子在不可约表示中所取的常数
李代数存在非平庸理想是李群存在非平庸不变子群的充 要条件 单纯李群：不存在非平庸不变子群的李群 单纯李代数：不存在非平庸理想的李代数 半单李群：不存在阿贝尔不变子群的李群 半单李代数：除零空间外，不存在阿贝尔理想的李代数 一阶李群：没有非平庸不变子群，必为单纯李群，但它 是阿贝尔李群，因此不是半单李群，相应的李代数为单纯 3 李代数，但不是半单李代数（如加法群）
3.6
一、几组概念
生成元定义gΒιβλιοθήκη 李代数D(A) j
D(A) 1 i jI j , I j i
j1
0
其中引入虚数单位，是为了使幺正表示生成元厄米
[I j , I k ] i Clj kIl 相应的代价是生成元对易关系中出现系数i
l
在数学文献中，通常取(-iIj)作为生成元
子代数的半直和：若L1是L 的理想，L2不是，且L1+L2=L， L1∩L2=Ф，[L1,L2] L1，则L 称为两个子代数的半直和L 4 =L1 +s L2
可解李代数：由李代数L 可定义一系列子代数，且 L (1)=[L,L ],L (2)=[L (1),L (1)]...若对L 存在整数n，使L (1) =0成立，则L 称为可解李代数
可证：任李代数L 都可分解为一个可解李代数L1和一个 半单李代数L2的半直和；当L1=0时，L 是半单李代数；可 解李代数所有有限维不可约表示都是一维的 李代数同构：若李代数L '和L 的基及其线性组合一一 对应，且矢量乘积仍按同一规则一一对应，则L ' ≈L 同构的李代数在对应的基中结构常数相同，因此相应 李群局域同构 李代数同态：上述关系变成一多对应，则L ' ~L 此时，L 必可表示为两个子李代数的半直和，其中一 个子李代数L1是L 的理想，并与L '的零矢量对应，称为 5 同态核；另一子李代数 L2 ≈L '
T2(λ )与C2(λ )是什么关系？
将 Tjk Tr (I I ) jk T2 () 取j=k，并对j求和 j k
Tr(I I ) T2 () g jj
j
不可约表示Dλ 的维数
将 I I C2 () I 取迹 j j
j
Tr(I I ) C2 () m jj
[I ad , T ] jk ( I ad ) jq Tr (I I ) Tr (I I )( I ad ) qk p p q k j q p 0 q
由于 Tjk Tr (I I ) 与伴随表示的所有生成元对易，因此， j k jk T2 ( ) 它是常数矩阵（j=k时才不为零） 只需知道表示中一个生成元的具体形式，就可计算出 T2(λ)
高于一阶的单纯李群：都半单李群，相应的李代数为半 单李代数 李群是单纯李群，李代数是单纯李代数的充要条件： 李群的伴随表示是不可约表示 如：SU(2)，SO(3)伴随表示是SO(3)自身表示，不可约， 因此SU(2)，SO(3)是单纯李群，相应李代数是单纯李代数 子代数的直和：若在李代数中，两个子代数L1和L2满足： L1+L2=L，L1∩L2=Ф，[L1,L2]=0，则L 称为两个子代数的直 和L =L1 + L2，显然L1，L2都是L 的理想
李代数线性表示或模：若李代数L '的元素是矩阵，且 L ' ≈L 或 L '~L，则 L '称为L 的线性表示或模 局域意义上，李群和李代数，实李代数和复李代数有共 同的线性表示 李代数的等价表示：两个表示的基（生成元）可通过同 一相似变换联系 李代数的不可约表示：李代数表示空间对此李代数不存 在非平庸不变子空间 李代数的伴随表示：表示的基（生成元）满足
7
对紧致李群，生成元的平方和是二阶卡西米尔算子，记 作 I I C 2 ( ) I jj
j
λ：对应第λ个表示； Iλj：不可约表示Dλ的生成元 C2(λ): Dλ表示中（二阶）卡西米尔不变量
如何计算二阶卡西米尔不变量？ 原则上，只需知道每一个生成元的具体形式即可；但对 参数较多的李群，这个计算比较复杂 另一种方法： 若紧致李群又是单纯李群，则其伴随表示是不可约表示 引入g×g矩阵 Tjk Tr (I I ) 可证明它与伴随表示的每一 j k 8 生成元Iadp都对易，即