山西省阳泉市2020年中考数学一轮复习专题21等腰三角形
2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》及答案
2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝，BH＝；（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝，BH＝；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE 为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝；（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：．②直接写出NP+MP的最小值．（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝P A．6．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）7．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．（1）在图①中，点C坐标为；（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠P AB度数．9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”……老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”（1）求证：AF＝FG；（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；（3）直接写出的值．10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝，n＝；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D 为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．（1）求证：∠ABD＝∠ACD．（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE．（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：AB＝CG．13．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E 在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE ＝β．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．15．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC 相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？并加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC 于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为．（直接写答案）．参考答案1．（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC．（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，∵AE∥BD，∴∠EFC＝∠CDB＝45°．∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，∴EC＝CF．∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，∴BF＝BD，∴AE＝BD；（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，∴∠DOE＝∠DCE＝90°．又∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴＝2，∴∠BED＝30°，∴OD＝DE＝×2＝1，∴＝，OB＝＝，∴AD＝BE＝OB+OE＝+．2．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．3．解：（1）如图①连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝3，故答案为：3，3；（2）如图②，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝2，故答案为：2，2；（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH；猜想BH＝1，理由如下：如图③，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝1．4．解：（1）∵△DEF是等边三角形，∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，∴△DBF≌△EBF（SSS）∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，∴∠EBF＝60°，故答案为：60°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，∴△FDH≌△FEG（AAS）∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠ABF＝∠FBE＝60°；（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，∴DH＝EG，∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠BFH＝∠BFG＝30°，∴BF＝2BH＝2BG，∴BF＝BH+BG＝BD+BE．5．解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，∵点M与点M'关于EC对称，∴MP＝M'P，∴NP+MP＝NP+M'P，∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，∴BM'＝10，∵∠B＝30°，M'N⊥BC，∴MN'＝5，∴NP+MP的最小值为5，故答案为：5；（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，∵∠BPC＝75°，BC＝BP，∴∠BCP＝∠BPC＝75°，∴∠CBP＝30°，∵∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠ABP＝15°，∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，∴△BPF≌△CAP（ASA）∴PF＝AE，∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠EP A＝∠P AE＝30°，∵∠EP A＝∠PCA+∠P AC＝30°，∴∠PCA＝∠P AC＝15°，∴PC＝P A．6．解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DP A＝∠DPE＝90°，在△DP A和△DPE中，，∴△DP A≌△DPE（ASA），∴P A＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB＝PC；（3）∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB＝45°，∴BP＝AB＝1cm，∴PC＝BC﹣BP＝4cm，∴CD＝CP＝4cm，故答案为：4．7．（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．∵A（2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠OAB，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（1，3）．故答案为（1，3）．（2）证明：如图②中，∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△EBC（SAS），∴EC＝AD．（3）解：如图②中，设CD交AB于J．∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，∴∠BCD＝∠BAD，∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，∴∠BAD+∠AJD＝90°，∴∠ADJ＝90°，∴CD⊥OA，∵C（1，3），∴OD＝1．（4）解：设F（0，m）．由题意：•|m﹣1|•2＝2，∴m＝3或﹣1，∴F（0，3）或（0，﹣1）8．解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠P AN＝∠PMB，∵∠P AN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝P A，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴PC＝P A＝PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠P AC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠P AB＝∠P AC+∠CAB＝90°．9．（1）证明：如图1中，作AH⊥AG交BG于H．∵∠BAC＝∠HAG＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵BG⊥CG，∴∠EAB＝∠EGC＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠ABH＝∠ACG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（ASA），∴AH＝AG，∵AF⊥FG，∠HAG＝90°，∴FH＝FG，∴AF＝FG＝FH．（2）解：结论：AG＝2DF，DF⊥AG．理由：如图2中，连接AD，DG，作DK⊥BG于K．∵∠BAC＝∠BGC＝90°，BD＝CD，∴DA＝DG＝BC，∵DF＝DF，AF＝FG，∴△DF A≌△DFG（SSS），∴∠ADF＝∠GDF，∴DF⊥AG，∵DK∥CG，BD＝DC，∴BK＝KG，∴DK＝CG，∵AE＝CE，∠AFE＝∠CGE，∠AEF＝∠CEG，∴△AEF≌△CGE（AAS），∴AF＝CG＝2DK，∵△ADF≌△GDF，∴∠AFD＝∠GFD＝135°，∵∠AFK＝90°，∴∠DFK＝45°，∴DF＝DK∵AG＝AF，∴AG＝2DF．（3）由（2）可知：CG＝2DK，DF＝DK，∴＝＝10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．11．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，＝6＝×OB×CG＝×4×CG，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．12．（1）证明：∵B（﹣1，0），C（1，0），∴OB＝OC＝1，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠BDC＝2∠BDO，∵∠BAC＝2∠BDO，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABD＝∠AFD＝∠BDC+∠ACD，∴∠ABD＝∠ACD．（2）作DN⊥AE，垂足为N．∵DM⊥AC于点M，∴∠DNB＝∠DMC＝90°，在△DNB和△DMC中，，∴△DNB≌△DMC（AAS），∴DN＝DM，又∵DN⊥AE于N，DM⊥AC于点M，∴AD平分∠CAE．（3）∵DG＝AD，∴∠DAG＝∠DGA，∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝∠DAE．∴∠DGA＝∠DAE．∵∠DAE+∠DAB＝∠DGA+∠DGC＝180°，∴∠DAB＝∠DGC，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（AAS）∴AB＝CG．13．（1）证明：如图（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）∴AC＝AE．（2）证明：如图（1），∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；（3）解：EC＝2AF．证明如下：如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM，又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，∵AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∵AM⊥CE，∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，∴CM＝AM＝ME，又∵AF＝AM，∴EC＝2AF．14．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD．∵AD＝AE，AC＝AB，∴△CAE≌△BAD（SAS）．（2）解：α+β＝180°，理由如下：由△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．∴∠BCE＝β＝2∠B，在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．∴α+β＝180°．（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，∴CE＝BD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．∴∠BCF＝90°．∴∠F＝∠B＝45°，∴CF＝CB．∴CF﹣CE＝CB﹣BD．∴EF＝DC．15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）解：过点D作DE⊥AB于E，由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．故答案为：20．。
2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题含答案
2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对mn第3题图21CBAD第4题第5题二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： ．10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为12～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___ __° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，求∠EBC 的度数.CABDBFDE AC15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分 21、问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互OCBA② ABCO①O C B AED③不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ABCE D m（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．测试题答案一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( D ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ D ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( C ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ D ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ A ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°mn第3题图21CBAD第4题第5题6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ C ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= 3cm . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为 40°9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ． 10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为 75°11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为 10或1112～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___66.5___° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CABDBFDE AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°14、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，求∠EBC 的度数.解：在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°.由AB的垂直平分线交AC得AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°.15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．解：(1)第一个空填：90°＋2α；第二个空填：90°＋3α．第三个空填：120°－3α．(2) 答案：120°－3α．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ 1n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－1n (180°＋∠A)＝n−1n·180°－αn ．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状. OCBA② ABCO①O C B AED③ABCE Dm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90°∴∠BA D+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠AB D=90°∴∠CAE=∠AB D又AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE (2)∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）由（2）知，△A DB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE ∵B F=AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ααα根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程） （1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO 和△PDE 中∴△BPO≌△PDE（AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4， 在△ABP 和△CPD 中∴△ABP≌△CPD（AAS ），∴AP=CD．（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ， １、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ， ∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MF=21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG=21AC ，∴MF=EG ． 同理可证DF=MG ． ∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ． 2、MD ⊥ME ；∵MG ∥AB ，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD ⊥ME ； ●类比探究答：等腰直角三解形。
人教版2020中考数学第一轮复习--第十五讲 等腰三角形(无答案)
第十五讲等腰三角形【知识框架】【知识梳理】知识点1等腰三角形的概念与性质1.定义：有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底．2.性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴．（2）等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)．（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．知识点2 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)．针对练习1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°2．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40°B．35° C．25° D．20°第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠ADB＝______，∠BAC＝_______，∠C＝______．5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则AC的长为_____．6．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______．第6题图知识点3 等边三角形1.定义：三边相等的三角形是等边三角形．2.性质：（1）等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______．（2）等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴．（3）等边三角形每边上的______ 、______ 和该边所对内角的 ______互相重合．3.判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．针对练习1．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )A．9 B．8 C．6 D．122．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a－b|＋c－b＝0，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定3．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝______．4．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距海里 ______．第1题图第3题图第4题图知识点4 线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线．2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________．3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________ 上．归纳：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合．针对练习1.如图，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE ＝4 cm ，则△ABD 的周长是( A ．22 cm B ．20 cm C ．18 cm D ．15 cm2．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于点D ，AC 的中垂线交BC 于点E ，则△ADE 的周长等于__________．第2题图 第3题图3.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB•的垂直平分线MN•分别交BC 、AB 于点M 、N ， 求证：CM=2BM ．4．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线，交BC 的延长线于点F ，连结AF ．求证：∠BAF=∠ACF ．【巩固练习】一．选择题1．一个等腰三角形一边长为4 cm ，另一边长为5 cm ，那么这个等腰三角形的周长是( ) A ．13 cmB ．14 cmC ．13 cm 或14 cmD ．以上都不对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为( ) A ．5B ．10C ．20D ．24第2题图 第3题图 第5题图 第6题图NM CBAA FE DC3．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( ) A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°4．在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是( ) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80°5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( ) A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( ) A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°7．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点D 为BC 的中点，DE ∥AB 交AC 于点E,过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F ，则图中长度为1的线段有( ) A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 二．填空题8．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，若∠B＝36°，则∠D 的大小为______． 9．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是______．10．如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于______． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为______．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为______．13．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ______．14.如图， ∠DEF =36°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠A=______． 三．解答题15．如图，已知：在△ABC 中，∠C ＝∠ABC，BE ⊥AC ，△BDE 是正三角形．求∠C 的度数．FE D CBA16．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD。
2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形
2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30o的直角三角形的性质。
二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30o的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。
对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。
这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。
在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。
知识梳理典例精析知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。
解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。
其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠。
∠，底角是∠A和ABD ADB∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDA解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。
例2.已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。
解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337+=<，所以不能构成三角形，--=。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
2020年中考数学一轮复习 第十八讲 等腰三角形与直角三角形 知识点+真题 学案
2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称注意：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴5、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形注意：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：⑴、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合⑵、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，⑶、勾股数，列举常见的勾股数三组、、2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形⑵有两个角 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形注意：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用【中考真题考点例析】考点一：角的平分线例1 （丽水）如图，在Rt △ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．对应练习1－1（泉州）如图，∠AOB=70°，QC ⊥OA 于C ，QD ⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °． 考点二：线段垂直平分线例2 （2019山东东营）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以点B 和点C 为圆心，大于21BC 的长为半径作弧，两弧相交于D 、E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ，若AC=3，CG=2，则CF 的长为（ ）A ．25B ．3C ．2D ．27对应练习2－1（义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．对应练习2－2（天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3 （2019年枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），∠=____度．然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，BAC对应练习3－1（武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC 的度数是（）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°对应练习3－2 （云南）如图，已知AB ∥CD ，AB=AC ，∠ABC=68°，则∠ACD= ． 考点四：等边三角形的判定与性质例4 （黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．对应练习4－1 （黄冈）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE=CD=1，连接DE ，则DE= ．考点五：三角形中位线定理例5 (2019聊城中考)如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，DE 为ABC △的中位线，延长BC 至F ，使12CF BC =，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC a =，则FMB V 的周长为_______．对应练习5－1 （2019年威海）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，过点C 作CE ⊥BC ，交AD 于点E ，连接BE ，∠BEC ＝∠DEC ，若AB ＝6，则CD ＝对应练习5－2 （昆明）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°考点八：三角形、中垂线及角平分线相关的尺规作图例8 ( 2019山东济宁)如图，点M 和点N 在∠AOB 内部．（1）请你作出点P ，使点P 到点M 和点N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（第15题图）ACB ED （第15题图）CEDOABCDEM（2）请说明作图理由．对应练习8－1 （2019潍坊）如图，已知∠AOB ．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ． ②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．∠CEO =∠DEOB ．CM =MDC ．∠OCD =∠ECD D ．S 四边形OCED =21CD ·OE 对应练习8－2 （2019年枣庄）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，，1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）；，2）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．【聚焦中考真题】一、选择题1．（2019年山东滨州）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（ ）A ．AB=41，BC=4，AC=5B ．AB ︰BC ︰AC=3︰4︰5C ．∠A ︰∠B ︰∠C=3︰4︰5D ．213cos (tanB )02A -+-=2．（临沂）如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB=ADB ．AC 平分∠BCD C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC3．（枣庄）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．134．（淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）A ． 32B ．52C ．3D ．45．（威海）如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是（ ）A ．∠C=2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD =S △BODD ．点D 为线段AC 的黄金分割点6．（莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，3），M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．87．（遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．48．（铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．49．（柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．157B．125C．207D．21510．（德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（）A．5 B．52C．53D．611．（大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（）A．34B．334C．94D．93412．（南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50 D．40°13．（淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．614．（长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．15．（宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．216．（南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°17．（鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．1 D．1218．（徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A．80°B．50°C．40°D．20°19．（成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：20．（滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．21．（烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．22．（泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．23．（烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．24．（菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出1个即可）．25．（莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．26．（厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．27．（白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．28．（广州）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．29．（长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm．30．（宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是 m．31．（漳州）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．32．（泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD 的周长为 cm．33．（吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为．34．（资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．35．（锦州）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=34，则BE+CE= ．36．（无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °．37．（鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A 、B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm ，则画出的圆的半径为 cm ．38．（沈阳）已知等边三角形ABC 的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是 ．39．（哈尔滨）在△ABC 中，AB=22，BC=1，∠ABC=45°，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD=90°，连接CD ，则线段CD 的长为 ．40.（扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 ．41．（滨州）在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，则∠B= ．三、解答题42.（2019年枣庄）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．43．（威海）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC 的斜边与含30°角的直角三角板DEF 的长直角边DE 重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC 绕点B 顺时针旋转30°，点C 落在BF 上，AC 与BD 交于点O ，连接CD ，如图②．（1）求证：△CDO 是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．44．（湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．45．（永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC 于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3。
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
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(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
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内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)
专题17等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1.三条边相等2.三个内角相等，且每个内角都等于60°3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；2.作直线CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C 【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，即△AEF的周长为20，故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠C，∴EA＝EC，∴EC＝EB，∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝40°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE＝，故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，＝S△ABP+S△ACP，则S△ABC即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴CD＝PE+PF，∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA＝5，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝3，＝×5×3＝．∴S△ABD故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝4，∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵D是边AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC，∴∠E＝30°，∵∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，∴BP＝，，∴，，＝9a，设S△ABC＝a，S△ANK＝4a，则S△AML＝4a﹣a＝3a，∴S四边形MNKL∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△A B C被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积，故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），解得：，当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），解得：，综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DB＝EC＝1，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△ABP＝S△ABC＝×2＝1（cm2），∴S△PBC故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，∴∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中，，△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，∵E是AB中点，，∴，∵∠DEA+∠CEB＝60°，∴∠AEM+∠BEN＝120°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴，∴CD≤DM+MN+CN，当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为，故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】（1）△BPQ是等边三角形；（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．。
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α110°A B
C O
D
等腰三角形 题组练习一（问题习题化）
1.若等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A.65°
B.80°
C.50°或65°
D.50或80°
2.已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（ ）
A.14
B.15
C.16
D.14或16
4. 如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 _____ ．
6.如图，点O 是等边三角形ABC 内一点,
∠AOB=110°, ∠BOC=110°,将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60得到△ADC ，连接OD.
（1）求证：△COD 是等边三角形；
（2）当=150时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究当α等于多少度时△AOD 是等腰三角形.
知识梳理
内 容 知识技能要求
等腰三角形的有关概念；等
边三角形的概念.
了解 等腰三角形的性质与判定；
等边三角形的性质与判定；
角平分线.线段垂直平分线
的性质与判定. 掌握
题组练习二（知识网络化）
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，以B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD=（ ）
A ． 30°
B ．45°
C ．60°
D ． 90°
3．已知△ABC 的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC 有（ ）
A ． 5个
B ．4个
C ．3个
D ． 2个
9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列说法错误的是（ ）
A ． ∠CAD=30°
B ．AD=BD
C ．BD=2CD
D ． CD=ED
3. 如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边
OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
5. 如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为___ 度．
16．我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有个．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2
B．4
C．4
D．8
题组练习三（中考考点链接）
16. 如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________ ．
17.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）
A．B．C．3 D．4
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．
答案：
1.C；
2.D；
3. 50°;
4.（1）证明：∵CO=CD，∠COD=60，
∴△COD是等边三角形.
（2）当α=150时，即∠BOC=150，时，△AOD是直角三角形.
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC =150.
是等边三角形，
∴∠ODC=60，∴∠ADO=90即△AOD是直角三角形.
（3）①要使AO=AD，需要∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=190-α，∠ADO=α-60
∴α=125
②要使OA=OD，需要∠OAD=∠ADO，
即∠OAD=180-（∠AOD+∠ADO）=50.
∴α-60=50，解得α=110.
③要使AD=OD需要∠OAD=∠AOD，.
综上所述，当α的度数为125或110或140时，△AOD是等腰三角形.
5.B
6.C
7.D
8.C;
9.45；10.9
11.B； 12. y=（x＞0）； 13.C；
24.解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，
∴MN∥AC；
（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S四边形AFGE=AE•GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12．
（3）据题意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，
①当M D=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，
∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=AC=3，∵cosA==，
∴=，解得AD=5，
∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，
∵cosA==，即=，
∴AM=，
∴AD=t=2AM=，
综上所述，当t=5或6或时，△DMN为等腰三角形．。