高中数学好题速递400题151—200
高中数学好题速递400题(第01—50题,版,含答案解析)
k2
2
，所以 1 k 4
3
当 k 1 时， k 2 f x 3
所以若对于任意的实数
1 ，其中当且仅当 x 0 时取得等号 x1, x2 , x3 均存在以 f x1 , f x2 , f x3 为三边长的三角形，只需
k 2
2
1 ，所以
1
k1
3
2
综上可得，
1 k4
2
2．在一条南北方向的步行街同侧有 8 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要
2
0 的图
象在区间 3,3 上的交点个数为
．
2． 若 (ax 1)5 的展开式中 x3 的系数是 80，则实数 a 的值是
．
答案： 2
好题速递 14
1． f x 是 定 义 在 正 整 数 集 上的 函 数 ， 且 满 足 f1
f1 f2
f n n2 f n ，则 f 2015
．
解： f 1 f 2
2
xa
2
1 a
x
2
1
1
x
2a x
x
x
2a2 2
1 x
x
2
a
a2 2
因为 x 0 ，则 x 1 2 ，分两种情况： x
（1）当 a 2 时， AP min
a 2 2 2 2 ，则 a 10
（2）当 a 2 时， AP min
2a2 4a 2 2 2 ，则 a 1
2． 将 5 名实习教师分配到高一年级的
配方案有
种．
答案： 90 种
3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分
好题速递 5
2
1．已知 x, y
【大师特稿】高中数学好题速递400题(第151—200题,word版,含答案解析)
好题速递151（2019湖北第17题）a 为实数，函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ， 当a =_________时，()g a 的值最小解：若0a <时，()22f x x ax x ax =-=-在区间[]0,1上单调递增，故()1g a a =- 若012a≤≤，即02a ≤≤时， ()()()221,02max 0,1,max 0,1,24224a a a a g a f f f a a a ⎧-≤≤⎧⎫⎧⎫⎪⎛⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨ ⎪⎝⎭<≤⎩⎭⎩⎭⎪⎩ 若12a>，即2a >时，()22f x x ax x ax =-=-+在区间[]0,1上单调递增，()1g a a =- 综上， ()21,22241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩，故当2a =时，()g a取得最小值为3-好题速递152（2019重庆第14题）设实数,0a b >，5a b +=的最大值为 。
解法一：()()2491318a b a b =+++≤++++=≤当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时，取得等号 解法二：x y = 则题目变为“实数,1x y >，229x y +=，求x y +的最大值。
利用不等式链条22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，得x y +≤当且仅当x y ==时取得等号 解法三：三角换元，令3cos ,3sin x y θθ==，且满足11cos ,sin 33θθ>>则3cos 3sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭当4πθ=时取得最大值32，且此时满足11cos ,sin 33θθ>>解法四：令2x y t +=>，则()229x t x +-=，即222290x tx t -+-=在()1,3上有解 则()2127f t t =--，()23690f t t =-+>满足()()130f f <或()()()2210301324890f f tt t ⎧>⎪>⎪⎪⎨<<⎪⎪⎪∆=--≥⎩ 解得232t <≤，且3t ≠ 故t 的最大值为32好题速递153（2019湖北理科第9题）已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30 解：因为集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 中的整点，集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈中的元素表示B 中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即A B ⊕的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个好题速递154（2019浙江理科第7题）存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 解：对A 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()01f =，矛盾对B 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()2042f ππ=+，矛盾对C 选项，取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾对D 选项，令10t x =+≥，所以()()211f t t f x x -=⇔=+，符合题意，故选D 本题与浙江文科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。
高中数学好题速递400题(51—100)
好题速递511． 已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ） ABCD解：由()222b y xc a x y c ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x c y =-⎧⎨=⎩ 所以222,a b ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭在24y cx =上，所以4210e e --=，解得e =2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 ． 答案：54（或1024）好题速递521． 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,P Q 两点，则POQ ∆的面积的最小值为 ． 解：设()00,M x y ，则直线l 的方程为0020x x y y +-=，所以直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q 的坐标为0022,0,0,x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而2200001943x y x y +=≥，所以003x y ≤ 所以00223POQ S x y ∆=≥ 2．已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x +-⋅-=++++L 成立， 则123a a a +++1314a a ++L 的值等于 ．答案：0好题速递531．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 ． 解：由于2c =确定，所以离心率最大就是a 最小．所以问题等价于在直线:3l y x =+上确定点P ，使PA PB +取得最小值． 结合对称性可得，点A 关于直线l 的对称点为()3,1M - 所以()min PA PB BM +==所以max e ==2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 ． 答案：30好题速递541．已知数列{}n a 和{}n b 中，1a a =，{}n b 是公比为23的等比数列．记()2*1n n n a b n a -=∈-N ，若不等式1n n a a +>对一切*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解：因为()2*1n n n a b n a -=∈-N ，所以21n n n b a b -=-，所以()()()11111112211302111111113n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b a a b b b b b b b b ++++++-----=-=-==<------⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得3012n n b or b ><< 若32n b >，则112332n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即12312na b a -⎛⎫=> ⎪-⎝⎭对一切正整数n 成立，显然不成立 若01n b <<，则112013n b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭对一切正整数n 成立，只要101b <<即可，即2011a a -<<-解得2a >2． 已知2223401234(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则1234a a a a +++＝_____；1a =______．答案：0，－2好题速递551．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中正确的个数是 ． 解：由1169x x y y +=-知，,x y 不能同时大于0，分类讨论：当0,0x y <≥时，221169x y -=表示双曲线的一部分当0,0x y <<时，221169x y +=表示椭圆的一部分当0,0x y ≥<时，221916y x -=表示双曲线的一部分作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34y x =-是双曲线221169x y -=和221916y x -=的渐近线，所以结合图象可知曲线()y f x =与直线34y x =-没有交点，则()()430F x f x x =+=不存在零点． 2．若x ∈A 则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ． 答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15．好题速递561．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 是对角线1AC 上的两点，动点P 在正方体表面上运动，满足PM PN =，则动点P 的轨迹长度的最大值为 ．32 解：动点P 的轨迹为线段MN 的中垂面与正方体表面的截痕．2． 若5250125(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则0a = ． 答案：32好题速递571．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是 ．A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有 种． 答案：180好题速递581．已知函数()11f x x =-，()2113f x x =+，()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=+，若[],1,5a b ∈-，且当[]12,,x x a b ∈时，()()12120g x g x x x ->-恒成立，则b a -的最大值为 ． 解：()()()()()()()()()1121212212(),22(),f x f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x ≥⎧-+⎪=+=⎨<⎪⎩即()g x 即为取()11f x x =-，()2113f x x =+中较大者．画出函数图象，且()g x 单调递增，所以单调递增区间[][],0,5a b ⊆，所以b a -的最大值为5．2．若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是 ． 答案：14好题速递591．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 ． 解：2234z x xy y =-+，所以xyz22134xy xy x xy y xy =≤=-+ 当且仅当2x y =时，等号成立 所以222122121222x y z y y y y y +-=+-=-+ 令10t y=>，则原式()2111t =--+≤ 所以212x y z+-的最大值为1. 2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有 种． 答案：60好题速递601．定义{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数 ,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}max 4,3z x y x y =+-的取值范围是 ．解：14,213,2x y y x z x y y x⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩作出22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩所对应的区域如图所示：由图可知：{}[]max 4,37,10z x y x y =+-∈- 2． 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种． 答案：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A +=+=种．好题速递611．不等式()()22cos 11sin 0x x x x θθ--+->对[]0,1x ∈恒成立，则θ的取值范围是 ．解：经整理为()()()2sin cos 112sin sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[]0,1x ∈恒成立， 当0x =时，()0sin 0f θ=>；当1x =时，(1)cos 0f θ=> 所以sin cos 10θθ++>，二次函数开口向上 对称轴()()12sin 0,12sin cos 1x θθθ+=∈++所以需满足12sin 205sin 022,1212cos 0k k k θππθπθπθ∆=-<⎧⎪>⇒+<<+∈⎨⎪>⎩Z2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 ． 答案：58好题速递621．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ，则m = ．解：cos cos 2sin sin B C AB AC AO mAO AO C B ⎛⎫+=⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r g g 所以222cos cos 2sin 2sin 2B cC b R m C B ⋅+⋅=由正弦定理得cos cos 2c B b C Rm a +==，所以sin 2a m A R == 2． 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 种． 答案：12好题速递631．已知115k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为 ．解：由题可知312421,21,21,212121x x x x k kk k k k =-=+=-=+++ 所以()()4243213112213142123221112121x x x x x x x x kk k k k k k k k -+-++++=⨯=⋅==-+≥----+ 当且仅当15k =时，()()4321min 1x x x x ⎡-+-⎤=⎣⎦ 2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答） 答案：16好题速递641．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 。
高中数学好题速递400题(第301—350题,word版,含问题详解解析汇报)
好题速递301已知正数,x y 满足()()11124x y y x y x+=++，则xy 的最大值为 ．解：()()112424x yxy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦ 解法一：令2,4x y u x y v +=+=，得42,77u v v ux y --==则426142477777x y u v v u v u x y x y u v u v --⎛⎫+=+=-+≤ ⎪++⎝⎭当且仅当u v =，即3x y =时取得等号。
解法二：112424x y y x x y x y x y+=+++++令yt x =，则()2222115149211161442122414924924t t t t t t t t t t t t t t+++++++=+==++++++++ 令15142t m +=，则4215m t -=原式2211444242424249249215151515m mm m m m =+=+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122512251941964644761964428764476m m m m m=+=+≤+=++++ 当且仅当74m =，即13t =时取得等号好题速递302设函数()()()()()0101111(),,(),1,222xn n n f x f x f x f x f x n n N -==-=-≥∈，则方程()()12nf x n n =+有 个实数根．解：令1()()2n g n n =+，问题化为观察)(x f n 与)(n g 图像的交点有几个．由于)(0x f 是偶函数，故)(x f n 是偶函数，只要考虑0x ≥时的交点个数．n =1时，)(1x f 的图像是把)(0x f 的图像下移12，再把x 轴下的图像往上翻而得，1max 1()2f x =，有1个零点，以零点为界，)(1x f 呈“减增”状态，最后趋于12，如图1，有2个交点；n =2时，)(2x f 的图像是把)(1x f 的图像下移212⎛⎫⎪⎝⎭，再把x 轴下的图像往上翻而得，2max 21()2f x =，有2个零点，以2个零点为界，)(2x f 呈“减增减增”状态，最后趋于212⎛⎫⎪⎝⎭，如图2，有22个交点；……n = n ≥2时，max 11()()()()22n n n f x g n n =>=+，且有12n -个零点以12n -个零点为界，)(x f n 呈“减增减增…减增”状态，最后趋于12n⎛⎫⎪⎝⎭，故)(x f n 的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有1222n n -⋅=个交点，再由对称性知x <0时，也有2n 个交点，故共有12n +个交点，从而原方程有12n +个实根好题速递303已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．解：11123344222323424n n n n n n n n n a a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥-+--===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．好题速递304已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在()0,4上有两个实数解，则k 的取值围是 .解：()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在()0,4上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--好题速递305已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ．解：易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而ABCNPDE 2222 111551025====由得，，a ca c 22214=5552⋅=⨯⨯则 a c 评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。
高中数学好题经典题总结400题(251—300)含答案
好题速递251题设,m k 为正整数，方程220mxkx 在区间0,1内有两个不同的根，则mk 的最小值是．解：2220mxkxkmxx于是问题转化为直线yk 与打勾函数2ymxx的图象的两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是222mkm注意到2m 为整数，于是在区间22,2m m 上存在整数k 的充要条件为2221mm 解得322m 故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k 的最小值为13好题速递252题已知21xy，求22xxy的最小值是．解法一：令22xxym ，则222myxm因此22212myym，整理得22y my m m故用判别式2240mm m，解得45m解法二：设cos x r ，sin yr ，条件转化为2cossin1r r ，即12cossinr所求代数式转化为cos1cos 2cossinr r的最小值由此可有斜率角度求值域：2cos sin 2cos2sin2sin 252cos 1cos 1cos 14，（视为单位圆上的点与1,2连线斜率），则22cos 142cossin5xxy也可由三角函数角度求值域：22cos 14sin21cos12112cossin5mm m mm m评注：这里因为遇到22xy 的结构，故三角换元设cos x r ，sinyr 。
解法三：数形结合当0x时，点P 为21xy 上的一点，则22x xyPOPH如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21xy的对称点42,55Q 到y 轴的距离为45当0x 时，点P 为21x y上的一点，则22x xyPO PH而21POOHOB PH PH于是1PO PH好题速递253题如图，直线m 与平面，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是．解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OBOC 不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。
高中数学好题速递400题(20200416135240)
2,0 与 P
1 ,2
的距离为
5
2
2
解法二： 作为小题，由 MA
MB 知是阿氏圆轨迹，故取圆 C : x2 y2 1 直径上的两个
点 1,0 , 1,0 ，即可得 1
3
，解得 b
1 ，
2
b1 1b
2
好题速递 202 题
解析几何模块 5．已知 M 是 x2 8 y 的对称轴和准线的交点，点 N 是其焦点，点 P 在该抛 物线上，且满足 PM m PN ，当 m 取得最大值时，点 P 恰在以 M 、 N 为焦点的双曲线
好题速递 209 题
立体几何模块 3 ．已知线段 AD / / ，且 AD 与平面 的距离为 4，点 B 是平面
点，且满足 AB 5 ，若 AD 10 ，则线段 BD 长度的取值范围是
．
解：如图，将线段 AD 投影到平面 上，得到射影 A ' D ' ，将空
间 问 题 平 面 化 ， 则 动 点 B 的 轨 迹 是 以 A' 为 圆 心 ， 半 径 为
上，则该双曲线的离心率为
．
解：作 PP' MP ' ，由抛物线定义 PP ' PN
PM m PN
1 PN m PM
PP ' cos ，其中
PM
MPP ' NMP
要使 m 取得最小值，即 cos 最小，即
NMP 最大值，即
此时 MP 是抛物线的切线．
设 MP 的方程为 y kx 2，
与 x2 8y 联立得 x2 8 kx 2 0
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上的动点， F1, F2 是其左、右焦
高中数学好题速递400题(第01—50题-word版-含答案解析)
1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种1． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况： （1）当2a ≥时，min AP ==，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种好题速递71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个好题速递81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种．答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种． 答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x xxk f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x xx k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种好题速递131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2好题速递141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．有 种． 答案：144种好题速递151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是 ． 解：令1a b ==，则1a b λ+= 设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12好题速递161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种好题速递171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC+最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121AC B C AB ===12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为 ． 答案：1或-3好题速递181． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b ac a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18好题速递191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为4 2．已知数列{na }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1n n n a C += ．答案：23n n +好题速递201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ． 解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48好题速递211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<< 所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5好题速递221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150好题速递241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
[名师点睛]高中数学好题速递400题(第01―50题,word版,含答案
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[名师点睛]高中数学好题速递400题（第01―50题，word版，含答案好题速递11.已知P是什么？在AP和ABC的任何一点内？哈勃？耶，x，y？r、那你呢？2x的值范围为_1???x???y????xyap?ab?ac,由系数和??1,知点q在线段解法一：令aq?x?yx?yx?yx?yx?yap?x?0,y?0,bc上．从而x?y1．由x、y满足条件?易知y?2x?(0,2)．十、Y1，aq？解决方案2：因为没有对主题的特殊描述？ABC是什么三角形，所以你可以把它设为等腰直角三角形立刻变为线性规划问题了．2.在平面直角坐标系中，X轴的正半轴上有5个点，Y轴的正半轴上有3个点。
将X轴上的5个点和Y轴上的3个点连接成15条线段，这15条线段在第一个象限中最多有一个交点。
回答：30好题速递2，[?1.3]?? 2.当1。
定义函数f（x）？[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]？1x？[0，n）（n？n*），设函数f（x）的取值范围为a，注意集合a中的元素数为a，则公式为an?90的最小值为．n【答案】13．[分析]当n？？0,1? 什么时候十、十、0，中间有1个整数；2当n??i,i?1?,i?1,2,?,n?1时,ix?x?i(i?1),其间有i个正整数,故A.90n911n（n？1），一1.1.2.（n？1）？？1，nn2n22被n91?得,当n?13或14时,取得最小值13．2n2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种好问题快报31．已知直线l?平面?，垂足为o．在矩形abcd中，ad?1，ab?2，若点a在l上移动，点b在平面?上移动，则o，d两点间的最大距离为．解：设ab的中点为e，则e点的轨迹是球面的一部分，oe?1，de?2，所以od?oe?ed?2?1当且仅当O、e和D共线时，等号成立2．将ａ、ｂ、ｃ、ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且ａ、ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种好问题快车41．在平面直角坐标系xoy中，设定点a?a,a?，p是函数y?1?x?0?图象上一动点．若x点p,a之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题1.1.1.1.美联社？？十、A.A.十、2a？十、2a2？2.十、A.a2？二x?x?xx??22222因为x?0，则x?1?2，分两种情况：x（1）当a?2时，apmin?a2?2?22，则a?10（2）当a?2时，apmin?2a2?4a?2?22，则a??12.如果五名实习生被分配到高一的三个班，每个班至少一名，每个班最多两名，则分配方案不同。
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好题速递151（2015第17题）a 为实数，函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ， 当a =_________时，()g a 的值最小解：若0a <时，()22f x x ax x ax =-=-在区间[]0,1上单调递增，故()1g a a =- 若012a≤≤，即02a ≤≤时， ()()()221,02max 0,1,max 0,1,24224a a a a g a f f f a a a ⎧-≤≤⎧⎫⎧⎫⎪⎛⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨ ⎪⎝⎭<≤⎩⎭⎩⎭⎪⎩ 若12a>，即2a >时，()22f x x ax x ax =-=-+在区间[]0,1上单调递增，()1g a a =- 综上， ()21,22241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩，故当2a =时，()g a取得最小值为3-好题速递152（2015第14题）设实数,0a b >，5a b +=，则的最大值为 。
解法一：()()2491318a b a b =+++≤++++=≤当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时，取得等号 解法二：x y == 则题目变为“实数,1x y >，229x y +=，求x y +的最大值。
利用不等式链条22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，得x y +≤ 当且仅当x y ==时取得等号 解法三：三角换元，令3cos ,3sin x y θθ==，且满足11cos ,sin 33θθ>>则3cos 3sin 32sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭当4πθ=时取得最大值32，且此时满足11cos ,sin 33θθ>>解法四：令2x y t +=>，则()229x t x +-=，即222290x tx t -+-=在()1,3上有解 则()2127f t t =--，()23690f t t =-+>满足()()130f f <或()()()2210301324890f f tt t ⎧>⎪>⎪⎪⎨<<⎪⎪⎪∆=--≥⎩解得232t <≤，且3t ≠ 故t 的最大值为32好题速递153（2015理科第9题）已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30解：因为集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 中的整点，集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈中的元素表示B 中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即A B ⊕的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个好题速递154（2015理科第7题）存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 解：对A 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()01f =，矛盾对B 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()2042f ππ=+，矛盾对C 选项，取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾对D 选项，令10t x =+≥，所以()()211f t t f x x -=⇔=+，符合题意，故选D 本题与文科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。
（2015文科第8题）设实数,,a b t 满足1sin a b t +==，则（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 解：因为1sin a b t +==，所以()2221sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定，故选B 。
好题速递155（2015理科第8题）若空间中有n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．至多等于 3B ．至多等于 4C ．至多等于 5D ．可以大于5解析 显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等，因此至少有4个点．下面证明n 不会大于4．若已有正四面体ABCD ，则第5个点E 与其中三点,,B C D 也可以构成正四面体EBCD ，相当于两个正四面体共底面BCD ，但2AE AH =≠正四面体边长，故不可能存在第5个点．好题速递156（2015全国文科第16题）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知12PF a PF =+ 所以APF ∆周长为12PA PF AF PA a PF AF ++=+++由于2a AF +是定值，要使APF ∆周长最小，则1PA PF +最小，即1,,P A F 三点共线因为(A ，()13,0F -，所以直线1AF 的方程为13x +=-代入22:18y C x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-所以P y =所以11116622APF AF F PF F S S S ∆∆∆=-=⋅⋅⋅⋅=好题速递157（2015全国理科第16题）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值围是 ．解：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin30sin 75BE=，解得BE =， 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin30sin 75BF =，解得BF =所以AB的取值围为好题速递158（2015理科第8题）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭解：由()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎪⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b << （2015文科第8题）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()32g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为 ．解：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()210f x g x x x -=--+=的小于0的零点为x = 当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，方程()()22f x g x x x -=-+=无零点 当2x >时，()2224f x x x -=--=-，方程()()()2227330f x g x x x x x -=-+-=--=有一个大于2的根x = 故共有2个零点．好题速递159（2015理科第13题）已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且（2,m m ≥∈N ），则m 的最小值为 ． 解：因为对任意2,m m ≥∈N 和任意m x ∈R 都有()()12m m f x f x --≤ 由()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=知7m ≥但当7m =时，必须使()()()122,3,4,5,6,7m m f x f x m --== 则1267,,,,x x x x 依次取35791113,,,,,,62222222ππππππππ>，不合题意当8m =时，1267,,,,x x x x 依次取3579110,,,,,,,6222222πππππππ可满足题意，所以m 的最小值为8好题速递160（2015第13题）已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=的实根个数为 ．解：()()()()11f x g x g x f x +=⇔=±-作出函数()y g x =与()1y f x =±-的图象，观察共有4个交点。
好题速递161（2015理科第8题）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加()0m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >解：不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为22221x y a b-=，双曲线()()22222:1x y C a m b m -=++222121a b b e a a+==+，()()()()222221a m b m b m e a ma m ++++==+++当a b >时，()()()()()0b m a b a m a b mb m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++， 所以b m ba m a+>+，即12e e < 当a b <时，()()()()()0b m a b a m a b mb m b a m a a a m a a m +-+-+-==<+++， 所以b m ba m a+<+，即21e e < 故选D评注：这是糖水不等式的应用。