数学模型期末考试试题及答案

山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试
卷
（本试卷共4页）
说明：本
次考试为开卷
考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。

一、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；
二、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ
1
0>
s 时)(t i 的变化情
况
并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。

现要选20名校级优秀学生，请用下列办
法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q
值法。

另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

五、（本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 就业岗位可供选择。

层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。

请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。

选择就业岗位
收入 发展 声誉
岗位1 岗位2 岗位3
六、（本题满分16分）
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退
保）。

保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。

各种状态间相互转移的情况和概率如图。

试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？
0.6
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、 答：由（1）得vt m m mr =++2
)
1(22πω
π， 。

4分 将kn m =代入得)2(22
ωππω++
=
r v
kn
n v
k t ， 。

6分
因为ω>>r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。

。

8分
2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31
211112
)(++=
， 。

4分 下面求1T 使)(11T C 最小，发现dT
T dC dT T dC )
()(111=，所以 r
c c T T 21
12=
=，与生产费用无关，所以不考虑。

。

8分 二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）
),1(-=s i dt
di
σμ若σ10>s ，
当01s s <<σ时，)(,0t i dt
di >增加; 。

4分 当σ1=s 时，)(,0t i dt di =达到最大值m i ；
当σ1<s 时，)(,0t i dt
di <减少且由1.知0=∞i 。

8分 2、 答：E bE a S )(-=，则E bE a pEx S T R )(--=-=， 。

2分
将)1(0r E N x -=代入，得 2
)()()(E r pN b E a pN E R -+-=，。

5分 令0='R 得pN
rb pN
a r E R --⋅=2。

。

8分
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。

从而
)(u J 是下凸的。

而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值
)(S I 。

。

4分 记)}()({0S I c x I x A +≤=， )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此即
方程)()(0S I c x I +=的最小正根 。

8分
2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。

。

8分
四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、
38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000
465
=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。

（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=
5421921Q 2398.05，=⨯=7
63162
2Q 2377.52 =⨯=10
94652
3Q 2402.5，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。

。

8分
21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000
465
=⨯因此比例加惯例分配
结果为4、7、10个。

（2）三方先分得4、6、10个， =⨯='11
104652
3
Q 195.68，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。

。

16分 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。

。

20分 五、（本题满分16分） 解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：T
)12.0,23.0,65.0(，最大特征根为3.003697，0018.0=CI ，0031.0=CR 矩阵1B 对应的权向量为：T )60.0,32.0,08.0(，最大特征根为3.001982，001.0=CI ，0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为：T )09.0,24.0,67.0(，最大特征根为3.00703，0035.0=CI ，006.0=CR 矩阵3B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为3.00922，0046.0=CI ，008.0=CR。

12分
组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0(
因此最佳的岗位为岗位3。

。

16分 六、（本题满分16分）
解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001
，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。

。

6分
11
7.06.01.03.0)
(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=Q I M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡24
32324 Me y ==T )6,315(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过3
1
5或6年投保人就会出现退保
或死亡的情况。

。

12分
MR F ==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72
和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。

18分。