数三阶幻方讲解归纳
三阶幻方解题技巧
三阶幻方解题技巧
1. 嘿，三阶幻方解题啊，有个超有用的技巧就是先找“中心数”啊！就像盖房子得先打牢地基一样。
你看这个三阶幻方，中间这个数不就是关键嘛！比如在这个幻方里，一下子就能发现中心数啦。
2. 还有哦，注意每行每列的数字之和啊！这就好比是有个目标在那，你得努力朝着它去呀。
像是这个幻方，一算就能知道每行每列的和应该是多少啦。
“哎呀，原来这么简单！”
3. 要善于观察数字之间的关系呀！这就跟交朋友似的，要找到它们的特点。
比如说有些数字总是一起出现。
就像这个例子里，这几个数字老是凑一块儿，这不就有线索了嘛！
4. 然后呢，大胆去试错呀！别怕犯错，就像走路偶尔会摔跟头，但爬起来就更厉害啦。
比如这里，试一试不同的数字组合，总会找到对的。
“哇，我试出来啦！”
5. 把幻方想象成一个好玩的游戏呀！别把它想得那么难。
就如同玩拼图一样，一块块去凑。
这个三阶幻方，不就是咱们的益智小拼图嘛。
6. 记得多练练呀！熟能生巧嘛。
就像打篮球，打得多了自然就厉害啦。
你多做几个三阶幻方，肯定就越来越得心应手喽。
我的观点结论就是：三阶幻方解题没那么可怕，掌握这些技巧，多练习，你就能轻松搞定它！。
三阶幻方
三阶幻方一般的，三阶幻方就是指把九个不同的数字填入3×3的九个方格中，使每行每列每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和就叫做幻和。
下面我们以1~9这九个数字为例，介绍三种填写三阶幻方的方法。
方法一：口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
方法二：四角定位法九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：（1）四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；（2）四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；（3）当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
方法三：“添耳朵”法九数斜排，上下对易，左右互换。
注意：“九数斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；（3）以上介绍的三种填写三阶幻方的方法，其中后面两种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
三阶幻方中的规律及证明
三阶幻方中的规律及证明三阶幻方是一个3×3的正方形网格，其中填入了1到9的数字，使得每行、每列和每条对角线上的数字之和都相等。
下面我们将探讨三阶幻方的规律及证明。
首先，我们可以观察到三阶幻方的特点是，中心数字始终为5，而其他数字则根据位置的不同而有所变化。
因此，我们可以将幻方表示为：```abcd5efgh```其中a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1到9之间的数字，不重不漏。
根据幻方的定义，我们可以列出一系列等式：1.a+b+c=15(第一行之和)2.d+5+e=15(第二行之和)3.f+g+h=15(第三行之和)4.a+d+f=15(第一列之和)5.b+5+g=15(第二列之和)6.c+e+h=15(第三列之和)7.a+5+h=15(正对角线之和)8.c+5+f=15(反对角线之和)现在我们来推导幻方的规律。
首先，我们可以将式(2)、(4)、(7)和(8)分别改写为：2.d+e=104.a+f=107.a+h=108.c+f=10由于a、d、f、h是1到9之间的数字，且不重不漏，我们可以得出以下结论：1.a+d+f+h的值必须为固定的常数，即15-10=52.c+e的值也必须为固定的常数，即10。
因此，我们可以得出以下结论：1.第一行、第一列、两条对角线的和都必须为15、即a+b+c=d+5+e=f+g+h=a+d+f=b+5+h=c+e+g=a+5+h=c+5+f=152.第二行、第二列的和都必须为10。
即d+5+e=b+5+g=10。
基于以上推论，我们可以根据“顺序原则”来构建三阶幻方。
顺序原则即我们将数字按照顺序依次填入幻方中，从1开始到9结束。
根据顺序原则，我们可以完成以下构造过程：```276951438```其中，每行、每列和每条对角线的和都为15，满足幻方的定义。
接下来，我们来证明三阶幻方的唯一性。
假设存在两个不同的三阶幻方，我们将它们表示为：```abcxyzd5e和m5nfghopq```根据幻方的定义，我们可以列出以下等式：1.a+b+c=x+y+z2.d+5+e=m+5+n3.f+g+h=o+p+q4.a+d+f=x+m+o5.b+5+g=y+5+p6.c+e+h=z+n+q7.a+5+h=x+5+q8.c+5+f=z+5+o将等式1~6代入等式7和等式8中，我们可以得到以下等式：9.x+m+o=x+5+q10.z+n+q=z+5+o由于等式9和等式10的左侧相等，右侧也必须相等。
小学奥数之三阶幻方讲义
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
三阶幻方原理及填法
三阶幻方原理及填法嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学小玩意儿——三阶幻方。
这三阶幻方啊，就像是数学世界里的一个神秘小魔法阵，可有意思啦。
我先给你们说说啥是三阶幻方。
简单来讲，就是用1到9这九个数字，填在一个3×3的方格里面，使得每行、每列还有两条对角线上的数字之和都相等。
这个相等的和呢，就叫幻和。
你想啊，这九个数字就像九个调皮的小娃娃，要把它们安排在这九个格子里，还得让每行每列和对角线上的数字之和都一样，是不是感觉像在玩一个超级有挑战性的数字拼图游戏呢？那这个幻和是多少呢？这可不难算哦。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45，因为三阶幻方有三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
这就像是我们找到了这个魔法阵的一个关键密码一样。
我有个朋友，之前第一次接触三阶幻方的时候，就皱着眉头跟我说：“这怎么填啊？感觉无从下手呢！”我就跟他说：“嘿，别急，这里面可有不少小窍门呢。
”有一种比较简单的填法。
咱们先把1放在这个3×3方格的最中间那一行最左边的那个格子里。
这就像是先在魔法阵里种下一颗数字的种子。
然后呢，按照斜着往上走的规则来填数字。
如果斜着往上走的时候，走出了这个方格，那就像这个数字小娃娃调皮地跑到方格外面去了，怎么办呢？这时候就把它拉回来，拉到这个方格相对应的另一边的位置上。
比如说，如果斜着往上走，数字跑到方格的左上角外面去了，那就把它放到右下角的格子里。
当我们按照这个方法填到数字3的时候，就会发现如果再斜着往上走，那个格子已经有数字1了。
这就像两个小娃娃抢一个小格子，那可不行。
这时候呢，我们就把数字3填在数字2的下面。
就像数字3说：“既然上面的地方被占了，那我就乖乖在2下面呆着吧。
”按照这个规则一直填下去，就能把这个三阶幻方填出来啦。
哇，当你把最后一个数字填好的时候，那种成就感就像是你自己创造了一个小奇迹一样。
不过呢，还有其他的填法哦。
三阶幻方口诀与规律详解
1、三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
2、一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
3、居上行正中央——数字1 放在首行最中间的格子中，依次向右上方填入2、3、4…；4、依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；5、上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；6、右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；7、重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中；8、出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理，、也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。
扩展资料：1、相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
2、3阶幻方不止一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
3、将组成幻方的三组数（如：1-9组成的幻方为【1、2、3】【4、5、6】【7、8、9】这三组）乘以A（A≠0），再分别加X、Y、Z（X、Y、Z为等差的数），幻方亦成立。
也就是3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。
4、幻方的每个数乘以A（A≠0），再加X，幻方亦成立。
例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：27 6 2112 18 2415 30 9幻和值=54。
三阶幻方的解法最简单的口诀
三阶幻方的解法最简单的口诀三阶幻方是指一个 $3\\times 3$ 的矩阵，其中填入了 $1$ 至 $9$ 的数字，使得每个数字在该矩阵中出现且仅出现一次，并且每行、每列和两条对角线的数字和均相等。
解决三阶幻方问题最简单的口诀如下：1. 定义首先，我们需要明确一些基本的概念和定义。
矩阵：$m \\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行、$n$ 列数字（称为元素）所组成的矩形数组，通常用方括号表示，如下所示：$$\\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{bmatrix}$$矩阵元素：矩阵中每一个数字称为矩阵元素。
对角线：矩阵中从左上角到右下角和从右上角到左下角的线称为对角线。
主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
副对角线：从右上角到左下角的对角线称为副对角线。
2. 解法接下来，我们将逐步介绍如何解决三阶幻方问题。
步骤 1：确定中间的数字由于每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此中间的数字必须是$5$。
$$\\begin{bmatrix}\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset \\\\\\emptyset & 5 & \\emptyset \\\\\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset\\end{bmatrix}$$步骤 2：填充四个角的数字要求每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此填充四个角的数字时需要保持对称。
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提高：
?2
2a-1 2
a
a
?
1
2a-2 1练ຫໍສະໝຸດ 练：完成下列三阶幻方：3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
（ 9个数从小到大排列，1,9位为“一对”，2,8位为“一对”， 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
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三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相 邻的两数字和的一半
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
三阶幻方中的规律：
1、每行、每列、每条对角线上三个数 的和都相等，都等于幻和。 2、9个数的中位数在幻方的最中心。 3、幻和等于中间数的3倍。 4、每“对”数的连线都过“中心” 。
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
杨辉构造法
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用 一次,使每一横行、竖列、对角线 上三个数的和都相等.
生活中的幻方
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。