山东省济南外国语学校三箭分校2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC 中，A=60°，a=，b=，则（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对2．数列{a n }：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（ ）A ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +） B ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）C ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +）D ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）3．若b ＜0＜a ，d ＜c ＜0，则下列不等式中必成立的是（ ）A ．ac ＞bdB ．C ．a +c ＞b +dD ．a ﹣c ＞b ﹣d4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5=5a 3，则=（ ）A ．B ．5C ．9D ．6．已知△ABC 的面积S=a 2﹣（b 2+c 2），则cosA 等于（ ）A ．﹣4B ．C ．±D ．﹣7．当x ＞0，y ＞0， +=1时，x +y 的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．168．在△ABC 中，已知a=x ，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．0＜x ＜29．若不等式（m ﹣1）x 2+（m ﹣1）x +2＞0的解集是R ，则m 的范围是（ ） A ．（1，9） B ．（﹣∞，1]∪（9，+∞） C ．[1，9） D ．（﹣∞，1）∪（9，+∞） 10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A．钱B．钱C．钱D．钱二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为．12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，求数列{a n}的通项公式．13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．14．在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n=．15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，a5+a7=26（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N*）求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．20．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；问选择哪种方案盈利更多？=．设b n+2=3，数列{c n}满足21．已知数列{a n}满足a1=且a n+1c n=a n•b n．（1）求数列{b n}通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC 中，A=60°，a=，b=，则（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 【考点】正弦定理．【分析】由a ，b 及sinA 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，根据a 大于b ，得到A 大于B ，即可求出B 的度数．【解答】解：根据正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A=60°， ∴B=45°． 故选C2．数列{a n }：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（ ）A ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +） B ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）C ．a n =（﹣1）n +1（n ∈N +）D ．a n =（﹣1）n ﹣1（n ∈N +）【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，故选：D ．3．若b ＜0＜a ，d ＜c ＜0，则下列不等式中必成立的是（ ）A ．ac ＞bdB ．C ．a +c ＞b +dD ．a ﹣c ＞b ﹣d【考点】不等式的基本性质．【分析】由已知中b ＜0＜a ，d ＜c ＜0，结合不等式的性质，对题目中的四个答案逐一进行分析，即可得到结论．【解答】解：∵b ＜0＜a ，d ＜c ＜0，∴ac＜0，bd＞0，则ac＞bd恒不成立，故A不满足要求；同理，则恒不成立，故B不满足要求；由不等式的同号可加性可得a+c＞b+d一定成立，故C满足要求；但a﹣c＞b﹣d不一定成立，故D不满足要求；故选C4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5=5a3，则=（）A．B．5 C．9 D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：∵a5=5a3，则====9．故选：C．6．已知△ABC的面积S=a2﹣（b2+c2），则cosA等于（）A．﹣4 B． C．±D．﹣【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理、三角形面积计算公式可得：sinA=﹣4cosA，与sin2A+cos2A=1，联立即可得出．【解答】解：∵cosA=，面积S=bcsinA=a2﹣（b2+c2），∴bcsinA=﹣2bccosA，∴sinA=﹣4cosA，又sin2A+cos2A=1，联立解得cosA=．故选：D．7．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．8．在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）A．B．C．D．0＜x＜2【考点】正弦定理．【分析】由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x 的范围即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴x的取值范围是（2，2）．故选：A．9．若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则m的范围是（）A．（1，9）B．（﹣∞，1]∪（9，+∞）C．[1，9）D．（﹣∞，1）∪（9，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】若m﹣1=0，即m=1时，满足条件，若m﹣1≠0，即m≠1，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的不等式，进而得到m的取值范围．【解答】解：当m﹣1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0恒成立，满足不等式解集为R，当m﹣1≠0，即m≠1时，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，则，解得：1＜m＜9．综上所述，m的取值范围为[1，9）．故选：C．10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．11．不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（﹣1，6）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式左边分解因式后，利用两数相乘积为负，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，可化为或，解得：﹣1＜x＜6，则不等式的解集为（﹣1，6）．故答案为：（﹣1，6）12．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+3n+1，求数列{a n}的通项公式．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n即可得出．﹣1【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1∴数列{a n}的通项公式为．故答案为．13．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AC与BC，以及已知面积代入求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosC的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，∴absinC=3，即sinC=，∵C为锐角，∴cosC==，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，解得：AB=c=．故答案为：14．在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】推导出数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出a n．【解答】解：∵数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得a n=．故答案为：．15．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为6+4．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b）≥4∴ab﹣4+2≥0，当且仅当a=b=2+时取等号设=t＞1，∴t2﹣4t+2≥0，解得t≥2+，∴ab≥（2+）2=6+4，∴ab的最小值为6+4，故答案为：6+4．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．17．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=7，a5+a7=26（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N*）求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解之代入通项公式和求和公式可得；（2）由（1）可知b n==（），由裂项相消法可得其和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则a3=a1+2d=7，a5+a7=2a1+10d=26联立解之可得a1=3，d=2，故a n=3+2（n﹣1）=2n+1S n=3n+=n2+2n；（2）由（1）可知b n====（），故数列{b n}的前n项和T n=（1﹣++…+）=（1﹣）=19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．（1）求角C的大小；（2）若c=2，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，【分析】结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；（2）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，∴sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（2）∵C=，a+b+c=2+2，c=2，可得：a+b=2，∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab=，=absinC=××=．∴S△ABC20．某房产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加装修费2万元，现把写字楼出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以50万元出售该楼；②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；问选择哪种方案盈利更多？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．（2）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，即可得出结论．【解答】解：（1）设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+=n2，因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，解得：3＜n＜27，所以从第4年开始获取纯利润．（2）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．年平均利润W==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+50=158（万元）．∵154＜158，方案②时间比较短，所以选择方案②．=．设b n+2=3，数列{c n}满足21．已知数列{a n}满足a1=且a n+1c n=a n•b n．（1）求数列{b n}通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式计算可知{a n}的通项，进而代入计算即得结论；（2）通过可知数列{c n}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论；（3）通过分析可知数列{c n}的单调性，进而转化为解不等式问题，计算即得结论．【解答】解：（1）由得，数列{a n}是公比为的等比数列，则，…所以，即b n=3n+1．…（2）由（1）知，，b n=3n+1，则．…，①则，②…①﹣②两式相减得===．所以．…（3）因为，所以=，则数列{c n}单调递减，∴当n=1时，c n取最大值是，…又∵c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴+m﹣1≥，即m2+4m﹣5≥0，解得：m≥1或m≤﹣5．…2016年12月19日。