高一数学《指数函数及其性质》学案
2.1.2指数函数及其性质(一) 学案(人教A版必修1)
2．1.2 指数函数及其性质(一)课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．1．指数函数的概念一般地，__________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，________； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性 是R 上的__________ 是R 上的__________一、选择题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－4)xB ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1) 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x ，那么f (2)的值为( )A ．－9 B.19 C ．－19D ．95．右图是指数函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c6．函数y ＝(12)x －2的图象必过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 二、填空题7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为________．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2) 1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.能力提升11．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是()12．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．1．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y ＝f (x －a )的图象可由函数y ＝f (x )的图象向右(a >0)或向左(a <0)平移|a |个单位得到．2．1.2 指数函数及其性质(一)知识梳理1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >10<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 作业设计1．B [A 中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C 中因有负号，也不是指数函数，D 中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数．]2．C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1.解得a ＝2.]3．B [该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．]4．C [当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.]5．B [作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．]6．D [函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象知选D.] 7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考查函数y ＝0.2x .因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数． 又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．A [由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.]12．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．。
高一数学《指数函数》学案
高一数学《指数函数》学案高一数学《指数函数》学案$2.2.2指数函数（一）的教学设计教材分析:$2.2.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的．作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础．指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究．学情分析:通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想．另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会．教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、中介值）比较大小．过程与方法：(1) 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力，让学生了解数学来源于生活又在生活中有广泛的应用；理解并掌握探求函数性质的一般方法；(2) 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质．情感、态度与价值观：(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣；(2)让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣．教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：指数函数概念的引入及指数函数性质的应用教法研究:本节课准备由实际问题引入指数函数的概念，这样可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受并有利于培养学生用数学的意识.利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新知识本节课使用的教学方法有：直观教学法、启发引导法、发现法教学过程：一、问题情境：问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？问题2：一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的，设该物质的初始质量为1，经过年后的剩余质量为，你能写出之间的函数关系式吗？分析可知，函数的关系式分别是与问题3：在问题1和2中，两个函数的自变量都是正整数，但在实际问题中自变量不一定都是正整数，比如在问题2中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，怎么办？这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数──指数函数．二、数学建构：1]定义：一般地，函数叫做指数函数，其中．问题4：为什么规定？问题5：你能举出指数函数的例子吗？阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：在动植物体内均含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不在产生，且原有的会自动衰变.经过5740年（的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若的原始含量为1，则经过x年后的残留量为这种方法经常用来推算古物的年代.练习1：判断下列函数是否为指数函数．（1）（2）（3）（4）说明：指数函数的解析式y= 中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y= +k (a0且a 1，k Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a 1)，因为它可以化为y= ，其中 0，且 12]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成问题6:我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？一般如何去研究？函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等；利用函数图象研究函数的性质问题7:作函数图象的一般步骤是什么？列表，描点，作图探究活动1:用列表描点法作出，的图像（借助几何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质？请同学们仔细观察.引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：（1）定义域？R（2）值域？函数的值域为（3）过哪个定点？恒过点，即（4）单调性？时，为上的增函数（5）何时函数值大于1？小于1？当时，；当时，问题8:：是否所有的指数函数都是这样的性质？你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗？（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.问题9:到现在，你能自制一份表格，比较及两种不同情况下的图象和性质吗？（学生完成表格的设计，教师适当引导）图象性质（1）定义域：R值域：（1）定义域：R值域：(2)是R上的增函数(2)是R上的减函数（3）过（0，1），即x＝0时，y＝1（3）过（0，1），即x＝0时，y＝1（4）当x0时，y1;当x0时，y1. （4）当x0时，0y1;当x0时，y1.问题10:在画图过程中，你还发现了指数函数图象间的其他关系吗？比如与的图象间具有怎样的关系？可否得出进一步的一般性的结论？结论：图像关于轴对称三、数学运用：例1、比较下列各组数中两个值的分析：充分利用指数函数的单调性来研究，注意对底数的判定以及“第三者”的介入（充当中间角色）.（解题过程板书，强调规范）探究活动2: 两个指数函数的自变量相等时，如何比较函数值的大小？比如之间的大小关系？如右图，作一条直线分别与、图像交与、两点，则，结合图象很容易发现：．你还能举出一个这样的例子吗？（引导学生分析得出结论既与底数和1的关系有关，又与自变量和0的关系有关）那么两个指数函数的函数值相等时，自变量大小又该如何比较？练习2：若，试比较、的大小．若，试比较、的大小．你还能举出这样的例子吗？例2（1）已知，求实数x的取值范围；（2）已知，求实数x的取值范围.分析：充分利用单调性解指数不等式，注意化为同底.探究活动3: 探究下列函数的图象与指数函数的图象的关系.（1）；（2）思考探究：（1）与，且，图象之间有何关系？（2）受该结论启发，课后思考研究函数与，图象之间的关系.四、回顾反思（由学生总结提炼本节课知识与方法及数学思想）：本节课学习了哪些知识，指数函数的概念、图象和性质你掌握了吗?2.指数函数的性质是怎么被我们大家发现的，有哪些应用？在应用的时候，我们应该考虑哪些性质?3.重视归纳概括、数形结合、分类讨论等数学思想方法.五、课后作业：1.阅读课本有关内容，搜集指数函数在实际生活中的应用实例；2.课本52页第1-5题；54-55页1-4题，8、9题：3.思考题:（1）研究函数的定义域.（2）与，图象之间的关系？板书设计：板书内容：课题、指数函数的概念、指数函数的性质及（仅是标题，具体性质不板书）、例1及例2部分内容规范解题格式的书写、回顾反思等.教后反思：针对课堂教学实际反思教法和学法，进一步完善本设计。
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的性质。
2. 培养学生运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的探究和运用能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的单调性3. 指数函数的奇偶性4. 指数函数的图像与性质5. 实际问题中的指数函数应用三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义、性质及其应用。
2. 难点：指数函数图像的特点，以及如何运用指数函数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探究指数函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解指数函数的图像与性质。
3. 通过实际问题的引入，培养学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的指数知识，引发学生对指数函数的好奇心。
2. 新课讲解：介绍指数函数的定义、表达式，分析指数函数的单调性和奇偶性。
3. 案例分析：分析实际问题中的指数函数应用，让学生体会数学与生活的联系。
4. 课堂练习：设计相关练习题，巩固学生对指数函数的理解。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对指数函数定义、性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价其运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作交流和探究能力。
七、教学资源1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解指数函数的性质。
3. 练习题：设计具有梯度的练习题，巩固学生对指数函数的理解。
4. 实际问题：收集与生活相关的指数问题，激发学生的学习兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解指数函数的定义与表达式，分析单调性和奇偶性。
2. 第3课时：探讨指数函数的图像与性质。
3. 第4课时：分析实际问题中的指数函数应用。
九、课后作业1. 复习指数函数的定义、性质及其图像。
人教版数学高一-学《指数函数及其性质》学案
主备人:杜丽萍自主探究 １．（１）指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 ．（２）对定义中a 的取值范围"a>0且a ≠1＂，结合指数幂的运算请思考：a=0时： ；a<0时： ；a=1时： ．２．对照函数y=2x 和y=(21)x 的图象，思考以下问题：（１）函数y=a x 的图像当a>1与0<a<1的大致形状分别为：(2)根据函数的图像研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性：小试牛刀１．下列函数是指数函数的个数（ ）（１）y=(-3)x （２）y=22x+1（３）y=x 5 (４）y=2·3x(A)0 (B) 1 (C)2 (D) 32.函数f ()x =(21)x 的定义域和值域分别是(A)R,R (B) R, {y │y>0} (C) {x │x >0} ,{y │y ≥0} (D) {x │x >0} ,{y │y>0}图像特征 函数性质a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 图像关于原点和y 轴 非奇非偶函数函数图像都在x 轴 函数的值域为函数图像都过定点 a 0 ＝１自左向右，图像逐渐上升， 自左向右，图像逐渐减函数3.指数函数y=2x和y=2-x的图像关于轴对称1的解４．方程3x=9常见题型题型１．考察指数函数的定义例１．若函数y=(a-3)2是指数函数，求a的取值范围.题型２．考察指数函数的图像和性质例１．当a>0且a≠0时，函数f()x=a x+3+2必过定点b)x的图像只变式：下列图像中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(a可能是。
学案6：2.1.2指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质学习目标1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)知识梳理教材整理1指数函数的定义阅读教材，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.练一练1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()教材整理2指数函数的图象和性质阅读教材，完成下列问题．R练一练2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a>1时，对于任意x∈R，总有a x>1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()类型一：指数函数的概念例1 (1)下列一定是指数函数的是( ) A ．y ＝a x B ．y ＝x a (a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1名师指导1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．跟踪训练1 (1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 类型二：指数函数的定义域和值域 例2 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝√1−3x ； (2)y ＝(23)√−|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. 名师指导1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．2．函数y＝a f(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．跟踪训练2 求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x−3；(2)y＝221()2x x.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？探究2若函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？例3(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )名师指导指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .跟踪训练3 定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hhg <h ，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )课堂检测1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12xD.⎝⎛⎭⎫22x2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－89，8 B.⎣⎡⎦⎤－89，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9D.⎣⎡⎦⎤19，93．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________． 5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m )与g(－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案知识梳理教材整理1 指数函数的定义 y ＝a x ； x 练一练1【答案】 (1)× (2)× (3)×【解析】 (1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误． 教材整理2 指数函数的图象和性质 (0，＋∞) ；(0,1)；增函数；减函数；y 轴 练一练2【答案】 (1)√ (2)× (3)×【解析】 (1)因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)当x ≤0时，a x ≤1.(3)因为f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数． 类型一：指数函数的概念 例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.跟踪训练1 【答案】 (1)3x (2) ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 则f (2)＝a 2＝9.又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 类型二：指数函数的定义域和值域例2 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝ √1−3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以√1−3x ∈[0,1)，即函数y ＝ √1−3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0， 所以函数y ＝ (23)√−|x|的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝ (23)√−|x| ＝(23)0＝1，即函数y= (23)√−|x|的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ， 函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义， 所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R . 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2 ＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 跟踪训练2 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠3}． 令t ＝1x−3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1， 故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2， 则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)t ≥ (12)1＝12，故函数的值域为[12，+∞）.探究共研型类型三：指数函数的图象探究1 【答案】 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x －1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)． 探究2 【答案】 如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.例3【答案】 (1)D (2)A【解析】(1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.跟踪训练3 【答案】 B【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≥01x <0，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥11x <1，∴其图象为B ，故选B.课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 2．【答案】 A【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.3．【答案】 C【解析】 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 4．【答案】 (0,1)【解析】 因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1a＞1，解得0＜a ＜1.5． 解：(1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m.。
高一数学(指数函数及其性质)学案
某某省某某师大附属第二中学高一数学教学要求：1、 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.2、 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识二、教学重点：掌握指数函数的图象和性质．三、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．理解指数函数的简单应用模型．四、教学过程：（一）、复习提问：①零指数幂：a 0=_____(a ≠0)；②、负整数指数幂：a -p=_____( a ≠0,p ∈N*)；④正分数指数幂：m n a =_____(a>0,m 、n ∈N*,n>1)；⑤负分数指数幂：m n a- =_____( a>0,m 、n ∈N*,n>1)；（二）、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：① 探究两个实例： ●A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？◆B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→举例：生活中其它指数模型？2.教学指数函数的图象和性质：①、 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2x y =，2x y = （师生共作→小结作法） ②、 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56)③、★ 出示P56：例 6. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象经过点（3，π），求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.④、★出示例7. 比较下列各组中两个值的大小：0.60.52,2； 2 1.50.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ； 231π-与⑤、比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（四）教学指数函数的应用模型：①★ 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？★② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？（五）、. 教学指数形式的函数定义域、值域：◆1、①设y 1=4,y 2=8;y 3=(12),则三者的大小是_____y 1>y 3>y 2 ②设函数F （x ）=[1+22x -1]·f(x)(且x ≠0)是偶函数，又f(x)不恒等于0，则f(x)的奇偶性是_（答案为：奇函数）； ③函数y=1-2x,x ∈[1,4]的值域为____[-15,-1]； ④、函数f(x)=(13)x +2,x ∈[-1,2]的值域为____[199,5]；⑤函数y=a -x (a>0,a ≠1)当a ∈______时，它为↘ ，此时，当x ∈___时，y<0 .答案：（1，+∞）∅⑥、已知函数f(x)=a x -1 的定义域为（-∞，0）则a 的取值X 围是____(答案：0<a<1) ▲2.①、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3▲②、. 比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.▲3. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性. 【★题4】设a>1为常数,已知当x ∈(-1,1)时,不等式x 2-a x <21恒成立,则a 的取值X 围为( A )A (1,2]B [2,+∞)C (1,4]D [4,+∞)【★题5】已知函数ƒ(x)=a x –b 的图象如图所示,其中a,b 为常数,则下列结论正确的是( B )A a>1 b<0B 0<a<1 b<0C a>1 b>0D 0<a<1,b>0【★题6】指数函数y=a x ,y=b x ,y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的图象如下图所示,则a 、b 、c 、d 的大小顺序为( A )A b<a<d<cB a<b<d<cC b<a<c<dD b<c<a<d★【题7】已知实数a ,b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b其中不可能．．．成立的关系式有（ B ） A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 ●【解答】,a b 均大于零时，要满足等式，必有a b >；,a b 均小于零时，要满足等式，必有a b <；0a b ==③④，选B ★【题8】设函数11()2x x f x +--=，求使()22f x ≥x 取值X 围．答案：3[,)4+∞★9.（某某卷）如果函数2()(31)(01)xx f x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值X 围是（ ）Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．31⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(3，Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ ●解析：函数y 2(31)(0x x a a a a =-->且1)a ≠可以看作是关于x a 的二次函数，若a >1，则xy a =是增函数，原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求对称轴2312a +≤0，矛盾；若0<a <1，则x y a =是减函数，原函数在区间[0,)+∞上是增函数，则要求当xt a =(0<t<1)时，22(31)y t a t =-+在t ∈(0，1)上为减函数，即对称轴2312a +≥1，∴213a ≥，∴实数a 的取值X 围是,1)3，选B. ★10、（04年某某文科）若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值X 围是_______.（0，12） ★11、已知f(x)=4x4x +2,求f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)之值。
高一数学指数函数及其性质(1)(必修1)导学案
2.1.2指数函数及其性质（第一课时）高一数学人教版 必修① P54※ 学习目标1．了解指数函数的背景，以及与实际生活的联系。
2．理解指数函数概念，并且能通过图像掌握其相关性质。
3．体会学习函数数形结合的方法，培养学生归纳和分析问题的能力。
※ 学法指导 通过“发现法”，启发学生总结归纳指数函数的规律和性质※ 学习内容 一、课前准备 自学教材P54-P57 二、新课导学探究一：指数函数概念细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 22），第3次由4个分裂成8个（即 32），如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？（即 xy 2=）1．指数函数的定义一般地，函数 xa y = 叫做指数函数（其中 1,0≠>a a 且 ），x 是自变量，函数的定义域为 R x ∈ 。
★★ 需要指出，尽管指数函数表达式简单，但要注意以下几点： （1）指数函数xa y =的结构特征①xa 前面的系数为1 ②a 的取值范围（1,0≠>a a 且） （2）底数a 为何要规定“1,0≠>a a 且”？①若0<a ，会使得函数值不存在。
如当2-=a 时，取21=x ，2)2(21-=-=y ，不存在。
②若0=a ，取21-=x ，则01102121===-y ，无意义。
③若1=a ，11==xy ，是一个常量，没有体现函数变化的研究价值。
2．巩固练习，下列哪些是指数函数？（1）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=51 （2）x y 52⋅= （3）2x y = （4）23-=xy（5）xy 4-= （6）x y )14.3(-=π （7）12-=x y[ 答案：（1）（6）]★★ 小结：要满足形如xa y =的结构特征，并且符合“1,0≠>a a 且”这个条件的才是指数函数。
探究二：指数函数的图象和性质一般来说，函数与图像紧密联系，图像可反映函数的性质。
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标：1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的表达式和基本的运算规则。
2. 让学生理解指数函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等，并能运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生解决数学问题的能力。
二、教学内容：1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的运算规则3. 指数函数的单调性4. 指数函数的奇偶性5. 指数函数的周期性三、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的定义、表达式、运算规则、单调性、奇偶性和周期性。
2. 教学难点：指数函数的单调性和周期性的证明及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究指数函数的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示指数函数的图像，帮助学生理解指数函数的性质。
3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握指数函数的性质及应用。
4. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神和沟通能力。
五、教学过程：1. 导入：通过回顾幂函数的知识，引导学生思考指数函数的定义和表达式。
2. 新课讲解：讲解指数函数的定义、表达式和运算规则，通过示例让学生掌握基本的运算方法。
3. 性质探究：引导学生自主探究指数函数的单调性、奇偶性和周期性，并提供相应的证明。
4. 应用练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生运用指数函数的性质解决问题。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数的性质及其应用。
6. 课后作业：布置一些巩固知识的作业，让学生进一步掌握指数函数的性质。
六、教学目标：1. 让学生理解指数函数的图像特征，包括增长速度和渐近行为。
2. 培养学生运用指数函数模型解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的应用能力和创新思维。
七、教学内容：1. 指数函数的图像特征2. 指数函数的增长速度3. 指数函数的渐近行为4. 实际问题中的指数函数模型八、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的图像特征、增长速度和渐近行为。