指数函数及其性质 (1)

2 ⑦y xx
⑧ y 10x
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数;
(3)指数是自变量x。
题型二 幂值大小的比较
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
底数相同 指数不同
(1)解：∵函数 y 1.7x在R上是增函数，
• 例如：生物学中研究某种细胞的分裂问题
问题 引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
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研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个 个数 21 22 23 24
• 杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时， 共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元！ 杰米破产了。
• 这个故事会让我们吃惊，开始微不足道的数字， 两倍两倍的增长，会变得这么巨大！一种事物 如果成倍成倍地增大，则它是以指数形式增大， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊 人。在科学领域，常常需要研究这一类问题。
2x
问题 引入
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究 截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺 (1 )x 尺
剩余 2
4 8 16
2
想 像y 2x , y (1)x 这类函数有什么
一
2
想 共同特征？底数是什么？指数是什么？
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数; (3)指数是自变量x。
导出概念
指数函数定义：一般地，函数 y=ax （a>0,且a≠1）叫做指数函数,其中x是
自变量，函数的定义域为R
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
而指数2.5<3．
∴ 1.72.5< 1.73
题型二 幂值大小的比较
底数相同
指数不同
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
(2)解： ∵函数 y 0.8x在R上是减函数， 而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.1 0.80.2 总结：
a>1
的图像及性质
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象
y=1
(0,1)
当 当
x x
> <
0 0
0 时，y > 1 时，0< y <
定
1
x
义
当x<
域当
x>
:
0 0
时时，，y00><
R
1 y
<
1
x
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
底数相同指数不同的幂比较大小，构造指 数函数，利用函数单调性来判断。
变式训练： 已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
(1)m n
(2)m n
问题：本节课你有什么收获？
课后作业： 课本第59页， 第6题，第7题，第9题
§ 2.1.2 指数函数及其性质
授课教师：
“指数爆炸”的故事
• 从前，有一个叫杰米的百万富翁，一天，碰 上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说， 我想和你定个合同，我将在整整一个月中每 天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱， 而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米 说：“真的？！你说话算数？”
• 合同开始生效了，第一天杰米支出一分钱， 收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收 入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入 10万元……
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y＝ (1/2)x
…
8
4
2 1 1/2 1/4 1/8 …
8
7
6
y 1 x
5 4
2
3
2
1
-6
-4
-2
y 2x
2
4
6
归纳
指数函数
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
非奇非偶函数
题型一 指数函数概念的应用
例1、判断下列函数是不是指数函数，
为什么？
① y x2
是⑤y x
是② y 8x
⑥ y 5x1
是③ y (2a 1)x (a 1 且a 1, a为常数)
④ y (4)x