指数函数及其性质 (1)
指数函数及其性质(一)
课时导学案——指数函数及其性质（一）麒麟区第一中学 段翠一、学习目标：1.理解指数函数的定义。
2.掌握指数函数的图象、性质及简单应用。
3.通过指数函数图象及性质的学习，提高观察、分析、归纳等思维能力。
二、学习重点：指数函数的图象、性质及简单应用。
三、学习难点：指数函数图象和性质的发现过程。
四、学习方法：通过独立思考，自主探究，总结出指数函数图象的特征，进而 发现指数函数的性质。
培养学生观察、比较、归纳等逻辑思维能力。
五、学习过程：1.定义：一般地，函数y ＝ )10(≠>a a 且叫做指数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是 .2.用描点法画出下列指数函数的图象.).(2)1(填写下表并作图x y =).(3)2(填写下表并作图x y =).()1()3(填写下表并作图x y =).()1()4(填写下表并作图x y =3．按照从特殊到一般的认识方法，请同学们总结: 的图象和性质如下且指数函数)10(≠>=a a a y x4.探究：（1）关于且与)10()1(≠>==a a ay a y x x 对称。
（2）指数函数的变化对函数中，底数且a a a a y x )10(≠>= 图象有什么影响？5.典例分析：例1 .已知），的图象经过点（且指数函数π,3)10()(≠>=a a a x f x 求 )3(),1(),0(-f f f 的值.例2.比较下列各题中两个值的大小:35.27.1,7.1)1( 2.0-1.0-8.0,8.0)2(1.33.09.0,7.1)3(总结：比较几个指数值大小的常用方法：6.课堂练习:（1）指数函数=-=)3(4,2)(f x f y ），则的图象经过点（ .（2）比较下列各组数的大小:7.08.03,3)1( 1.01.075.0,75.0)2(-1.0-3.0-9.4,8.0)3(7.03.05.1,2.0)4(7.课堂小结：8.课后作业:课本：P58 .2P59 .7,8。
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
§2.1.2指数函数及其性质(1)
本节课学习了那些知识?
• 指数函数的定义
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1 叫 指 般 ， 数 ) 做 数
x
函 ， 中是 变 ， 数 定 域 数 其 x 自 量 函 的 义 是 R。
指数函数的图象及性质！
归纳
指数函数在底数 0 < a < 1 及 情况下的图象和性质： 情况下的图象和性质：
1 f (− 3) = π = π
−1
应用
2、比较下列各题中两个值的大小： 、比较下列各题中两个值的大小：
(1 )1 . 7
, 2 . 3 1 .6
2 .5
,1 .7 3 ; (2
0 . 8 − 0 .1 , 0 . 8 − 0 .2 ; )
, 0 .9 ;
( 4 )1 . 8 0 . 3 ,, 2 ..3 3 . 1 ;( 4 )1 . 7 3 7 0 9
f(x) = 0.9x
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
方法总结： 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性， 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值； 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. 较可以与中间值进行比较.
指数函数及其性质1
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增
长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现
在的几倍?
经第 过一
年
表第二 达式
第 三
年Y=1.01年X
经过 X年
人
口
增
增
增
长
长
长
倍 数
1%
1%
1%
人口
倍数 Y 1
1.011 (1.01)2 (1.01)3 …...1.01X
导入新课
y=ax (0<a<1)
指
图
数
象
函
数 定义域
R
性 值域
(0, ) 没有最值
质定 一性 览质
点
（0，1 ） 非奇非偶函数 在R上是增函数 在R上是减函数
表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1) 的图象和性质:
x
9
3
1
1 3
1 9
描点、连线
y
1
x
2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
关于y轴对称
都过定点（0,1）
第一象限内，
a越大，图像越高
1
0
1
x
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
1
0
1
y=ax (0<a<1)
指数函数及其性质课件(1)
y=2-x
…
…
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
…
…
y=3-x
…
9
3
1
1/3
1/9
…
y
1 y 2
x
1 y 3
x
1
Y=1
1
0
x
观察右边图象，完成下表
1 y ( )x 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=
函数 定义域 值域 定点 单调性 y=2x/y=3x
a
1 2
1 2
当0 a 1时，y a x是R上的减函数， a a
1.70.3 0.93.1
比较指数幂大小的方法： ①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右
两侧的特点。
练习巩固
P t 0 2. 根据此规律, 一半,这个时间称为‘‘半衰期”
t 5730
人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
y 2 x N
x
*
1 P 2
t 5730
t 0
思考： 这两个关系式是否构成函数？它们有什么特 征？ 共同点：①变量y与x构成函数解析式，是指数 幂的形式，底数是常数,变量在指数位置. x ②两个解析式都具有 y a 的形式. 不同点：底数a的取值不同.
人教A版高中数学必修1
复习引入
材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分
指数函数及其性质
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4 y
1
x
2
2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
y
y 1 x 2
y 2x
1
01
x
102x21.5
探究活动
2.
请填写下表并在同一坐标系上作出函数 y 3x 及 y (1)x 的
• 函数在定义域R上是单调的，与直线x=1的交点纵 坐标即为底数a的大小；
• 在第一象限，底数越大，图象越高。
y
a
•
1•
o
1
x
y
1•
a
•
o
1
x
知识清单
1.本节课的重点知识：
指数函数的概念
y (1)x
y 2x
2y
指数函数的性质
2.记住两个基本图形:
数图象画法（尤其要了解底数如何影响 图象变化）；
指数函数及其性质 （第1课时）
概念：指数函数
一般地，函数y a x (a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量.
问题1：为什么要规定a 0,且a 1呢？
问题2：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 2x √
(2) y x2 ×
(3) y 2x × (4) y 2x ×
3
图像.
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 9
x 2 1.5 1 0.5
y
1
x
3
9
5.20
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
指数函数及其性质1
教学步骤：知识梳理●知识点1 根式与分数指数幂1、n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. 2、方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a3、分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a 1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 4、有理指数幂的运算性质 （1）ra ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．题型一 指数式与根式的化简求值问题进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式来表示。
应用平方差，立方和（差）、完全平方公式及)0(1≠=-a a a p p 简化运算。
例1（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--变式1．化简1327()125-的结果是（ ）.A. 35B. 53 C. 3 D.52．已知11223x x-+=，求下列各式的值。
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• 杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时， 共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元！ 杰米破产了。
• 这个故事会让我们吃惊，开始微不足道的数字， 两倍两倍的增长，会变得这么巨大！一种事物 如果成倍成倍地增大，则它是以指数形式增大， 这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊 人。在科学领域，常常需要研究这一类问题。
底数相同指数不同的幂比较大小，构造指 数函数，利用函数单调性来判断。
变式训练： 已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
(1)m n
(2)m n
问课本第59页， 第6题，第7题，第9题
§ 2.1.2 指数函数及其性质
授课教师：
“指数爆炸”的故事
• 从前，有一个叫杰米的百万富翁，一天，碰 上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说， 我想和你定个合同，我将在整整一个月中每 天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱， 而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米 说：“真的？！你说话算数？”
• 合同开始生效了，第一天杰米支出一分钱， 收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收 入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入 10万元……
2x
问题 引入
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究 截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺 (1 )x 尺
剩余 2
4 8 16
2
想 像y 2x , y (1)x 这类函数有什么
• 例如：生物学中研究某种细胞的分裂问题
问题 引入
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
……
y 2x
细胞 2个 4个 8个 16个 个数 21 22 23 24
一
2
想 共同特征？底数是什么？指数是什么？
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数; (3)指数是自变量x。
导出概念
指数函数定义：一般地，函数 y=ax （a>0,且a≠1）叫做指数函数,其中x是
自变量，函数的定义域为R
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y＝ (1/2)x
…
8
4
2 1 1/2 1/4 1/8 …
8
7
6
y 1 x
5 4
2
3
2
1
-6
-4
-2
y 2x
2
4
6
归纳
指数函数
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
非奇非偶函数
题型一 指数函数概念的应用
例1、判断下列函数是不是指数函数，
为什么？
① y x2
是⑤y x
是② y 8x
⑥ y 5x1
是③ y (2a 1)x (a 1 且a 1, a为常数)
④ y (4)x
a>1
的图像及性质
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象
y=1
(0,1)
当 当
x x
> <
0 0
0 时，y > 1 时，0< y <
定
1
x
义
当x<
域当
x>
:
0 0
时时，，y00><
R
1 y
<
1
x
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
2 ⑦y xx
⑧ y 10x
(1)均为幂的形式，且幂值前的系数都为1；
(2)底数是一个正的常数;
(3)指数是自变量x。
题型二 幂值大小的比较
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
底数相同 指数不同
(1)解：∵函数 y 1.7x在R上是增函数，
而指数2.5<3．
∴ 1.72.5< 1.73
题型二 幂值大小的比较
底数相同
指数不同
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
(2)解： ∵函数 y 0.8x在R上是减函数， 而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.1 0.80.2 总结：