指数函数及其性质教学设计

一、标题与单位指向数学学科核心素养的课堂教学设计——指数函数及其性质《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2）建宁一中肖秀勇二、教学设计（一）内容和内容解析本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。

这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。

在实际生活中应用也非常广泛。

它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。

其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。

这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。

作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。

（二）目标和目标解析1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。

能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。

2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。

3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。

在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。

在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

（三）教学问题诊断分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。

教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。

为了突破难点，我采取了以下措施：首先，我让学生在一个自己认为可以的范围内任取底数a的值，然后作出图象，用形的直观引导学生主动的分析a的范围，再结合上节课指数的运算来帮助学生分析a的范围，这不仅为概念的形成做好准备，其分析过程中形数互助的方法也为接下来探究指数函数的性质做好了铺垫.而对于指数函数性质的探究，借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况，为归纳、概况指数函数的性质及不同函数之间的联系做好准备，进而突破难点.（四）教学支持条件分析通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构。

知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数;技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握；素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

本节内容对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，所以学生学习起来有一定难度。

因此本节课主要是借助多媒体，启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。

根据从特殊到一般的认知规律，通过学生独立学习与团队协作相结合逐步加深学生对指数函数的图像和性质的理解，达到将感性认知上升为理性认识的高度，从而突破本节课的重点。

通过学生自己讲、练、评以及知识的扩展应用来实现难点的突破。

（四）教学过程设计环节一：创设情景、提出问题教师活动1：这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下国际棋,国王输了,国王问阿基米德要什么奖？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上，第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了。

（1）每个格子上要放多少米粒，这些数有什么特点？（2）你觉得国王能实现他的承诺吗？学生活动1：根据每个格子里的米比前一个格子的米多一倍。

罗列前10个格子里的米的个数，引导学生思考后面格子里的米情况，并找出关系式。

教师活动2：第一格放1粒米，第二格放2粒米，第三格放22粒米 ，第四格放23粒米，以此类推到第六十四格的时候放2 63粒米。

此时学生对2 63这个数学还很陌生，然后教师公布事先估算的数据：2 63约等于9.2×1018。

假设一粒米大约40 g ，那么2 63大约是4500亿吨教师活动3：4500亿吨是一个什么概念？根据20017年9月20日美国农业部发布的最新数据显示，20016～2017年度全球大米产量预计为48亿吨。

【活动说明】有些学生可能听过这个故事，可以让们自己先看看自己的看法。

但是绝大多数对这个故事并不清楚，当听到后面的结果时，大部分同学对这节课产生浓厚的兴趣。

【设计意图】用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

起到事半功倍的效果。

环节二：师生互动、探究新知教师活动1：在以上这个问题中，每个格子里的米粒数用y 表示，每个格子的号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生活动1：学生很容易得出xy 2=（∈x *N ） 【活动说明】学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的范围。

【设计意图】利用启发式教学，以学生为主导。

教师活动2：在本章的开头，也有两个与xy 2=类似的关系式①设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么： *(,20)x N x ∈≤②生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系 ：57301()2t P = 学生活动2：让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：①x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）和 这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？【活动说明】通过回归课本，学生在预习时产生的疑问在此时可能自己就理解了。

1.073xy =(0)t ≥57301()2t P =(0)t ≥【设计意图】引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。

学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。

教师活动3：提出指数函数表达形式上的特征——底数是常数而指数是自变量，进而提炼 出指数函数模型xy a =.如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式。

自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

其中 函数可以把 看成是底。

【活动说明】学生通过对指数函数定义的学习，会认为 这个不是指数函数。

所以一定多强调。

【设计意图】这个可以进一步加深学生对指数函数定义的理解。

教书活动4：对于底数的分类，可将问题分解为：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=a x（a>0且a ≠1）。

1）a x 的前面系数为12）自变量x 在指数位置3）a>0且a ≠12、指数函数的概念中为什么要规定a>0且a ≠11）a<0时，ｙ=(-3)x 对于x=1/2，1/4，……(-3)x 无意义。

2）a=0时，x>0时，a x =0；x ≤0时无意义。

3）a=1时，a x = 1x =1是常量，没有研究的必要。

为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 . 【活动说明】为了防止学生在自主研究的时候走偏路，所以先给他们提供一个方向。

【设计意图】 ①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出10≠>a a ，且，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。

57301()2t P =5730121⎪⎭⎫ ⎝⎛x a y =57301()2t P =教书活动5：接下来教师可以考察学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断。

判断下列函数是否为指数函数。

ｙ=-3ｘ y=x 13 ｙ=31+x ｙ=(-3)x ｙ=3-x =x⎪⎭⎫ ⎝⎛31 【活动说明】学生可能只是关注指数的形态，而忽略了底和指数幂的问题。

【设计意图】加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。

教师活动6：提出两个问题（约3分钟）①研究函数一般包括哪些方面；②用什么方法、从什么角度研究指数函数？【活动说明】由于在初中学过一些简单的函数，所以可以让学生用已有的能力研究一个新的问题，培养学生学习数学了热情。

【设计意图】①让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。

②引导学生讨论研究指数函数性质的方法，思考需要研究函数的哪些性质，强调形数互助.进而突出函数图象在研究性质中所起到的直观的作用.学生活动3：分组活动，合作学习①让学生分为两大组，一组从底大于1的角度入手，一组从底介于0和1之间的角度入手研究指数函数；②每个大组又分为若干个小组，每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流； ③不同类的两组可以合在一起在交流一下。

【活动说明】在画图时，如果数据过大会导致图像出现较大的偏差。

所以，学生在分组的时候，教师应该到处巡逻，帮助一些出问题的组。

或者找一些比较明显的错误，当堂演示，避免以后再次出现。

【设计意图】指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体.借助图形计算器的画图功能，可以非常直观的观察、归纳指数函数的性质。

师生互动：交流、总结师：下面我们看看大家都什么结论教师在关注各组的研究情况下，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。

这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），x a y =与x a y )1(=的图象关于y 轴对称） 【活动说明】不同组的学生可能会发现当他们的底互为倒数时，图像关于y 轴对称。