高三数学 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示复习课件
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高考数学(理)总复习课件：平面向量基本定理及坐标表示
平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
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[熟记常用结论]
1．若 a 与 b 不共线，且 λa ＋μb ＝0，则 λ＝μ＝0.
2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2.
3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则 △ABC 的重心 G 的坐标为x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3.
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5．在平行四边形 ABCD 中，―A→B ＝a ，―A→D ＝b ，―A→N ＝3―N→C ， M 为 BC 的中点，则―M→N ＝_－__14_a_＋__14_b___(用 a ，b 表示)． 解析：因为―A→N ＝3―N→C ，所以―A→N ＝34―A→C ＝34(a ＋b )，又因为 ―AM→＝a ＋12b ，所以―M→N ＝―A→N －―AM→＝34(a ＋b )－a＋12b ＝－14a ＋14b .
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 平面向量基本定理及其应用[师生共研过关]
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[典例精析]
(1)(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形
ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边
上一点，―B→C ＝3―E→C ，F为AE的中点，
则―B→F ＝
(C )
A.23―A→B －13―A→D
解得tλ＝＝3412，.
故 t 的值是34.
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[解题技法]
平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四 边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择 一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式， 再通过向量的运算来解决．
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
高三数学最新复习课件平面向量基本定理及向量坐标表示.ppt
【答案】 m＝－1 【误区警示】 解答本题过程中，易将方程列成 (－1)×1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错， 导致此种错误的原因是：没有准确记忆两个向量 平行的充要条件，将其与向量垂直的条件混淆．
变式训练 2 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及 O→P ＝ O→A ＋t·A→B ，试问：
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘的运算
向量 a
b
a＋b
a－b
λa
坐标 (x1，y1)
(x2，y2)
(x1＋x2， (x1－x2， y1＋y2) y1－y2)
(λx1， λy1)
(2)向量坐标的求法
已知
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
_(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_________，即一个向量的坐标等于
3．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要 的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些
参数的值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), 则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0”比较简 捷．(如例3) 4．对于向量坐标的综合应用，关键是利用已知 条件转化为方程或函数关系式解决．(如例4)
例3 (2019年高考陕西卷)已知向量a＝(2，－ 1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c， 则m＝________. 【思路点拨】 由向量平行的充要条件列出关于 m的方程，然后求解． 【解析】 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)， ∴1×2－(－1)·(m－1)＝0， ∴m＝－1.
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
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一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
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在本例条件下，若 d 满足 (d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
[类题通法]
1．向量共线的两种表示形式
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a ∥b⇔x1y2－x2y1＝ 0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条 件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
3、若向量 BA ＝(2,3)， CA＝(4,7)，则 BC ＝ A．(－2，－4) C ．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10)
( A )
4、已知点 M (5，－6)和向量 a＝(1，－2)，若 MN ＝－3a， 则点 N 的坐标为 A．(2,0) C ．(6,2) ( A ) B．(－3,6) D．(－2,0)
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0. a∥b⇔
x1y2－x2y.1=0
1、已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)，且 a∥b，则 y 等于( ) B 32 A．5 B．10 C. D．15 5
2、(2013·石家庄模拟)已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u ＝a＋2b， 1 v＝2a－b，且 u ∥v，则实数 x 的值是________ ． 2
[类题通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向 量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来 方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
解：(1)由已知得 AB ＝(2，－2)， AC ＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C 三点共线，∴ AB ∥ AC . ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即 a＋b＝2. (2)∵ AC ＝2 AB ，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
a－1＝4， ∴ b－1＝－4， a＝5， 解得 b＝－3.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
) a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2，
2 2 x ＋ y ( λx ， λy ) 1 1 λa＝ . 1 1，|a|＝
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1) ，
2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另
外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知 数的值．
[针对训练]
已知 A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；
(2)若 AC ＝2 AB ，求点 C 的坐标．
5、向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示． λ 若 c＝λ a＋μ b(λ，μ∈R)，则 ＝________. μ
4
6、已知 A (－2,4)，B (3，－1)，C(－3，－4)． 设 AB ＝a， BC ＝b， CA＝c.
(1)求 3a＋b－3c；
(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n.
1.设 e1、e2 是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2， b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2 可以表示为另一组 基向量 a，b 的线性组合，即
2 1 － e1＋e2＝________ b. 3 a＋________ 3
[典例]
如图， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC， 1 且 AD＝ BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 3 的中点．设 BA ＝a， BC ＝b，试用 a，b 为 基底表示向量 EF ， DF ， CD .
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，
有且只有 那么对于这一平面内的任意向量 a，
一对实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e.2
其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底 ．
考点一 平面向量基本定理及其应用
3、已知 a＝(1,2)，b＝(x,1)， 若 a＋2b 与 2a－b 共线，则实数 x 的值为 若 a＋2b 与 2a－b 垂直，则实数 x 的值为 . .
[ 典例] 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b ＝(－1,2)， c＝(4,1)．
(1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m ，n ；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k ；
2 2 x － x ＋ y － y | AB |＝ 2 1 2 1 .
考点二 平面向量的坐标运算
1．若向量 a 的起点坐标为(3,1)，终点坐标为 (－1，－3)，则向量 a 的坐标为( C ) A．(3,1) B．(－1，－3) C．(－4，－4) D．(4,4)
2．已知点 M(3，－2)，N(－5，－1)，点 P 满 1 足 MP ＝ MN ，则点 P 的坐标是( A) 2 3 3 A．(－1，－ ) B．(1， ) 2 2 3 3 C．( ，1) D．(－ ，－1) 2 2
1 1 1 [解] EF ＝ EA＋ AB ＋ BF ＝－ b－a＋ b＝ b－a， 6 2 3 1 1 1 DF ＝ DE ＋ EF ＝－6b＋(3b－a)＝6b－a， 1 1 2 CD ＝ CF ＋ FD ＝－2b－(6b－a)＝a－3b.
[针对训练]
1 (2014· 济南调研)如图， 在△ABC 中，AN ＝ NC ， 3 2 P 是 BN 上的一点，若 AP ＝m AB ＋ AC ，则实 11 数 m 的值为________．
解析：因为 AP ＝ AB ＋ BP BP ＝ AB ＋k BN ＝ AB ＋k( AN －
1 AB ) ＝ AB ＋ k 4
AC － AB
k ＝ (1 － k) AB ＋ AC ，且 AP ＝ 4
2 k 2 8 3 m AB ＋ AC ，所以 1－k＝m， ＝ ，解得 k＝ ，m＝ . 11 4 11 11 11 3 答案： 11
[类题通法]
1．向量共线的两种表示形式
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a ∥b⇔x1y2－x2y1＝ 0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条 件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
3、若向量 BA ＝(2,3)， CA＝(4,7)，则 BC ＝ A．(－2，－4) C ．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10)
( A )
4、已知点 M (5，－6)和向量 a＝(1，－2)，若 MN ＝－3a， 则点 N 的坐标为 A．(2,0) C ．(6,2) ( A ) B．(－3,6) D．(－2,0)
3．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0. a∥b⇔
x1y2－x2y.1=0
1、已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)，且 a∥b，则 y 等于( ) B 32 A．5 B．10 C. D．15 5
2、(2013·石家庄模拟)已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u ＝a＋2b， 1 v＝2a－b，且 u ∥v，则实数 x 的值是________ ． 2
[类题通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向 量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来 方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
解：(1)由已知得 AB ＝(2，－2)， AC ＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C 三点共线，∴ AB ∥ AC . ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即 a＋b＝2. (2)∵ AC ＝2 AB ，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
a－1＝4， ∴ b－1＝－4， a＝5， 解得 b＝－3.
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
) a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2，
2 2 x ＋ y ( λx ， λy ) 1 1 λa＝ . 1 1，|a|＝
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1) ，
2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另
外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知 数的值．
[针对训练]
已知 A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；
(2)若 AC ＝2 AB ，求点 C 的坐标．
5、向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示． λ 若 c＝λ a＋μ b(λ，μ∈R)，则 ＝________. μ
4
6、已知 A (－2,4)，B (3，－1)，C(－3，－4)． 设 AB ＝a， BC ＝b， CA＝c.
(1)求 3a＋b－3c；
(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n.
1.设 e1、e2 是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2， b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2 可以表示为另一组 基向量 a，b 的线性组合，即
2 1 － e1＋e2＝________ b. 3 a＋________ 3
[典例]
如图， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC， 1 且 AD＝ BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 3 的中点．设 BA ＝a， BC ＝b，试用 a，b 为 基底表示向量 EF ， DF ， CD .
第二节
平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，
有且只有 那么对于这一平面内的任意向量 a，
一对实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e.2
其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底 ．
考点一 平面向量基本定理及其应用
3、已知 a＝(1,2)，b＝(x,1)， 若 a＋2b 与 2a－b 共线，则实数 x 的值为 若 a＋2b 与 2a－b 垂直，则实数 x 的值为 . .
[ 典例] 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b ＝(－1,2)， c＝(4,1)．
(1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m ，n ；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k ；
2 2 x － x ＋ y － y | AB |＝ 2 1 2 1 .
考点二 平面向量的坐标运算
1．若向量 a 的起点坐标为(3,1)，终点坐标为 (－1，－3)，则向量 a 的坐标为( C ) A．(3,1) B．(－1，－3) C．(－4，－4) D．(4,4)
2．已知点 M(3，－2)，N(－5，－1)，点 P 满 1 足 MP ＝ MN ，则点 P 的坐标是( A) 2 3 3 A．(－1，－ ) B．(1， ) 2 2 3 3 C．( ，1) D．(－ ，－1) 2 2
1 1 1 [解] EF ＝ EA＋ AB ＋ BF ＝－ b－a＋ b＝ b－a， 6 2 3 1 1 1 DF ＝ DE ＋ EF ＝－6b＋(3b－a)＝6b－a， 1 1 2 CD ＝ CF ＋ FD ＝－2b－(6b－a)＝a－3b.
[针对训练]
1 (2014· 济南调研)如图， 在△ABC 中，AN ＝ NC ， 3 2 P 是 BN 上的一点，若 AP ＝m AB ＋ AC ，则实 11 数 m 的值为________．
解析：因为 AP ＝ AB ＋ BP BP ＝ AB ＋k BN ＝ AB ＋k( AN －
1 AB ) ＝ AB ＋ k 4
AC － AB
k ＝ (1 － k) AB ＋ AC ，且 AP ＝ 4
2 k 2 8 3 m AB ＋ AC ，所以 1－k＝m， ＝ ，解得 k＝ ，m＝ . 11 4 11 11 11 3 答案： 11